Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Кері тригонометриялық функциялардың меншіксіз интеграл арқылы анықталуы, негізгі қасиеттері.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Кері тригонометриялық функциялардың меншіксіз интеграл арқылы анықталуы, негізгі қасиеттері.

библиотека
материалов


Кері тригонометриялық функциялардың меншіксіз интеграл арқылы анықталуы, негізгі қасиеттері.


Тригонометриялық функцияларды әдетте геометриялық тұрғыдан анықтап, жалпы түрде алдымен кері(қайтымды) функцияның бар болуы туралы барлық қажетті ұғымдарды енгізіп, содан барып кері тригонометриялық функцияларды анықтау кең тараған әдіс болып келеді.

Біздің айтайық дегеніміз анықталған интеграл, оның ішінде жинақты меншіксіз интегралдың қасиеттері негізінде кері тригонометриялық функцияларды енгізіп, олардың мектеп курсындағы оқылатын барлық қасиеттері тек қана интегралдың бар болуынан шығатынын кері тригонометриялық функцияны енгізудің тәсілдерінің бірі ретінде мәселені кеңінен талқылау болып табылады. Ол үшін алдымен меншіксіз интеграл ұғымын, жинақты, жинақсыз болуын білсе жеткілікті, оқушы қауымға ешқандай қиындық келтірмейді, себебі жоғары шегі айнымалы анықталған интегралдың шегі деп анықтаса болғаны, шегі бар болса – меншіксіз интеграл жинақты, болмаса – жинақсыз, сол себепті төмендегі интегралдардың

hello_html_60fb37ca.gifжинақты болатынын анықтама арқылы көз жеткізетін айтсақ болғаны, сәйкес олардың мәндері hello_html_6b2fd1c.gif санымен hello_html_50661fa5.gif санына тең екендігі шығады.

hello_html_m3d11f523.gifфункцияларын анықтама арқылы шектерінің бірі айнымалы

hello_html_25b3474e.gifинтегралдарымен анықтауға болады. [1]

Екі анықтама да графиктен айқын көрініп тұр (қисықсызықты трапеция аудандары, мұндағы hello_html_dd18d7b.gif – Аньеза ұршығы деп аталады, hello_html_1b4f67ed.gifосі қисықтың горизонталь асимтотасы):


hello_html_m64d45a2b.jpg

1-сызба

hello_html_m49864018.gif

Осы анықтамалардан және hello_html_m668415fe.gifтеңдігінен hello_html_m3d11f523.gif функцияларының арасындағы бұрыннан белгілі қатынасты алуға болады:

hello_html_5f9629c6.gif

Сол себепті, hello_html_3485b1a.gif функциясын арнайы зерттемесе де болатынын көреміз, hello_html_m164a49d0.gif функциясының барлық қасиеттерін интегралдың қасиеттерінен шығарып алсақ болғаны.

  1. hello_html_m164a49d0.gifфункциясының анықталу облысы.

Бұл функцияның анықталу облысы бүкіл сан осі болып табылады, ол интегралдың hello_html_m5a6bfab5.gif бар болуынан шығады.

  1. Үздіксіздігі.

Бұл қасиеті арнайы дәлелдеуді қажет етпейді, себебі айнымалы қисық сызықты трапеция ауданының үздіксіздігі белгілі. Келесі нұсқаны да дәлел ретінде алуға болады: берілген функцияныңhello_html_6025e09c.gif туындысы бар және ол hello_html_33f3939.gif қа тең, сондықтан функция үздіксіздігі функцияның дифференциялданатынынан шығады.

  1. Жұп не тақ болуы.

Егер жұп функцияның графигі координаталар басы арқылы өтсе, онда оның алғашқы функциясы тақ екендігі белгілі. Біздің жағдайда екі шартта да орындалып тұр, сондықтан hello_html_m26e08353.gif тақ функция.

  1. Монотондылығы.

hello_html_mc0115fb.gif; туынды оң болса, hello_html_m164a49d0.gif функциясы R облысында өспелі (үдемелі).

