Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Комбинации многогранников и круглых тел
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Комбинации многогранников и круглых тел

библиотека
материалов


Тема: Комбинации многогранников и круглых тел.

Цели:

  • ознакомить учащихся с тремя способами решения задач на комбинацию многогранников и сферы;

  • развивать умение работать с чертежом, обобщать, сравнивать, переносить знания в новую ситуацию, активизировать мыслительную деятельность учащихся;

  • воспитывать творческий подход к решению задач, эстетическое восприятие чертежа.

Ход урока


  1. Рассмотрение задачи С4; демонстрационного варианта 2008 года предложенным способом.

  2. Рассмотрение решения данной задачи еще двумя способами - координатным и векторным. Выбор рационального способа решения для данной задачи.

  3. Рефлексия. Решение задачи 1 (из вариантов КИМ ЕГЭ) с помощью учителя тремя способами. Выбор рационального способа решения для задачи 1.

  4. Предложение задачи 2 для самостоятельного решения по группам 3 способами.

  5. Подведение итогов урока


Ход урока.

I. В вариантах единого государственного экзамена часто встречаются задачи на комбинации многогранников и круглых тел. В частности, в демонстрационном варианте данного года предложена задача на комбинацию многогранника и сферы(С4).

Решим эту задачу тремя способами.

Задача. Отрезок PN – диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T – середина ребра ML.


1 способ.

Решение


1hello_html_7bd87ead.gif) Пусть О – центр сферы, а R – ее радиус. Тогда hello_html_m614f2c6e.gif как диаметр сферы. Поскольку точки M и

L лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. Сечения сферы плоскостями PLN и PMN – окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем PMN =PLN = 900 как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.

2) Пусть H – высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h – высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то hello_html_cfad916.gif, причем hello_html_m6e099648.gif, если hello_html_40bc90d7.gif. Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, то hello_html_1ac93591.gif, причем hello_html_4cf461ea.gif, если hello_html_m79a0a68a.gif. Отсюда для объема пирамиды PNML имеем hello_html_5bf4a57b.gif. При этом hello_html_m13531aad.gif, только если hello_html_m5ad65cf7.gif. Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN – прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

3) Поскольку hello_html_33b69f31.gif, то hello_html_267e4d82.gif. Но hello_html_24d6d805.gif и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости hello_html_m50cc0b39.gif. Пусть K – середина МО. Проведем KТ – среднюю линию треугольника OLM. Тогда hello_html_22c4a0cd.gif. Значит, hello_html_7fd0608f.gif и поэтому KN – проекция NT на плоскость PMN и TNK – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть TNK = .

4) По свойству средней линии hello_html_m3c79da77.gif. Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL – правильный со стороной hello_html_m2a8484a2.gif. NT – высота треугольника MNL, значит, hello_html_m8531db0.gif. Отсюда hello_html_m5d8102a2.gif.

Ответ: hello_html_m32e23912.gif.

II. 2 способ(векторный).

→ → →

Пусть ОМ, ОN, OL – взаимно перпендикулярные

hello_html_m40f30d49.gif

координатные вектора. Разложим вектор NТ по координатным векторам:

→ → → → → →
N
Т = NO + OM + MT = -ON + OM + ½

→ → →

(MO + OL) = -ON +

→ → → → → → + OM + ½ MO + ½ OL = - ON + OM - ½ OM

→ → → →

+ ½ OL = -ON + ½ OM + ½ OL

OL – вектор, перпендикулярный к плоскости PMN. Найдем скалярное

→ →

произведение векторов OL и NТ:

→ → → → → → → → → → → →

OL • NT = OL (- ON + ½ OM + ½ OL) = -OL • ON + ½ OL• OM + ½ OL • OL = ‌½

|OL|І = ½ R²

По определению скалярного произведения.

→ → → → →

OL • NT = │OL│• │NT│cosα = R •│NT│• cosα, где α - угол между векторами

→ →

OL и NT. → →

Тогда R•│NT│cosα = ½ R², 2│NT│cosα = R,

hello_html_2fdf2920.gif


Найдем NT.

OL = ON = R, NL = Rhello_html_5f9b8c8.gif, hello_html_m595d2067.gif

TNL – прямоугольный, тогда NT = hello_html_15efea6f.gif , NT = hello_html_5e75d2d4.gifR.

Значит, hello_html_45adcd6e.gif,

cos α = hello_html_m4594aba.gif. │cosα│= sinφ =hello_html_m4594aba.gif, где φ – угол между прямой NT и плоскость PMN.

Ответ: hello_html_m4594aba.gif.

3 способ(координатный).

→ → →

hello_html_6f71a8c5.gifПусть ОМ, ОN, OL – взаимно

перпендикулярные координатные вектора.

→ →

Найдем координаты векторов NT и OL.

O(0,0,0), L(R,0,0), M(0,0,R), N(0,R,0), T(hello_html_3ce3878.gif; 0; hello_html_3ce3878.gif )hello_html_m53d4ecad.gif

тогда OL (R; 0; 0), NT (hello_html_3ce3878.gif; - R; hello_html_3ce3878.gif)

hello_html_4e2bd1a4.gif=hello_html_m413f89aa.gif, где α – угол между векторами

→ →

NT и OL. Но cosα = sinφ, где φ – угол между прямой NT и плоскостью PMN. Значит, sinφ =hello_html_2f0bf7b4.gif. Ответ: hello_html_2f0bf7b4.gif.

III. Мы рассмотрели три способа решения одной задачи. Предлагаю решить задачу 1 тремя рассмотренными способами и выбрать рациональный способ решения для данной задачи.

Задача 1.

Дана сфера радиуса 5. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с центром О1. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 3. Точка Т выбрана на сфере, а точки K, L, M, N – последовательно на окружности сечения так, что объем TKLMN пирамиды наибольший. Точка А – середина ребра TL. Найдите косинус угла между прямыми О1A и LM.

Рhello_html_m2b6e4eff.gifешение.

1 способ.

1)Объем пирамиды TKLMN – наибольший, когда KLMN – квадрат, а высота пирамиды равна TO1, где Оє TO1. В этом случае площадь основания пирамиды наибольшая и высота пирамиды наибольшая. Чтобы найти косинус угла между прямыми O1A и LM, проведем O1D ‌‌║LM. При этом O1D = ½ LM как средняя линия ∆KLM. Опустим перпендикуляр AS на DO1, т.е. AS DO1 тогда

hello_html_m1bf6dc0f.gif,

где α – угол между прямыми O1A и DO1., УГОЛAO1S = α.

2)Рассмотрим прямоугольный ∆OO1N. OO1 =3 по условию, ON = R = 5. Тогда O1N =

= 4. LN = 2 O1N = 8; LM = hello_html_1acfe9ae.gif ; DO1 = hello_html_m25b9e045.gif.

3) ∆ KTO1 - прямоугольный, O1T = 8, KO1 = 4. Тогда TK = hello_html_1bfe0235.gif. AD = ½ TK как средняя линия ∆TLK, AD = hello_html_2c92dd9c.gif

4)∆ ADO1 – равнобедренный, AD = AO1 = hello_html_2c92dd9c.gif,т.к. AO1. – медиана прямоугольного ∆TDO1 , опущенная из вершины прямого угла. В равнобедренном ∆ ADO1 AS – высота и медиана, поэтому DS = SO1 = ½ DO1 = hello_html_m5061d21c.gif

5) Значит, cosα = hello_html_m48de56ed.gif, cosα = hello_html_m17e4cf2f.gif .Ответ: hello_html_m17e4cf2f.gif .hello_html_m53d4ecad.gif

2 способ(векторный).

→ → →

Пусть O1L, O1M, O1T - взаимно перпендикулярные координатные вектора, а α –

hello_html_m2b6e4eff.gif

→ →

угол между векторами ML и O1A . Найдем cosα. Найдем скалярное

→ →

произведение векторов ML и O1A по определению скалярного произведения и разложив эти векторы

→ → →

по координатным векторам O1L, O1M, O1T.


→ → → → → →

ML • O1A = │ML│•│O1A│•cosα, │ML│= hello_html_1acfe9ae.gif, │O1A│= hello_html_m56cebdcd.gif

→ →

ML • O1A = hello_html_m5c5888ee.gifcosα.

→ → →

С другой стороны O1A =1/2 (О1L + O1T),

→ → → → → → → → → → →

ML = MO1+O1L = -O1M + O1L, тогда O1AML = (-O1M+O1L)( ½ O1L+ ½ O1T)=

→ → → → → → → → →

- ½O1M • O1L – ½ O1T • O1M + ½ O1L • O1L+½ O1T • O1L = ½│O1L│² = 8,

т.к. │O1L│=4. Значит, hello_html_m5c5888ee.gifcosα = 8, cosα = hello_html_m17e4cf2f.gif.

cosα│= sinφ, sinφ = hello_html_m17e4cf2f.gif. Ответ: hello_html_m17e4cf2f.gif.

3 способ(координатный)


Поместим пирамиду TLMNK в систему координат так, что О1 – начало

координат, а оси координат направлены по векторам 01L, O1M, O1F. Найдем


hello_html_m2b6e4eff.gif

координаты векторов LM и O1A. KO1=O1N=O1M=O1N=4 тогда L(4;0;0),

M(0;4;0) LM (-4;4;0). O1(0;0;0).

Спроектируем точку А на плоскость квадрата и найдем ее координаты. ∆ALO1 - равнобедренный, AO1=AL, поэтому AS - медиана ∆ALO1 , т.е. O1S = 2.

→ → →

AS = ½ TO1, как средняя линия ∆TLO1, AS=4. A(2;0;4), O1A(2;0;4), α = O1A^LM.

cosα = hello_html_4f6e2438.gif; cosα = hello_html_m17e4cf2f.gif. Ответ: hello_html_m17e4cf2f.gif.


IV. Предложение задачи 2 для самостоятельного решения.

Задача2.

Дана сфера радиуса 8, с центром в точке О. В этой сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстояние 4. Точка выбрана F на сфере, а точки A,B, C,D - последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наибольший. Найдите синус угла между прямой и плоскостью AFB.

Решение.

1hello_html_m7f1ec5f6.gif способ.

1) Объем пирамиды FABCD наибольший, когда наибольшими будут площадь основания и высота пирамиды. Площадь основания наибольшая, когда ABCD – квадрат. Высота пирамиды наибольшая, когда h=FO1, Oє FO1.

2)Прямая OA - наклонная по отношению к плоскости ABF. Опустим из точки О перпендикуляр на плоскость ABF: OK ABF, KєFT т.к. ∆ABF – равнобедренный, FT AB.

Тогда уголOAK - угол между прямой AO и плоскостью ABF, sin углаOAK = hello_html_m209cffcb.gif

3) В прямоугольном ∆O1DO OD = R=8, OO1 = 4, тогда DO1 = hello_html_m6f765ae3.gif.

AB = hello_html_5e45d1a1.gif, AT = ½ AB, AT = hello_html_69290e08.gif.

4) В прямоугольном ∆O1TF O1F = 12, O1T = hello_html_m6f765ae3.gif, тогда FT = hello_html_2c256b03.gif.

5) Рассмотрим прямоугольные треугольники FO1T и FOK. Они имеют общую вершину F, тогда ∆ O1FT∞ ∆OFK . Имеем: hello_html_5a13b60d.gif , ОК = hello_html_m4ad6b411.gif . Значит,

sin угла OAK = hello_html_m740aaeb1.gif sin угла OAK = hello_html_31eaea82.gif . Ответ: hello_html_31eaea82.gif .

2hello_html_m7f1ec5f6.gif способ(векторный).

Поместим пирамиду FABCD в систему координат так, что О1 – начало

→ → →

координат, O1A, O1B, O1F – координатные вектора. Синус угла (sinφ) между прямой AO и плоскостью AFB равен модулю косинуса угла между направляющим вектором

прямой AO и вектором KO, перпендикулярным к плоскости AFB(cosα).

Чтобы найти косинус угла между прямой AO и плоскостью AFB, рассмотрим скалярное произведение вектора AO и вектора KO , перпендикулярного к плоскости AFB.

→ → → →

KO • AO = │KO│•│AO│cosα.

KO│= hello_html_m4ad6b411.gif; │AO│= R =8, KO • AO = hello_html_m162ab277.gif•cosα.

Из прямоугольного ∆OKF FK = hello_html_60a93a8f.gif, FT = hello_html_2c256b03.gif. Тогда hello_html_509686ba.gif.

→ →

Разложим вектора AO и KO по координатным векторам.

→ → → → →

AO = AO1+OO1=-O1A+1/3O1F.

→ → → → → → → → → → →

KO=KF+FO=4/7 TF-2/3 O1F=4/7 (O1F-O1T)- 2/3 O1F=-2/21O1F- 4/7O1T=-2/21O1F-

→ → → → →

4/7*1/2 (O1A+O1B)= -2/21O1F-2/7O1A-2/7O1B.

→ → → → → → → → →

KO • AO = (-O1A+1/3O1F)( -2/21O1F-2/7O1A-2/7O1B)= 2/7│O1A│²-2/63│O1F│².

Учитывая, что │O1A│= hello_html_m6f765ae3.gif │O1F│=12, имеем: KO • AO = hello_html_m357b2c08.gif.

Тогда hello_html_m162ab277.gifcosα = hello_html_524187f9.gif, cosα = hello_html_31eaea82.gif. sinφ = │cosα│, sinφ = hello_html_31eaea82.gif.Ответ: hello_html_31eaea82.gif.

3 способ(координатный).

Поместим пирамиду FABCD в систему координат, так что О1 – начало координат, а оси координат



hello_html_m7f1ec5f6.gif → → →

направлены по векторам O1M, O1T, O1F , где M и T середины ребер AD и AB соответственно. Найдем координаты векторов

→ →

KO и. AO.

Спроектируем точку К на плоскость квадрата и

найдем ее координаты.


К1 – проекция точки К на плоскость квадрата, K1єO1T, O1K1=KS, где KS ┴ OF.

FOK – прямоугольный, KS- высота, опущенная из вершины прямого угла,

hello_html_mc2e8036.gif. OK = hello_html_m4525ddc0.gif, FK = hello_html_60a93a8f.gif; KS = hello_html_m190cbbb.gif= O1K1.

OSK – прямоугольный: OS = hello_html_556c1df8.gif, OS = hello_html_2afa43c1.gif.

O1S = hello_html_1737294f.gif, O1S = hello_html_mc0b5502.gif.

Тогда K(0; hello_html_m190cbbb.gif; hello_html_mc0b5502.gif), O(0;0;4)

KO(0; hello_html_2be52a20.gif; hello_html_mc5832e5.gif).

A(hello_html_69290e08.gif;hello_html_69290e08.gif;0), AO(hello_html_1ad29cc5.gif;hello_html_1ad29cc5.gif;4).


hello_html_m2ca394d5.gif


sinφ = cosα = hello_html_31eaea82.gif. Ответ: hello_html_31eaea82.gif.

V. Подведение итогов урока.

VI.Задание на дом. Решить 3 способами задачу из КИМ ЕГЭ: В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами АВ=АС=4, ВС=4√3 . Ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найдите радиус описанного около пирамиды шара, если радиус вписанного шара равен 2√3

5



Автор
Дата добавления 23.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров529
Номер материала ДВ-181929
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх