Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Кейс по теме "Решение тригонометрических уравнений" (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Кейс по теме "Решение тригонометрических уравнений" (10 класс)

библиотека
материалов

Кейс по теме «Решение тригонометрических уравнений»

По итогам кейса обучающиеся должны освоить следующие общие компетенции:

ОК 1. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 2. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 3. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 4. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Кейс рассчитан на изучение темы «Решение тригонометрических задач».

Первый урок начинается с того, что каждый обучающийся получает набор учебно-методических материалов, который представляет собой перечень теоретических и практических вопросов, которые будут изучаться в следующей теме. Указывается литература, которой может пользоваться обучающийся. Студентам сообщается, сколько часов отводится на изучение данной темы, по истечении которых будет проведена диагностика знаний по теме.

Обращается внимание обучающихся на различные уровни сложности практических заданий: 1 – материал для устного счета, обязательный уровень подготовки, который может быть оценен только удовлетворительной оценкой, 2 – задания для хорошей и от­личной оценки, сложность 3 – творческие задания, требующие применения логического и нестандартного мышления. Студентам предлагается дома просмотреть весь материал по указанной теме. Это позволит им увидеть его место в учебных пособиях, познакомиться с объемом предложенного материала, рассчитать свои силы и время.

На предпоследнем занятии проводится обобщение изученной темы преподавателем, проводится консультация по вопросам, вызвавшим затруднения. Консультировать не обязательно преподавателю – это может делать и любой из обучающихся, у которого предложенный вопрос не вызвал затруднений. Студентам предлагается провести самодиагностику, проставив оценки за каждый этап изученной темы в оценочный лист. Оценочный лист сдается преподавателю для диагностики уровня подготовки обучающихся группы и корректировки работы преподавателя на случай, если затруднения есть у достаточно большого количества обучающихся.

На следующем занятии проводится контроль знаний обучающихся по данной теме. Контроль можно проводить в любой форме, но обязательно предложение задач первого, второго и третьего уровня сложности. Оценку за контрольную работу выставляет уже преподаватель. В идеале – оценка знаний изученной темы обучающимся и преподавателем должны совпадать.

  1. Представление кейса

Заканчивая наш колледж, пять обучающихся решили продолжить свое обучение в ВУЗе. Чтобы попасть на бюджетные места заочного отделения Губкинского института (филиала) Университета машиностроения по специальности «Горные машины и оборудование» им необходимо успешно сдать ЕГЭ по математике, а точнее, правильно решить всю часть В и задание С1. Наши студенты хорошо учились и с легкостью справляются с частью В, а вот С1 вызывает у них трудности.
Сегодня мы начинаем изучение новой темы «Решение тригонометрических уравнений». Совместными усилиями мы разработаем рекомендации по решению задач С1, которые помогут нашим выпускникам удачно сдать ЕГЭ.

  1. Состав кейса

- Теоремы равносильности при решении тригонометрических уравнений (приложение 1)
- Практические работы (приложение 2)
- Примеры решения тригонометрических уравнений (приложение 3)
- Набор заданий (приложение 4)
- Оценочный лист (приложение 5)



























Приложение 1.

Теоремы равносильности при решении тригонометрических уравнений

При решении тригонометрических уравнений необходимо чётко соблюдать теоремы равносильности.

1. Если к обеим частям уравнения hello_html_39b05607.gif прибавить выражение hello_html_33130730.gif, не теряющее смысл в области определения, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения hello_html_39b05607.gif умножить на выражение hello_html_33130730.gif, отличное от нуля и не теряющего смысл в области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

3. Преобразования левой и правой частей уравнения не должны изменять области определения уравнения.

4. Если при решении произошло расширение области определения уравнения в результате некоторых преобразований (освобождение от знаменателей, сокращение дроби, возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень, при использовании тригонометрических тождеств, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения), то возможно появление посторонних корней. В этом случае необходима проверка найденных решений.

Примеры.

1) hello_html_2c6038f6.gif

2) hello_html_734db6cb.gif, hello_html_175ec851.gif.

Применение формулы hello_html_m55e65954.gif расширяет область определения на множество hello_html_m29fd79fb.gif. Исходное уравнение равносильно системе hello_html_m45aee2fb.gif3) hello_html_e0d59ff.gif. Пусть hello_html_md377c9f.gif. hello_html_6bfab606.gif.hello_html_m64a71847.gif.

Если при решении произошло сужение области определения, то возможна потеря решений. Необходимо проверить на какое множество произошло сужение области определения и нет ли среди этого множества корней уравнения. Использование тождества hello_html_m482db839.gif, hello_html_75c5bc6e.gif,

hello_html_144afa5.gifи др. «справа налево» приводит к расширению области определения, а, значит, может привести к появлению посторонних корней; использование этих тождеств «слева направо» ведёт к сужению области определения уравнения, что может привести к потере корней.

Примеры.

1) hello_html_10a44ead.gif. hello_html_3536b3d4.gif. hello_html_m60c2439f.gif

Замена выражения hello_html_22548c2b.gif выражением hello_html_56a8e99c.gif, выражения hello_html_5e75a240.gif выражением hello_html_1ed9569d.gif сужает область определения исходного уравнения. Из ОДЗ «выпадают» значения hello_html_36dc9c2b.gif.

Подставкой убеждаемся, что hello_html_36dc9c2b.gif также являются решениями данного уравнения

2) hello_html_m3303620e.gif. hello_html_m3303620e.gif. hello_html_6d22da3a.gif.hello_html_m2f65d44e.gif

Применение формулы hello_html_m56415798.gif сужает область определения уравнения на hello_html_m3f0f3d25.gif. Проверка показывает, что hello_html_m3f0f3d25.gif - корни исходного уравнения.

3) hello_html_40f34bb3.gif. Применение формул hello_html_m30e16f92.gif

сужает область определения уравнения и приводит к потере корней вида hello_html_m29fd79fb.gif. Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности:hello_html_m7e76d106.gif

















































Приложение 2.

Практическая работа по теме «РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Цель: создать содержательные и организационные условия, способствующие формированию общих компетенций через включение в самостоятельную форму работы.
Задачи:
Обучающий компонент:
закрепить алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений.
Развивающий компонент: обеспечить развитие у обучающихся основ культуры самоуправления учебной деятельность.
Воспитывающий компонент: содействовать формированию компетентностной культуры будущего рабочего в процессе творческого самовыражения, саморегуляции, рефлексии.

Уравнения вида: hello_html_m5d40df7a.gif, hello_html_md377c9f.gif, hello_html_m1c512f89.gif, hello_html_55257bf6.gif называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Для решения простейших тригонометрических уравнений применяем формулы:

hello_html_m5d40df7a.gif, hello_html_755a0d6b.gif

hello_html_7cccecae.gif, hello_html_d5e39d.gif при hello_html_m24ccf53b.gif
hello_html_m1cbbac3d.gif при hello_html_2713f089.gif.

Частные случаи:

при hello_html_m588fe613.gifhello_html_6706b937.gif, hello_html_d5e39d.gif;

при hello_html_516b0bce.gifhello_html_m1e5466a0.gif, hello_html_d5e39d.gif;

при hello_html_ee8ad04.gifhello_html_5799bf49.gif, hello_html_d5e39d.gif.

hello_html_md377c9f.gif, hello_html_755a0d6b.gif

hello_html_m2d61eb4.gif, hello_html_15aebc46.gif, при hello_html_m2757e8fe.gif,
hello_html_m76061491.gif, при hello_html_2713f089.gif.

Частные случаи:

при hello_html_m588fe613.gifhello_html_13a1cbb3.gif, hello_html_15aebc46.gif;
при hello_html_ee8ad04.gifhello_html_390ff6d0.gif, hello_html_15aebc46.gif;

при hello_html_516b0bce.gifhello_html_m5338114d.gif, hello_html_15aebc46.gif.

hello_html_m1c512f89.gif

hello_html_m25a8200e.gif, hello_html_d5e39d.gif, при hello_html_m2757e8fe.gif
hello_html_m3c1ddc81.gif, при hello_html_2713f089.gif

hello_html_55257bf6.gif
hello_html_2a9e3065.gif, hello_html_15aebc46.gif, при hello_html_m2757e8fe.gif
hello_html_6d63f4e6.gif, hello_html_15aebc46.gif, при hello_html_2713f089.gif

Необходимо помнить: hello_html_m34e973cd.gif;

hello_html_m4f141ec4.gif;

hello_html_m1c4daa31.gif;
hello_html_m44e7877e.gif.

Рассмотрим примеры решения уравнений.

1. hello_html_1b7f0a6c.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_m2d61eb4.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Подставим в формулу hello_html_5a525d5b.gif, получим hello_html_m4fe2079c.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Найдем hello_html_5e1e016c.gif по таблице: hello_html_744f1a56.gif.

Записываем ответ: hello_html_m78330e67.gif, hello_html_15aebc46.gif.

2. hello_html_m67429869.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_731b0b62.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Подставим в формулу hello_html_5a525d5b.gif, получим hello_html_m3ce71c1c.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Найдем hello_html_5e1e016c.gif по таблице: hello_html_744f1a56.gif.

Записываем ответ: hello_html_2fac1e14.gif, hello_html_15aebc46.gif.

3. hello_html_m7432fe5d.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_m121b3492.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Подставляем в формулуhello_html_7fcb9691.gif, получаем hello_html_42bde87d.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Находим значение hello_html_1734c0a0.gif по таблице учебника.

Записываем ответ: hello_html_m6c76689.gif, hello_html_d5e39d.gif.

4. hello_html_41f862dc.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_5b9d479a.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Подставляем в формулу , получаем hello_html_47a73ab5.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Находим значение hello_html_1734c0a0.gif по таблице учебника, выполняем необходимые вычисления.

Записываем ответ: hello_html_mae151af.gif, hello_html_d5e39d.gif.

5. hello_html_m62c494af.gif

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_2d0ee039.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Подставляем hello_html_m588fe613.gif, получаем hello_html_7913f909.gif, hello_html_d5e39d.gif.

По таблице находим значение hello_html_4dd5a128.gif.

Записываем ответ: hello_html_m78917a7f.gif, hello_html_d5e39d.gif.

6. hello_html_36e9b204.gif

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_745a61bb.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Подставляем hello_html_m588fe613.gif, получаем hello_html_m422e300c.gif, hello_html_d5e39d.gif.

По таблице находим значение hello_html_4dd5a128.gif.

Записываем ответ: hello_html_21480a8b.gif, hello_html_d5e39d.gif.

7. hello_html_m1557a588.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_m7f8d1b7a.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Подставляем hello_html_m6bcbe68c.gif, получаемhello_html_1a6f0c7f.gif, hello_html_d5e39d.gif.

По таблице находим hello_html_5f3379e0.gif.

Записываем ответ: hello_html_210d3645.gif, hello_html_d5e39d.gif.

8. hello_html_m431049d4.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу hello_html_md8f4095.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Подставляем hello_html_m6bcbe68c.gif, получаемhello_html_m49c02315.gif, hello_html_d5e39d.gif.

По таблице находим hello_html_5f3379e0.gif, выполняем необходимые вычисления.

Записываем ответ: hello_html_m176c7156.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Решите самостоятельно уравнения:

1. hello_html_1771c1e2.gif; hello_html_m31088e04.gif; hello_html_228080a3.gif.

2. hello_html_16032f87.gif; hello_html_m47885883.gif; hello_html_4cc8e4f1.gif.

3. hello_html_46a57d19.gif; hello_html_1a4325f9.gif; hello_html_75048685.gif.

Практическая работа по теме «РЕШЕНИЕ ТРИГОНАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, СВОДЯЩИХСЯ К ПРОСТЕЙШИМ»

Цель: создать содержательные и организационные условия, способствующие формированию общих компетенций через включение в самостоятельную форму работы.
Задачи:
Обучающий компонент:
закрепить алгоритм решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простейшим.
Развивающий компонент: обеспечить развитие у обучающихся основ культуры самоуправления учебной деятельность.
Воспитывающий компонент: содействовать формированию компетентностной культуры будущего рабочего в процессе творческого самовыражения, саморегуляции, рефлексии.

Рассмотрим примеры решения уравнений.

1. hello_html_m520c7c36.gif.

Алгоритм решения:

Преобразуем уравнение: переносим в правую сторону, меняя знакhello_html_m60d30556.gif; поделим обе части уравнения на hello_html_1caef8ee.gif, получим hello_html_m1a8f8bc6.gif.

Решаем уравнение, используя формулу: hello_html_731b0b62.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Подставляем hello_html_m2772b758.gif, получаем: hello_html_m3a08a162.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Находим значение hello_html_1619ba77.gif и записываем ответ: hello_html_mbf4ed5c.gif, hello_html_15aebc46.gif.

2. hello_html_m7e1f8be8.gif.

Алгоритм решения:

Используем формулу: hello_html_13918733.gif, hello_html_15aebc46.gif, где hello_html_m11cd5ade.gif.

Подставляем в формулу: hello_html_m11cd5ade.gif, hello_html_7fcb9691.gif получаем: hello_html_2e18faca.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Находим значение hello_html_m623a527b.gif и подставляем в равенство, получаем hello_html_73c59169.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Умножаем обе части уравнения на 3 и записываем ответ: hello_html_3ee37dcd.gif, hello_html_d5e39d.gif.

3. hello_html_1a8b9726.gif.

Алгоритм решения:

Разделим части уравнения на hello_html_m980c3de.gif, получим hello_html_m6791bd67.gif.

Решаем уравнение, используя формулу hello_html_m4fba5a3f.gif, hello_html_d5e39d.gif, где hello_html_m3deccb90.gif.

Подставляем в формулу hello_html_m3deccb90.gif, hello_html_m6bcbe68c.gif, получим: hello_html_m6c667984.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Находим значение hello_html_mf11bbb9.gif: hello_html_1cdb09af.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Преобразуем полученное равенство: hello_html_m667a0225.gif переносим в правую часть, меняя знак на противоположный hello_html_mdf7f944.gif, hello_html_d5e39d.gif;

умножаем все равенство на 3,hello_html_3b66dd77.gif, hello_html_d5e39d.gif.

Записываем ответ: hello_html_3b66dd77.gif, hello_html_d5e39d.gif.

4. hello_html_6b94024c.gif.

Алгоритм решения:

Преобразуем уравнение, используя формулу hello_html_155866ec.gif, hello_html_m785e836a.gif, получим hello_html_1d861bdf.gif.

Решаем уравнение, используя формулу: hello_html_m53e92635.gif, hello_html_15aebc46.gif, где hello_html_581fd418.gif.

Подставляем вместо hello_html_581fd418.gif, hello_html_m2123e3f9.gif, получим: hello_html_m167baa17.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Находим значение hello_html_117a68cd.gif и подставляем в равенство hello_html_m4648376d.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Разделим обе части равенства на 2 и запишем ответ: hello_html_m7713b6d0.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Решите самостоятельно уравнения:

1. hello_html_3b29fe9e.gif; hello_html_m32bc193b.gif; hello_html_5864dc08.gif.

2. hello_html_4445240c.gif; hello_html_3023b410.gif; hello_html_m23773e8e.gif.

3. hello_html_75288b7e.gif; hello_html_m490a167a.gif; hello_html_55ce7e69.gif.

4. hello_html_m4cd70467.gif; hello_html_m69b824c9.gif.

Практическая работа по теме «РЕШЕНИЕ ТРИГОНАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВВЕДЕНИЯ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Цель: создать содержательные и организационные условия, способствующие формированию общих компетенций через включение в самостоятельную форму работы.
Задачи:
Обучающий компонент:
закрепить алгоритм решения тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.
Развивающий компонент: обеспечить развитие у обучающихся основ культуры самоуправления учебной деятельность.
Воспитывающий компонент: содействовать формированию компетентностной культуры будущего рабочего в процессе творческого самовыражения, саморегуляции, рефлексии.

Рассмотрим примеры решения уравнений.

1. hello_html_39cec4af.gif.

Алгоритм решения:

Введем новую переменную hello_html_m127e146b.gif, hello_html_m542b335a.gif., получаем квадратное уравнение hello_html_1ab9e3.gif.

Решим данное уравнение, используя формулыhello_html_1fb2c44d.gif, hello_html_38cc67ba.gif. hello_html_m50bfa8a5.gif; hello_html_4e742cbb.gif; hello_html_7567773e.gif; hello_html_m75af0188.gif.

Получившиеся корни hello_html_7567773e.gif и hello_html_m40ff2b49.gif удовлетворяют неравенству hello_html_m542b335a.gif. Получаем два простейших тригонометрических уравнения: hello_html_m2453f66f.gif и hello_html_586b0d1f.gif.

Решаем получившиеся уравнения, используя формулу hello_html_2e794d30.gif, hello_html_d5e39d.gif, hello_html_m2453f66f.gif, hello_html_m1031d7d1.gif, hello_html_d5e39d.gif;

hello_html_7f03b83.gif, hello_html_m855fa8c.gif, hello_html_m68e0033f.gif.

Записываем ответ: hello_html_m56b4332b.gif, hello_html_d5e39d.gif; hello_html_1cff9a11.gif, hello_html_m68e0033f.gif


2. hello_html_md1a9236.gif.


Алгоритм решения:

Перейдем к одной функции, используя формулу hello_html_2467299a.gif; hello_html_36903604.gif; hello_html_m40f7827b.gif; hello_html_m60b5509a.gif.

Введем новую переменную hello_html_5bce08e7.gif, hello_html_m542b335a.gif, получаем квадратное уравнение hello_html_m5b4c394f.gif.

Решаем данное уравнение: hello_html_74e7a115.gif; hello_html_m7fd48b88.gif; hello_html_m6cd706dd.gif; hello_html_19438961.gif. Корень hello_html_19438961.gif не удовлетворяет неравенству hello_html_m542b335a.gif.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение hello_html_m548eee5b.gif, используя формулу hello_html_731b0b62.gif, hello_html_15aebc46.gif, hello_html_2ad265c.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Записываем ответ: hello_html_2ad265c.gif, hello_html_15aebc46.gif.

3. hello_html_m175edfcd.gif.

Алгоритм решения:

Переходим к одной функции используя формулу hello_html_mce7c431.gif; hello_html_m7ac8b7c9.gif;

Приводим уравнение к общему знаменателю, учитывая, что hello_html_31462abd.gif отбрасываем знаменатель hello_html_244e6fec.gif; hello_html_m7bf6eed8.gif.

Переходим к новой переменной: hello_html_m20a407dd.gif, получаем уравнение hello_html_m7feca171.gif.

Решаем квадратное уравнение: hello_html_m655cef8c.gif; hello_html_28cf6bb5.gif; hello_html_m6f765f81.gif; hello_html_2c1bb202.gif.

Решаем получившиеся тригонометрические уравнения:

hello_html_m62c494af.gif, hello_html_m78917a7f.gif, hello_html_d5e39d.gif;

hello_html_m401302e5.gif, hello_html_53bfb555.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Записывает ответ: hello_html_m12cde08a.gif, hello_html_d5e39d.gif; hello_html_m52f83a17.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Решите самостоятельно уравнения:

1. hello_html_479a0209.gif; hello_html_m28fc364.gif; hello_html_7585fe67.gif.

2. hello_html_35b6ef08.gif; hello_html_m6bd6d702.gif; hello_html_m30cfb706.gif.

3. hello_html_m34893692.gif; hello_html_m6a654991.gif; hello_html_mb9e9726.gif.



















Практическая работа по теме «РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ ТРИГОНАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Цель: создать содержательные и организационные условия, способствующие формированию общих компетенций через включение в самостоятельную форму работы.
Задачи:
Обучающий компонент:
закрепить алгоритм решения однородных тригонометрических уравнений.
Развивающий компонент: обеспечить развитие у обучающихся основ культуры самоуправления учебной деятельность.
Воспитывающий компонент: содействовать формированию компетентностной культуры будущего рабочего в процессе творческого самовыражения, саморегуляции, рефлексии.

Рассмотрим примеры решения уравнений.

1. hello_html_m40d11b15.gif

Алгоритм решения:

hello_html_m45b9b339.gif, так как при hello_html_m6583b27c.gif должно выполняться равенство hello_html_9de9607.gif.

Следовательно, можно всё уравнение разделить на hello_html_23028039.gif, получаем: hello_html_19115f0b.gif.

Сократив, получим уравнение: hello_html_m324fa5a9.gif.

Так как hello_html_m2bee5231.gif, сделаем замену: hello_html_m779dfc64.gif.

Введём новую переменную hello_html_m20a407dd.gif, получим уравнение: hello_html_6da8ae5f.gif.

hello_html_m22ebef14.gif; hello_html_13e829a0.gif; hello_html_264982de.gif.

Решим простейшие тригонометрические уравнения:

hello_html_73281472.gif; hello_html_m62c494af.gif;

hello_html_m5fcc551c.gif, hello_html_d5e39d.gif. hello_html_mf7d6b9f.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Записываем ответ: hello_html_m3e5f8848.gif, hello_html_d5e39d.gif; hello_html_5fe7c0a6.gif, hello_html_15aebc46.gif.

2. hello_html_2e73a175.gif.

Алгоритм решения:

Преобразуем правую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество: hello_html_m16a46e93.gif. Получим уравнение: hello_html_60254d87.gif.

Преобразуем данное уравнение: hello_html_6c926308.gif.

Решаем полученное уравнение hello_html_623bd6a8.gif.

hello_html_m6583b27c.gif или hello_html_1d2bf108.gif.

hello_html_m1e5466a0.gif, hello_html_d5e39d.gif. При hello_html_m45b9b339.gifhello_html_7457e3dc.gif

hello_html_m65ba215c.gif.

hello_html_43e61540.gif, hello_html_15aebc46.gif.

4. Записываем ответ: hello_html_58b60f47.gif, hello_html_d5e39d.gif; hello_html_61f378f2.gif, hello_html_15aebc46.gif.

3. hello_html_6622bb6f.gif.

Алгоритм решения:

1. Преобразуем уравнение, используя формулы:

hello_html_m17aa2b77.gif;

hello_html_m791901eb.gif;

hello_html_m675a9df8.gif;

hello_html_1d939417.gif.

hello_html_6ea98644.gif.

Получили однородное уравнение.

Решаем получившееся уравнение:

При hello_html_m45b9b339.gifhello_html_12d352ed.gif;

hello_html_388fa2e5.gif; hello_html_md199053.gif;

hello_html_m11a77709.gif; hello_html_m1ca1b4d9.gif;

hello_html_63c0c543.gif;

hello_html_m4d3f9efc.gif;

hello_html_4b0af8a7.gif; hello_html_18cfdc50.gif.

hello_html_m62c494af.gif hello_html_m66eb35fa.gif

hello_html_m78917a7f.gif, hello_html_d5e39d.gifhello_html_me21a78a.gif, hello_html_15aebc46.gif.

Записываем ответ: hello_html_m12cde08a.gif, hello_html_d5e39d.gif; hello_html_3bee0672.gif,hello_html_15aebc46.gif.

Решите самостоятельно уравнения:

1. hello_html_3a4e9460.gif; hello_html_m3c3da586.gif.

2. hello_html_m7031b27f.gif; hello_html_m68538062.gif.









































Практическая работа по теме «РЕШЕНИЕ ТРИГОНАМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

Цель: создать содержательные и организационные условия, способствующие формированию общих компетенций через включение в самостоятельную форму работы.
Задачи:
Обучающий компонент:
закрепить алгоритм решения различных тригонометрических уравнений.
Развивающий компонент: обеспечить развитие у обучающихся основ культуры самоуправления учебной деятельность.
Воспитывающий компонент: содействовать формированию компетентностной культуры будущего рабочего в процессе творческого самовыражения, саморегуляции, рефлексии.

Пользуясь образцом, решите уравнения

Образец решения уравнения:

hello_html_m1fe729a8.gif.

hello_html_7c883863.gif hello_html_m2287d7af.gif

hello_html_19353ef3.gifhello_html_m1fbeb0aa.gif.

hello_html_4b454a32.gif.

hello_html_m1231ed40.gif.

hello_html_m41a94bae.gif- не удовлетворяет условию hello_html_1cb35edf.gif.

Найдём решение уравнения hello_html_m671760e8.gif с условием (2).

hello_html_5aaf6e8f.jpgОтвет: hello_html_m9061ec9.gif

Пользуясь образцом, самостоятельно решите уравнения:

I.

1) hello_html_mbbf52b1.gif. 3) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_d21523b.gif.

2) hello_html_1728699f.gif. 4) hello_html_2ed4f8e2.gif.

II.

1) hello_html_35a72a7f.gif.

2) hello_html_m2c6f1ab1.gif.

3) hello_html_m8b37b91.gif.

4) hello_html_299fa0dc.gif.

5) hello_html_m3a0ebd9c.gifhello_html_m7a64097e.gif.

6)hello_html_m27bd87d3.gif.

7) hello_html_m4f35ddae.gif.

III.

1) hello_html_m15f5be26.gif.

2) hello_html_270f5d18.gif.

























Приложение 3.

Примеры решения тригонометрических уравнений

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_78a3d47a.gif.

Решение. Преобразуем сумму синусов в произведение:

hello_html_m71171f43.gif,

hello_html_515c04c4.gif,

hello_html_m2648a56f.gif,

hello_html_647568cd.gif,

hello_html_m7d281782.gif, hello_html_m126873c3.gif, hello_html_m62f20694.gif, hello_html_m126873c3.gif.

Ответ. hello_html_29f3b479.gif, hello_html_611fe5d3.gif.

Пример 2. Решить уравнение

hello_html_m6617dbe5.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения, применяя формулу квадрата разности:

hello_html_m349d00a8.gif.

Применяя формулы, получим

hello_html_285ff619.gif, hello_html_m36495876.gif.

Применяя формулу, имеем

hello_html_65f20cf3.gif,

hello_html_m51914b3.gif.

Отсюда hello_html_228080a3.gif или hello_html_47c10c75.gif. Имеем два решения

hello_html_785be574.gif, hello_html_m126873c3.gif или hello_html_m278b2744.gif, hello_html_7811e68f.gif,

hello_html_520c235.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Ответ. hello_html_785be574.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_520c235.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Пример 3. Решите уравнение hello_html_67878833.gif.

Решение. Применяя формулу, получим

hello_html_m412ed57.gif,

hello_html_m44709572.gif,

hello_html_4ca972e7.gif.

Отсюда hello_html_m62fa88e8.gif или hello_html_m6a215912.gif. Имеем два решения

hello_html_m3f23ffe6.gif, hello_html_11db3431.gif, hello_html_66263c8a.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_2f44e601.gif;hello_html_79aa3a0f.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Ответ. hello_html_66263c8a.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_m6c52a63a.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Пример 4. Решить уравнение hello_html_168fb14d.gif и указать его решения, входящие в hello_html_m7d46f82e.gif.

Решение. Воспользуемся формулой приведения, тогда

hello_html_m52517b55.gif.

Применяя формулу, имеем

hello_html_m629d1167.gif,

hello_html_m568dbf11.gif.

Отсюда hello_html_47c10c75.gif или hello_html_5f824ad1.gif. Имеем два решения

hello_html_16518e1.gif, hello_html_m126873c3.gif, hello_html_m63afa4ff.gif, hello_html_m126873c3.gif;

hello_html_2fbcce9c.gif, hello_html_m6c2cae49.gif, hello_html_7811e68f.gif,

hello_html_m4e0fd42b.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Теперь из этих решений предстоит выбрать те, которые лежат в заданном промежутке. Найдём значения hello_html_m7d400f82.gif и hello_html_m143463e.gif при hello_html_m6c598cf0.gif, hello_html_m6573e5f8.gif и hello_html_m77902c56.gif, hello_html_m6573e5f8.gif:

hello_html_m6c598cf0.gif; hello_html_2f11ad07.gif; hello_html_m77902c56.gif; hello_html_m3abcbd3d.gif;

hello_html_m66ac225b.gif; hello_html_m737f1448.gif; hello_html_m28138aa0.gif; hello_html_4aa01e60.gif;

hello_html_m126804b5.gif; hello_html_m87fa61c.gif; hello_html_7e74c189.gif; hello_html_13a731.gif.

На промежутке hello_html_m7d46f82e.gif имеется лишь один корень исходного уравнения hello_html_m456ef767.gif.

Ответ. hello_html_m456ef767.gif.

Пример 5. Решить уравнение

hello_html_m702f2545.gif.

Решение. Применяя формулу, получим

hello_html_4ba3846d.gif.

Умножим обе части уравнения на hello_html_3b031e5e.gif:

hello_html_254478a9.gif, hello_html_m4fe42d92.gif.

Используя формулу, имеем

hello_html_m19f77c64.gif, hello_html_1e1fea00.gif.

Отсюда hello_html_5ab530c4.gif или hello_html_37febd69.gif. Имеем два решения

hello_html_m4b1bea92.gif, hello_html_m126873c3.gif, hello_html_m2d7a86a7.gif, hello_html_m126873c3.gif;

hello_html_73274480.gif, hello_html_7811e68f.gif, hello_html_m732ab729.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Ответ. hello_html_m2d7a86a7.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_m732ab729.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Пример 6. Решить уравнение hello_html_m421ff2e1.gif.

Решение. Используя формулу, получим

hello_html_3aaa2b9d.gif, hello_html_411cccd0.gif.

Обозначая hello_html_md377c9f.gif, получим квадратное уравнение hello_html_m46b8c89c.gif, откуда hello_html_m7f2cb52f.gif; hello_html_49b12260.gif.

Переходя к переменной hello_html_m5547f17b.gif, имеем два уравнения hello_html_m1596afbf.gif и hello_html_62690762.gif. Решения этих уравнений hello_html_4a999502.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_ad51f97.gifØ.

Ответ. hello_html_m48220394.gif, hello_html_m126873c3.gif.

Пример 7. Решить уравнение hello_html_m400368dc.gif.

Решение. hello_html_f3073b3.gif. Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на hello_html_23028039.gif. Это можно сделать, так как множество значений hello_html_m5547f17b.gif, удовлетворяющих уравнению hello_html_m6583b27c.gif, не являются решением данного уравнения:

hello_html_449f578a.gif,

hello_html_7e59968f.gif.

Полагая hello_html_m1c512f89.gif, имеем hello_html_m282e95d2.gif, откуда hello_html_5ffbdc30.gif; hello_html_38dd1ac7.gif.

Таким образом, hello_html_724330a6.gif или hello_html_344c8b4a.gif. Решения этих уравнений имеют вид hello_html_m14518aae.gif, hello_html_m126873c3.gif, или hello_html_m5c2f1a2.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_m69f73ddd.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Ответ. hello_html_m5c2f1a2.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_m69f73ddd.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Пример 8. Решить уравнение

hello_html_m1e01ec4c.gif.

Решение. Применяя формулу, получим

hello_html_1300f7c9.gif,

hello_html_6742ace0.gif,

hello_html_2543fdc4.gif.

Применяя формулу, имеем

hello_html_4b32bee7.gif,

hello_html_71975a2b.gif,

hello_html_6f61df52.gif.

Возможны два случая hello_html_mb619093.gif или hello_html_5cc3784e.gif. Из первого уравнения hello_html_58b60f47.gif, hello_html_m126873c3.gif.

Для решения второго уравнения вновь применим формулу:

hello_html_m63c00aff.gif,

hello_html_m6180de0f.gif.

Уравнение имеет два решения hello_html_m73054910.gif или hello_html_mc9e8589.gif:

hello_html_696b7f9e.gif, hello_html_7811e68f.gif, hello_html_338e7f3a.gif, hello_html_7811e68f.gif;

hello_html_m3a762a26.gif, hello_html_m30c0b563.gif, hello_html_m7dabdfe.gif, hello_html_m30c0b563.gif.

Ответ. hello_html_58b60f47.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_338e7f3a.gif, hello_html_7811e68f.gif; hello_html_m7dabdfe.gif, hello_html_m30c0b563.gif.

Пример 9. Решить уравнение hello_html_287b9c84.gif.

Решение. Применяя формулу, получим

hello_html_cb9ce7c.gif.

Полагая hello_html_m512e16b9.gif, причём hello_html_7d55eedb.gif, имеем

hello_html_13baf0b7.gif, hello_html_236436ed.gif

Решая квадратное уравнение, получим hello_html_m414265c1.gif; hello_html_7e8abce7.gif (этот корень не подходит).

Таким образом, hello_html_47172111.gif. Имеем два решения

hello_html_476a35c.gif, hello_html_359f89af.gif, hello_html_m126873c3.gif или hello_html_m6cbd08d7.gif, hello_html_m46a111d5.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Ответ. hello_html_359f89af.gif, hello_html_m126873c3.gif; hello_html_m46a111d5.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Пример 10. Решить уравнение hello_html_1b1a2ad4.gif.

Решение. Исходное уравнение эквивалентно системе

hello_html_301761b.gifоткуда hello_html_d56415f.gif

При hello_html_m5db27ec7.gif получаем, что hello_html_m19929bd5.gif.

Таким образом, подходят только hello_html_178ef06.gif; hello_html_ma6a62a2.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Ответ. hello_html_2075aea9.gif, hello_html_7811e68f.gif.

Пример 11. hello_html_2f8e3405.gif.

1) hello_html_m32b2d6ba.gif2) hello_html_m50075354.gif

hello_html_47c10c75.gifhello_html_7d45a725.gif

hello_html_m3bd330be.gifhello_html_ma613992.gif

hello_html_ma613992.gif.

3) hello_html_m5d976866.gif4) hello_html_721138cf.gif

hello_html_547587b9.gifhello_html_8a9a33c.gif

hello_html_m27e610b.gif

hello_html_m25d20572.gif hello_html_m64574a0f.gif

hello_html_ma613992.gif.

hello_html_6fe516ab.jpg hello_html_ma613992.gif.

5) hello_html_m410b5f7b.gif
hello_html_mb156817.gif.

6) hello_html_2f8e3405.gif. (Разделим на hello_html_23028039.gif, hello_html_m45b9b339.gif).

hello_html_61b2da93.gifhello_html_6038473d.gif

hello_html_42a7f723.gifhello_html_ma613992.gif.

Пример 12. hello_html_m7ff3fa99.gif.

1) hello_html_m388564d9.gif

hello_html_m5e47ea72.gif

hello_html_7447315d.gif

2) hello_html_m49781362.gif

hello_html_m567b9d9a.gif

hello_html_m4f35ec86.gif

3) hello_html_1899f4bd.gif, hello_html_2a498cdf.gif.

Универсальная подстановка.

hello_html_m57ebf9d8.gif. Значения hello_html_m5547f17b.gif, при которых hello_html_3fcb6d61.gif, т.е.

hello_html_6a9e96c6.gif, не является решениями нашего уравнения.

hello_html_7fbbb9c9.gif

hello_html_4888ece2.gif,

hello_html_4e239eb5.gif

4) hello_html_239be542.gif

hello_html_m48b4ba20.gif

hello_html_259fe278.gif

hello_html_6df0995f.gif

hello_html_m425f5721.gif. hello_html_1508259b.gif

5) hello_html_m7ff3fa99.gif.

Метод оценки. hello_html_77bb2710.gif и hello_html_m3db11df.gif.

hello_html_18198cb.gif

hello_html_6c5da045.gif, hello_html_1f847a15.gif.

hello_html_70199e3a.gif- убывает на hello_html_7682e3a9.gif.

hello_html_m5ee409db.gif- возрастает на hello_html_7682e3a9.gif.

Уравнение hello_html_7ad2de5a.gif на hello_html_7682e3a9.gif других корней не имеет.

hello_html_m19c40f6.jpg

6) hello_html_m657efd58.gif

hello_html_m4a87b947.gif

hello_html_m3ffc1a97.gif

hello_html_m73439fef.gif

hello_html_1c35cae7.gif

7) hello_html_m7ff3fa99.gif

hello_html_mdc83889.gif
hello_html_31ac44a2.gif

Решение системы:

hello_html_1508259b.gif

hello_html_e3edd56.jpg

































Приложение 4.

Набор заданий

I . Решите простейшие тригонометрические уравнения

1) а) hello_html_m6583b27c.gif; б) hello_html_24439844.gif; в) hello_html_m62c494af.gif; г) hello_html_m62fa88e8.gif;

д) hello_html_m7b31b204.gif; е) hello_html_69f87fa8.gif; ж) hello_html_2e8c197c.gif; г) hello_html_m353a38a9.gif;

2. а)hello_html_6a7ee594.gif; б) hello_html_m4b46a23.gif; в) hello_html_m4ec52797.gif;

г) hello_html_42ab5a75.gif; д) hello_html_1f2c9614.gif; е) hello_html_3d427989.gif

2. Решите уравнения методом разложения на множители

1) hello_html_19d4d0f6.gif; 2) hello_html_499cfb71.gif;

3) hello_html_3ed31aeb.gif (преобразовать hello_html_m67d653e9.gif);

4) hello_html_m481edbd4.gif

3.Решите уравнения методом введения новой переменной

1) hello_html_m58edd179.gif; 2) hello_html_m540e98d1.gif;

3) hello_html_m4bda50a3.gif; 4) hello_html_58ce3c8e.gif.

4. Решите однородные уравнения

1) hello_html_71deabc6.gif; 2) hello_html_m55830f15.gif;

3) hello_html_m40d11b15.gif;

4) hello_html_2e73a175.gifhello_html_3a399976.gif;

5) hello_html_240c5cdb.gif.

5. Решите уравнения методом оценки

1) hello_html_m60854287.gif; 2) hello_html_m2f657510.gif;

3) hello_html_m3fb9affd.gif; 4) hello_html_e754521.gif.

6. Уравнения, содержащие выражения вида hello_html_256d677.gif, hello_html_m2553a264.gif. (Применить формул – разность квадратов.)

1) hello_html_434ca6c9.gif; 2) hello_html_m290ce07c.gif;

3) hello_html_m17739a4.gif.

7. Уравнения, содержащие выражения вида hello_html_m50df6825.gif, hello_html_m69ca1091.gif.

(Выделить полный квадрат - hello_html_m389f8edb.gif, hello_html_m1c3e4af9.gif.)

1) hello_html_m4ce596e9.gif; 2) hello_html_61e9b842.gif;

3) hello_html_12044ae1.gif.

8. Уравнения, содержащие выражения вида hello_html_m48bf42e4.gif, hello_html_4d35691b.gif. (Применить формулу – разность кубов).

1) hello_html_m2502fc8a.gif; 2) hello_html_2598d934.gif;

3) hello_html_m64f20c10.gif.

9. Уравнение на применение формул hello_html_m54ce8887.gif, hello_html_m44182564.gif, hello_html_m774d3feb.gif.

1) hello_html_m64d7b0cc.gif; 2) hello_html_66f08795.gif;

3) hello_html_m52ed82dc.gif.

10. Уравнения на применение формулы hello_html_m33b8733c.gif.

1) hello_html_b490c2f.gif; 2) hello_html_2149dc07.gif;

3) hello_html_7a817598.gif.

11. Решить уравнения и найти корни, расположенные на заданных промежутках. Ответ привести в градусах:

1. hello_html_m261eac7.gif на hello_html_47e916.gif; 2. hello_html_m7e1f8be8.gif на hello_html_4f3989fc.gif;

3. hello_html_m328d8467.gif на hello_html_706bb299.gif; 4. hello_html_m5c9cfe45.gif на hello_html_m4942d852.gif;

5. hello_html_2eaf5142.gif на hello_html_44ecff40.gif; 6. hello_html_m25532347.gif на hello_html_m4942d852.gif;

7. hello_html_m15353900.gif на hello_html_638a3500.gif; 8. hello_html_m4199a537.gif на hello_html_e0c3dab.gif;

9. hello_html_m646adb43.gif на hello_html_m4d845879.gif; 10. hello_html_m58e555a1.gif на hello_html_m4d845879.gif;

11. hello_html_43035e12.gif на hello_html_m147ed11c.gif; 12. hello_html_m333eb4d2.gif на hello_html_32554510.gif;

13. hello_html_m497aeab1.gif на hello_html_41100b42.gif; 14. hello_html_3d99484f.gif на hello_html_m6142d55d.gif;

15. hello_html_7a817598.gif на hello_html_32554510.gif.

12. Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) hello_html_156f233f.gif; б) hello_html_m49876987.gif.

13. Решить уравнения и указать количество различных корней, находящихся на заданных промежутках:

1. hello_html_m7d95994b.gif на hello_html_m3c4b45f0.gif;

2. hello_html_mdf0377c.gif на hello_html_34cf9670.gif;

3. hello_html_m464475a.gif на hello_html_m127ed9e.gif;

4. hello_html_m665321be.gif на hello_html_m3c4b45f0.gif;

5. hello_html_1ea1342.gif на hello_html_m3c4b45f0.gif;

6. hello_html_2b9adcbb.gif на hello_html_6ddac105.gif.

























Приложение 5.

Ф.И.

Решение простейших уравнений

Решение уравнений, сводящихся к простейшим

Решение уравнений методом введения новой переменной

Решение однородных тригонометрических уравнений

Самооценка

Оценка преподавателя




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Данный кейс рассчитан на изучение темы "Решение тригонометрических уравнений". Он содержит задачу, представляющую кейс, теоремы равносильности при решении тригонометрических уравнений, практические работы, примеры решения тригонометрических уравнений, набор заданий, оценочный лист. По итогам кейса обучающиеся должны освоить следующие общие компитенции:
- организовывать собственную деятельность;
- осуществлять поиск и использование информации;
- использовать информационно-коммуникационные технологии;
- работать в коллективе и команде.
В разраьотке описана методика применения данного кейса.

 

 

Автор
Дата добавления 26.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров473
Номер материала 545367
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх