Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ ЕСЕПТЕР. ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ ЕСЕПТЕР. ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.

библиотека
материалов


КЕРІ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ ФУНКЦИЯЛАРМЕН БАЙЛАНЫСТЫ ЕСЕПТЕР. ШЕШУ ӘДІСТЕРІ.


Кері тригонометриялық функциялармен байланысты есептер әдетте оқушыларға жеткілікті дәрежеде қиындықтар туғызады. Себебі, қолданыстағы оқу құралдары мен бағдарламаларда ондай есептерге жеткілікті түрде көңіл бөлінбейді, анықтамаларынан кейін белгілі тепе-теңдіктерді келтіріп, функциялардың мәндерін табуға мысалдар келтірумен шектеледі, ал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу тәсілдері туралы мағлұматтар жоқтың қасында. Сол себепті, ондай есептерді қалай шешілетініне байланысты «табиғаттары» әртүрлі бірнеше мысалдардың шығару жолдарын келтіріп отырмыз. Негізінен, осы функциялардан пайда болған есептер көбінесе стандартты емес есептер класына жататыны анық. [1]

Кейінгі жылдары оқушыларды ҰБТ-ға даярлауға көбірек назар бөлетіндіктен, оларды стандарттық, трафареттік есептерді шығарумен шектейді. Көп жағдайда есептің шартына терең үңіліп, жеткілікті талқылау жасамай, алдыңғы есептерге ұқсас шешуге тырысады.

Біздің айтайық дегеніміз оқушылардың ой-өрісінің дұрыс дамып жетілуі үшін стандартты емес есептерді шешуге баулып, олардың қабілетін жандандыру болып табылады. Осындай есептерді шығару кезінде оқушылардың математикалық мәдениеті артып, логикалық даму жолына өз ықпалын тигізетініне ешбір күмәніміз жоқ, сол кезде ғана еңбегіміздің нәтижесі оң болатынына кәміл сенеміз. Осы мақалада әртүрлі типті есептердің шешу жолдарын келтіреміз, ал анықтамалар мен негізгі қатынастар белгілі деп санаймыз.

  1. Алгебралық теңдеуге айналдырып шешу (айнымалыны ауыстыру).

Кейбір кері тригонометриялық функциялардан (КТФ) жасалған теңдеулер мен теңсіздіктерді қолайлы ауыстырма енгізіп, алгебралық түрге айналдыруға болады. Тек қана КТФ шектелгендігіне байланысты жаңа айнымалыға қойылатын табиғи шарттарды естен шығармасақ болғаны.

1- мысал. hello_html_m3ac67253.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: Берілген теңдеу hello_html_39b0ffd5.gif теңдеуіне эквивалентті, онда hello_html_m6b2cd8c9.gif hello_html_m637aea8e.gif деп белгілесек, hello_html_344467c4.gif hello_html_m33e5798a.gif hello_html_4cc9849.gif. hello_html_18188e12.gif

Сондықтан a) hello_html_1d50991f.gif b) hello_html_m6ac884a8.gif.

Жауабы: hello_html_498ff4b.gif.

2-мысал. hello_html_m1d32d9a4.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі: hello_html_m74b16f53.gifдесек, hello_html_6ad4f4dd.gif Онда hello_html_m366addbe.gif немесе hello_html_m34bd0d7f.gif. Ал hello_html_m21d8955.gif ескеріп, hello_html_m4114f2b3.gifқос теңсіздіктерін аламыз. hello_html_m5ddabd7e.gif

Жауабы: hello_html_m1183667e.gif.

3-мысал. hello_html_m17c8aa47.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: Теңдеу hello_html_44bf24b3.gif тепе-теңдігіне арналған стандартты мысал болып табылады. hello_html_m637aea8e.gif , hello_html_40ee9cae.gif деп белгілесек, онда жоғарыдағы қатынасты ескеріп hello_html_d986ca4.gif. hello_html_32cd27cb.gifбөгде түбір. Сонымен , thello_html_1d66d6b3.gif , онда hello_html_m7d66b5a9.gif , hello_html_51f55669.gif

Жауабы: hello_html_2063b362.gif

Осындай әдіспен шығарылған теңдеулерге тексеру жүргізбеуге де болады, себебі есептің шығару жолынан қосымша шешім пайда болуы мүмкін емес.

  1. Аттас КТФ арқылы жасалған теңдеулер мен теңсіздіктер.

