Карточка-инструкция по теме "Производная. Механический и геометрический смысл производной"

 Определение производной, ее физический и геометрический смысл

Рас­смот­рим функ­цию и ее гра­фик (Рис. 1). Для на­гляд­но­сти будем ис­поль­зо­вать фи­зи­че­скую ин­тер­пре­та­цию про­из­вод­ной.

Рис. 1.

Ар­гу­мен­том пусть будет время . За­ви­си­мой пе­ре­мен­ной пусть будет  – рас­сто­я­ние до дома. Гра­фик функ­ции по­ка­зы­ва­ет путь до дома в каж­дый мо­мент вре­ме­ни.

 – мо­мент вре­ме­ни. В этот мо­мент вре­ме­ни мы на­хо­дим­ся на рас­сто­я­нии  от дома.

Через неко­то­рое время  мы будем на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии  от дома. Мы имеем при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та – , и при­ра­ще­ние функ­ции – .

По­лу­чим тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го ка­те­ты равны при­ра­ще­нию ар­гу­мен­та, при­ра­ще­нию функ­ции, а ги­по­те­ну­за АВ – се­ку­щая, где  – тан­генс угла на­кло­на этой се­ку­щей.

Нас ин­те­ре­су­ет от­но­ше­ние при­ра­ще­ния функ­ции к при­ра­ще­нию ар­гу­мен­та.

Во-пер­вых, мы по­лу­чим сред­нюю ско­рость. Таков фи­зи­че­ский смысл.

А гео­мет­ри­че­ский смысл со­сто­ит в том, что мы по­лу­чим тан­генс угла на­кло­на се­ку­щей.

За ко­неч­ное время  может про­изой­ти мно­же­ство со­бы­тий, и все их надо уло­вить, от­ра­зить. Для этого устре­мим  к 0. То есть мы будем рас­смат­ри­вать бли­жай­шие точки к точке . Но если при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та стре­мит­ся к 0, то при­ра­ще­ние функ­ции также стре­мит­ся к 0. Тогда се­ку­щая АВ будет стре­мить­ся за­нять по­ло­же­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку в точке А.  Рас­смот­рим, что про­изой­дет с от­но­ше­ни­ем:

Более стро­гое опре­де­ле­ние 

Такой пре­дел на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной функ­ции и обо­зна­ча­ет­ся .

Каков фи­зи­че­ский и гео­мет­ри­че­ский смысл про­из­вод­ной?

– это мгно­вен­ная ско­рость в мо­мент . Таков фи­зи­че­ский смысл про­из­вод­ной.

Гео­мет­ри­че­ский смысл: – тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной в точке .

Мы вспом­ни­ли опре­де­ле­ние про­из­вод­ной, ее фи­зи­че­ский и гео­мет­ри­че­ский смысл.