Тема: «Координаты вектора» Произвольная точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, что записывается так: А( xA; yA;) – координаты точки. |
Краткий справочный материал по теме | Примеры решения типовых заданий | Задания для самостоятельной работы |
А(ха ; уа ) В(хв; ув) 1.Если точки А и В имеют координаты :АхA; yA; ) и В( xA; yA; ), то
длину отрезка АВ находим по формуле: АВ=
2.Точка M – середина отрезка АВ.
Координаты середины отрезка находим по формуле :
M () |
Найдите длину отрезка AB и координаты середины отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4). Решение: АВ = = = = = – длина отрезка АВ.
M ( М(1;-1)
M ( 1;-1 ) – координаты середины отрезка АВ. |
Найдите длину отрезка CD и координаты его середины, если С (-2;1;) , D (4;0;) . |
Вектор – направленный отрезок. Обозначают: или А В
А – начало вектора, В – конец вектора Длиной вектора называют длину соответствующего ему отрезка. Записывают так: || =| АВ| Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом АА , 0 – нулевые векторы. | Запишите вектор, если точка D начало вектора, а точка F конец вектора. Как обозначить его длину. DK - данный вектор
DK - длина вектора
| Запишите вектор, если точка М начало вектора, а точка К конец вектора. Как записать длину этого вектора. Постройте нулевой вектор. |
Координаты вектора: АВ(х; у) или АВ =хi +yj,
где i, j, – единичные векторы |
АВ (5;-9) или АВ = 5i -9j
CD = 3i+ 2j или СD (3;2) | Запишите координаты вектора
PT(-6;0) через i и j Запишите координаты вектора
SF= 3i – 4j |
Координаты вектора АВ. Если точки А и В имеют координаты: А(ха; уа), а В(хВ; хВ),то вектор
|
Найдите координаты вектора , если А (5;-6) , а В (-2;0). Решение: ( -2-5 ; 0-(-6)) ( -7 ; 6) – координаты вектора |
Найдите координаты вектора , если А (3;8); В (-4;0) |
Длина вектора: Если вектор а имеет координаты а (х;у) тогда | а | = - длина вектора а
Если вектор имеет координаты , тогда длина вектора
|| = | 1.Найдите длину вектора , если А (5;-6), а В (-2;0). Решение: ||= = = = – длина вектора
2. Найдите длину вектора ( 1;-3 ).
Решение: || = = =
| 1.Найдите длину вектора , если А (3;8); В (-4;0).
2.Найдите длину вектора (4;-3). |
Угол между векторами 0 α A В α – угол между векторами | 1.Если α = => векторы соноправленные 0 b а 2.Если α = 90° => – векторы перпендикулярные 0 | 1. Покажите угол между векторами, определите его градусную меру
O |
Сумма и разность векторов a(x1 ;y1 ) b(x2; y2) ( a + b) = (x1 + x2; y1 + y2)
(a – b) = (x1 – x ;y1 – y2) |
Найти сумму векторов : m(-2;3); n (3;-5) z(-5;0) Решение:
m + n + z =(-2+3-5;3-5+0;) = (-4;-2)
Найти разность векторов:
m – n = (-2-3:-3-(-5)) = (-5:-3+5) = (-5;2) | В пространстве расположены три вектора, координаты которых: а (1; 6; 3), в (3; − 1; 7) и с (− 4; 3; − 2). Найти координаты суммы векторов а и с; а и в. Найти координаты разности векторов а и с; в и с.
|
Равенство векторов a(x1 ;y1 ) = b(x2; y2) , если х1 = х2 и у1 = у2
| Найти равные векторы: m(-2;3), n (3;-5), z(-2;3), к(2;3), a (3-5)
| Какие из векторов будут равными, если вектора имеют координаты:
а(5;-3) в(1;-3) с(5;-3) к(1;-3;) р(5;3)
|
Умножение вектора на число Пусть вектор a(x1 ;y1) и к –произвольное число отличное от нуля к а = (kх1; kу1) Чтобы умножить число на вектор, нужно каждую координату вектора умножить на данное число. |
Найти произведение вектора а (1; 6) на число 5 Решение:
5· а =(51;5) = (5;30) | В пространстве расположены три вектора координаты которых: а (1; 6), в (3; -1) и с(-4;3). Найти координаты векторов: -5·а; 3·с; -в. |
Скалярное произведение векторов:
a (x1 ;y1) b (x2; y2) ,тогда
= || ∙ || ∙ cos α, где , а | = | | =
или в координатной форме = ха · хв + уа · ув
| 1.Найдите скалярное произведение векторов, если ( 2; -8), и ( 0; 1). Решение: = 2∙0 - 8∙1 = 0 + 8 = 20
2. Найдите скалярное произведение векторов, если угол между ними равен 90°. Решение: Т.к. α = 90°, то cos 90° = 0 =>
3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны, если Решение: Т.к. => cos α = 0 => α = 90° => | 1. Найдите скалярное произведение векторов, если (-2;4;6).
2. Докажите, что вектора взаимно перпендикулярны: (2;6;2).
3.Найдите cos А, если дан треугольник АВС, заданный координатами своих вершин: А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2). |
Условие коллинеарности (параллельности векторов) и перпендикулярности векторов a и b.
1)Если векторы a(xa ; ya) и b(xb ;уb) коллинеарны, т.е. ( a || b) , то 2)Если векторы a и b перпендикулярные,, т.е. a b , то xa · xb + ya · yb = 0
| Доказать коллинеарность векторов a и b, если а(-8;13) ,а b (16;-26). Решение: Векторы коллинеарные, т.к. отношение соответствующих координат одинаково. = = . Доказать, что векторы а(-8;2) ,а b (2; 8) перпендикулярные. Решение: . a b , то xa · xb + ya · yb = 0 -8·2 +2·8 = -16 + 16 = 0, значит векторы перпендикулярные. | Среди указанных векторов выбрать коллинеарные и перпендикулярные векторы: m (-6; 9) , n (3;-4,5), p (6;-9) k (9; 6). При каком значении «b»
векторы d и s будут а) коллинеарными; б) перпендикулярными, если d (4;-10) s (b;2) |
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.