Касательная к графику функции и геометрический смысл производной

Урок № 11 – 13

Геометрический смысл производной

Цель: Формирование геометрического смысла производной, обучение составлению уравнения касательной к графику функции в заданной точке. Закрепление навыков нахождения производных.

I. Проверка домашнего задания

·        Записать и формулы производных элементарных функций

II. Новый материал

Учитель:  Послушайте исторический факт (с.27 методички).

    Мы знаем, что графиком линейной функции является прямая, число называется угловым коэффициентом прямой.

Т.к. , то , т.е. . Значит, функция возрастает.

Т.к. , то , т.е. . Значит, функция убывает.

    , где угол наклона прямой, т.е. угол между этой прямой и осью (ее положительным направлением).

    Рассмотрим график функции . Проведем секущую через две точки, например, АМ

    Угловой коэффициент секущей . В прямоугольном      . Тогда                   

    Нас интересует зависимость изменения величин в более точном описании.

    Устремим приращение аргумента к нулю (). Тогда правая часть формулы – производная функции в точке А.

    Если , то точка М движется по графику к точке А, значит, прямая АМ приближается к некоторой прямой АВ, которая является касательной к графику функции в точке А.

    Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.

    Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

    Механический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, т.е. новая характеристика изучаемого процесса.

    Эту величину Лейбниц назвал производной, а Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.

II. Работа на уроке

№ 858, 859 (1, 3), лабораторная работа

№ 860 (1, 3, 5), 861 (ус), 863 (1, 2, 3), 865 (в группах)

№ тест, 862 (1), 864 (1, 3), 866 (1 – 4), 867, 868

III. Домашнее задание § 48

№ 858 (2, 4), 859 (2, 4, 6)

№ 860 (2, 4, 6), тренажер № 4

№ 862 (2), 864 (2, 4)

Ко 2 уроку

Учитель: Выведем уравнение касательной к графику дифференцируемой функции в точке .

    Уравнение прямой , т.к. , то .

    Касательная проходит через точку , значит, координаты точки удовлетворяют уравнению . .

    Итак, уравнение касательной  

Краткое описание документа:

Целью данного урока является формирование геометрического смысла производной, обучение составлению уравнения касательной к графику функции в заданной точке и закрепление навыков нахождения производных. Материал предназначен в основном для изучения темы в два этапа сначала - формирование геометрического смысла производной, затем - вывод уравнения касательной. В процессе отработки темы закрепляются знания по темам: Производная; Геометрический и физический смысл производной; Вычисление производных; Применение производной для исследования функции. Осуществляется межпредметные связи с физикой и геометрией.