527531
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаСтатьиСтатья Комбинации с участием геометрических объектов

Статья Комбинации с участием геометрических объектов

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Комбинации с участием геометрических объектов.

В комбинаторном анализе, мы встречаемся с множеством разнообразных занимательных задач. Одни из них связаны с людьми, другие с числами. Не меньший интерес вызывают задачи с участием геометрических объектов. Рассмотрим способы решения данных задач.

Задача 1.

На некоторой окружности отмечены 34 красных и 165 синих точек. Сколько можно построить различных хорд с концами в точках:

а) одинакового цвета

б) разного цвета

Чтобы построить хорду, на окружности необходимо выбрать две точки. По условию задачи, они могут быть одинакового цвета (красные или синие), либо разного (одна точка красная, другая синяя).

Данную задачу можно решить несколькими способами. Рассмотрим подробно каждый из них.

1 способ – правило произведения.

Отвечая на вопросы задачи, выясним отдельно, сколько хорд получится с концами в точках красного цвета и сколько с концами в точках синего цвета, затем просуммируем полученные результаты.

Выбираем на первое место произвольную точку, на втрое место останется на одну точку меньше. Используем правило произведения.

Первое место


Второе место

Результат

Красный

34

x

33

1122

Синий

165

х

164

27060

Из каждой красной точки можно провести 33 хорды, при этом каждую из них мы сосчитали дважды, поэтому чтобы получить конечный ответ, разделим полученный результат пополам:

хорд, с концами в красных точках

= 13530 – хорд, с концами в синих точках

561+13530 = 14091– хорд, с концами в точках одинакового цвета

Аналогично рассуждая, найдем, сколько можно построить хорд с концами в точках разного цвета:

= 19701

2 способ – комбинаторные числа.

Для того, чтобы верно определить комбинаторный объект, соответствующий объекту задачи, проведем следующие рассуждения:

  1. наша комбинация неупорядоченная (точки на окружности не пронумерованы и не имеет значения, в каком порядке составляются хорды)

  2. повторения при составлении хорд не допускаются (две точки участвуют в образовании только одной хорды)

Принимая во внимание данные рассуждения, делаем выбор в пользу формулы сочетания элементов, которая имеет следующий вид:



После подстановки получим:







Существует так же третий способ решения задачи – метод перебора. Для нашего случая данный метод является неудобным, т.к. одним из главных критериев его применимости является обозримое число перебираемых комбинаций, а таковых у нас немало. Метод перебора займет много времени, если не прибегнуть к помощи вычислительной техники.

Но не все задачи решаются одним из предложенных способов. Встречаются и более сложные, для нахождения верного ответа в которых, требуется применить несколько способов решения. Рассмотрим пример такой задачи.

Задача 2.

На одной прямой отмечено 5 точек, а на параллельной ей прямой — 7 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?







Любой из треугольников можно задать при помощи его вершин, поэтому каждому треугольнику соответствует комбинация из трех точек. Для построения любого треугольника необходимо выбирать две точки на одой прямой и одну на другой (см. рис). Таким образом, мы получаем треугольники двух видов – имеющие две вершины, принадлежащие первой прямой (с пятью точками), и имеющие две вершины, принадлежащие второй прямой (с семью точками).

Подсчитаем отдельно количество треугольников каждого вида. Используем второй способ (комбинаторные числа). Наша комбинация неупорядоченная (порядок точек не важен) и повторы не допускаются (выбор точки допускается единожды), значит, мы можем использовать формулу сочетание без повторения, получаем . Осталось выбрать последнюю точку треугольника на другой прямой, это можно сделать 7 способами. Используем правило произведения, так как одновременно нужно выбрать три точки. Итак, всего треугольников первого вида: , по аналогичным рассуждения получаем – треугольников второго вида. Конечный ответ сможем записать, пользуясь правилом суммы:



Данная задача является примером одновременного использования нескольких правил в решении.

Вывод: задачи с участием геометрических объектов, как и другие задачи комбинаторики, можно решать по-разному. Попадаются простые, ответ в которых можно получить несколькими способами, и более сложные, для решения которых, необходимо сочетать несколько способов. Выбор того или иного варианта решения зависит от уровня подготовки решающего, запаса времени, сложности математических выкладок и применимости в рамках данного задания. Владея информацией о каждом методе решения, вы без труда найдете ответ.













Общая информация

Номер материала: ДБ-315310

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Онлайн-конференция Идет регистрация