«Как решать задачи на проценты».

                               Статья на тему: «Как решать задачи на проценты».

                                                                                        Киселева Наталья Николаевна

                                                                                        Учитель высшей категории

Решение задач на проценты является неотъемлемой частью школьного курса математики. Знакомство с процентами происходит в 5 классе. В 6 классе рассматриваются различные способы и приемы их решения. В 7,8,9 классах на их решения отводится очень мало времени. Эти задачи встречаются единичным образом в разделе «повторение». Однако, в ОГЭ они встречаются в  задачах №7, №22. В ЕГЭ – это задача №1, №11. Решение этих задач не представляет трудности , если обучающийся знает основные подходы к решению задач на проценты.  Ученики должны знать следующее:

1.     Чтобы найти 7% от х , необходимо процент перевести в части (7%=0,07), а затем  0.07 умножить на х. Имеем : 7% от х, т.е. 0.07х.

2.     Твердое вещество всегда остается постоянной величиной, испаряется только вода, поэтому необходимо следить за твердым веществом.

3.     За 100% берем величину, с которой сравниваем (надо прочитать условие , поставив в конце предложения слово «чем»), тем самым мы определяем , с чем сравниваем(это и будет 100%) .

4.     Чтобы узнать, сколько процентов составляет х от у, надо найти , какую часть составляет х от у, т.е. х/у, а затем часть перевести в проценты, умножив ее на 100.

Рассмотрим,  как решить задачи на проценты:

Задача 1.

Товар подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%. Какова стала цена товара по сравнению с первоначальной?

стоил	Х рублей.
Стал стоить после подорожания	(100+10)% от Х рублей, т.е. 1,1Х рублей.
Стал стоить после снижения цены.	(100-10)% от 1,1Х рублей, т.е. 0,9 умножить на 1,1Х рублей или 0,99Х рублей.

Сравним первоначальную стоимость товара с конечной стоимостью:

Х-0,99Х=0,01Х (рублей)

Видим, что товар подешевел на 1%.

Ответ : цена товара уменьшилась на 1%.

Следующая задача имеет неожиданный для детей ответ, поэтому запоминается надолго.

Задача 2.

На склад привезли 1 тонну огурцов. За время хранения огурцы потеряли 1% влаги. Сколько огурцов стало, если первоначально содержание воды в огурцах было 99%.

содержание твердого вещества в процентах	Содержание воды в процентах	Кол-во огурцов
1%	99%	1000кг
2%	98%	Х кг

1)     Найдем кол-во твердого вещества в 1000кг огурцов:

1% от 1000кг, т.е. 0,01 умножить на 1000 или 10кг.

2)     Найдем кол-во твердого вещества в Х кг огурцов:

2% от Х, т.е. 0,02Х кг

3)     Помним, что испаряется только вода, а твердое вещество остается постоянной величиной, поэтому уравниваем результаты 1) и 2)

0,02Х=10

2Х=1000

Х=500

Ответ : 500кг

Действительно удивительный факт. При потере 1% воды огурцы теряют в массе ровно половину.

Дети запоминают , что при решении задач на проценты важно находить количественную характеристику, а изменение в процентах может быть минимальным.

Задача3.

99% лесного участка составляют кедры. Леспромхоз решил вырубить кедровый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза сказал, что вырубит только 1% кедровых деревьев. Сколько лесных угодий будет вырублено?

Понятно, что эта  задача в точности повторяет задачу №2. Ответ удивителен: будет вырублено половина лесных угодий.

Еще раз убеждаемся , что при решении задач на проценты важно находить количественную характеристику, а изменение в процентах может быть минимальным.

Задача4.

Виноград содержит 95% влаги, а изюм 60% влаги. Сколько кг винограда требуется для получения 1кг изюма.

Кол-во твердого вещества в процентах	Кол-во воды в процентах	фрукт
5%	95%	виноград                Хкг
40%	60%	изюм                        1кг

1)     Найдем  кол-во твердого вещества  винограда в кг.

5% от Хкг, т.е. 0,05Х кг

2)     Найдем кол-во  твердого вещества изюма в кг.

40% от 1 кг, т.е. 0,4кг

3)     Испаряется только вода, а твердое вещество остается постоянной величиной, поэтому уравниваем результаты 1) и 2)

0,05Х=0,4

5Х=40

Х=8

4)     Оценим получившийся результат: из 8кг винограда можно получить 1кг изюма. Это реально.

Ответ : надо взять 8 кг винограда.

Задача5.

Цена телевизора в магазине ежеквартально (3месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите , на сколько процентов каждый квартал уменьшается цена телевизора, если выставленный на продажу за 50000 рублей через 2 квартала был продан за 41405 рублей.

Пусть цена телевизора ежеквартально уменьшается на Х%

Начальная цена	50000 рублей
Цена после первого подорожания	(100-Х)% от 50000 рублей, т.е.           рублей
Цена после второго подорожания	(100-Х)% от   рублей, т.е.  рублей или 41405 рублей

Составляем уравнение:

 =41405

(100-Х)²  5=41405

(100-Х)² =8281

100-Х=91 или 100-Х=-91

Х=9                     Х=191-не удовлетворяет условию задачи

 Ответ: на 9%.

Рассмотренные задачи дают первоначальные представления о том, как решать задачи на проценты . В следующей статье будут разобраны более сложные задачи на проценты , встречающиеся в ОГЭ (№22) и ЕГЭ(№11).