Карточки для самостоятельной работы при изучении темы «Производная и ее применение»

Карточки для самостоятельной работы при изучении темы «Производная и ее применение» (1 курс)

Преподаватель математики: Даниярова Дарига Байболатовна

КГКП «Красноармейский аграрно-технический колледж», 2014-2015 учебный год

Структура карточек одна и та же. Каждая из них включает план, основные сведения из теории, иллюстрацию применения плана к решению задач, задания для самостоятельной работы. Наряду с формулировкой любого шага плана показано его практическое применение. Это обеспечивает работу учащихся по образцу на каж­дом этапе выработки учебного навыка.

1.   Приращение аргумента и приращение функции

На рисунке - приращение аргумента в точке , - приращение функции в точке .

Примеры.

Вычислите приращение функции  в произвольной точке, если:

а) ;

б) .

№ п/п	План вычисления приращения функции	Применение плана
		а)	б)
1.	Фиксируем произвольное значение аргументаи находим значение функции	,	,
2.	Задаем аргументу приращение  и находим значение функции	,	,
3.	Находим приращение функции:

Задания.

Вычислите приращение функции  в произвольной точке , если:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ; 

7) ;

8) ;

9) .

2.                 Производная функции

Определение. Производной функции  в заданной точке  называется предел отношения приращения функции  в этой точке к приращению аргумента , когда  стремится к нулю, т. е. .

Примеры.

Вычислите производную функции  в точке , если:

а) ;

б) .

№	План вычисления производной функции	Применение плана
		а)	б)
1	Фиксируем точку  и даем аргументу приращение	,	,
2	Вычисляем приращение функции:
3	Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
4	Вычисляем производную:
5	Вычисляем

Задания.

Вычислите производные следующих функций:

1)  в точке ;

2)  в точке ;

3)  в точке ;

4)  в точке ;

5)  в точке ;

6)   в точке ;

7)  в точке ;

8)  в точке .

3.                 Уравнение касательной к графику функции  в точке .

Уравнение касательной к кривой  в точке , принадлежащей этой кривой, имеет вид .

Примеры.

Напишите уравнения касательной к графику функции  в точке с абсциссой , если:

а) ;

б) .

№	План составления уравнения касательной к кривой в заданной на ней точке	Применение плана
		а)	б)
1	Вычисляем значение функции  в точке	, ,	, ,
2	Находим производную функции
3	Вычисляем значение производной в точке, т. е.
4	Подставляем числа , ,   в уравнение касательной и записы­ваем ответ	, ,	, ,

Задания.

Применяя указанный выше план, напишите уравнение касательной к графику функции  в точке , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) ,;

7) , ;

8) , ;

9) , .

4.                 Наименьшее и наибольшее значения функции

Пример.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции  на промежутке .

№	План нахождения  и  на	Применение плана
1	Находим производную функции
2	Находим критические точки функции	, ,  и , ,  и -критические точки функции
3	Выбираем критические точки, лежащие внутри	0 и .
4	Находим значения функции в критических точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка	, ,
5	Из найденных значений функции выбираем наи­меньшее и наибольшее	,

Задания.

Применяя указанный выше план, найдите наименьшее и наибольшее значения; функции  на про­межутке , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , .

5.                 Общая схема исследования функции и построение ее графика

Примеры.

Исследуйте и постройте графики функции:

а) ;

б) .

№	План исследования функции	Применение плана
		а)	б)
1	Находим область определения функции		, , ,
2	Исследуем функцию на четность, нечетность	- функция ни четная, ни нечетная	- функция чет­ная
3	Находим нули (корни) функции и промежутки ее знакопостоянства	, ,  , - нуль функции	, - нуль функ­ции
4	Находим производную функции и ее критические точки	, ,  и , и- кри­тические точки функции	, , , - критические точки функции
5	Находим промежутки монотон­ности, точки экстремума и эк­стремумы функции	<0, <0, >0, - не является точкой экстремума, -точка минимума,	>0, >0, <0, - точка максимума,
6	Находим предел функции при
7	Строим эскиз графика функции

Задания.

Исследуйте и постройте графики функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

 9) .

Краткое описание документа:

Структура карточек одна и та же. Каждая из них включает план, основные сведения из теории, иллюстрацию применения плана к решению задач, задания для самостоятельной работы. Наряду с формулировкой любого шага плана показано его практическое применение. Это обеспечивает работу учащихся по образцу на каж­дом этапе выработки учебного навыка.

В основу дифференциации положена теория Л. С. Выготского о зоне ближайшего развития. Зона ближайшего развития находит­ся между уровнем актуального развития, когда ребенок решает за­дачу самостоятельно, и уровнем потенциальной возможности, на котором ребенок успешно решает задачу только в сотрудничестве со взрослым.