Комбинаторика и проблемы её преподавания в 5-м классе

В.В.Выговская, учитель математики

ГБОУ СОШ № 149, г. Санкт-Петербург

Комбинаторика и проблемы её преподавания в 5-м классе

В соответствии с Федеральным компонентом образовательного стандарта второго поколения по математике одной из обязательных содержательных линий основного общего и среднего (полного) образования является линия «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

Задания вероятностно-статической линии в контрольно-измерительные материалы экзамена при проведении государственной (итоговой) аттестации по алгебре выпускников основной школы были включены в 2011 году и средней  (полной)  школы в 2012 году.

Раздел «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления. [3].

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Комбинаторика не встречается на ЕГЭ и в ГИА в чистом виде, однако знать ее совершенно необходимо. В противном случае многие задачи КИМ просто не решаются.

Внедрение стохастической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников, где в полной мере рассматриваются все вопросы данного раздела программы.

Предлагаемая статья адресована учителям, которые сталкиваются в процессе преподавания математики в 5-м классе с  комбинаторными задачами,  работая по учебнику Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова и др.[2]. Я преподаю математику по другим пособиям, но предпочтение отдаю этому учебнику.

Широко известная и много раз переиздаваемая книга Виленкина Н.Я.  «Комбинаторика» [4] характеризуется как материал, созданный для хорошего ученика. И адресована она школьникам старших классов, интересующихся математикой, учителям, студентам первых курсов математических факультетов университетов и пединститутов, а также всем, сталкивающимся в своей практической работе с комбинаторными задачами.

Есть ещё хорошая книга Ткачёвой  М.В и Фёдоровой Н.Е.: «Элементы статистики и вероятность. Учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений» [5]. Но учебника по комбинаторике для пятиклассников нет. Значит, пятиклассники опять забыты. И учителя тоже.

Да и в вышеуказанном учебнике уважаемых нами авторов таких заданий мало. И решив один вид задач, например, с перестановками, учащиеся начинают путать их с задачами на размещения и сочетания.

Например, в учебнике  по математике 5-ого класса [2] уже на стр. 7-8 приводится полное решение задачи № 11 с перестановками: «Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2». Думаю, что с ней учащиеся справятся и без помощи учителя. Однако здесь пятиклассники могут ознакомиться с таким способом решения задач, как «Граф-дерево» (названное так за внешнее сходство с деревом).

Но эта задача  дана в рубрике, помогающей учиться думать, рассуждать, делать наблюдения и выводы, расширяющие круг математических знаний и представлений. То есть задача находится в дополнительном разделе, а не обязательном. Для отработки навыка решать такой вид задач здесь же заданий не приводится.

Следующая  похожая по смыслу задача, но уже комбинаторно-математического  типа,  под № 59 [2, 15]: «Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 5, 7, если в записи числа цифры не будут повторяться? Какое из этих чисел наибольшее и какое наименьшее?» находится уже в рубрике «Повторение».  Вот только уже при изучении следующей темы.

Если использовать эти задачи в предложенных темах, то они между собой отделены тремя, а то и четырьмя уроками. А их желательно решить на одном уроке. Конечно, это можно сделать. А как быть с домашним заданием? Ведь, либо ещё должны быть задания для закрепления из учебника, либо учителю надо придумать похожие задачи (что, не сомневаюсь, сможет любой педагог). В последнем же случае учащимся придётся записать текст в тетрадь, а на это должно быть выделено драгоценное время урока. Мы можем предложить и другой способ. Но он почти из области фантастики. У нас ведь есть Интернет, скажете вы. И будете правы. А у всех ли он есть? А вот экзамен для всех.

Здесь и возникает необходимость намного увеличить количество комбинаторных задач. Или создать дополнительный учебник-брошюру для пятиклассников.

Но, вернёмся к путанице, которая обязательно возникает у учеников при решении комбинаторных задач, если заданий решается очень мало и их рассмотрение разделено большим промежутком времени.

Приведём пример из своего опыта.

Если при решение задачи № 96 [2, 19-20]: «В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?» на этом же уроке предложить решить № 132 [2, 26]: «В футбольной команде пятого класса 7 человек. Члены команды выбирают капитана и вратаря. Сколькими способами это можно сделать?», то ученики смогут уловить разницу в решении этих, казалось бы одинаковых задач. Но здесь пятиклассникам надо сделать подсказку, что в спортивной команде капитаном может быть и вратарь.

Ответом в № 96 является число 20, т.е.  5 · 4, а вот в задаче № 132 – 49,  где 49 = 7 · 7. Хотя учащиеся, скорее всего, решая по аналогии, напишут ответ 42 = 7 · 6. Ведь не каждый взрослый, а тем более ребёнок, знает, что в спортивной команде и вратарь может быть капитаном. Т.е. ответ в этой задаче 49.

При подведении итога спортивной темы было бы хорошо предложить ученикам ещё одну «спортивную» задачу [1, 8]. Например, такую: «В спортивной команде 10 человек. Необходимо выбрать капитана  и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?». Вот теперь учащиеся не допустят ошибку и определят правильно, что на место капитана может быть выбран любой из десяти человек, а вот уже на место его заместителя только один из оставшихся девяти.

Очень удачным моментом учебника мы считаем подробное изложение решения задачи № 267 [2, 45-46] с помощью рисунка. И не только это. Ведь за ней следует № 268 [2, 46], который можно предложить ребятам в качестве домашнего задания.

Далее в учебнике мы найдём ещё 11 комбинаторных задач, последняя из которых под № 1071 [2, 166] находится в развивающем разделе темы «Деление и дроби». Эта тема, в зависимости от планирования, может быть изучена в январе. Ещё две задачи встречаются при изучении заключительного раздела «Вопросы и задачи на повторение». Думаем, вы согласитесь с нами, что это недостаточно.

В учебнике [2] есть вышеуказанная задача № 1071: «К полднику в детском саду на четырёхместный стол поставили сок, молоко, какао и компот. Сколькими способами четверо детей могут выбрать себе один из напитков?», которую способные ученики будут решать с помощью факториала, ведь с ним они познакомились при изучении подробного решения задачи под № 694 [2, 106] о пяти членах семьи, которые выбирают себе одну из пяти подаренных чашек.

Справились бы ребята и с такой задачей: «Сколькими способами 11 футбольных команд могут разыграть между собой золотую, серебряную и бронзовую медали?» [1, 55].  Решение: 11 · 10 · 9 = 990. Ученикам будет любопытно ознакомиться с формулой вычисления числа всех размещений А из n элементов по k: .

А вот, если учитель предложит задачу: «Имеется 6 видов овощей. Решено готовить салаты из трёх видов овощей. Сколько различных вариантов салатов можно приготовить?» [1, 64], то пятиклассники, скорее всего, допустят ошибку, решив её так: 6 · 5 · 4 = 120. Этот ответ неверен, ведь место овоща в салате не закреплено за каким-то конкретным овощем (т.е. они укладываются не слоями, а перемешиваются). Например, если мы вначале сделаем закладку овощей в порядке: морковь (м), капуста (к), огурец (о), то в другой раз разместить овощи в порядке: «кмо» нельзя, т.к. это один и тот же салат, и порядок закладки овощей неважен.

Решать эту задачу перебором всех возможных вариантов долго. Можно показать такой способ. Например, рассмотрим предложенную ситуацию «мко». Здесь ученики легко составят ещё 5 вариантов перестановок: «мок», «кмо», «ком», «окм», «омк».  Учитывая, что данная смесь овощей повторяется 6 раз, мы делим указанное выше число 120 на 6. Получаем 20 вариантов. Также интерес к такой задаче может быть подкреплён формулой для нахождения числа сочетаний С из n элементов по k: .

Мы думаем, что вы с нами согласитесь, что успешная сдача экзамена по математике в 9-м классе в формате ГИА  и ЕГЭ в 11-м напрямую зависит от умения решать задачи по комбинаторике и теории вероятности. Т. е. эти задачи  обязательны. И, конечно, учиться решать их надо в пятом классе, и даже уже в начальной школе. Для этого небходимо систематическое включение таких задач в урок. Так как их недостаточно в учебнике Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова и др.[2], то учителям нужно в своей работе использовать дополнительную литературу (книга Виленкина Н.Я.  «Комбинаторика» [4]).

Список литературы

1. Контрольно-измерительные материалы. Математика: 5 класс / Сост. Л.П. Попова. – М.: ВАКО, 2012. – 96 с. – (Контрольно-измерительные материалы).

2. Математика. 5 класс :  учебн. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 26-е стер. – М. : Мнемозина, 2009. – 280 с.: ил.

3. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5-9 классы./ Кузнецов А.А. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 67 с. - (Стандарты второго поколения).

4. Электронный ресурс «Библиотека книг»: http://www.kodges.ru

5. Элементы статистики и вероятность : учеб. пособие для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2005. – 112 с.: ил.

Краткое описание документа:

В соответствии с Федеральным компонентом образовательного стандарта второго поколения по математике одной из обязательных содержательных линий основного общего и среднего (полного) образования является линия «Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей».

В статье рассматривается актуальность вопроса преподавания комбинаторики в 5 классе. Рассмотрены дополнительные пособия, которые может применить учитель на уроках при изучение этой темы.