Комплекс практических работ по устойчивости в системах автоматического управления

МИНОБРНАУКИ  РОССИИ

федеральное государственное бюджетное  образовательное  учреждение высшего образования «Югорский государственный университет» (ЮГУ)

Лянторский нефтяной техникум

(филиал) федерального государственного бюджетного  образовательного  учреждения высшего образования «Югорский государственный университет»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для студентов по выполнению практических работ

по устойчивости в системах автоматического управления

Лянтор,  2020 г.

Практическая работа №1

Тема: Определение устойчивости системы автоматики по критерию Гурвица.

Цель работы: формирование умения  определять устойчивость системы автоматики с помощью критерия Гаусса-Гурвица.

Студент должен

знать: основные правила определения устойчивости системы автоматики;

уметь: определять устойчивость систему автоматики.

Теоретическое обоснование

Для анализа САР используют косвенные оценки-критерии, позволяющие ответить на главный вопрос –устойчива или неустойчива система, а также оценить качество переходного процесса без решения дифференциального уравнения.

Критерий устойчивости Гаусса-Гурвица

 Пусть характеристическое уравнение системы- это знаменатель передаточной функции САУ, имеет вид:

а_орⁿ+а₁р^n-1+а₂р^n-2+…+а_n=0

Система устойчива, если при a₀>0 положительны все определители начиная с Δ₁, Δ₂, … Δ_n, где n –это степень характеристического уравнения.

,i=1,2,3,…,n.

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Определители Гурвица составляют следующим образом: на главной диагонали записываются все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_i (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место с коэффициентами с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждый i–й определитель получается    размером i × i.

Так как последний столбец определителя  Δ_n содержит всегда только один элемент a_n , отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей Δ_n= a_n Δ_n-1

Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆_n=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1.     Для уравнения первого порядка (n=1)

a₀p+a₁=0

условие устойчивости: а₀>0 и ∆₁=а₁>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2.     Для уравнения второго порядка (n=2)

a₀p²+a₁p+a₂=0

условие устойчивости:

a₀>0, ∆₁=а₁>0

∆₂=а₂∆₁>0 или a₂>0

Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3)

a₀p³+a₁p²+a₂p+a₃=0

условие устойчивости:

a₀>0, ∆₁=а₁>0

         При n=3  для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁, а₂) было больше произведения крайних (а₀, а₃).

4.     Для уравнения четвертого порядка (n=4)

a₀p⁴+a₁p³+a₂p²+a₃p+a₄=0

         Кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

         При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при

         Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆_n-1 были положительными.

Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.

Пример. Открыть Microsoft Excel в новом документе в верхней строчке ввести название коэффициентов системы a₀p⁴+a₁p³+a₂p²+a₃p+a₄+k. Ниже вводим сами коэффициенты (a₀= 2, a₁= 8, a₂= 7, a₃= 6, a₄= 3, k = 0).  Затем на свободном месте пишем определитель Гурвица (рис 1.1).

 

Рис 1.1

Ниже организовываем расчет определителей Δ₁, Δ₂, Δ₃, Δ₄:

Δ₁=a₁,

Δ₂=a₁*a₂-a₀*a₃,

Δ₃=a₁*a₂*a₃+a₀*a₁*0+a₃*(a₄+k)*0-0*a₂*0-a₁*(a₄+k)*a₁-a₃*a₀*a₃

Δ₄=a₄* Δ₃

Можно также воспользоваться МОПРЕД() – стандартной функцией Microsoft Excel.

Рис 1.2

Требуется подобрать такой коэффициент k=k_кр, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости.

Ход работы:

1.     Ознакомиться с теоретическим обоснованием работы.

2.     Рассмотреть пример решения.

3.     Выполнить задание по варианту в EXCEL.

4.     Оформить отчет.

Задание. В Microsoft Excel в новом документе в верхней строчке вводим название коэффициентов системы a₀p⁴+a₁p³+a₂p²+a₃p+a₄+k. Ниже сами коэффициенты (Таблица 1 по варианту).  Выполняем расчеты. Делаем вывод об устойчивости системы.

Таблица 1

Варианты	a0	a1	a2	a3	a4
1	1	3	5	4	1
2	1	8	6	5	1
3	2	3	5	4	1
4	2	6	8	2	1
5	3	5	7	5	1
6	1	3	5	4	1
7	2	6	8	2	1
8	4	6	7	4	1
9	2	5	8	6	1
10	3	4	7	2	1

Содержание отчета

1.     Наименование и цель работы.

2.     Расчеты определителей по Гурвицу в программе EXCEL.

3.     Письменные ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.     Как составляется главный определитель Гурвица?

2.     Сформулировать понятие устойчивости системы автоматики.

3.     В каком случае система находится на границе устойчивости?

4.     Сформулируйте частные случаи критерия Гурвица.

Список литературы:

1. Александровская А.Н. Автоматика. М.: Издательский центр «Академия», 2011. 256 с.

2. Андреев С.М., Парсункин Б.Н. Разработка и моделирование несложных систем автоматизации с учетом специфики технологических процессов. М.: Издательский центр «Академия», 2016. 272 с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. СПб: Изд-во «Профессия», 2003. 752 с.

4. ПевзнерЛ.Д. Практикум по теории автоматического управления. М.: Высш. шк.,, 2006. 590 с.

Практическая работа №2

Тема: Определение устойчивости системы автоматики по критерию Михайлова.

Цель работы: формирование умения определять устойчивость системы автоматики по частотному критерию Михайлова.

Студент должен

знать: основные правила определения устойчивости системы автоматики;

уметь: определять устойчивость систему автоматики.

Теоретическое обоснование

Критерий устойчивости Михайлова

 А.В. Михайловым предложен частотный критерий, который также исходит из характеристического уравнения замкнутой системы. Этот критерий обладает большой наглядностью, т.к. является графическим.  Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

F(p)=а_орⁿ+а₁р^n-1+а₂р^n-2+…+а_n

Заменив в этом выражении р  на jw, получается

F(jw)=а_о(jw)ⁿ+ а1+а₂(jw)^n–2+…+а_n

Представив F(jw) в виде суммы вещественной и мнимой частей:

F(jw)= p(w)+jQ(w)

Действительная часть характеристического уравнения является функцией четной, а мнимая часть – нечетной. Поэтому достаточно ограничиться построением кривой, соответствующей характеристическому полиному для положительных частот. Тогда кривая, соответствующая отрицательным частотам является зеркальным отражением кривой для положительных частот относительно оси абсцисс.

Задаем значения w в пределах от 0 до ∞. Для каждого значения получается на комплексной плоскости характеристический вектор, а соединив концы этих векторов плавной кривой, которая называется годографом МИХАЙЛОВА.

По расположению этого годографа можно сделать вывод: устойчива или неустойчива система.

Формулировка критерия Михайлова. Автоматическая система управления, описываемая уравнениями n-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до ∞ характеристический вектор системы (годограф  Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол  , не обращаясь при этом в нуль.

Критерий МИХАЙЛОВА гласит: САР устойчива в том случае, если годограф МИХАЙЛОВА при изменении w от 0 до ∞ проходит последовательно против часовой стрелки n –квадратов комплексной плоскости, где n –степень характеристического уравнения.

Рис 2.1

Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам Рис 2.1, имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадрате, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит n квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива.

Пример. Исследовать на устойчивость по критерию Михайлова систему, характеристическое уравнение которой имеет вид:

0,0014р⁴+0,022р³+0,7р²+1,6р+5=0

Заменив р на jw, получаем:

0,0014(jw)⁴+0,022(jw)³+0,7(jw)²+1,6(jw)+5=0,014w⁴-0,022jw³-0,7w²+1,6jw+5.

Отделим вещественную часть от мнимой, тогда  p(w)=0,0014w⁴-0,7 w²+5; Q(w)=1,6w-0,022w³

Будем задавать значения w  в пределах от 0 до ∞. Для каждого w получим координаты точек на комплексной плоскости.

Таблица 1

	0	1	5	10	30
	5	4,3	-11,6	-51	519
	0	1,58	5,22	-6	-546

Соединим полученные точки плавной кривой. Как видно из рисунка Рис 9.2 годограф Михайлова проходит последовательно против часовой стрелки ІY квадрата комплексной плоскости и уходит в этом квадрате в бесконечность. Следовательно, данная система устойчива.

Рис 2.2

Ход работы:

1.     Ознакомиться с теоретическим обоснованием работы.

2.     Рассмотреть пример решения.

3.     Выполнить задание по варианту.

4.     Оформить отчет.

Задание. Исследовать на устойчивость по критерию Михайлова систему, характеристическое уравнение которой имеет вид: a₀p⁴+a₁p³+a₂p²+a₃p+a₄=0.

Выписать характеристическое уравнение по варианту Таблица 3. Выделив действительную и мнимую части характеристического уравнения, рассчитать их значения для задаваемых значений угловой частоты от нуля до 30. Результаты свести в таблицу 2.

Таблица 2

	0	1	5	10	30

На комплексной плоскости построить годограф Михайлова и определить устойчивость системы автоматики.

Таблица 3

Варианты	a0	a1	a2	a3	a4
1	1	3	5	4	1
2	1	8	6	5	1
3	2	3	5	4	1
4	2	6	8	2	1
5	3	5	7	5	1
6	1	3	5	4	1
7	2	6	8	2	1
8	4	6	7	4	1
9	2	5	8	6	1
10	3	4	7	2	1

Содержание отчета

1.     Наименование и цель работы.

2.     Результаты задания и годограф Михайлова.

3.     Письменные ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.     Что такое годограф?

2.     О чем гласит критерий Михайлова?

3.     Как выделить мнимую часть в уравнении?

4.     Как выделить действительную часть в уравнении?

Список литературы

1. Александровская А.Н. Автоматика. М.: Издательский центр «Академия», 2011. 256 с.

2. Андреев С.М., Парсункин Б.Н. Разработка и моделирование несложных систем автоматизации с учетом специфики технологических процессов. М.: Издательский центр «Академия», 2016. 272 с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. СПб: Изд-во «Профессия», 2003. 752 с.

4. ПевзнерЛ.Д. Практикум по теории автоматического управления. М.: Высш. шк.,, 2006. 590 с.

Практическая работа №3

Тема: Определение устойчивости системы автоматики по критерию Найквиста.

Цель работы: формирование умения определять устойчивость системы автоматики по частотному критерию Найквиста.

Студент должен

знать: основные правила определения устойчивости системы автоматики;

уметь: определять устойчивость систему автоматики.

Теоретическое обоснование

Критерий Найквиста.

Критерий Найквиста применяется для исследования устойчивости замкнутых систем. На основе комплексной частотной характеристики (амплитудно-фазовой частотной характеристики) разомкнутой системы.

КЧХ имеет действительное и мнимое слагаемые:

W ( jw) =U(w)+ jV(w)  (3.1)

Для построения КЧХ задают ω от 0 до ∞ и на комплексной плоскости получают годограф. Вид годографа, его расположение относительно точки -1

на действительной оси, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим формулировки критерия Найквиста для трех случаев.

1. Разомкнутая система устойчива. Тогда, если годограф устойчивой

разомкнутой системы при изменении w от 0 до ∞ не охватывает точку -1

на оси абсцисс, то замкнутая система будет устойчивой. Охватывает – замкнутая система неустойчивая.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой

замкнутой системам, представлены на рис. 3.1 и 3.2

Рис 3.1

Рис 3.2

2. Разомкнутая система неустойчива. Тогда, если годограф неустойчивой разомкнутой системы при изменении w от 0 до ∞ охватывает точку -1 на оси абсцисс в положительном направлении m / 2 раз, где m – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной действительной частью, то замкнутая система будет устойчивой.

Примеры годографов, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам во втором случае, представлены на рис. 3.3 и 3.4 для m = 2.

Рис 3.3

Рис 3.4

3. Разомкнутая система астатическая. Годограф зеркально отражается и кривые «замыкаются» на бесконечности. Тогда, если точка -1 на оси абсцисс оказалась вне замкнутой кривой – замкнутая система устойчивая. Если охватывается кривой – неустойчивая. Примеры таких годографов приведены на рис. 3.5 и 3.6.

Рис 3.5

Рис 3.6

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если годограф разомкнутой системы проходит через точку -1 оси абсцисс. Аналитически это условие можно записать в виде 1 + W(jw) = 0 .

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы:

Полагая k=2 проверить с помощью критерия Найквиста, будет ли устойчивой замкнутая система?

Решение.

Найдём комплексную частотную характеристику разомкнутой системы:

Выделим действительный и мнимый частотные полиномы:

Построим годограф разомкнутой системы.

По условию V(ω) = 0 находим частоты пересечения годографом действительной оси и соответствующие значения U(ω):

V(ω) = 0, 4ω – ω³ = 0,

 w выносим за скобку w(4-w²)=0 w₁ = 0, w₃ = 2,

U(0) = 2.

Полагая U(ω) = 0, находим частоту пересечения годографом мнимой оси и соответствующее значение V(ω):

U(ω) = 0,

1 – 3ω² = 0,

3ω²=1

ω²=1/3

V(0,58) = – 0,94.

Для ω = 1 получаем U(1) = – 0,3, V(1) = – 0,46.

При ω = ∞ U(∞) = 0, V(∞) = 0.

Вид годографа показан на рис. 3.7.

Рис 3.7

Ответ: Система устойчива.

Ход работы:

1.     Ознакомиться с теоретическим обоснованием работы.

2.     Рассмотреть пример решения.

3.     Выполнить задание по варианту.

4.     Оформить отчет.

Задание. Исследовать на устойчивость по критерию Найквиста систему, характеристическое уравнение которой имеет вид:

Найти комплексную частотную характеристику разомкнутой системы: по варианту Таблица 1. Выделить действительную и мнимую части.

Построить годограф разомкнутой системы и определить устойчивость системы автоматики.

Таблица 1

Варианты	a0	a1	a2	a3	k
1	1	3	5	4	2
2	1	8	6	5	2
3	2	3	5	4	2
4	2	6	8	2	2
5	1	5	7	5	2
6	1	3	5	4	2
7	2	6	8	2	2
8	1	6	7	4	2
9	2	5	8	6	2
10	1	4	7	2	2

Содержание отчета

1.     Наименование и цель работы.

2.     Результаты задания и годограф разомкнутой системы.

3.     Письменные ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1.     В каких случаях применяют критерий Найквиста?

2.     Как выглядит характеристическое уравнение по Найквисту?

3.     Формулировка критерия Найквиста, когда замкнутая система устойчива.

4.     Формулировка критерия Найквиста, когда замкнутая система не устойчива

5.     Формулировка критерия Найквиста, когда замкнутая система находится на границе устойчивости.

Список литературы

1. Александровская А.Н. Автоматика. М.: Издательский центр «Академия», 2011. 256 с.

2. Андреев С.М., Парсункин Б.Н. Разработка и моделирование несложных систем автоматизации с учетом специфики технологических процессов. М.: Издательский центр «Академия», 2016. 272 с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория автоматического управления. СПб: Изд-во «Профессия», 2003. 752 с.

4. ПевзнерЛ.Д. Практикум по теории автоматического управления. М.: Высш. шк.,, 2006. 590 с.