Комбинаторные задачи 9 класс

• 1 слайд

  Комбинаторные задачи.
  Комбинаторика.
  выбор
  расположение
  перестановки
  n!
  n!
  

• 2 слайд

  2
  Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называют комбинаторикой.
  В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.
  

• 3 слайд

  3
  - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
  м
  б
  о
  и
  н
  а
  о
  р
  и
  к
  а
  к
  

• 4 слайд

  4
  Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
  Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
  

• 5 слайд

  5
  Познакомимся с некоторыми
  приемами решения комбинаторных задач
  
  решение методом перебора;
  решение с помощью дерева возможных вариантов;
  решение с помощью комбинаторного правила умножения;
  решение с помощью таблиц;
  решение с помощью графов.
  

• 6 слайд

  6
  У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
  Замечание. При решении для краткости будем писать первые буквы имен.
  

• 7 слайд

  7
  Составим сначала все пары, в которые входит Вера.
  ВЗ, ВМ, ВП, ВС
  Выпишем теперь пары, в которые входит Зоя, но не входит Вера.
  Далее составим пары, в которые входит Марина, но не входят Вера и Зоя.
  Еще одна пара
  ЗМ, ЗП, ЗС
  МП, МС
  ПС
  Всего существует 4+3+2+1=10
  Решение
  Ответ:10 вариантов
  Вера
  Зоя
  Марина
  Полина
  Света
  Получим 4 пары.
  Таких пар три.
  Их две.
  Далее составим пары, в которые входит Полина.
  

• 8 слайд

  8
  Рассмотрим еще одну задачу. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь? Укажите все возможные варианты. Сколько таких вариантов?
  
  Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.
  ш
  ж
  б
  м
  

• 9 слайд

  9
  Решение
  Всего 3+2+1=6
  Ответ:6 вариантов
  ш
  ш
  ш
  ж
  ж
  б
  б
  б
  ж
  м
  м
  м
  

• 10 слайд

  10
  Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
  Ответ: 9 чисел.
  Приемы решения комбинаторных задач
  метод перебора
  11;14;17; (начали с 1)
  Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
  Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?
  41;44;47; (начали с 4)
  71;74;77; (начали с 7)
  

• 11 слайд

  11
  Приемы решения комбинаторных задач дерево возможных вариантов
  Решим аналогичную задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7, так чтобы цифры не повторялись. Для её решения построим схему - дерево возможных вариантов.
  число
  1
  4
  7
  4
  4
  7
  7
  1
  1
  7
  7
  1
  1
  4
  4
  Ответ: числа 147;174;417;471;714;741
  6 чисел (вариантов)
  

• 12 слайд

  15.04.2021
  12
  
  Заметим, что ответ на вопрос, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
  
  
  Первую цифру можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать двумя способами. Остается приписать одну цифру. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению
  

• 13 слайд

  13
  «Если объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект «А и В» можно выбрать m ∙ k способами».
  Мы нашли ответ на вопрос, используя так называемое комбинаторное правило умножения
  

• 14 слайд

  14
  У Куклы Светы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светы?
  Решение. 3·5 = 15
  комбинаторное правило умножения
  

• 15 слайд

  15
  Решите задачу, используя
  дерево возможных вариантов
  В класс пришли четыре новых ученика Миша, Катя, Вася, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора будет?
  Л
  В
  К
  М
  

• 16 слайд

  16
  Ответ: 12 вариантов
  Решение
  М
  В
  К
  Л
  

• 17 слайд

  Семейный ужин.
  Пример 1.
  В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать
  это без повторений?
  №1
  №2
  №3
  №4
  №5
  №6
  6
  5
  4
  3
  2
  1
  6•5•4•3•2•1=
  720дн.
  -почти 2 года
  

• 18 слайд

  15.04.2021
  18
  У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.
  Приемы решения комбинаторных задач
  задачи, решаемые с помощью таблиц
  м
  с
  б
  с
  з
  ч
  к
  

• 19 слайд

  15.04.2021
  19
  12 различных наборов
  м
  с
  б
  з
  ч
  к
  с
  

• 20 слайд

  15.04.2021
  20
  Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,4,5,9?
  Приемы решения комбинаторных задач
  задачи, решаемые с помощью таблиц
  Ответ:15 чисел (5·3)
  1
  2
  4
  5
  9
  0
  2
  4
  10
  14
  12
  20
  22
  24
  40
  42
  44
  50
  52
  54
  90
  92
  94
  

• 21 слайд

  м
  б
  21
  о
  и
  н
  а
  о
  р
  и
  к
  а
  к
  ГРАФ – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи – как дуги, или ребра.
  вершины
  ребра
  

• 22 слайд

  22
  Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?
  Ответ:10 рукопожатий
  

• 23 слайд

  23
  Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?
  
  Решите задачу, используя граф
  ч
  к
  б
  п
  в
  

• 24 слайд

  24
  6 завтраков
  напитки
  выпечка
  ч
  к
  б
  п
  в
  Приемы решения комбинаторных задач графы
  

• 25 слайд

  25
  ч
  к
  б
  б
  п
  п
  в
  в
  Эту же задачу можно решить, используя дерево возможных вариантов
  

• 26 слайд

  26
  ч
  ч
  ч
  ч
  к
  к
  к
  к
  п
  п
  п
  б
  б
  б
  в
  в
  в
  Решение задачи с помощью таблицы
  

• 27 слайд

  3. « Эн факториал»-n!.
  1•2•3•4•5•6=720
  Определение.
  Произведение подряд идущих первых n
  натуральных чисел обозначают n! и называют
  «эн факториал»: n!=1•2•3•…•(n-1)•n.
  2!=
  1•2=
  2
  3!=
  1•2•3=
  6
  4!=
  1•2•3•4=
  24
  5!=
  1•2•3•4•5=
  6!=
  120
  1•2•3•4•5•6=
  720
  7!=
  1•2•3•4•5•6•7=
  5040
  n!=(n-1)!•n
  Удобная формула!!!
  Например для вычисления значения:
  7!*4! 6!*7*4! 7
  6!*5! 6!*4!*5 5
  
  Удобнее сначала провести сокращения
  

• 28 слайд

  Пример 2.
  Сколькими способами 4 вора могут по одному разбежаться на все 4 стороны.
  2
  1
  3
  4
  N
  O
  W
  S
  Банк
  4
  3
  2
  1
  1•2•3•4=4!=24
  Их разыскивает полиция…
  

• 29 слайд

  Расписание уроков.
  Пример 3.
  В 9 классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия, литература,
  русский язык, английский язык, биология и физкультура.
  Сколько вариантов расписания можно составить?
  Расставляем предметы по порядку
  Алгебра
  7
  Геометрия
  6
  Литература
  5
  Русский язык
  4
  Английский язык
  3
  Биология
  2
  1
  Физкультура
  Всего вариантов расписания
  1•2•3•4•5•6•7=
  =5040
  7!=
  

• 30 слайд

  Перестановки и их число.
  Теорема о перестановках элементов конечного множества.
  n различных элементов можно расставить
  по одному на n различных мест ровно
  n! способами.
  
  Определение.
  Перестановкой называется множество из n элементов, записанных в определённом порядке.
  

• 31 слайд

  15.04.2021
  31
  Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?
  Решите задачу, используя граф
  

• 32 слайд

  15.04.2021
  32
  Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.
  

• 33 слайд

  15.04.2021
  33
  Приемы решения комбинаторных задач графы
  Ответ:15 звонков
  

• 34 слайд

  15.04.2021
  34
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  –
  Ответ:15 звонков
  Приемы решения комбинаторных задач
  задачи, решаемые с помощью таблиц
  

• 35 слайд

  15.04.2021
  35
  В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов
  у тебя получилось?
  Задачи, решаемые
  методом
  организованного перебора
  Приемы решения комбинаторных задач
  дополнительные задачи
  Задача 1
  
  

• 36 слайд

  15.04.2021
  36
  Задача 1
  
  
  
  
  
  
  
  5 наборов
  

• 37 слайд

  15.04.2021
  37
  Приемы решения комбинаторных задач
  Задача 2
  В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.
  
  
  
  
  
  
  Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.
  
  Графы
  

• 38 слайд

  15.04.2021
  38
  Решение
  

• 39 слайд

  15.04.2021
  39
  В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и
  пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу.
  Приемы решения комбинаторных задач
  Задачи, решаемые
  с помощью таблиц
  

• 40 слайд

  15.04.2021
  40
  Ответ: 25 пар
  Женя
  Маша
  Катя
  Юля
  Даша
  Олег
  Вова
  Стас
  Андрей
  Иван
  Олег
  Олег
  Олег
  Олег
  Олег
  Вова
  Вова
  Вова
  Вова
  Вова
  Стас
  Стас
  Стас
  Стас
  Стас
  Андрей
  Андрей
  Андрей
  Андрей
  Андрей
  Иван
  Иван
  Иван
  Иван
  Иван
  Женя
  Женя
  Женя
  Женя
  Женя
  Маша
  Маша
  Маша
  Маша
  Маша
  Катя
  Катя
  Катя
  Катя
  Катя
  Юля
  Юля
  Юля
  Юля
  Юля
  Даша
  Даша
  Даша
  Даша
  Даша
  

• 41 слайд

  15.04.2021
  41
  Задачи, решаемые с помощью таблиц
  На завтрак Миша может выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?
  Ответ:12 (4·3=12)
  

• 42 слайд

  42
  Существует много видов комбинаторных задач, это лишь некоторые из них.
  Спасибо за внимание!