  1. Функция нөлдері.

hello_html_m4f3a936b.gif=0 болса, hello_html_15d05378.gifл hello_html_m164a49d0.gif монотонды болғандықтан, оның басқа нөлдері жоқ.

  1. Функция таңбалары.

hello_html_m1af27a4c.gif0hello_html_5fc88669.gifда, ал

hello_html_m2fc588b0.gif0hello_html_1256c265.gifқатынастарының ақиқат екенін көреміз.

  1. Дөңестілігі.

hello_html_mfbc8e36.gifболғандықтан, hello_html_m1af27a4c.gif0 болса функция графигі дөңес, ал hello_html_m2fc588b0.gif0 болса ойыс болып табылатынын, яғнибас нүктеhello_html_m4f3a936b.gif=0-иілу нүктесі болып табылатынын көреміз.

  1. Шексіздіктегі бағыттары.

hello_html_971cf78.gifинтегралының қасиетінен hello_html_791d3f10.gif қатынасы орын алып, ал функцияның тақтығынанhello_html_4fe7ba32.gif болып, hello_html_m5f3d0e1f.gif екі горизонталь асимтоталарының бар болатынын байқаймыз.

Сонымен қатарhello_html_m164a49d0.gif мәндер жиыны hello_html_708fbef6.gif тұтас интервалын құратынын көреміз.

  1. Функция графигі.

hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_68d59393.gif

y=arctgx

-hello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_m4f3a936b.gif

hello_html_1efd9a82.gif

O

-1

1

hello_html_50661fa5.gif

hello_html_m53e05dac.gif

hello_html_m1b802e74.gif



2-сызба

а) Енді hello_html_m164a49d0.gif және hello_html_m230a7e0e.gifтің кейбір қасиеттерін талдап көрелік. Ол үшін hello_html_m76dc28be.gif; hello_html_56524c2a.gif тиянақты нүктелердегі мәндерінен hello_html_m10b56f3e.gif теңдігінен hello_html_2976f980.gif сол нүктелердегі мәндері шығады.hello_html_m17db2b27.gif қатынасы оңай дәлелденеді ( туындының симметриялық анықтамасынан), расында да


hello_html_m785a8730.gif

hello_html_m164a49d0.gifпен hello_html_m4f3a936b.gif айнымалы шамалары hello_html_351f2f1d.gifтің өте аз мәндерінде эквивалентті шексіз аз, яғни hello_html_f5417b8.gif деп жазуға болады.

b)hello_html_3f21f6e2.gif екенін көрсетейік. Сол жақтағы өрнектіhello_html_m7eced531.gifдеп белгілесек, hello_html_2c83a309.gif болады. Яғни, hello_html_738e1867.gif болғанда, бұл функция тұрақты. Оны табу үшін hello_html_m47379295.gif екенін ескеріп, hello_html_738e1867.gif болғанда hello_html_436d9806.gif теңдігі орын алатынын көреміз. hello_html_m7eced531.gif функциясының тақ болғандығынан hello_html_7086eec3.gifжағдайында hello_html_764b46.gif қатынасыhello_html_m5decc691.gifтің тақ екендігінен шығады.

c) кері тригонометриялық функцияларда өте маңызды орын алатын

hello_html_m6d9e9f37.gifтеңдігін дәлелдейік.

Мұндағы hello_html_m5c062083.gifпараметр, ол =0, егерhello_html_4a085760.gif болса,

=1 егерhello_html_19b5ed19.gif1,hello_html_738e1867.gif болса, ал егерhello_html_5ef5b0e5.gif болса, =-1.

