Ключевые задачи по теме «Касательная к графику функции» (разработка для подготовки к экзамену)

• 1 слайд

  Ключевые задачи
  по теме «Касательная
  к графику функции»
  

• 2 слайд

  Ключевая задача 1.
  Напишите уравнение касательной к графику функции когда касательная проходит через точку, лежащую на кривой.
  Пусть у = х²–2х–3 и касательная
  проходит через точку с абсциссой
  равной 2.
  Решение.
  1). Обозначим абсциссу точки касания через а, тогда а=2.
  

• 3 слайд

  2). Найдем f(a):
  f(a)=2·2–2·2–3 => f(a)=-3.
  3). Найдем f´(x) и f´(а):
  f´(x)=2х-2 => f´(а)=2·2–2 = 2
  4). Подставим найденные числа а, f(a) и f´(а) в общее уравнение касательной у = f(a) + f´(а)(х-а)
  и получим:
  у = -3 +2(х-2) = -3+2х-4 = 2х-7
  Значит уравнение искомой касательной имеет вид у=2х-7
  

• 4 слайд

  Самостоятельно составьте уравнение касательной к графику функции
  у = 3х⁴ + 6х² – 2 в точке с
  абсциссой х₀ =1
  Ответ: у=24х–17
  2) у = х² - 3х +5 в точке с
  абсциссой а = -1
  Ответ:
  
  

• 5 слайд

  Напишите уравнение касательной к графику функции
  у = х³+2х+5 в точке с ординатой у₀=8
  Решение.
  Абсцисса точки касания (х₀) находится по её ординате (т.е. данное у₀ подставляют в формулу функции и вычисляют х₀).
  Ответ: у=5х+3
  

• 6 слайд

  Работая в парах составьте уравнение касательной к графику функции
  
  
  в точке с ординатой у₀ = -2
  Ответ: у = 5х - 17
  

• 7 слайд

  Напишите уравнение касательной к графику функции
  в точке пересечения его с осью
  ординат.
  Решение.
  Абсцисса точки касания находится из
  условия пересечения графика
  функции с осью ОУ т.е. в этой точке х=0.
  Ответ: у=2х+2
  

• 8 слайд

  Напишите уравнение касательной к графику функции
  в точке пересечения его с осью
  абсцисс.
  Решение (указания).
  В этом случае абсцисса точки касания (х₀) находится из условия пересечения графика функции с осью ОХ . Т.е. в этой точке у=0
  
  

• 9 слайд

  Самостоятельно, работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции
  
  
  в точке пересечения его с осью
  ординат
  Ответ:
  
  
  

• 10 слайд

  Ключевая задача 2, когда касательная проходит через точку, не лежащую графику функции.
  
  Напишите уравнение всех
  касательных к графику функции
  у = х²+4х+6 проходящих через точку М(-3;-1).
  Решение.
  1). Проверим, принадлежит ли точка М(-3;-1)
  графику функции
  у(-3) = (-3)² +4(-3)+6=9-12+6=3, т.е.
  точка М(-3;-1) не является точкой касания.
  

• 11 слайд

  2). Пусть а – абсцисса точки касания.
  3). Найдем f(a): f(a) = a²+4a+6.
  4). Найдем f´(x) и f´(а):
  f´(x) =2x+4, f´(а) =2a+4.
  5). Подставим числа а, f(a), и f´(а) в общее уравнение касательной
  у= f(a)+f´(а)(x-a):
  получим y=a²+4a+6+(2a+4)(x–a) –
  уравнение касательной.
  

• 12 слайд

  Касательная проходит через точку
  М(-3;-1), следовательно, ее координаты
  удовлетворяют уравнению касательной:
  1 = a² + 4a + 6 + (2a+4)(-3–a) =>
  a²+6a+5=0, значит a=-5 или a=-1.
  Если a=-5, то (подставляем в наше
  составленное уравнение касательной
  y=a²+4a+6+(2a+4)(x–a)) и получим
  y= (-5)² +4(-5)+6+(2(-5)+4)(х-(-5)) =>
  y=-16x–19 – уравнение искомой касательной.
  

• 13 слайд

  Если a=-1, то (подставляем в наше
  составленное уравнение касательной y=a²+4a+6+(2a+4)(x–a)) и получим
  y=(-1)² +4(-1)+6+(2(-1)+4)(x+1), =>
  y=2x+5 – уравнение искомой касательной.
  
  Ответ: y=-16x–19, y=2x+5.
  
  

• 14 слайд

  Работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции
  у= - х²–4х+2, проходящей через точку М(-3;6)
  
  Ответ: у=4х+18 у=6
  
  
  

• 15 слайд

  Ключевая задача 3. Напишите уравнение касательной к графику функции когда касательная параллельна данной прямой.
  Напишите уравнения всех касательных к графику функции
  у = х²–2х–8, параллельных прямой
  у=-4х–4.
  Решение.
  1. Обозначим абсциссу точки касания-а.
  2. Запишем f(a): f(a) = a²–2a–8.
  

• 16 слайд

  3. Найдем f´(x) и f´(а):
  f´(x)=2x–2, f´(а) =2a–2.
  Но, с другой стороны, f´(а)=-4
  (по условию параллельности к₁=к₂,
  где к₁= f´(а), а к₂=-4).
  Решим уравнение2a–2=-4,и получим a=-1.
  Тогда вычислим f(a), и f´(а):
  f(a)=(-1)²–2(-1)-8=1+2-8=-5, т.е. f(a)=-5, а f´(а) =-4.
  Подставим найденные числа а, f(a), f´(а) в
  общее уравнение касательной у=f(a)+f´(а)(x-а)
  y= -5–4(x+1)=-4x–9
  уравнение искомой касательной.
  

• 17 слайд

  Самостоятельно составьте уравнение касательной к графику функции f(x), параллельной графику функции g(x).
  если f(x) = x³ - 2x + 7, a g(x) = x
  Ответ: у = х + 9; у = х + 5
  2) если f(x) = x³ - 3x² + 3, a g(x) = 9x+1
  Ответ: у = 9х + 8; у = 9х – 24
  
  

• 18 слайд

  Работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции f(x), параллельной графику функции g(x).
  Если , g(x)=-3x
  
  Ответ: y=-3x–6
  
  

• 19 слайд

  Ключевая задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x), перпендикулярной заданной прямой g(x).
  
  Напишите уравнения всех
  касательных к графику функции
  у = x³-2x+1, перпендикулярной прямой x+y =0.
  Решение. (Учитываем условие перпендикулярности прямых к₁·к₂=1. Значит к₁ =1/к₂ )
  

• 20 слайд

  Т.к. у = -х, то к₂=-1.
  Найдем к₁, который равен f´(а).
  1).Обозначим абсциссу точки касания а.
  2). Найдем f(a): f(a)=a³–2a+1.
  3). Найдем f´(x) и f´(а):
  f´(x)=3x²–2, f´(а) =3a²–2 = к₁
  4). Составим уравнение (по условию перпендикулярности прямых) 3a²–2= 1/-1
  значит 3a²–2= -1 => 3a²=1 => a²=1/3 =>
  а= ± √1/3
  

• 21 слайд

  Пусть а= +√(1/3), тогда найдем f(a) и f´(а)
  т.к. f(a)=a³–2a+1 и f´(а) =3a²–2, то
  f(a)=(√(1/3))³ -2· √(1/3)+1= 1/3· √(1/3) -2· ·√(1/3)+1 = …
  f´(а) =3 · (√(1/3))²-2=…
  Подставим найденные числа а, f(a), f´(а)
  в общее уравнение касательной
  у=f(a)+ f´(а)(x-a): …
  
  

• 22 слайд

  Пусть а= -√(1/3), тогда найдем f(a) и f´(а)
  т.к. f(a)=a³–2a+1 и f´(а) =3a²–2, то
  f(a)=(-√(1/3))³ -2·(- √(1/3))+1=….
  f´(а) =3 · (-√(1/3))²-2=….
  Подставим найденные числа а, f(a), f´(а)
  в общее уравнение касательной
  у=f(a)+ f´(а)(x-a): ……
  
  Ответ: y=x–1 y=x+3
  
  

• 23 слайд

  Работая в парах, составьте уравнение касательной к графику функции f(x), перпендикулярной заданной прямой g(x)
  Если и g(x)=x
  
  Ответ: y= - x–1; y= -x+7