Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДАН ТҰРАТЫН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.

КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДАН ТҰРАТЫН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРДАН ТҰРАТЫН ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕРДІ ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.


Әдетте кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептер жоғарғы сынып оқушыларына жоғары дәрежеде қиындықтар туғызады, себебі қолданыстағы оқу құралдарында жеткілікті дәрежеде көңіл бөлінбейді, ал кері тригонометриялық функциялардың теңдік пен теңсіздіктері жоқтың қасы деуге болады. Сонымен қатар олардың уақыттарының көбі ҰБТ-ға дайындалуға арналады да, көбінесе трафаретті, стандартты есептерді шығарумен шектеледі. Оқушылардың шығармашылық қабілетін дамытып, математикаға деген сүйіспеншілігін арттыру үшін кері тригонометриялық теңдеу пен теңсіздіктерді шығаруға дағдыландыру олардың танымдылық қызығушылығын қалыптастырып, зерттеушілік қабілетіне оң әсер етеді. [1]

Көп жағдайда есептердің шешімдері «функционалдық» деңгейде іске асырылады, яғни, графиктік әдіспен немесе қатынастың екі жағындағы функциялардың қасиеттерін салыстыру, функциялардың композициясын, монотондығын, шектелгендігін, туындысын т.с.с. логикалық сараптауды қажет етеді. Сөзіміз дәлелді болуы үшін бірнеше жаттығулардың шешу жолдарын көрсетейік.

1- мысал. Теңдеуді шеш: hello_html_m198c6396.gif [2]

Шешуі: hello_html_m1abbb05a.gif, hello_html_ma2bf6d5.gif hello_html_74057fdf.gif, hello_html_m41289baf.gif hello_html_m5e3145ed.gif, hello_html_m2d32a440.gif мұндағы hello_html_13e17843.gif hello_html_m5ec17750.gif.

Жауабы: hello_html_24803750.gif.

2-мысал. Теңдеуді шеш: hello_html_m291eb140.gif

Шешуі: hello_html_837bdce.gif hello_html_m72101d14.gif hello_html_6569f33d.gif hello_html_3bc2185c.gif

hello_html_7306880e.gif, hello_html_5d59fa8b.gif ал оң жағы теріс, сол себепті hello_html_24284874.gifбөгде түбір.

Жауабы: -1.

3-мысал. Теңдеуді шеш: hello_html_e5d294a.gif

Шешуі: hello_html_fc08120.gif

hello_html_mbbb1d4c.gifhello_html_27bec68e.gifhello_html_m3cb7086c.gifhello_html_4ffdac62.gif. hello_html_m58c2e5a0.gif+

hello_html_m6c1e3afa.gifhello_html_m2ac997cd.gif

hello_html_3bb4774d.gifжүйенің шешімі болмайтынын көреміз.

Жауабы: hello_html_44b1a6a3.gif.

4-мысал. hello_html_21b5f769.gif функциясының ең үлкен, ең кіші мәндерін табайық.

Шешуі: hello_html_4da6c743.gif

hello_html_m186fd718.gifжәне hello_html_m41a77661.gif функция hello_html_m164a49d0.gif әрқашанда өспелі, олай болса hello_html_a892e74.gif сол себепті ең кіші мәніhello_html_582d24ed.gif ең үлкеніhello_html_m7bb63faf.gif

Жауабы: hello_html_mdeed0a.gif hello_html_m4c55d06e.gif

5-мысал. hello_html_4a35043b.gif теңдеулер жүйесін шешейік.

Шешуі: функциялардың шектелген қасиеттері бойынша hello_html_28b1fe4e.gifжәне hello_html_m5b0250b7.gif болғандықтан жүйенің бірінші hello_html_e132f66.gif теңдеуінен hello_html_m5724dedb.gif аламыз, онда hello_html_2128003e.gif Екінші теңдеуіне hello_html_m4ae385be.gifапарып қойсақ, онда hello_html_m3ddcb1bf.gifнемесе hello_html_4929989d.gif бұдан hello_html_6f34565d.gif шығады.

Жауабы: hello_html_m551e6911.gif

6-мысал. hello_html_m15abb089.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі: Мүмкін мәндер жиынын hello_html_4d556628.gif қос теңсіздігінен анықтаймыз, онда hello_html_m4ddf349.gif.

Берілген теңсіздік hello_html_51ed90c7.gif теңсіздігіне эквивалентті, (себебі hello_html_28bfa549.gif немесе hello_html_m6e7bc5ed.gif hello_html_546b174a.gif. Мүмкін мәндер жиынын ескеріпhello_html_157e25a9.gif hello_html_m1ce8dc8.gif аламыз. Сол жағы hello_html_m77e6bf23.gif немесе hello_html_m4f80b396.gif теңсіздіктерін қанағаттандырса, оң жағының шешімі hello_html_5c53dd11.gifқос теңсіздігі. Ең соңында hello_html_135f0034.gif hello_html_m6db6004f.gif аламыз.

Жауабы: hello_html_412003c5.gif.

7-мысал. k-ның бүтін мәндерінде hello_html_107af3ff.gif жүйенің барлық шешімдерін анықтайық.

Шешуі: Кері тригонометриялық функциялардың анықтамаларынан

hello_html_m3a345f88.gifбірінші теңдеуден hello_html_50aaabc6.gif hello_html_md74d390.gif hello_html_m392e2ba4.gif Бұдан k-ның мүмкін мәндері болып тек қана 0 және 1 табылады.

hello_html_m43de7a3c.gifболса жүйенің шешімі болмайтыны өзінен - өзі түсінікті. Егерhello_html_m43b16ea2.gif болса hello_html_m72d0959b.gif hello_html_1423b38d.gifдеп белгілесек, онда бірінші теңдеуден hello_html_27ca3df.gif hello_html_m7315ed4b.gif Екі мәндерінен бізді hello_html_m1202072e.gif шешімі қанағаттандырады, себебі hello_html_3b298f5.gif hello_html_40311c77.gif

Жауабы:hello_html_mda22aab.gif

8-мысал. hello_html_6e9693a6.gifтеңсіздігін шешейік. [3]

Шешуі: Функция hello_html_2d2f17a8.gif сегментінде анықталған, сол себепті hello_html_m10da7ef7.gif Егер hello_html_56bff60f.gif, ал анықтама бойынша hello_html_m11da35de.gif, яғни hello_html_m54d59054.gifСонымен, hello_html_m1e7fc661.gif. Берілген теңсіздіктің сол жағы hello_html_37baf17c.gif ден артпайтынын көреміз, мини – макс принципі бойынша тек қана hello_html_63dc0d0a.gif hello_html_m64115caf.gif қатынастары орындалғанда шешімі бар, сонымен hello_html_669b0adf.gif, hello_html_391bdf87.gif

Жауабы: (0; 0).

9-мысал. hello_html_68f4026c.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: hello_html_27c44269.gifфункциясының қасиетінен hello_html_7094cad4.gif және

hello_html_1638fe61.gifСондықтан hello_html_49c28597.gifолай болса hello_html_m546cc775.gif немесе hello_html_366d42d7.gif Сонымен қатар hello_html_m7d713e2f.gif бұл теңсіздіктер бір мезгілде тек hello_html_m28d16a5b.gifжәне hello_html_3f78e662.gif мәндерінде орынды.

Жауабы: hello_html_m4f0ff780.gifжәне hello_html_m103a65a2.gif

10-мысал. hello_html_3b16d926.gif функциясының ең үлкен, ең кіші мәндерін табайық.

Шешуі: hello_html_31654688.gifболғандықтын,

hello_html_4d2ad4d2.gif, онда hello_html_3f91525a.gif Функция hello_html_m114704d8.gif өз анықталу облысында кемімелі болғандықтан hello_html_130671c2.gifCондықтан функцияның ең үлкен мәні hello_html_21fa2183.gif, ал ең кіші мәні hello_html_86c4e75.gif тең.

Жауабы:hello_html_546e1e64.gif.



11-мысал. hello_html_m6d337eef.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі: Теңсіздікті hello_html_m5f9bef56.gif түрінде жазайық, hello_html_530fdd29.gif анықталу облысы hello_html_74659a5f.gif болғандықтан hello_html_mdb2f6dc.gif Олай болса берілген қатынастың оң жағының ең кіші мәнінhello_html_315f1bec.gifді hello_html_m4ae385be.gif болғанда қабылдайды. Ал hello_html_m41421733.gif қасиетінен сол жағынын ең үлкен мәніне hello_html_315f1bec.gif ді hello_html_4d5f582c.gif ие болады. Олай болса мини - макс принципінен берілген жүйенің hello_html_m4897401.gif жалғыз шeшімінің бар болатынын көреміз.

Жауабы: (0; 1).

12-мысал. hello_html_m4174de92.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі:hello_html_46781ec6.gif функциясын енгізіп hello_html_m79a7e7eb.gif теңсіздігін шешу үшін интервалдар әдісін қолданайық.

Алдымен hello_html_5a44a6b1.gifфункцияның анықталу облысын hello_html_m4b2eed7c.gif тауып алайық, кері функциялардың анықтамасынан hello_html_m3a48c2d6.gif

hello_html_4ad2a75a.gif=hello_html_4b3fd5df.gif hello_html_m5decc691.gifтің нөлдерін анықтайық.

Ол үшін hello_html_m6b636c22.gif теңдеуін шығарамыз. hello_html_6456e45c.gif hello_html_2ef7bf7c.gif

hello_html_7b535ce.gifбөгде түбір, себебі hello_html_m6914683f.gif hello_html_f52308a.gif болғандықтан интервал әдісінен hello_html_m10509b1a.gif орынды болатынын көреміз.

hello_html_16d22471.png

Жауабы:hello_html_m2050a6b1.gif.

Ескерту: Интервал әдісіне жүгінбей hello_html_m6a9189f3.gif анықталу облысында

hello_html_m572e2c44.gifhello_html_m91cc7a5.gifал hello_html_4f530326.gif hello_html_4f158ac3.gif болатынын ескеріп берілген теңсіздіктің шешімі hello_html_m2050a6b1.gifкесіндісі екеніне көз жеткізуге болады. Дегенмен, интервал әдісі әмбебап, функцияның монотондық қасиеті болмаған жағдайына да қолдануға болады.

Қарастырылған есептер негізінен стандартты емес әдістермен шешілетін жаттығуларға жатады, сол себепті әрбір мысалда шешу тәсілдері бір-біріне көп ұқсамайтыны көрініп тұр. Келешекте аналитикалық және графиктік әдістердің комбинациясымен қалай шешілетінін және параметрден тәуелді кері тригонометриялық функциялардың теңдеулері мен теңсіздіктерін зерттеу туралы ой қозғалады.



ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:



  1. Серікболқызы Н., Апышев О.Д. Интеграл және тригонометриялық функциялар. «Ғылым мен бизнестің кооперациясы: мәселелері мен болашағы» атты жас ғалымдар мен студенттердің ІІІ Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция. 2013, 3-5 сәуір. Өскемен. С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 1 бөлім, 105-109 б.

  2. Серікболқызы Н., Апышев О.Д., Мадияров М.Н. Кері тригонометриялық функция және интеграл. «Қазіргі кезеңдегі жоғарғы кәсіби білім берудің дәстүрлері мен жаңартулары». «Уәлиев оқулары-2013» Республикалық ғылыми-тәжірибелік конференция материалдарының жинағы. Өскемен. С. Аманжолов атындағы ШҚМУ баспасы, 2013ж, 26-27 қараша, 2 бөлім, 218-222 б.

  3. Арлазаров В.В. и др. Лекции по математике для физико-математических школ, часть II, Учебное пособие, М. Изд. ЛКИ,2008.,264с.




Общая информация

Номер материала: ДВ-241055

Похожие материалы