Айнымалы hello_html_68d59393.gif-тің бір мәнін белгілеп алайық. hello_html_68d59393.gif-тің бұл мәніндегі теңдеудің сол жағынhello_html_m7eced531.gif деп, ал оң жағын hello_html_1d7407d8.gif Бұл екі функцияның да туындысын алсақ, олар тең екенін көреміз, яғни функциялардың тек константаға ғана айырмашылығы бар, яғни:

hello_html_33447b64.gifБірінші жағдай үшін есептейік, яғниhello_html_4a085760.gif жағдайы. Ол үшін hello_html_m73e961eb.gif болатынын көрсек жеткілікті. Яғни С=0, ендеше hello_html_6891d429.gif үшін hello_html_m1270c89.gif болғаны.

Екінші жағдай үшін hello_html_19b5ed19.gif1,hello_html_738e1867.gifжоғарыдағыдай есептеу мүмкін емес, себебіhello_html_m1c7b9ae5.gifдеп алайық. Ондаhello_html_m23444782.gif екеуінің де оң жағы hello_html_656a483a.gif тен функция, сондықтан басқадай әдіске көшеміз.

hello_html_5c91aacf.gifдесек,алдағыдайhello_html_b7ad27a.gif екенін көрсетуге болады. hello_html_52c508a1.gifді есептеу үшін hello_html_19b5ed19.gif1 болатындай hello_html_6891d429.gif-ті алу керек. Бірақ біз hello_html_m1c7b9ae5.gif деп алғандықтан, hello_html_b06fe06.gif алуымыз керек. Бірақ та hello_html_7490ae3.gif болғанда бізге hello_html_73619fcd.gif мәні белгісіз, сол себепті басқа жолмен шешеміз. .

hello_html_727ec6d7.gifтеңдігінен hello_html_m864f86c.gif.

Әрбір функцияның шектерін жеке – жеке есептейміз:

hello_html_3c55f65e.gif

hello_html_m7dfb26d6.gif

Екі шектің де мәндері бар, сондықтан

hello_html_m34d65f38.gif

Осы жолмен үшінші жағдайда тұрақты С – ның мәніhello_html_629564ea.gif екендігі дәлелденеді. Арктангенс тақ болғандықтандәлелденген теңдіктен hello_html_m34dcb86f.gif болады.

Енді ешқандай қиындықсыз hello_html_m45d8e8be.gif функцияларын hello_html_m7fa33c7b.gif терге кері (қайтымды функция) ретінде енгізіп, кері функцияның бар болуы туралы жалпы теоремадан толық шығарып алуға болатынын көреміз.

Атап өткендей, hello_html_m6abf82eb.gif функцияларының зерттеу жолдары hello_html_m2e5179a.gif сияқты жүргізіледі, олар анықтама бойынша төмендегі теңдіктер арқылы енгізіледі де

hello_html_1371ae9f.gif, олардың негізгі қасиеттері интегралдың қасиеттерінен шығады.

hello_html_m6abf82eb.gifфункцияларында сол тұрғыдан енгізіп, негізгі қасиеттерінің дәлелдеулерін келтіріп, соңында кері тригонометриялық функциялармен байланысты бірнеше есептердің шешімдерін береміз. Жалпы айта кету керек, ондай есептер әдетте оқушыларға жеткілікті дәрежеде қиындықтар туғызады. Себебі, негізгі оқулықтар мен оқу құралдарында кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептерге жеткілікті түрде көңіл бөлмейді, тура тригонометриялық функцияларға кері ретінде енгізіп, бірнеше қарапайым мысалдар мен араларындағы қатынастарды келтірумен шектеледі.

Айта кетейік, біз келтірген әдіс кері тригонометриялық функцияларды енгізудің бір нұсқасы, бұрыннан белгілі тәсілдердің бірі болып, функциялардың табиғатын тереңірек түсінуге жол салатыны анық.

hello_html_44fa90c7.gif

hello_html_738e1867.gifболғанда hello_html_1b230b43.gif (анықтамалардың геометриялық мағынасы 1суретте көрсетілген).

X



Келтірілген анықтамалармен hello_html_m478e4a80.gif теңдігінен hello_html_44bf24b3.gif негізгі қатынастардың бірі шығатынын көреміз. Бұдан тек қана hello_html_f939575.gif функциясын зерттесек жеткілікті болатынын көреміз.hello_html_m38794557.png

  1. hello_html_30a36c6a.gifинтегралының бар болуынан hello_html_f939575.gif функциясының анықталу облысы болып [-1;1] сегменті табылатынын көреміз.

  2. Үзіліссіздігі. Анықталу облысының ішкі нүктелерінде қисық сызықты трапецияның ауданының үзіліссіз болатындығынан , ал ұштарында интегралдың бар болуынан шығады.

  3. Тақ, жұптығы. Егер жұп функцияның графигі координаталар бас нүктесінен өтетін болса, оның алғашқы функциясы тақ екендігі жалпы теориядан белгілі. Біздің жағдайда екі шарт та орындалып тұр, сондықтан hello_html_6dd47644.gif тақ функция.

  4. Монотондылығы. hello_html_m7cbd6323.gif немесе (0,1) аралықта геометриялық мағынасы аудан болғандықтан, аргумент hello_html_m4f3a936b.gif- өскенде ол да өскендіктен hello_html_6dd47644.gifөспелі функция, ал hello_html_4f0a22ae.gif өсетіндігіhello_html_6dd47644.gif тақ екендігінен, тұтас [-1;1] анықталу облысында монотондылығы hello_html_6dd47644.gifтің үзіліссіздігінен шығады.

  5. Функцияның нөлі. hello_html_6f34565d.gif болса hello_html_mcce578b.gif интегралдың қасиетінен, ал қатаң монотондылығынан hello_html_6dd47644.gifтің басқа нөлдерінің болмайтынын көреміз.

  6. Функцияның таңбалары. hello_html_738e1867.gif болса hello_html_m40114185.gif тек оң, ал hello_html_55344ece.gifтек теріс мәндерге ие болатындығы 4-5 қасиеттерден шығады.

  7. Дөңес, ойыстығы. hello_html_m7a0b732d.gif болғандықтан hello_html_3f8c4bb0.gif => [0;1] аралықта hello_html_6dd47644.gifойыс, ал hello_html_7086eec3.gif hello_html_4ff853a4.gif => [-1;0] сегментінде дөңес, олай болса hello_html_6f34565d.gif - hello_html_f939575.gif функциясының графигінің иілу нүктесі болып табылатынын көреміз.

[-1;1] кесіндісінде функцияның үзіліссіздігі мен монотондылығынан hello_html_6dd47644.gifтің мәндерінің жиыны hello_html_44c78790.gif кесіндісі болып табылады.

Ал hello_html_39b6f98e.gif функциясын төмендегідей анықтауға болады. Синустың негізгі тармағы деп hello_html_f939575.gif кері функцияны атаймызда, пайда болған қисықты hello_html_m4c501e25.gif түзуіне қарағанда симметриялы бейнелейміз де, бүкіл hello_html_md4ef87f.gif сан осіне hello_html_a3063db.gifпериодты жалғастырамыз. Осыған ұқсас hello_html_m5cca13d6.gif функциясыда енгізіледі, тек ғана негізгі тармақты Оу осіне қарағанда симметриялы бейнелеп hello_html_a3063db.gifпериодты жалғастырсақ (созсақ) жеткілікті.

Тригонометрия курсындағы негізгі қатынас hello_html_m972a4d3.gif бірлік шеңбердің координаталары hello_html_ma360d6c.gif екенін ескерсек hello_html_6abde384.gif теңдеуінен бірден шығатынын көреміз.

Енді hello_html_m6abf82eb.gif функцияларымен байланысты мысалға тоқталайық.

1 мысал. hello_html_79c0a1d.gif

Шешуі.
hello_html_73329035.gif

дәлелдеген қатынастан I тамаша шек hello_html_66765ce7.gif шығатыны көрініп тұр.















Автор
Дата добавления 15.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров423
Номер материала ДВ-261315
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх