Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / 10 класс алгебра и начала анализа «Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции».

10 класс алгебра и начала анализа «Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции».

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m2a7690f7.gif10 класс алгебра и начала анализа

Тема «Методы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Цели: 1. Систематизировать, обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

2. Развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оценочный лист обучающегося.

Фамилия

Имя

Этапы

Задание

Достижения

Оценка

1

Задание №1

Знать и понимать определения обратных тригонометрических функций, тождеств


2

Тест

Уметь применять свойства обратных тригонометрических функций для решения уравнений.


3

Классификация уравнений по методам решения

Знать характеристику каждого метода.

Уметь классифицировать уравнения по методам решений


4

Проверка домашнего задания

Уметь решать уравнения №9, 11, 10, 3, 13


5

Решение уравнений

Уметь решать уравнения №12, 16, 14


6

Самостоятельная работа

Уметь решать уравнения:

Вариант 1-1,4

Вариант 2-4,5


Итоговое количество баллов


Оценка




Критерии оценки: «5» - от 28 до 30 баллов, «4» - от 25 до 27 баллов, «3» - от 18 до 24 баллов, «2» - менее 18 баллов.

Предварительное домашнее задание:

Повторить определение обратных тригонометрических функций, понятие о равносильных и неравносильных преобразованиях, характеристики методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Ход урока

Урок начинается с вводной беседы учителя, в которой он отмечает, что уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции, часто встречаются у учащихся старших классов значительные трудности. Поэтому сегодня им предстоит повторить и систематизировать методы решения таких уравнений. Учитель ориентирует учеников в работе с оценочным листом.

Этап 1

Учитель предлагает ребятам вначале вспомнить важнейшие свойства обратных тригонометрических функций. Ученики выполняют задания №1, №2 на карточках в парах.

Одна пара выполняет эти задания на магнитной доске. Когда задания карточек выполнены, ребята сравнивают свои записи с работой товарищей у доски, исправляют ошибки, фиксируют свои успехи в оценочном листе.

Задание 1. Соедините линиями соответствующие данным обратные тригонометрические функциям область определения, область значения, условие монотонности, график.

Критерии оценок:

«5» - нет ошибок,

«4» - 1-2 ошибки,

«3»- 3-4 ошибки,

Монотонно возрастающая

«2» - более 4 ошибок.



D(y)=[-1;1]

y=arcsinx

E(y)=[-hello_html_4ea412bd.gif]



E(y)=(0;hello_html_6dbd9c0b.gif

D(y)=R

y=arcctgx

y=arctgx

y=arccosx

E(y)=[0;π]

E(y)=(-hello_html_4ea412bd.gif)

Монотонно убывающая











Задание 2.

Заполните пропуски в тождествах.

arccos x

hello_html_6b2fd1c.gif-

arccos (-x)

-

arcsin x

arcsin (-x)

1)

arcsin x + arccos x=

2)

arctg x

-

arctg (- x)=

3)

arctg x

hello_html_6b2fd1c.gif-

arcctg (- x)=

4)

arctg x + arcctg x=

5)

hello_html_m4cf36593.gif

6)



Этап 2

Тест. Посредствам теста проверяются умения учащихся применять свойства обратных тригонометрических функций для решения уравнений.

Вариант1

Найдите пары: «Уравнение - его решение»

решения

уравнения

а

б

в

г

д

-1

1

0

hello_html_m3219841b.gif

-1hello_html_mab38aa4.gif

1

arcos x=hello_html_m1b45012d.gif




+


2

sin(arcsin x + arccos x)=1





+

3

arccos x=-(x-1)2


+




4

arctg x=-hello_html_m55fd73a8.gif



+



5

arcsin x=-hello_html_m21150844.gif

+





Критерии оценки: «5»- 5 верных ответов, «4» - 4 верных ответа, «3» - 3 верных ответа, «2»- 1-2 верных ответа.

Затем учащиеся объясняют решения уравнений №5.

Этап 3

На третьем этапе проводится классификация уравнений по методам решения. Рядом с каждым методом 1-4 указать номер уравнения, которое можно решать данным методом. Работа в парах.

Обсуждение проводится в быстром темпе. В результате выполнения этого задания появилась схема.

Уравнения, решаемые на основе условия равенства обратных тригонометрических функций:

  1. Методы использования свойств функций, входящих в уравнение:

б)метод использования свойств ограниченности функции №1,4

а)метод обращения к монотонности функции №3,13

Методы









Метод замены переменной

а) одноимённых (№5,6)

а) разноимённых (№9,10,11)



Разложение на множители (№8)

б) сводятся к алгебраическим с применением различных преобразований(№12,14,15)

а) сводятся к квадратным (№2,16,7)













Этап 4

На следующем этапе проверяем домашнее задание.

На доске заранее заготовлено решение, ученики отвечают по готовым записям. Работа ведётся фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

Уравнения

1

arcsin(x+1)+ arcsin(y-1)=hello_html_6b2fd1c.gif

2

arcsinx arccosx=hello_html_m763ee416.gif/18

3

arcsinhello_html_m774e6528.gif=2 π- πx

4

arccos(x+y)+ arcos(x-y)=0

5

arcsin (x2 -6x-8)+ arcsin(15-2x)=0

6

arccos (4x2 -3x-2)+ arccos (3x2 -8x-4)=hello_html_6b2fd1c.gif

7

(arccos x)2 -6 arccos x +8=0

8

(x+2)(2x2 -7x+3) arcos x/2=0

9

arccoshello_html_53883bd2.gif=arcsinhello_html_m69519df3.gif

10

arctg(x-3a)= arctg(3x-a)

11

arcsinhello_html_4ce6c12d.gif= arctghello_html_m3e251b2f.gif

12

arctg(x-1)+ arctg(2-x)=hello_html_m55fd73a8.gif

13

23 arctg(1-6x)=-10hello_html_6b2fd1c.gif

14

arccos7x=2 arcsin2x

15

arcos(3x-4)=2arct(5-3x)

16

18(2arcsin2 x/2+3x arcosx/2)=19hello_html_6b2fd1c.gif

Этап 5

Далее отмечаем, что самый распространённый из данных методов-метод замены переменной. При решении уравнений удачная замена переменной позволяет свести задачу к более простой. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнять некоторые преобразования. Вспоминаем способы преобразований:

-переход к уравнению – следствию;

- переход к уравнению, равносильному на некотором множестве исходному уравнению;

- переход к системе, равносильной исходному уравнению.

Затем трое учеников у доски решают уравнения №12, 16, 14.

Остальные решают любое из предложенных трёх уравнений.

Этап 6

В конце проводится самостоятельная работа (под копировальную бумагу).

Самостоятельная работа

Вариант 1

1

arcsin(x+1)+ arcsin(y-1)=π

ответ: (0;2)

6

arccos (4x2 -3x-2)+ arccos (3x2 -8x-4)=π

ответ:{-3/7}

Вариант 2

4

arccos(x+y)+ arcos(x-y)=0

ответ: (1;0)

5

arcsin (x2 -6x-8)+ arcsin(15-2x)=0

ответ: х=7

Итог урока

Подводя итоги урока, ещё раз замечаем, что свойства монотонности и ограниченности являются ключевыми при решении многих уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, успехи ребят и ориентирует их на домашнем задании. Оценка, заработанная им на уроке, показывает им, насколько они готовы к зачётному тесту по теме. Домашнее задание предусматривает уровневую дифференциацию.

1-й уровень-№2,7,8,15

2-й уровень –задания поискового плана: подобрать неравенства, решаемые методом 1-4.

3-й уровень-составить тест, аналогичный тесту этапа 2 по теме: «Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции».





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 20.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Номер материала ДВ-173390
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх