Коллекция трапеции ( 9-11 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

 «Средняя общеобразовательная школа № 11»

 

 

 

 

 

 

 

 

   

Методическая разработка для предметного (элективного) курса в 9-11

классе

 

 

 

 

Учитель математики  Кузнецова О.А. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 г Чайковский – 2015г

Содержание

 

1.     Пояснительная записка ----------------------------------------------------------- 2

2.     Тематический план----------------------------------------------------------------- 4

3.     Задачи, решаемые по готовым чертежам-------------------------------------  6

4.     Задачи с решениями -------------------------------------------------------------  10

5.     Задачи  для контроля знаний (тест)-------------------------------------------  25

6.     Задачи для учащихся (раздаточный материал)-----------------------------  30

7.     Список использованной литературы-----------------------------------------  32

Пояснительная записка

Не секрет, что математическое сообщество привыкло  за после годы к различным инновациям, апробациям и  экспериментам в сфере образования и в содержании экзаменационных работ по математике в частности.

Экспериментальным стал экзамен по математике в 2012 году (ГИА). В чем  суть эксперимента?  В изменении содержания экзамена: к вопросам алгебры добавлены вопросы, точнее, задачи  по геометрии. Вторая часть работы содержит две задачи по геометрии. Да, еще, какие задачи! Так в пробных работах можно увидеть задачи по геометрии  с вступительных экзаменах в МГУ.  И если раньше учитель готовил  своих учеников к экзамену только по алгебре, то сейчас рамки экзамена расширились, и задача учителя состоит в подготовке  своих учеников, как к алгебре, так и к геометрии.

Наверное, несложно заметить, что структурно государственная итоговая аттестация девятиклассников по математике  приближается к ЕГЭ. 

Таким образом, перед учителем встает остро вопрос расширения  предметного содержания по основным геометрическим  фигурам на плоскости. 

Почему данный курс разработан для трапеции? В ходе подготовки к экзамену анализ  геометрических задач показал отсутствие в обязательном содержании геометрии многих свойств  трапеции, применяемых при решении сложных задач.  К обязательным свойствам трапеции относятся:

1.     Свойство средней линии трапеции;

2.     Свойства диагоналей и углов равнобедренной трапеции 

3.     Формулы для нахождения площади трапеции

Какими же еще замечательными свойствами обладает трапеция? Где и когда их изучать в школьном курсе геометрии?  Ответы на поставленные вопросы учитель отвечает в процессе реализации данного курса.

Конечно,  при изучении новых свойств геометрических фигур  можно использовать различные принципы: от задачного подхода до  специально организованного изучения теоретических основ свойств изучаемой фигуры. Многие учителя математики при изучении  свойств фигуры используют, так называемый  «спиральный способ»,  позволяющий возвращаться несколько раз к одной и той же фигуре в процессе изучения геометрии.

 При реализации данного курса  новые свойства трапеции специально не вводятся в теоретический курс, а открываются и формулируются  учащимся  через решение систем задач. Такой подход считается более естественным и  носит характер небольших математических открытий, либо исследований в области геометрии.  Кроме этого, такой подход  соответствует возрастной  психологии  учащихся. 

При решении задач учитель использует специальную компьютерную программу для изображения цветных чертежей к задачам. Это способствует лучшему пониманию материала учащимися, вносит элемент

занимательности, оживляет   процесс решения задачи.  При необходимости 

в программе Microsoft Power Point можно создать и  демонстрировать  слайды к задачам,  что  позволит значительно  сэкономить время на занятии и  продемонстрировать  учащимся аккуратные образцы  чертежей, повысить уровень наглядности в ходе обучения.

Контроль знаний по теме «Коллекция трапеции» осуществляется по  технологии тестирования.   Повторить базовые знания по теме помогут задачи «по готовым чертежам». Таким образом, курс содержит дидактический материал для  актуализации знаний, для получения новых знаний, для проверки полученных знаний. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тематический план курса: «Коллекция трапеции»

 

Цель курса: подготовить учащихся к государственной итоговой аттестации (в перспективе – подготовка к ЕГЭ).

Задачи:

1.     Сформировать у учащихся полное представление о решении  геометрических  задач по теме «Трапеция». 

2.     Сформировать высокий уровень активности, раскованности мышления, проявляющейся в продуцировании большого количества разных идей, возникновении нескольких вариантов решения задач по теме «Трапеция».

3.     Развить интерес к  геометрии, способствовать выбору учащимися путей дальнейшего продолжения образования 

4.     Расширить рамки школьной программы, способствовать развитию логического мышления. 

5.     Повысить уровень   математической культуры учащихся.

 

№ занятия	Содержание учебного материала
1	Введение  в курс.
	Задачи базового уровня и  техника их решения.
2	Подобие и пропорциональность в трапециях
	Теорема о точке пересечения диагоналей трапеции
	Практикум по решению задач.
3	Дополнительные построения в трапеции
	Опорные задачи
	Практикум по решению задач.
4	Трапеция и площадь
	Опорные задачи
	Практикум по решению задач.
5	Трапеция и окружность
	Опорные задачи
	Практикум по решению задач.
6	Рациональные методы решения задач.  Задачи повышенной трудности.
	Задачи,  решаемые разными способами
	Практикум по решению задач.
7	Итоговое занятие.
	Решение задач
8	Контроль знаний
	Тестирование учащихся
	Работа над ошибками

Примечание. Каждое занятие может содержать несколько уроков. Курс рассчитан на 16 уроков. В зависимости от подготовки  учащихся учитель может отводить на каждую тему  определенное количество уроков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

Задачи по готовым чертежам (программный материал) 1. Средняя линия трапеции

 

 

 

2.   Углы трапеции

 

3.   Стороны трапеции. Периметр трапеции 

 

4.   Площадь трапеции

 

 

 

Задачи с решениями

 

Задача

Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.

 

ABCD

ABCD

 

2.     Рассмотрим треугольник ACD с известными сторонами 11, 5,  45 .

                                                                     112  52  (4 5)2             121 25 80      66      3

                 Вычислим cosD                                                                    .

                                                                               2511                   110            110     5

3.     Рассмотрим треугольник CDP- прямоугольный:

                  cosD  ^CP ,     ³  ^CP , CP  ^35  3. По теореме Пифагора вычислим

                                       CD      5      5                   5

DP= 253²  4

4.     ABCD – равнобедренная   трапеция АК= DP, КР = ВС  = AD – 2 DP=11- 8=3

5.     В результате всех преобразований найдены высота и верхнее основание трапеции. Можно вычислить площадь трапеции: S_ABCD = ½

(AD+BC) ·CP =  11 33  21 

 Ответ: S_ABCD = 21

 

Задача

Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Дано:  ABCD – равнобокая трапеция, AD||BC, BC=5, AD=13, АС_┴CD, АС- диагональ трапеции, AB=CD Найти:  S_ABCD

 

 

 

Решение.

3.     Дополнительные построения: ВК_┴ AD, СР_┴ AD, ВСРК- прямоугольник в котором ВС=КР =5.

4.     Треугольники АВК и CPD по гипотенузе и острому углу, АК= PD = (13-5):2=4.

5.     По условию задачи АС_┴ СD, треугольник ACD- прямоугольный. Проекции катетов АС и СD соответственно равны 9 и 4. Вычислим высоту СР в прямоугольном треугольнике (СР – высота трапеции)

                 CP     94  6

6.     Таким образом,  в трапеции найдена высота и известны основания. Вычисляем площадь трапеции как полу сумму оснований, умноженную на высоту трапеции: S_ABCD = ½ · (AD+BC)·CP = ½ ·(5+13)∙6=54 Ответ: S_ABCD = 54

 

Задача (ЕГЭ - С4)

Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами АВ = 27, CD = 28 и основанием ВС = 5. Известно, что cosBCD = - ²/₇ . Найдите диагональ АС.

 

Дано:  ABCD – трапеция, AD||BC, АВ = 27, CD

= 28, ВС = 5, cosBCD = - ²/₇

 

Найти: АС

 

Решение Первый случай.

1.     Так как cosBCD = - ²/₇, то угол BCD- тупой.

2.     Рассмотрим треугольник BCD: cosBCD = - ²/₇. Вычислим синус угла BCD, используя основное тригонометрическое тождество. Имеем:

                    sin² BCD 1cos² BCD, sin² BCD 1         ,  sin² BCD   ,

sin BCD      ⁴⁵ (учитывая угол, берем положительное значение синуса) 7

3.     Вычислим площадь треугольника BCD

              S_BCD = ½ ∙5· 28 sinBCD =½ ∙5· 28 ∙      ⁴⁵ = 10 45 =30 5

7

4.     Выполним дополнительные построения: проведем высоты трапеции СР  и ВК. Учитывая, что СР-высота треугольника BCD и зная площадь треугольника, вычислим высоту трапеции: 305 = ½ ∙5 СР, СР = 125 ,

СР=ВК = 12 5 , Так как BKPC – прямоугольник по построению, то 

      КР = 5

5.     Рассмотрим треугольник АВК: прямоугольный. По теореме Пифагора вычислим длину катета АК: AK  27²  (12 5)²  27² 12² 5  9  3

6.     Рассмотрим треугольник АСР: прямоугольный, АР = 5+3=8, СР = 125 , По теореме Пифагора вычислим длину гипотенузы АС:

                 AC      8²  (12 5)²  28.

 

 

 Второй случай (меняем обозначение трапеции)

1.     В этом случае высота трапеции остается  прежней: СК=ВР = 125 , ВС = КР = 5.

2.     Рассмотрим треугольник АВР: прямоугольный, по теореме Пифагора вычислим длину отрезка АР:

                 AP      27²  (12 5)²       27² 12² 5     9  3, тогда АК = КР-АР = 5-3=2.

3.     Рассмотрим треугольник АСК: прямоугольный,

                 AC      AK²  CK²      2² 12² 5     4181  2 181

 

 

Ответ: 28 или 2 181

 

Задача 

В равнобедренной трапеции ABCD точка Р является серединой боковой стороны АВ, ВР = 1, угол СРD равен 90⁰. Найдите периметр данной трапеции Дано:  ABCD – трапеция, Р - середина АВ, РВ = 1,

∟СРD=90⁰  

Найти: Р_ABCD   

Решение

1.     Так как трапеция равнобедренная, то АВ = CD = 2

2.     Выполним дополнительное построение: РК || ВС,

РК- средняя линия трапеции, РК = ½ (ВС+AD), ВС+AD= 2 РК 

3.     ∆CPD – прямоугольный по условию, К – середина              гипотенузы CD. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе равна ее половине: РК = ½ CD = 1.

4.     ВС+AD= 2 РК=2. Итак, Р_ABCD = 2АВ+ ВС+AD=4+2=6

 

Ответ: Р_ABCD = 6

 

Дополнительные построения в трапеции. Рассмотрим произвольную трапецию ABCD, где AD||BC. Выполним дополнительное построение: проведем BE||AC (точка Е – точка пересечения прямой ВЕ и AD). В результате таких «сдвигов» диагонали трапеции получаем следующие интересные   свойства в трапеции.

 

1.     Четырехугольник BEAC – параллелограмм по определению.

2.     Угол AOD(угол между диагоналями трапеции) равен углу DBE (как

соответственные углы при параллельных прямых BE , АС и секущей BD).

3.     Отрезок DE  равен сумме оснований трапеции в силу равенства сторон ВС и АЕ.

Площадь трапеции ABCD и площадь треугольника DBE равны. Покажем это: S _ABCD = ½ (BC+DA)·BK, S_DBE =  ½  DE ·BK= ½ (BC+DA)·BK  (BC = EA).

4.     Из «программных» свойств диагоналей трапеции  необходимо напомнить о подобие треугольников AOD и  BOC. Кроме этого, любая прямая проходящая через точку О и пересекающая основания трапеции отсекает  в трапеции пару подобных треугольников.

 

Задача 

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь трапеции

Дано:  ABCD – равнобедренная трапеция,  BC|| AD, О- точка пересечения диагоналей трапеции, АС=BD = 5 Средняя линия трапеции

ABCD

1.     Дополнительные построения:CM||BD.

2.     Площадь трапеции ABCD и площадь треугольника АСМ равны (доказано в предыдущей задаче).

1. Треугольник АСМ равнобедренный, так как диагонали

в равнобедренной трапеции равны: АС=BD=СМ = 5, АМ- сумма оснований трапеции. Так как средняя линия трапеции равна 4, то по свойству средней линии трапеции сумма основания равна 8, т.е АМ =8. Проведем высоту СК в равнобедренном треугольнике АСМ. По свойству высоты в равнобедренном треугольнике, проведенной к основанию АК = КМ = 4. Треугольник СКМ – прямоугольный, СК = 3. Таким образом, S          = ½ АМ·СК=½ ∙8·3=12

Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 45 . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.

 

Дано:  ABCD – равнобедренная трапеция,

 BC|| AD, О- точка пересечения диагоналей трапеции, СK = 6, СК – высота трапеции, CAD ADB  45⁰ Найти:  S_ABCD

 

Решение.

1.     Дополнительные построения: CM||BD.

2.     Площадь трапеции ABCD и площадь треугольника АСМ равны (доказано в предыдущей задаче).

3.     В треугольнике АСМ CAD ADB  45⁰, следовательно, треугольник прямоугольный, равнобедренный, высота СК является медианой, по свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к

гипотенузе СК=АК= КМ = 6. S_ABCD= S_ACМ = 36 Ответ S_ABCD=  36

 

Задача

В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции

 Дано: ABCD- равнобедренная трапеция, АС,

BD-диагонали трапеции, АС _┴ BD, BC=12, AD

=20  

Найти:  SABCD

 

Решение.

 

1.     Выполним дополнительные построения: CK || BD. ∟AOD =∟ ACK=90⁰ (как соответственные при параллельных прямых).

2.     BCKD- параллелограмм по построению, BC = DK, AK = AD+DK = AD+BC (сумма оснований трапеции)

3.     S_ABCD = ½ (AD+BC) h ,  S _ACK = ½ AK∙h. Следовательно, S_ABCD = S _ACK. Вычислим площадь треугольника АСК.

4.     Так как трапеция равнобедренная, то AC = BD = CK, треугольник АСК – прямоугольный. S _ACK= ½ АС·СК = ½ АС ² По теореме Пифагора имеем:  АС ² + АС ² = АК²,  2АС ² = АК²,  ½ АС ² = ¼  АК², S _ACK = ¼  АК². Так как АК – сумма оснований, то АК = 12+20=32,  S _ACK =256       Ответ: S_ABCD = 256

 

Задача

Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту трапеции, если боковая сторона равна 4.

 

 

Дано:  ABCD – равнобедренная трапеция, АСдиагональ трапеции, ВК -  высота трапеции

 BC|| AD, AB = CD = 4,  S_ABC = 6, S_ACD = 14

Найти: ВК 

 

Решение.

1.     Пусть ВС = а, AD=b, ВК = х

2.     Рассмотрим треугольник АВС: S_ABC = 6, имеем уравнение ax=12

3.     Рассмотрим треугольник АСD: S_ACD = 14, имеем уравнение bx=28

4.     Рассмотрим треугольник АВК: прямоугольный, АК=DP = (b-a):2.

Используя теорему Пифагора,  составим уравнение: x²  4²  ^{(b  a)2}

4

5.     Итак,  имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными,

 ax 12,



                решение которой, дает ответ к задаче: bx  28,                 x     8  2 2

x2  42  (b  a)2

                                                                                                                                             4

 

Ответ: ВК=2 2

 

Задача (очень важное утверждение о трапециях)

Докажите, что середины оснований, точка О - точка пересечения диагоналей и точка F- точка  пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

 

Доказательство.

1.Выполним дополнительные построения: проведем прямую OF (через две точки проходит только одна прямая- аксиома планиметрии). Пусть прямая OF пересекает основание трапеции ВС  в точке M, а основание AD в точке N 

2.   Так как треугольники FBM   и FAN подобны ( по двум углам), то ^BM _ ^FM .

                                                                                                                                                                       AN      FN

3.   Так как треугольники FMС   и FND

.

4.   Так как треугольники OBM   и ODN подобны ( по двум углам), то

BM OM       . DN ON

5.   Так как треугольники OMС   и ONА подобны ( по двум углам), то

CM OM       . AN ON

6. Рассмотрели четыре пары подобных треугольников. Сделаем выводы:

из пункта 2,3, очевидно ^BM  ^CM или ^BM  ^AN (по свойству пропорции);

                                                                          AN      DN            CM      DN

из пункта 4,5 очевидно ^BM  ^CM или ^BM  ^DN (по свойству пропорции).

                                                                         DN      AN           CM      AN

Таким образом, ^AN  ^DN . Равенство двух взаимно обратных дробей

                                                     DN     AN

возможно лишь при условии AN = DN. В таком случае, BM = CM. Следовательно,   точки M , N- середины оснований трапеции. Таким образом, четыре точки: середины оснований, точка О - точка пересечения диагоналей и точка F- точка  пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

 

Следствие из предыдущей важной задачи (часто эту задачу формулируют как теорему). 

Если мы соединим середины оснований трапеции, то такой отрезок пройдет через точку пересечения

диагоналей. Выясним, какую роль играет отрезок, соединяющий середины оснований трапеции для треугольника ВЕD, полученного «сдвигом» диагонали АС трапеции ABCD. Проведем ВК|| PH. Как было доказано ранее, DE – сумма оснований трапеции ABCD. Р- середина ВС, Н – середина AD.

ВКНР – параллелограмм по построению, ВР = РС = КН. Н-середина AD, КН – половина основания ВС, DH- половина основания AD, значит КН+DH – половина суммы оснований, т.е половина ED. Следовательно, точка К- середина ED. А для треугольника ВЕD, ВК – медиана.

 

Задача (задача с пробного экзамена ГИА, Мехмат МГУ, 1970г) Известно, что длины диагоналей трапеции равны 3 и 5. Длина отрезка, соединяющего середины ее оснований равна 2. Найдите площадь трапеции

 

 Дано:  ABCD – трапеция, BC|| AD, О- точка пересечения диагоналей трапеции, точка Р – середина основания ВС, точка Н – середина основания AD, АС = 3, BD = 5, РН = 2  Найти:  S_ABCD

 

Решение.

 

1.     Выполним дополнительные построения: ВЕ||АС, BK||PH, BK = KT.

2.     Сделаем выводы из дополнительных построений: BEAC-параллелограмм по определению, АС = ВЕ = 3. Четырехугольник ВКНР –

параллелограмм, РН=КВ =2. Площадь треугольника BED равна площади трапеции ABCD (доказано в предыдущей задаче), ВК – медиана треугольника BED. Медиану ВК продолжили за точку К и отложили КТ = ВК.  В четырехугольнике BETD- диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Делаем вывод: четырехугольник BETD-параллелограмм (по признаку параллелограмма).

3.     Как было доказано ранее S_ABCD= S_BЕD. А площадь треугольника BЕD равна половине площади параллелограмма  BETD. Половиной параллелограмма  BETD является треугольник ВТЕ. По свойству параллелограмма BD = ЕТ = 5, ВТ = 2· ВК= 2·РН = 4, ВЕ = 3. Таким образом, треугольник ВЕТ – прямоугольный с гипотенузой ЕТ = 5. S_ВЕТ

= ½ ЕВ·ВТ = 6. S_ВЕТ = S_BЕD= S_ABCD = 6

Ответ: S_ABCD = 6

Другой способ решения данной задачи состоит в нахождении стороны DE в треугольнике BDE по двум сторонам  (ВЕ = 3, BD =5) и  медиане ВК = 2, проведенной к стороне DE (BK ²  (2 BE²  2 BD²  DE²) . Решая уравнение с одним неизвестным, находим DE: 2²  (23²  25²  DE²),

DE² = 52. Рассмотрим треугольник BED: используя теорему косинусов, найдем cosDBE: cosDBE   . Используя основное тригонометрическое тождество находим синус угла DBE: sinDBE  . Таким образом, можно использовать формулу для нахождения площади треугольника BDE:

S_BDE    BE  BDsinBDE   35  6  S_BЕD= S_ABCD = 6

 

Ответ: S_ABCD = 6

 

Задача

В трапеции углы при одном из оснований равны  20⁰ и 70⁰ . Длина отрезка, соединяющего середины оснований  равна 2. Найдите длины оснований трапеции, если длина средней линии трапеции равна 4.

Дано:  ABCD – трапеция, MN – средняя линия                    трапеции,  MN= 4 , К – середина ВС, Р- середина AD. КР = 2,   ∟A = 20⁰   ∟D = 70⁰

 

Решение.

 

1.     Выполним дополнительные построения: КО||АВ, KF|| СD.

ABKO – параллелограмм, BK=AO. FKCD – параллелограмм, KC=FD. Так

как  К – середина ВС, то

BK=KC=AO=FD

2.     Треугольник OKF -  прямоугольный (∟1=20⁰ , (∟2=70⁰ по свойству соответственных углов при параллельных прямых), Р- середина AD по условию, AO=FD, следовательно OP=PF, КР – медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника OKF, KP = ½ OF, OF=2 KP =

4.

3.     MN – средняя линия трапеции. По теореме Фалеса HR- средняя линия треугольника OKF. HR=½ OF=2

4.     MH=BK=KC=RN=(MN-HR):2 = (4-2) :2=1. Следовательно основание трапеции ВС = 2. Зная основание трапеции и среднюю линию трапеции находим другое основание трапеции: 2MN = BC+AD,  AD = 6. Ответ: AD = 6,  BC = 2

 

Задача (с вступительного экзамена МГУ)

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия   равна 5

Дано: ABCD- равнобедренная трапеция, АС, BDдиагонали трапеции, АС _┴ BD, средняя линия

трапеции равна 5 Найти:  SABCD

 

Решение.

1.     Выполним дополнительные построения: CK || BD. ∟AOD =∟ ACK=90⁰ (как соответственные при параллельных прямых).

2.     BCKD- параллелограмм по построению, BC = DK, AK = AD+DK = AD+BC (сумма оснований трапеции)

3.     S_тABCD = ½ (AD+BC) h ,  S _ACK = ½ AK∙h. Следовательно, S_ABCD = S _ACK. Вычислим площадь треугольника АСК.

4.     Так как трапеция равнобедренная, то AC = BD = CK, треугольник АСК – прямоугольный. S _ACK= ½ АС·СК = ½ АС ² По теореме Пифагора имеем:  АС ² + АС ² = АК²,  2АС ² = АК²,  ½ АС ² = ¼  АК², S _ACK = ¼  АК². Так как АК – сумма оснований, а средняя линия равна полу сумме оснований, то АК = 10,  S _ACK = 25       Ответ: S_ABCD = 25

 

Задача   

Диагонали  АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке О (AD || BC).

Докажите, что площади треугольников AOB и  DOC равны

 

Дано: ABCD трапеция, AD||BC, AC, B D диагонали трапеции, О- точка пересечения диагоналей трапеции Доказать: S _AOB=S _DOC

Доказательство: 1. Выполним дополнительные построения: проведем высоту трапеции BK и CP. 2. Рассмотрим площади треугольников ABD и ACD. S _ABD = ½ AD∙BK,   S _ACD = ½ AD∙CP.Следовательно их площади равны в силу общей стороны AD и равенства высот.

3. Треугольник  AOD является общей частью этих треугольников. Значит, площади треугольников AOB и  DOC равны. ЧТД

 

Задача

Диагонали  АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Пусть площади треугольников ABO, BOC, COD, AOD соответственно равны S₁, S₂,S₃,S₄. Докажите что S₁∙ S₃ = S₂ ∙S₄.

 

Дано: ABCD – трапеция, AD||BC, О- точка пересечения диагоналей трапеции, S _ABO = S₁ , 

S BOC  = S2 , S COD= S3 ,  S AOD = S4

Доказать: S₁∙ S₃ = S₂ ∙S₄

 

Доказательство

1.     Используем для доказательства формулу

площади треугольника: S =¹/₂ аbsinα (половина произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними).

2.     S _ABO =¹/₂ АО∙ ВО∙sinАОВ, S _BOC  = ½ ВО∙ОС∙sinВОС,      S _COD = ½ ОС∙OD∙ sinDОС, S _AOD = ½ ОA∙OD∙ sinDОA 3. Учитывая, что sinАОВ= sinВОС= sinDОС= sinDОA, имеем: 

      ¹/₂ АО∙ ВО∙sinАОВ ∙½ ОС∙OD∙ sinDОС= ½ ВО∙ОС∙sinВОС∙½ ОA∙OD∙ sinDОA

      S₁∙ S₃ = S₂ ∙S₄

Ч.т.д. Необходимо отметить, что доказанное утверждение справедливо для любого выпуклого четырехугольника.

 

Задача (задача с пробного экзамена ГИА)

Диагонали  АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 см²  и 16 см². Найдите площадь трапеции. 

Дано: ABCD- трапеция, AD||BC, О- точка пересечения диагоналей трапеции, 

S _BOC  =16 см², S _AOD = 25 см²

Найти S_ABCD

Решение: 1. Пусть площади треугольников

ABO, BOC, COD, AOD соответственно равны S₁, S₂,S₃,S₄, тогда  S₁∙ S₃ = S₂ ∙S₄ Доказали в

предыдущей задаче. Учитывая, что S₁ = S₃, имеем уравнение S₁ ²= 16∙25 Решая уравнение, находим  S₁ = 20 см². Таким образом,  вычисляем площадь трапеции как сумму площадей четырех треугольников, на которые делится трапеция диагоналями. S_ABCD = 20+20+16+25 = 40+41=81 ( см²) Существует другой способ решения задачи  с использованием  подобия треугольников BOC и AOD.

Ответ: 81 см² 

В данной задаче можно использовать и другую формулу

Пусть площади треугольников BOC и AOD равны соответственно S₁ и S₂ . 

Найдем  площадь трапеции  ABCD 

 Как было доказано S_COD  S_AOB . Отсюда S_ABCD  S₁  S₂  2S_COD Из подобия треугольников

                                                                            BОC и AOD следует, что ^BO _     ^S1 . 

                                                                                                                                                OD        S₂

                                                                                S₁               BO        S₁

   S_COD  S₁ S₂ . SCOD OD S2

 Тогда S_ABCD  S₁  S₂  2 S₁ S₂ ^  S₁    S₂ ₂.

 

Задача

Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями BC и AD. ВСа, ADb . Найдите длину отрезка PK, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. На какие отрезки делится PK точкой О?

                                           

Дано: ABCD- трапеция, AD||BC, О- точка пересечения диагоналей трапеции, ВСа,

ADb . РК|| AD||BC

Найти: РК, РО, ОК

 

 

 

Решение 

1.   Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что ^AO  ^AD  ^b  k , где k

                                                                                                                                                    OC      BC     a

–коэффициент подобия треугольников. Если АО = х, то ОС = a       a          a           a  b

 x,AC  AO  OC  x     x  x(1      )  x b         b           b          b

2.   Из подобия треугольников AOP и ACB следует, что ^AO  ^PO    ^b          .

                                                                                                                                                    AC     BC     a  b

Отсюда PO  ^b  BC  ^ab .  Аналогично, из подобия треугольников DOK и

                                    a  b            a  b

DBC, следует, что OK  ^ab . Отсюда POOK и PK  ^2ab . a  b            a  b

 

Ответ: PO  OK  ^ab , PK  ^2ab .

                                                a  b              a  b

 

 

Задача 

В трапеции ABCD  проведен отрезок, параллельный основанию и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание трапеции равны a и  b  соответственно.  

Дано: ABCD- трапеция, AD||BC|| EH. ВСа,

ADb . SBEHC  = SAEHD Найти:  EH

 

 

 

 

Решение

Пусть площадь трапеции равна S, h₁ и h₂ – части высоты,  х – длина искомого отрезка. Тогда по условию задачи имеем: 

S  a  x h1  b  x h2 и S  a  b _h1  _h2.

2         2                2                         2

Составим систему уравнений и решим ее

a  xh1  b  xh2, hh12  ba  xx ,                     1  2         2

a  xh1  a 2 b h1  h2;  a  x  a  b 1 hh12 .   x      2 a  b .

                                                                               2     

                Таким    образом,    длина    отрезка,    делящего    трапецию    на     две

a2  b2 равновеликие, равна  (среднему квадратичному длин оснований).

2

a2  b2

Ответ:                       

2

 

Задача (задача с пробного экзамена ГИА)

В трапеции проведен отрезок, параллельный основанию и делящий ее на две трапеции одинаковой площади. Найдите длину этого отрезка, если основание

трапеции равны  24 2 ñì        è     7 2         ñì

Дано: ABCD- трапеция, AD||BC|| EH. ÂÑ  7 2 ,

AD  24 2 . SBEHC  = SAEHD Найти:  EH

 

 

 

 

Решение 

При решении задачи можно использовать формулу  ЕН =  , где a  и  b– основания трапеции ABCD. Несложные вычисления дают ответ к задаче 

24² 2  492

EH                                 576  49    625  25

2

Ответ: 25

 

Задача (с вступительного экзамена МГУ)

В трапеции  ABCD основание AD = 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол  CAD равен 60⁰. Отношение площадей треугольников AОD и BОC, где О- точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции

 

Дано: ABCD -  трапеция, AD||BC, AD = 16

АС + BD =36, ∟ CAD = 60⁰ , S _AOD : S _BOC  = 4

Найти: S_ABCD Решение.

1. Треугольники BОC и AОD  подобны ( по двум углам). Так как S _AOD : S _BOC  = 4, то коэффициент подобия равен ½ .  2. Пусть ОВ = х, а ОС = у, тогда АО = 2у, OD = 2х. По условию задачи имеем: 2х+х+2у+у = 36, 3х+3у=36, х + у = 12.

3.     Рассмотрим треугольник ВОС: ∟1 = 60⁰ (накрест лежащие углы при параллельных прямых равны). Так как AD = 16, то ВС = 8 (следует из подобия треугольников). По теореме косинусов имеем: x²  64  y²  28 y cos60⁰ ,  x²  64  y²  28 y , x²  64  y² 8 y 

4.     Итак, имеем систему уравнений с двумя неизвестными: x²  64  y² 8 y , и х + у = 12. Решение полученной  простой системы

дает следующий результат: у=5, х =7 

5.     Находим площадь треугольника ВОС: S _BOC  = ½ ВС∙ОС∙sin60⁰ = ½∙

8∙5∙ ³ =10 3 . Учитывая подобие треугольников и коэффициент

2 подобия, S _AOD = 40 3 . 

6.     Пусть площади треугольников ABO, BOC, COD, AOD соответственно

равны S₁, S₂,S₃,S₄,   S₁∙ S₃ = S₂ ∙S₄ . Так как   S₁ = S₃, то имеем уравнение S₁ ²=  10 3 ∙40 3 , S₁= S _ABO=203

7.     Таким образом,  вычисляем площадь трапеции как сумму площадей четырех треугольников, на которые делится трапеция диагоналями.

S_ABCD = 10 3 + 40 3 +20 3 +20 3 =90 3

Ответ: S_ABCD =90 3

 

Задача

Докажите, что площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой.

                                   

Дано: ABCD -  трапеция, AD||BC, К-середина

CD

Доказать SABCD = 2SABK

 

Доказательство

1.     Проведем высоты КM и КN в треугольниках BCК и ADК и выразим сумму площадей этих треугольников.

2.     S_BCK = ½∙ BC∙ MK = ½∙ BC∙ MK, S_ADK = ½∙ AD∙ NK 

3.     Так как точка K – середина CD, то  KM = KN = ½ MN (следует из равенства  треугольников CMK и DNK- прямоугольные, равны по гипотенузе и острому углу), MN – высота трапеции

4.     Найдем сумму  площадей треугольников: S_BCK + S_ADK = ½∙ BC∙ MK+½∙ AD∙ NK=½· ½ MN (BC+ AD) = ½ S_тр..

  Так как   сумма площадей треугольников оказалась равной половине площади трапеции, то  S_ABK  - вторая ее половина. S_ABCD = 2S_ABK

 

Задача

Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см.

Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.

 

 Дано: ABCD -  трапеция, AD||BC,  О середина АВ, CD = 4, ОК – расстояние до стороны CD (либо ее продолжение), 

SABCD = 20

Найти:  ОК  Решение.

 

 

ABCD = 2S_OCD, следовательно,     = 10. Отрезок ОК является высотой для треугольника OCD.

Задача (МГУ, физический факультет)

 В трапеции BCDE (СD||BE) DE=b, а расстояние от середины отрезка ВС  до

Дано: BCDЕ -  трапеция, CD||BЕ,  О -середина

ВС, DE = b, ОК – расстояние до  прямой  DЕ , ABCD

 

В предыдущей задаче было доказано, что S_BCDE = 2S_ODE. Рассмотрим треугольник ODE, отрезок ОК является высотой для треугольника ODE, S_ODE

= ½ DE·OK = ^db , следовательно S_ABCD = b·d.  

2

Ответ: S_ABCD = b·d.  

  

Тестовые задания по теме  «Трапеция» (с ответами)

1.  Средняя линия трапеции длиной 10 делит площадь трапеции в отношении 3 : 5. Найти длины оснований трапеции.

1	2	3	4
6; 10	10; 30	5; 15	5; 10

2.  В трапеции длины оснований равны 5 и 15, а длины диагоналей — 12 и 16. Найти площадь трапеции.

1	2	3	4
96	192	80	92

3.  Найти площадь трапеции, длины диагоналей которой равны 7 и 8, а оснований — 3 и 6.

1	2	3	4
12√5	2√5	12√3	9√3

4.  Периметр описанной около круга трапеции равен 24. Найти длину средней линии трапеции.

1	2	3	4
5	6	84	12

5.  Найти площадь равнобокой трапеции, у которой длины оснований равны 6 и 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.

1	2	3	4
48	54	64	42

6.  Около круга радиуса 2 описана равнобокая трапеция с площадью

20. Найти длину большего основания трапеции.

1	2	3	4
9	12	5	8

7.                 Найти длину средней линии равнобедренной трапеции, описанной около окружности, если площадь трапеции равна 312,5, а угол при основании — 30°.

1	2	3	4
25	18	22	28

8.                 Найти высоту равнобокой трапеции, описанной около окружности, если площадь трапеции равна 242, а большее основание трапеции видно из центра окружности под углом 150°.

1	2	3	4
9	11	8	12

9.                 Длины оснований трапеции АВСD равны АD = 6 см и ВС = 3 см, О — точка пересечения ее диагоналей. Чему равна длина высоты трапеции, если площадь треугольника СОD равна 2 см²?

1	2	3	4
1,5	√3	2	2√2

10.            В трапеции с основанием АD и ВС точка пересечения диагоналей  делит диагональ АС на отрезки длиной 6 см и 3 см. Чему равна площадь трапеции, если площадь треугольника АВС равна 12 см²?

1	2	3	4
24	36	32	20√3

11.            В равнобедренной трапеции с основаниями АD и ВС диагонали взаимно перпендикулярны и О — точка их пересечения. Чему равна диагональ трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 5 см², а площадь треугольника СОD равна 10 см²?

1	2	3	4
9,5	3√10	10	√95

12.            В равнобедренной трапеции с основаниями АD и ВС острый угол между диагоналями 30° и О — точка их пересечения. Чему равна диагональ трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 3 см², а площадь треугольника АОD равна 12 см²?

1	2	3	4
6∙6√3	6∙√3	10	7√2

13.            В равнобедренную трапецию вписана окружность. Чему равен острый угол трапеции, если точка касания делит боковую сторону на отрезки, отношение длин которых равно 3:1?

1	2	3	4
60	30	45	50

14.            Длины оснований трапеции равны 20 и 5, высоты — 3. Найти длину высоты треугольника, построенного на большем основании трапеции продолжением ее боковых сторон.

1	2	3	4
8	5	4	2

15.            В трапеции АВСD точка N делит боковую сторону СD в отношении 2 : 3 (3 СN =2ND). Прямая АN пересекает диагональ ВD в точке К. Найти отношение площади треугольника КND к площади трапеции АВСD, если ЗВС=АD.

1	2	3	4
3/40	7/40	9/40	1/40

16.            В трапеции АВСD точка К делит основание АD в отношении 1 : 3 (КD =3АК). М — точка пересечения ВК с диагональю АС. Найти отношение площади треугольника АМК к площади трапеции АВСD, если АD =2ВС.

1	2	3	4
5/18	1/6	1/18	1/3

17.            Площадь трапеции равна 161, длина высоты — 7, а разность длин параллельных сторон - 11. Найти длину большего основания.

1	2	3	4
18,5	28,5	28,35	28,35

18.            Длины оснований равнобокой трапеции равны 13 и 17. Найти площадь трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны.

1	2	3	4
245	215	225	255

19.            В трапеции АВСD (ВС || АD) точка М делит сторону СD в отношении 1 : 3         (СМ :МD=1:3). Известно, что АD=2ВС. Найти отношение площади треугольника АСМ к площади трапеции АВСD.

1	2	3	4
1/3	1/5	2/3	1/6

20.            Трапеция, высота которой равна 53 , равновелика равностороннему треугольнику с высотой  23 . Найти среднюю линию трапеции.

1	2	3	4
0,8	1,2	0,9	1,32

21.Диагональ прямоугольной трапеции длиной (22 1):8 делит трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Найти периметр трапеции.

1	2	3	4
0,125	0,85	0,875	0,4255

22.            Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если величина ее острого угла равна 60°, меньшее основание  ⁴3 и  большая боковая сторона 2⁴3

1	2	3	4
2,25	3,85	3,5	4,5

23.            Определить длину боковой стороны равнобокой трапеции, описанной около окружности, если острый угол при основании трапеции равен  ^, а площадь

3

трапеции равна 2883

1	2	3	4
24	18	21	15

24.            Равнобокая трапеция описана около окружности. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 12 и 48. Найти площадь трапеции.

1	2	3	4
2880	2550	2660	2440

25.            Площадь равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна 144,5. Найти радиус окружности, если угол при основании трапеции равен  ^π/₆

1	2	3	4
2,25	3,75	4,25	3,25

26.            Площадь равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна 1283 . Найти боковую сторону трапеции, если острый угол при основании трапеции равен ^π/₃.

1	2	3	4
16	19	25	27

27.            Около окружности радиуса 23 описана равнобокая трапеция. Определить площадь трапеции, если ее высота вдвое больше меньшего из оснований.

1	2	3	4
55	60	75	80

28.            Равнобокая трапеция описана около окружности. Большее основание трапеции видно из центра круга под углом 120°. Найти длину боковой стороны трапеции, если ее площадь равна 503

1	2	3	4
15	20	10	35

29.            Площадь равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна 162, а высота трапеции вдвое меньше ее боковой стороны.

Найти радиус окружности.

1	2	3	4
4,5	5,5	2,5	3,5

30.            Площадь равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна 983 . Найти длину средней линии трапеции, если угол при меньшем основании трапеции равен 120°.

1	2	3	4
19	14	21	28

Ответы выделены красным цветом в тесте.

Задача, №	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Ответ	5; 15	6	12√5	6	64	8	25	11	2	36	3√10	6∙√3	60	4	3/40

 

Задача, №	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Ответ	1/18	28,5	225	1/6	0,8	0,87 5	4,5	24	2880	4,25	16	60	10	4,5	14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для учащихся (раздаточный материал)

Задача № 1 

Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.

Ответ: SABCD=14 2

3

Задача № 2

 В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна 45  Найти площадь трапеции.

Ответ: S_ABCD = 21

Задача № 3

Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Ответ: S_ABCD = 54

Задача № 4 (ЕГЭ - С4)

Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами АВ = 27, CD = 28 и основанием ВС = 5. Известно, что cosBCD = - ²/₇ . Найдите диагональ АС.

Ответ: 28 или 2 181

Задача № 5

В равнобедренной трапеции ABCD точка Р является серединой боковой стороны АВ, ВР = 1, угол СРD равен 90⁰. Найдите периметр данной трапеции

Ответ: Р_ABCD = 6 Задача № 6 

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь трапеции

Ответ: S_ABCD = 12

Задача № 7

Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 45⁰. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.

Ответ S_ABCD=  36

Задача № 8

В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции

Ответ: S_ABCD = 256 Задача № 9

Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту трапеции, если боковая сторона равна 4.

Ответ: ВК=2 2

Задача  № 10 (задача с пробного экзамена ГИА, Мехмат МГУ, 1970г) Известно, что длины диагоналей трапеции равны 3 и 5. Длина отрезка, соединяющего середины ее оснований равна 2. Найдите площадь трапеции

Ответ: S_ABCD = 6

Задача № 11

В трапеции углы при одном из оснований равны  20⁰ и 70⁰ . Длина отрезка, соединяющего середины оснований  равна 2. Найдите длины оснований трапеции, если длина средней линии трапеции равна 4. Ответ: AD = 6,  BC = 2

Задача № 12 (с вступительного экзамена МГУ)

Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее средняя линия   равна 5

      Ответ: S_ABCD = 25

Задача № 13

Диагонали  АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке О (AD || BC).

Докажите, что площади треугольников AOB и  DOC равны

Задача № 14

Диагонали  АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Пусть площади треугольников ABO, BOC, COD, AOD соответственно равны S₁,

S₂,S₃,S₄. Докажите что S₁∙ S₃ = S₂ ∙S₄.

Задача № 15 (задача с пробного экзамена ГИА)

Диагонали  АС и ВD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOD и BOC равны соответственно 25 см²  и 16 см². Найдите площадь трапеции. 

Ответ: 81 см² 

Задача № 16 (с вступительного экзамена МГУ)

В трапеции  ABCD основание AD = 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол  CAD равен 60⁰. Отношение площадей треугольников AОD и BОC, где О- точка пересечения диагоналей, равно 4. Найдите площадь трапеции

Ответ: S_ABCD =903

Задача № 17

Докажите, что площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой.

Задача № 18

Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см.

Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.

Ответ: ОК = 5

Задача № 19 (МГУ, физический факультет)

 В трапеции BCDE (СD||BE) DE=b, а расстояние от середины отрезка ВС  до прямой DE равно d. Найдите площадь трапеции Ответ: S_ABCD = b·d.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Геометрия 7-9 класс, Л.С. Атанасян и др , М.,  Просвещение, 2004 г 2. Геометрия для 7-9 кл, Э.Н. Балаян, Ростов на Дону, «Феникс» , 2006 г.

3.     Журнал «Квант»,  Практикум абитуриента, 2000 г, № 6.

4.     Интернет ресурсы