Подобие треугольников

1. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см.

2. Отрезок ВD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите AB, если ВС=9см, AD=7,5см, DC=4,5см.

3. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD, если АВ=14 см, ВС=20 см, АС=21 см.

4. Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону BC на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

5. В подобных треугольниках АВС и KМN стороны АВ и КМ, BC и MN являются сходственными. Найдите наименьшую сторону треугольника KMN, если АВ=4 см, ВС=5 см, СА=7 см, КМ/АВ=2,1

6. Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

7. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника A₁B₁C₁ на 77 см². Найдите площадь меньшего треугольника.

8. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ подобны. Сходственные стороны ВС и B₁C₁ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и A₁B₁C₁ .

9. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите наибольшую сторону треугольника, подобного данному, если его периметр 26 см.

10. Через точку М, взятую на медиане АD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение АК/КС, если M - середина отрезка AD.

Подобие треугольников

1. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см.

2. Отрезок ВD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите AB, если ВС=9см, AD=7,5см, DC=4,5см.

3. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD, если АВ=14 см, ВС=20 см, АС=21 см.

4. Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону BC на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ, если периметр треугольника АВС равен 42 см.

5. В подобных треугольниках АВС и KМN стороны АВ и КМ, BC и MN являются сходственными. Найдите наименьшую сторону треугольника KMN, если АВ=4 см, ВС=5 см, СА=7 см, КМ/АВ=2,1

6. Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

7. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АВС больше площади треугольника A₁B₁C₁ на 77 см². Найдите площадь меньшего треугольника.

8. Треугольники АВС и A₁B₁C₁ подобны. Сходственные стороны ВС и B₁C₁ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и A₁B₁C₁ .

9. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите наибольшую сторону треугольника, подобного данному, если его периметр 26 см.

10. Через точку М, взятую на медиане АD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите отношение АК/КС, если M - середина отрезка AD.

Контрольная работа

«Подобие треугольников»

2 уровень

3 уровень

Контрольная работа

«Подобие треугольников»

2 уровень

3 уровень

Контрольная работа

«Подобие треугольников»

2 уровень

3 уровень

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

1. Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.

2. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

3. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

4. В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 6, перпендикулярна основаниям AD=3 и DC=12. Найдите сумму тупых углов B и D.

5. Основания трапеции равны a и b. Определите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.

Подобие треугольников. Ответьте на вопросы «Да» либо «Нет»

1. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2. Два равносторонних треугольника всегда подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?

5. Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

6. Если два угла одного треугольника равны 60° и 50° , а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.

7. Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.

8. Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.

9. Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см.

10. Если медиана треугольника равна 9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.

Подобие треугольников. Ответьте на вопросы «Да» либо «Нет»

1. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2. Два равносторонних треугольника всегда подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?

5. Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

6. Если два угла одного треугольника равны 60° и 50° , а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.

7. Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.

8. Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.

9. Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см.

10. Если медиана треугольника равна 9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.

Подобие треугольников. Ответьте на вопросы «Да» либо «Нет»

1. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2. Два равносторонних треугольника всегда подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?

5. Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

6. Если два угла одного треугольника равны 60° и 50° , а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.

7. Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.

8. Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.

9. Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см.

10. Если медиана треугольника равна 9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.

Подобие треугольников. Ответьте на вопросы «Да» либо «Нет»

1. Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2. Два равносторонних треугольника всегда подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

4. Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?

5. Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

6. Если два угла одного треугольника равны 60° и 50° , а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.

7. Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.

8. Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.

9. Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 и 8 см, то эта высота равна 4 см.

10. Если медиана треугольника равна 9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.

Признаки подобия треугольников

Вариант №1

1. У треугольников АВС и KLM равны углы А и К. Какого условия недостаёт, чтобы утверждать, Что эти треугольники подобны по первому признаку?

1) ; 2) АВ = KL, АС = КМ; 3) ; 4) угол В равен углу L.

2. Стороны одного треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см, а стороны подобного ему треугольника равны 15 см и 35 см. Найдите длину третьей стороны:

1) 70 см; 2) 7,5 см; 3) 30 см; 4) ответ не указан.

3. Стороны угла К пересечены прямыми АВ и СД, причём точки А и С лежат на одной стороне угла (А лежит между К и С), а В и Д – на другой стороне (В лежит между К и Д). Какой должна быть длина отрезка АС, чтобы прямые АВ и СД были параллельны, если КА = 3,6 см, КВ = 4,8 см, ВД = 2,4 см?

1) 5,4 см; 2) 1,8 см; 3) 3,2 см; 4) 2 см.

4. ВС и АД – основания трапеции АВСД. Угол АВД равен углу ВСД. ВС = 4 см, ДС = 6 см, ВД = 8 см. Найдите АД:

1) 16 см; 2) 3 см; 3) 12 см; 4) 10 см.

5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки К и L, так , что KL параллельно АС. Площадь треугольника КBL равна 84 см², а площадь треугольника АВС равна 336 см², АС = 30 см. Найдите КL:

1) 7,5 см; 2) 10 см; 3) 15 см; 4) ответ не указан.

Признаки подобия треугольников

Вариант №2

1.Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы треугольники АВС и КLМ были подобны по второму признаку?

1) 2) АВ = KL, АC = KM,; 3) ; 4)

2. Стороны одного треугольника равны 3 см, 7 см и 6 см, а две стороны подобного ему треугольника равны 10,5 см и 4,5 см. Найдите длину третьей стороны:

1) 4 см; 2) 9 см; 3) 4,5 см; 4) ответ не указан.

3. Дан треугольник АВС и внутри него отрезок КМ, параллельный АС, причём Найдите МС, если АВ = 18 см, ВК = 6 см, ВМ = 4 см:

1) 12 см; 2) 16 см; 3) 6 см; 4) 8 см.

4. В трапеции АВСД углы АВС и АСД равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС и АД соответственно равны 24 см и 54 см:

1) 18 см; 2) 30 см; 3) 36 см; 4) 72 см.

5. Дан треугольник АВС,причём отрезок КМ параллельный АС. Площадь треугольника КВМ равна 9 см², ВМ = 6 см, МС = 2 см. Найдите площадь треугольника АВС:

1) 12 см²; 2) 16 см²; 3) 81 см²; 4) ответ не указан

Признаки подобия треугольников

Вариант №1

1. У треугольников АВС и KLM равны углы А и К. Какого условия недостаёт, чтобы утверждать, Что эти треугольники подобны по первому признаку?

1) ; 2) АВ = KL, АС = КМ; 3) ; 4) угол В равен углу L.

2. Стороны одного треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см, а стороны подобного ему треугольника равны 15 см и 35 см. Найдите длину третьей стороны:

1) 70 см; 2) 7,5 см; 3) 30 см; 4) ответ не указан.

3. Стороны угла К пересечены прямыми АВ и СД, причём точки А и С лежат на одной стороне угла (А лежит между К и С), а В и Д – на другой стороне (В лежит между К и Д). Какой должна быть длина отрезка АС, чтобы прямые АВ и СД были параллельны, если КА = 3,6 см, КВ = 4,8 см, ВД = 2,4 см?

1) 5,4 см; 2) 1,8 см; 3) 3,2 см; 4) 2 см.

4. ВС и АД – основания трапеции АВСД. Угол АВД равен углу ВСД. ВС = 4 см, ДС = 6 см, ВД = 8 см. Найдите АД:

1) 16 см; 2) 3 см; 3) 12 см; 4) 10 см.

5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены соответственно точки К и L, так , что KL параллельно АС. Площадь треугольника КBL равна 84 см², а площадь треугольника АВС равна 336 см², АС = 30 см. Найдите КL:

1) 7,5 см; 2) 10 см; 3) 15 см; 4) ответ не указан.

Признаки подобия треугольников

Вариант №2

1.Какие условия должны быть выполнены для того, чтобы треугольники АВС и КLМ были подобны по второму признаку?

1) 2) АВ = KL, АC = KM,; 3) ; 4)

2. Стороны одного треугольника равны 3 см, 7 см и 6 см, а две стороны подобного ему треугольника равны 10,5 см и 4,5 см. Найдите длину третьей стороны:

1) 4 см; 2) 9 см; 3) 4,5 см; 4) ответ не указан.

3. Дан треугольник АВС и внутри него отрезок КМ, параллельный АС, причём Найдите МС, если АВ = 18 см, ВК = 6 см, ВМ = 4 см:

1) 12 см; 2) 16 см; 3) 6 см; 4) 8 см.

4. В трапеции АВСД углы АВС и АСД равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС и АД соответственно равны 24 см и 54 см:

1) 18 см; 2) 30 см; 3) 36 см; 4) 72 см.

5. Дан треугольник АВС,причём отрезок КМ параллельный АС. Площадь треугольника КВМ равна 9 см², ВМ = 6 см, МС = 2 см. Найдите площадь треугольника АВС:

1) 12 см²; 2) 16 см²; 3) 81 см²; 4) ответ не указан

Теоретический опрос «Подобие треугольников»

Подобные треугольники — треугольники, у которых  соответственно равны, а одного  пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициент — число k, равное отношению сторон подобных треугольников.

Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив углов.

1. Первый признак

Если два   одного треугольника соответственно равны . другого треугольника, то треугольники .

2. Третий признак

Если одного треугольника трём сходственным сторонам другого, то подобны.

3. Свойства подобных треугольников:

• Отношение   подобных треугольников равно квадрату подобия

• Отношение   равно коэффициенту подобия.

Теоретический опрос «Подобие треугольников»

Подобные треугольники — треугольники, у которых  соответственно равны, а одного  пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициент — число k, равное отношению сторон подобных треугольников.

Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив углов.

4. Первый признак

Если два   одного треугольника соответственно равны . другого треугольника, то треугольники .

5. Третий признак

Если одного треугольника трём сходственным сторонам другого, то подобны.

6. Свойства подобных треугольников:

• Отношение   подобных треугольников равно квадрату подобия

• Отношение   равно коэффициенту подобия.

Теоретический опрос «Подобие треугольников»

Подобные треугольники — треугольники, у которых  соответственно равны, а одного  пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициент — число k, равное отношению сторон подобных треугольников.

Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив углов.

7. Первый признак

Если два   одного треугольника соответственно равны . другого треугольника, то треугольники .

8. Третий признак

Если одного треугольника трём сходственным сторонам другого, то подобны.

9. Свойства подобных треугольников:

• Отношение   подобных треугольников равно квадрату подобия

• Отношение   равно коэффициенту подобия.

Тест. Подобные треугольники

Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.

ВАРИАНТ 1

1. Запись означает, что отрезки АВ

и CD ... отрезкам MN и FT.

2. На рисунке изображен параллелограмм ABCD, поэтому подобными являются треугольники ... и ....

3. На рисунке АС || МК, поэтому треугольник МВК подобен треугольнику ....

4. Если угол В равен ..., то изображенные на рисунке треугольники ABC и KNM подобны.

5. На рисунке МК || АС, АВ = 15 см, МВ = 5 см, АС = 30 см. Длина отрезка МК = ... .

6. На рисунке изображена трапеция ABCD, причем АО = 27 см, ВО = 18 см, ОС = 21 см. Длина отрезка OD равна ....

Тест. Подобные треугольники

Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.

ВАРИАНТ 2

1. Запись означает, что отрезки CD

и MP ... отрезкам AN и BK.

2. На рисунке изображен параллелограмм АВСD, поэтому подобными являются треугольники ... и ....

3. На рисунке АВ || KD, поэтому треугольник DKC подобен треугольнику ....

4. Если АС = ..., KN = ..., то изображенные на рисунке треугольники ABC и KNM подобны.

5. На рисунке МК || АС, ВК = 20 см, МК = 10 см, ВС = 30 см. Длина отрезка АС = ... .

6. На рисунке изображена трапеция ABCD, причем АО = 20 см, ОС = 3 см, AD = 30 см. Длина отрезка ВС = ... .

Тест. Подобные треугольники

Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.

ВАРИАНТ 2

1. Запись означает, что отрезки CD

и MP ... отрезкам AN и BK.

2. На рисунке изображен параллелограмм АВСD, поэтому подобными являются треугольники ... и ....

3. На рисунке АВ || KD, поэтому треугольник DKC подобен треугольнику ....

4. Если АС = ..., KN = ..., то изображенные на рисунке треугольники ABC и KNM подобны.

5. На рисунке МК || АС, ВК = 20 см, МК = 10 см, ВС = 30 см. Длина отрезка АС = ... .

6. На рисунке изображена трапеция ABCD, причем АО = 20 см, ОС = 3 см, AD = 30 см. Длина отрезка ВС = ... .

Тест. Подобные треугольники

Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.

ВАРИАНТ 1

1. Запись означает, что отрезки АВ

и CD ... отрезкам MN и FT.

2. На рисунке изображен параллелограмм ABCD, поэтому подобными являются треугольники ... и ....

3. На рисунке АС || МК, поэтому треугольник МВК подобен треугольнику ....

4. Если угол В равен ..., то изображенные на рисунке треугольники ABC и KNM подобны.

5. На рисунке МК || АС, АВ = 15 см, МВ = 5 см, АС = 30 см. Длина отрезка МК = ... .

6. На рисунке изображена трапеция ABCD, причем АО = 27 см, ВО = 18 см, ОС = 21 см. Длина отрезка OD равна ....

Тест по теме: «Подобие треугольников»

1 вариант

1. Укажите условия, при которых и были бы подобны по третьему признаку.

а); в);

б); г).

2. У треугольников АВС и DEF равны углы А и D. Какого условия не достает для того, чтобы утверждать, что эти треугольники подобны по первому признаку:

а); б); в) ; г).

3. В треугольниках АВС и MNK . Чему равен угол N?

а)50⁰; б)60⁰; в)70⁰.

4. Установите по рисунку, верно ли данное утверждение: ~

а)ДА; б)НЕТ; в)Не возможно установить.

5. ~, АВ=4, ВС=6, АС=7, А₁В₁=8. Сторона В₁С₁ равна:

а)3; б)12; в)14.

6. В треугольниках ABC и .

Если ВС=10, то В₁С₁ равна:

а)25; б) 4; в) 5.

7. Соответствующие катеты двух подобных прямоугольных треугольников равны 5 дм и 10 дм. Найдите гипотенузу большего треугольника, если гипотенуза меньшего равна 7 дм.

а)14; б) ; в) 2.

Тест по теме: «Подобие треугольников»

2 вариант

1. Укажите условия, при которых и были бы подобны по первому признаку.

а); в);

б); г).

2. У треугольников АВС и DEF равны углы А и D. Какого условия не достает для того, чтобы утверждать, что эти треугольники подобны по второму признаку:

а); б); в) ; г).

3. В треугольниках АВС и MNK . Чему равен угол N?

а)35⁰; б)75⁰; в)80⁰.

4. Установите по рисунку, верно ли данное утверждение: ~

а)ДА; б)НЕТ; в)Не возможно установить.

5. ~, АВ=2, ВС=3, АС=1, А₁В₁=8. Сторона В₁С₁ равна:

а)12; б)4; в)6.

6. В треугольниках ABC и .

Если ВС=12, то В₁С₁ равна:

а)6; б) 18; в) 3.

7. Соответствующие катеты двух подобных прямоугольных треугольников равны 6 м и 18 м. Найдите гипотенузу меньшего треугольника, если гипотенуза большего равна 27 дм.

а) ; б) 3; в) 9.