Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / К уроку в 10 классе по теме "Общие свойства функций"

К уроку в 10 классе по теме "Общие свойства функций"



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Свойства функции

Что такое  числовая функция? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и  между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие  единственный элемент  y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y. http://ege-ok.ru/wp-content/uploads/2012/01/%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F3-300x187.jpg

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией. 

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство  y=f(x) называется уравнением функции. В этом уравнении  x - независимая переменная, или аргумент функции. y  - зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары (x,y)и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то  получим график функции. График функции - это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя свойства функции мы можем построить ее график.

Основные свойства функций. 

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции  y=f(x) имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

Чтобы по графику функции y=f(x)найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции  Е(y)- это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции y=f(x)найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3.  Нули функции.

Нули функции - это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции y=f(x), нужно решить уравнение  f(x)=0. Корни этого уравнения и будут нулями функции y=f(x).

Чтобы найти нули функции y=f(x)по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции  y=f(x).

4. Промежутки знакопостоянства функции. 

Промежутки знакопостоянства функции y=f(x)- это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть f(x)>0 http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.pngили f(x)<0.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции y=f(x), нужно решить неравенства f(x)>0http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png и  f(x)<0.

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции y=f(x)по ее графику, нужно

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ - при этих значениях аргумента f(x)>0,y=f(x)

  • найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ - при этих значениях аргумента  f(x)<0

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции y=f(x) - это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция y=f(x)возрастает или убывает.

Говорят, что функция  y=f(x)возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  x_1, x_2, принадлежащих промежутку I таких, что  x_1< x_2выполняется соотношение: {f(x_1)}<{f( x_2)}.

Другими словами, функция  y=f(x)возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции y=f(x)определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция  y=f(x)убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента  x_1, x_2, принадлежащих промежутку I таких, что  x_1< x_2выполняется соотношение: {f(x_1)}>{f( x_2)}http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png.

Другими словами, функция  y=f(x)убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции y=f(x)определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка x_0называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая окрестность I точки x_0, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

{f(x_0)}>{f(x)}http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка x_0называется точкой минимума  функции y=f(x), если существует такая окрестность I точки x_0, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

{f(x_0)}<{f(x)}http://ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_1002_c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png

Графически это означает что точка с абсциссой  x_0 лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции y=f(x).

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

 7. Четность (нечетность) функции.

Функция y=f(x)называется четной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента x, принадлежащего области определения функции,  -x также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции y=f(x)симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение f( -x)=f(x).

Функция y=f(x)называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента x, принадлежащего области определения функции, -x также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции y=f( -x)симметрична относительно начала координат.

б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение f( -x)=-f(x).

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

а). Найти область определения функции y=f(x), и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х=2 входит в область определения функции, а число х=-2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция y=f(x)- функция общего вида.

Если область определения  функции y=f(x)- симметричное множество, то проверяем п. б)

б). В уравнение функции y=f(x) нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду f(x) или -f(x).

Если f( -x)=f(x), то функция четная.

Если f( -x)=-f(x), то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция y=f(x)- общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат ( прямой OY ).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат ( точки (0,0) ).

8. Периодичность функции.

Функция y=f(x)называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

  • для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)

  • f(x)=f(x+T)





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 01.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров274
Номер материала ДA-025277
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 год назад
++++
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх