Коллекция
задач на перекраивание фигур
Задачи
на перекраивание фигур возникли в глубокой древности. В их основе лежат задачи
о равновеликих и равносоставленных фигурах. Уже в VII–V
вв. до н.э. в Индии в книге «Правила верёвки» рассматриваются задачи на
перекраивание фигуры, состоящей из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат и
перекраивание прямоугольника в квадрат. Позднее, примерно во II
в. до н.э. в «Началах» Евклида приводится решение тех же задач, но уже с
использованием метрических отношений в прямоугольном треугольнике. Первый
трактат, в котором исследовались способы решения задач на перекраивание,
написал знаменитый арабский астроном и математик из Хорасана Абу-Л-Вефа
(940-998). В начале XX
века благодаря бурному росту периодических изданий решение задач на разрезание
фигур на то или иное число частей и последующее составление из них новой фигуры
привлекает внимание как средство развлечения широких слоев общества.
Сегодня
задачи на перекраивание фигур встречаются на математических факультативах и
кружках, в олимпиадных заданиях, в основном в 5-8 классах, в доказательствах
некоторых теорем.
При решении задач на перекраивание необходимо: смекалка, геометрическое
воображение и достаточно простые геометрические сведения.
Все
задачи на перекраивание можно разделить на несколько групп:
1.
Задачи на перекраивание путем разреза
фигуры по линиям сетки.
·
Разделите фигуру на 2 равные части так,
чтобы из них можно было сложить квадрат.
Решение:
·
Разрежьте фигуру на 4 равные части и
сложите из этих частей квадрат с квадратным отверстием посередине.
Решение:
·
Разрежьте изображенную на рисунке фигуру
на четыре одинаковые части так, чтобы из них можно было сложить квадрат
размером 6×6 с шахматной раскраской.
Решение:
2.
Задачи на перекраивание фигур путем
произвольного разреза.
·
Разрежьте прямоугольник, a×2a на
такие части чтобы из них можно было составить равновеликий ему: прямоугольный
треугольник; квадрат.
·
Разрежьте два квадрата 1х1 и 3х3 на такие
части, чтобы из них можно было составить равновеликий им квадрат.
·
Перекроите трапецию в треугольник,
треугольник в параллелограмм.
3.
Головоломки «Танграм» и «Пентамино».
·
«Танграм» - представляет собой квадрат,
разрезанный на 7 частей определенным образом (рис 1), из которых можно сложить
огромное количество фигур. При решении головоломки требуется соблюдать два
условия: первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе —
фигуры не должны перекрываться между собой.
Рис 1
Задание:
составить из всех частей танграма треугольник, прямоугольник, трапецию.
·
«Пентамино» - набор из 12 фигур, каждая из
которых состоит из 5 квадратов (рис 2)
Рис 2
Самая
распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и
зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5
квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов.
Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую из этих головоломок можно
решить вручную (рис 3)
Рис 3
Более
сложными считаются задачи на выкладывание квадрата 8×8 с 4 отверстиями в
определенно заданных местах.
Рис 4
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.