Кейс № 2 к конспекту учебного занятия по дисциплине МАТЕМАТИКА. Тема "Тригонометрические неравенства"

2 группа

Кейс «Простейшие тригонометрические неравенства»

       I.            ЭТАП РАБОТЫ     (время выполнения 10 мин.)

 Теоретический материал и задания.

Решение тригонометрических неравенств стоит в одном ряду с такими важными темами, как решение числовых неравенств и решение систем неравенств с одной переменной. Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место. Еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо геометрия - царица математики, а тригонометрия - царица геометрии. Поэтому и мы, не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов нашего курса, да и всей математической науки в целом.

Что же необходимо знать студенту, чтобы приступить к изучению тригонометрических неравенств?

·         Естественно, вы хорошо должны усвоить тему тригонометрические функции. В частности должны знать понятия sin x, cos x, tg x  и  ctg x;

·         Уметь строить простейшие тригонометрические функции вида y = sin x, y = cos x, y = tg x  и  y = ctg x и знать их свойства;

·         Уметь оперировать сложными тригонометрическими конструкциями при преобразовании тригонометрических выражений на основе тригонометрических тождеств;

·         В совершенстве должны уметь решать простейшие тригонометрические уравнения и изображать эти решения на единичной окружности.

И только теперь, хорошо освоив все предыдущие разделы, Вы  подойдете к нашей теме, а именно решение тригонометрических неравенств. Естественно изучение решений тригонометрических неравенств начнется с самых простейших:

  или  ,  ; , ; , ;  

У многих студентов изучение данного материала вызывает затруднения, поэтому вашему вниманию будут предоставлен  простой и удобный, а главное наглядный инструментарий, позволяющий легко решать такие простейшие тригонометрические неравенства. На самом деле их даже два, но прежде чем приступить к рассмотрению данных способов решения тригонометрических неравенств нам необходимо пройти все подготовительные этапы и вспомнить основной материал, необходимый для решения неравенств.

Задание 1	Вычислите: 1.      П – =               4. П + =                   7. 2П – = 2.      П – =              5.  П + =                   8. 2П – = 3.      П – =              6.  П + =                   9. 2П – =
Задание 2	1.      Начертите единичную окружность и обозначьте  ось косинуса.
	2.      Отметим граничные углы на круге и их значения на осях.
	3.      Обозначьте значения косинуса угла на оси косинуса, который равен
Задание 3	Запишите главные дуги, косинуса которых равен
Задание 4	Показать на тригонометрическом круге углы, которые являются решением уравнения: a)      b)

    II.            ЭТАП РАБОТЫ     (время выполнения 10 мин.)

1 способ решения тригонометрического неравенства.

При решении тригонометрических неравенств вида , где  - одна из тригонометрических функций, удобно использовать графический способ для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Разберём как решать такие неравенства.

I.    Решим неравенство  графическим способом для .

План работы

1.     Построим график функции .

2.     Построим графика функции .

3.     Найти точки пересечения графиков данных функций на отрезке :

4.     Найдем отрезок оси ОХ на интервале , на котором график функции  лежит выше графика функции  .

5.     Запишем решение неравенства с учетом периодичности функции  .

Замечание:

1)   Если , то данное неравенство решений не имеет.

2)   Если то решением неравенства является любое действительное число, т. е. .

II.  Решим неравенство  графическим способом для .

План работы

1.     Построим график функции .

2.     Построим графика функции .

3.     Найти точки пересечения графиков данных функций на отрезке :

4.     Найдем отрезок оси ОХ на интервале , на котором график функции  лежит ниже графика функции  .

5.     Запишем решение неравенства с учетом периодичности функции  .

Замечание:

1)   Если , то данное неравенство решений не имеет.

2)   Если то решением неравенства является любое действительное число, т. е. .

 III.            Опираясь на рассмотренный теоретический материал решите неравенство    графическим способом.

 III.            ЭТАП РАБОТЫ     (время выполнения 10 мин.)

2 способ решения тригонометрического неравенства.

                               I.            При решении тригонометрических неравенств удобно использовать тригонометрическую окружность для того, чтобы наиболее наглядно представить решения неравенства и записать ответ. Подробнее с данным способом можно ознакомиться просмотрев презентацию: Приложение № 1

                             II.            Опираясь на рассмотренный теоретический материал решите неравенство    используя тригонометрическую окружность.

 IV.            ЭТАП РАБОТЫ     (время выполнения 10 мин.)

Закрепление изученного материала

      Решите  следующие неравенства наиболее удобным для вас способом:

1 микрогруппа

2.

Ответы к 1 этапу работы

Задание 1  

                                       

                                      

                                   

Задание 2-1 

Ось косинуса

                   

Задание 2-2

     

Задание 2-3

                                 

Задание 3

1.     

2.        

3.        

4.  

Задание 4

а) cos x = 1/2                                                    б) cos x = -

                

Ответы 2 этапа  работы

 

                     

• 1 слайд

  Решение тригонометрических
  неравенств
  

• 2 слайд

  Решение тригонометрических неравенств-2
  

Ответы к 3 этапу работы

 

Ответ:   , n

• 1 слайд

  Решение тригонометрических неравенств вида
  Cos t > a
  Cos t < a
  

• 2 слайд

  -t1
  t1
  Неравенство cos t > a
  0
  x
  y
  1. Отметить на оси абсцисс интервал x > a
  2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу.
  3. Записать числовые значения граничных точек дуги.
  4. Записать общее решение неравенства.
  a
  -1
  1
  

• 3 слайд

  a
  2π-t1
  t1
  Неравенство cost < a
  0
  x
  y
  1. Отметить на оси абсцисс интервал x < a.
  2. Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу.
  3. Записать числовые значения граничных точек дуги.
  4. Записать общее решение неравенства.
  -1
  1
  

Краткое описание документа:

Кейс № 2 используется при проведении учебного занятия по математике при изучении темы "Решение простейших тригонометрических неравенств". Он содержит следующий материал:

1) Теоретический материал и задания;

2) Описание графического способа решения простейших тригонометрических неравенств;

3) Описание способа решения простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности;

4) Задания для закрепления изученного материала;

2) Ответы к 1, 2, 3, 4 этапам работы для самопроверки;

3) Приложение № 1 в виде презентации.