Аттас КТФ-дан тұратын теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкен кезде көбінесе КТФ-ның монотондық қасиетін басшылыққа алады. Өздерінің анықталу облыстарында hello_html_4853545f.gifөседі де, ал hello_html_m6a0093d9.gif пен hello_html_m114704d8.gif кемиді. Сол себепті төмендегі мәндес көшу қатынастарына келеміз:

hello_html_m1dea7e6d.gifhello_html_m7de54fba.gifhello_html_43c4d8a.gifнемесе hello_html_306c087.gif

hello_html_11852162.gif

hello_html_m68c15e69.gifhello_html_m7de54fba.giffhello_html_122e3658.gif

Дәл осылайша басқа да КТФ-тар үшін эквивалентті қатынастар орын алады.

а) теңдеуінде қай жүйені шешу қолайлы екендігі тек қана hello_html_m2c647fd2.gif теңсіздігінің қарапайым шешілуіне тікелей байланысты.

1-мысал. hello_html_36aad5fd.gif.

Шешуі: hello_html_1a873016.gif теңдігінен төмендегі эквивалентті түрлендірулер орын алады: hello_html_683a359f.gif hello_html_m6aa4ee50.gif hello_html_558a9dc9.gif hello_html_1f7c2b51.gifhello_html_413852e4.gif

Жауабы: hello_html_894deff.gif.

2-мысал. hello_html_69bf4a94.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі: Берілген теңсіздік hello_html_m79db67c1.gif қатынасына мәндес,

hello_html_m77186467.gifнемесе hello_html_7fd99a8d.gif.

Жауабы: (hello_html_m74aca.gif

3-мысал. hello_html_50ca5065.gifпараметрлі теңдеуді шешейік.

Шешуі: Берілген теңдеуден hello_html_m1fe5395f.gif қатынасы шығады. Олай болса

hello_html_3db2e7c0.gif

Екі жағдайға тоқталайық.

  1. hello_html_46f754ad.gifОнда жүйеден hello_html_m64f0a28.gif

  2. hello_html_1d5f9f40.gifЖүйенің квадрат теңдеуінен hello_html_m3b7bf104.gif аламыз.

hello_html_1e286312.gifЕгер hello_html_m18b4d721.gif Ал егер hello_html_1e0b474a.gif теңдеу әртүрлі екі түбірге ие болады.

Жауабы: егер hello_html_258a7ab6.gif hello_html_2e9033d0.gif егерhello_html_7e19f0e1.gif

параметр hello_html_m55d0f644.gifның басқа мәндерінде шешімі жоқ.

  1. Әр аттас КТФ арқылы жасалған теңдеулер мен теңсіздіктер.

Теңдеулер мен теңсіздіктердің екі жағында әртүрлі КТФhello_html_m5c062083.gifлар болса, белгілі тригонометриялық тепеhello_html_m5c062083.gifтеңдікті қолдануға болады. Осындай типтес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде түрлендірудің мәндестігіне ешқандай көңіл бөлмей, теңдеудің салдарына көшіп, содан кейін түбірлерге тексеру жасасақ жеткілікті.

Мысал үшін, hello_html_m4c183621.gifтеңдеуінің шешімі болсын. hello_html_m49a388d9.gifдеп белгілеу енгізейік. Онда hello_html_4dd47517.gif

hello_html_3702f5c0.gif.

Сондықтан hello_html_733c0d53.gif. (1)

Осыған ұқсас тұжырымнан келесі қатынастарға келеміз:

hello_html_m6576c65a.gifhello_html_4e50cbea.gif(2)

hello_html_m49ecd59e.gifформуласы қолданылған) ;

hello_html_m47e7ea52.gifhello_html_78093829.gif, (3)

(hello_html_ma532b21.gif қатынасынан);

hello_html_2f35de7a.gif(4)

hello_html_m2fb1623d.gif(5)

hello_html_m78da6e75.gifhello_html_3309954c.gifhello_html_45d1b3c4.gif(6)

Ескерту. Әрбір (1)-(4) теңдеулерінің түбірі болып бір уақытта hello_html_m35921796.gif

hello_html_6db973c7.gifорын алатын hello_html_69b83015.gif саны табылады. Себебі, қарсы жағдайда қатынастың екі бөлігінің мәндерінің жиыны қиылыспайды.

1-мысал. hello_html_m2eddae1f.gifтеңдеуін шешейік.

Шешуі: (1) теңдіктен hello_html_m30af4a44.gif hello_html_43d79fc3.gif

hello_html_11d05af6.gif. hello_html_2b92f0a8.gif түбірі бөгде.

Жауабы: hello_html_4ec647d4.gif

2-мысал. hello_html_1918cdcd.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: (2) теңдіктен hello_html_m6347ffd5.gifhello_html_m4304e76f.gifhello_html_7a90949a.gif аламыз. Бұдан hello_html_1032b387.gif hello_html_m1a816559.gif шығады. hello_html_m49805906.gifбөгде түбір болып табылады.

Жауабы: hello_html_7a90949a.gif

3-мысал. hello_html_m4174de92.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі:hello_html_46781ec6.gif функциясын енгізіп hello_html_m79a7e7eb.gif теңсіздігін шешу үшін интервалдар әдісін қолданайық.

Алдымен hello_html_5a44a6b1.gifфункциясының анықталу облысы hello_html_m4b2eed7c.gif тауып алайық, кері функциялардың анықтамаларынан hello_html_m3a48c2d6.gif

hello_html_4ad2a75a.gif=hello_html_4b3fd5df.gif Енді hello_html_m5decc691.gifтің нөлдерін анықтайық.

Ол үшін hello_html_m6b636c22.gif теңдеуін шығарамыз. hello_html_6456e45c.gif hello_html_m26431687.gif hello_html_7b535ce.gifбөгде түбір, себебі hello_html_m2f90af51.gif

hello_html_fca8a11.gifhello_html_f52308a.gifболғандықтан интервал әдісінен hello_html_m10509b1a.gif орынды болатынын көреміз.

Жауабы:hello_html_m2050a6b1.gif.

Ескерту: Интервал әдісіне жүгінбей hello_html_m6a9189f3.gif анықталу облысында hello_html_m19a13a3f.gif ал hello_html_4f530326.gif hello_html_4f158ac3.gif болатынын ескеріп берілген теңсіздіктің шешімі hello_html_m2050a6b1.gifкесіндісі екеніне көз жеткізуге болады. Дегенмен, интервал әдісі әмбебап, функцияның монотондық қасиеті болмаған жағдайына да қолдануға болады.

  1. Теңдеудің екі жағынан тригонометриялық функцияны алу тәсілі.

Теңдеудің екі жағынан тригонометриялық функцияны алғанда берілген теңдеудің салдары шығады. Бірақ бұл амал қауіпті, себебі ол кезде теңдеудің шешімін алуымызда, жоғалтуымызда мүмкін. Біріншіден, әртүрлі монотондық облыста жатқан әртүрлі аргументтердің тригонометриялық функциясының мәні бірдей болуы мүмкін. Ал екінші жағынан, жаңадан пайда болған теңдеудің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ) бастапқы теңдеудің ММЖ-на қарағанда тар немесе кең болуы мүмкін.

1-мысал. hello_html_2b2ba731.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: hello_html_m60b168ef.gif hello_html_m219acc6c.gif

hello_html_m3323ed8d.gifhello_html_m664cd468.gifhello_html_m70dd7fc1.gifhello_html_31fcf916.gif

hello_html_e456269.gif; Тексеруден hello_html_m775895ac.gif бөгде түбір болатынын көреміз.

Жауабы:hello_html_2ceccf1d.gif

2-мысал. hello_html_m49782cc0.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі:hello_html_m58c71142.gif

hello_html_m2e35d462.gifhello_html_m53aa040.gifболғандықтан hello_html_3e021a91.gif

Енді бөгде түбір болмайтынына көз жеткізейік. Расында да солай, себебі анықтама бойынша hello_html_m2f25b12a.gif ал hello_html_m34ccde01.gif теңсіздігінен берілген теңдеудің екі жағыда синус функциясының монотондық (өспелі) облысында жататынын көреміз.

Жауабы: hello_html_3213febb.gif

  1. Кері тригонометриялық функциялардың монотондық және шектелгендік қасиеттерін қолдану тәсілі.

Қайсыбір теңдеулер мен теңсіздіктерді шешкенде (әрине КТФ арқылы жасалған) тек қана шектелгендігі мен монотондылығына сүйеніп шығарылатын есептер бар. Ондай кезде келесі теоремаларды басшылыққа алады.

Теорема 1. Егер hello_html_5a44a6b1.gifмонотонды hello_html_2bacd651.gif онда hello_html_m5dbe98cc.gif

теңдеуінің бірден артық шешімі жоқ.

Теорема 2. Егер hello_html_5a44a6b1.gif– өспелі, ал hello_html_m6bee975b.gif кемімелі функциялар болса, онда hello_html_605616f.gif теңдеуінің бірден артық шешімі болмайды.

Теорема 3. Егер hello_html_ed459f1.gifонда hello_html_605616f.gif теңдеуіhello_html_11852162.gif hello_html_2d122c3.gifжүйесіне эквивалентті. ( 3 теореманы қолданып шығаратын әдісті кейде мажорант немесе min-max әдісі деп те айтады ).

1-мысал. hello_html_m6e830ffa.gifтеңдеуін шешейік.

Шешуі:hello_html_m37deb6fe.gifберілген теңдеудің шешімі. 2 теорема бойынша – ол жалғыз шешім.

Жауабы:hello_html_m34becb7c.gif.

2-мысал. hello_html_7549ffb0.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: hello_html_m6cdf161.gif деп белгілейік. Онда теңдеу hello_html_m2d6b1531.gif

түріне енеді. hello_html_m3858fe3b.gif hello_html_698b03cb.gif 1-теорема бойынша hello_html_m2d6b1531.gif теңдеудің бірден артық түбірі болмайды. hello_html_m53f07ce3.gif осы теңдеудің түбірі екені анық. Сол себепті hello_html_821ef75.gif hello_html_771b1a1d.gif.

Жауабы: hello_html_26ae8a00.gif.

3-мысал. hello_html_mc985eec.gif теңдеуін шешейік.

Шешуі: hello_html_2570d461.gif теңдеудің сол жағы hello_html_315f1bec.gifден артпайды. Теңдік таңбасы hello_html_15a5fef0.gif, егер әрбір қосылғыш hello_html_37baf17c.gifге тең болса. Сонымен, теңдеу hello_html_m1e1cabf1.gif

hello_html_m2d67654.gifhello_html_m3aa2f27.gifжүйесіне мәндес.

hello_html_6a471cfb.gifhello_html_m3c8efd54.gifhello_html_432bca1c.gif=hello_html_m418a9178.gif hello_html_3381eb56.gif

Жауабы: (hello_html_692fbb30.gif), (-hello_html_4b3fd491.gif

4-мысал. hello_html_m19c24c44.gif теңсіздігін шешейік.

Шешуі: Сол жағы hello_html_m2d172179.gif кесіндісінде кемімелі hello_html_m40326a96.gif функциясының анықтамасынан бір уақытта hello_html_c910536.gif

hello_html_me48d3db.gif. hello_html_5c1b1a89.gif теңдеуі 1-теорема бойынша жалғыз түбірге ие болады, ол мән hello_html_m2821a595.gif; hello_html_9e29dfe.gif hello_html_m15a63e3e.gif.

Жауабы: hello_html_m6f1a4b31.gif.

  1. Тригонометриялық ауыстырма.

КТФ арқылы жасалған трансценттік теңдеуді тригонометриялық ауыстырма арқылы тригонометриялық теңдеуге айналдырып, стандартты емес әдіске жататын теңдеуге келтіріп шешуге болады. Әдетте алгебралық өрнектер белгілі тригонометриялық формулаларға ұқсас болып келсе, ондай ауыстырмалар нәтижелі болып табылады. Кең тараған түріне төмендегі өрнектер жатады:

hello_html_m2fc9296b.gif

hello_html_m115e10ae.gifОсы әдісті келесі жалғыз мысал арқылы түсіндірейік.

Мысал: hello_html_6a5e3bc7.gifтеңдеуін шешейік.

Шешуі: hello_html_6ff3a04e.gif түрінде жазсақ, екі жағыда hello_html_461f4064.gif кесіндісінде жатқан бұрыш, онда екі жағынан косинусты алсақ (монотонды облысы) қосымша түбір пайда болмайды, сол себепті hello_html_m2ec23bfd.gif

hello_html_2c2d65ed.gif

Теңдеуді шешу үшін hello_html_59df628a.gif ауыстырмасын қолданамыз, онда hello_html_38c30c4f.gif,ал hello_html_c226c96.gif болғандықтан hello_html_m177586db.gif тригонометриялық теңдеуіне келеміз. hello_html_m6e83144c.gif

hello_html_b6397cf.gifшешімдерін аламыз. Осылардың ішінде hello_html_44c78790.gif сегментінде тек

hello_html_1db2aa00.gif; hello_html_2265cbd4.gifнемесе hello_html_m488f0270.gif hello_html_5f8b6dec.gifтүбірлері жатады. Енді қажетті тексерулерді жүргізейік (ол үшін бастапқы теңдеуге апарып қоямыз).

  1. hello_html_m522ad337.gifhello_html_m787963cf.gif

  2. hello_html_51d5d15f.gif

=hello_html_m7a4a7104.gif

  1. hello_html_m26def12.gif

Жауабы: hello_html_m2b00cc7f.gif

Ең соңында функциялардың бар болу облыстарын қолданып үш айнымалыдан тәуелді функциялармен иррационал функциялардың комбинациясынан жасалған күрделі теңдеудің шешімін келтірейік.

hello_html_m2b26b371.gif

hello_html_m42c4cfe6.gif.

Алдымен берілген теңдеуге енетін hello_html_m4fc9376c.gif функциясының анықталу облысын анықтайық. Ол hello_html_m2f51cf76.gif жүйесі арқылы табылады, оның жалғыз шешімі hello_html_m1c7b9ae5.gif интервал әдісін қолданып, қарапайым теңсіздіктерден аламыз.

Сонымен, hello_html_m655f5c03.gifүштігі берілген теңдеудің шешімі екен, соған апарып қойсақ hello_html_5a877575.gifтер үшін hello_html_40a90484.gif теңдеуіне келеміз. Ал

hello_html_24dba991.gifегер hello_html_5d0b5369.gif болатынын ескерсек, соңғы теңдеу hello_html_m4d16b283.gifтүріндегі теңдеуге айналады. Анықтама бойынша hello_html_m6704df76.gif hello_html_12811dc4.gif hello_html_m2ef45a2d.gif және hello_html_m46df4bcd.gif hello_html_7fda85a1.gif

hello_html_208d1ad4.gifолай болса hello_html_7d12a18a.gif жүйесін аламыз,одан hello_html_m5c49428a.gif hello_html_7355f82e.gif

шығады. Сонымен, берілген теңдеудің шешімі hello_html_m6b19c94e.gif hello_html_7355f82e.gif шексіз жиыны табылатынын көреміз.

Ескерту. Стандартты әдіспен шешілмейтін теңдеулерде жауаптары ақырлы немесе шексіз жиын бола беретінін көреміз. Бұл қасиет теңсіздіктер үшін де орын ала беретін құбылыс, белгісіздердің саны артық болса да. Мысал үшін,

hello_html_m217c78b.gifтеңсіздігінің hello_html_205d8555.gif жалғыз шешімі де, ал hello_html_7abd69c.gifшешіміhello_html_7ec563fe.gif саналатын жиын.

Сонымен, біз бірнеше есептердің шығару жолдарын келтірдік, әрине, кері тригонометриялық функциялар арқылы жасалған әртүрлі типті есептер жиынын қамту ешқашан да мүмкін емес. Айтайық дегеніміз, тек қана күрделілігі жоғары, стандартты емес есептерді шығару кезінде оқушылардың зерттеушілік қасиеті дамып, әр деңгейдегі математика пәні бойынша олимпиадаға қатысуға қызығушылығын тудыратыны сөзсіз.параметрден тәуелді немесе жүйелерден тұратын жаттығулар мүлде қарастырылған жоқ. Оларды келешектің еншісіне қалдырдық. КТФ - ға арналған талай оқу құралдары бар, негізгілері әдебиеттер тізімінде келітірілген.


ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ:


  1. Олехник С.Н. и др. Нестандартные методы решения. Уравнения и неравенства. Справочник. Москва, МГУ, 1997,-219 стр.

  2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Обратные тригонометрические функции. 10-11 классы. Изд. «Экзамен», Москва,2012,-221 с.

  3. Гельфанд И.М. и др. Тригонометрия. МЦНМО, АО «Московские учебники», М., 2003-200с,

  4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач. М., Книж.дом «ЛИБРОКОМ», 2009,-272 стр.

  5. Егерев В.К. и др. 4х100 задач., Москва, Linka-Press, 1993,-262 с.

  6. Арлазаров В.В. и др. Лекции по математике для физико-математических школ, часть II, Уч. пособие.- М., Изд. ЛКИ, 2008.-264с.




Автор
Дата добавления 08.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров720
Номер материала ДВ-241157
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх