Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Другие методич. материалы / Компьютерный практикум по решению систем линейных уравнений в MS Excel
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Компьютерный практикум по решению систем линейных уравнений в MS Excel

Выберите документ из архива для просмотра:

52 КБ matrisa.xls
525.5 КБ metod.doc

Выбранный для просмотра документ metod.doc

библиотека
материалов


Компьютерный практикум

«Создание программы, реализующей методы решения систем линейных уравнений

в Microsoft Office Excel»


Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m × n – это совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например,

hello_html_3ad6d9cc.gif

2 5 2

А= 3 10 7 - матрица.

6 -3 -4

Общий вид матрицы:

hello_html_19c7fbea.gifа11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

А = a31 a32 … a3n

…………………

am1am2amn

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Они обозначаются буквами с двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы аij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ.

Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

hello_html_m40a3279d.gif

1 0 0

Е = 0 1 0

………………

0 0 1

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

hello_html_m2e0966.gifhello_html_m778885a9.gif

a11 а12 … а1nb11 0 … 0

А = 0 а22 … а2nB = b21b22 … 0

……………… ………………

0 0 … annbn1bn2bnn

Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Т.е., если

hello_html_6c608e4e.gif

a11 a12 … a1n

A = a21 a22 … a2n

…………………

an1 an2 … ann

то

hello_html_6c608e4e.gifa11 a21 … an1

AT = a12 a22 … an2

………………

a1n a2nann


Определитель n-го порядка матрицы


hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gifа11 а12 … а1n

А = а21 а22 … а2n

…………….…

аn1 а n2 … аnn

есть число


hello_html_2c0b6ec9.gifhello_html_2c0b6ec9.gifа11 а12 … а1n

= а21 а22а2n = (-1)I(k , k , …, k ) a1k a2k … ank

……………… (k1, k2, …, kn)

аn1 аn2аnn


Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов аij. Числа аij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.


Определитель обладает свойствами:

  1. При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

  2. Если все элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.

  3. От перестановки двух строк определитель меняет знак.

  4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

  5. Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

  6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

  7. Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

М и н о р ы.


Определители hello_html_m4587d5cd.gifвходящие в формулу, называются

минорами элементов hello_html_m43c8bd03.gif.

Вообще минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент.





А л г е б р а и ч е с к и е д о п о л н е н и я.


В формуле элементы hello_html_m7b7f83d1.gif умножаются на +hello_html_449b522e.gif.

Эти выражения называются алгебраическими дополнениями элементов hello_html_m43c8bd03.gif.

Вообще алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со

своим или противоположным знаком согласно следующему правилу:

Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, - то с противоположным знаком.


Определителем второго порядка hello_html_m2355fdfe.gifназывается выражение hello_html_m12edc327.gif-hello_html_m76510422.gif.


Определителем третьего порядка

hello_html_m3159600d.gifhello_html_m53d4ecad.gifназывается выражение hello_html_mb8487fd.gif=


hello_html_397ef6d4.gif

Или в виде схемы:



hello_html_4990a631.jpg

hello_html_1ab60d18.jpg

«+» «-»

Для запоминания формулы для вычисления определителя третьего порядка полезно правило Произведения элементов главной диагонали и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали, берутся со знаком

минус, а произведения элементов вспомогательной диагонали и элемен­тов, лежащих в вершинах треугольников с основаниями, параллель­ными вспомогательной диагонали,

со знаком плюс. В каждое из про­изведений со знаком плюс и со знаком минус входит только по одному элементу каждой строки и каждого столбца определителя.



Определителем четвертого порядка


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m79da757d.gifназывается выражение hello_html_1fea4f98.gifгде

hello_html_m44dab5f6.gifhello_html_m53d4ecad.gif- алгебраические дополнения элементов hello_html_m6191e351.gifт. е.


hello_html_m63e10b52.gif

Примеры вычисления определителей:


hello_html_52dbd27a.gif3+4-12=-5

hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif1 1 1

1 -5 2 = hello_html_22cad36a.gif= 6.

4 -2 4

Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, если

hello_html_54c6fbb.gifhello_html_265b5eab.gif

а11 а1n b11b1n

А = ………….. ; В = …………… , то

am1 аmn bm1 … bmn


hello_html_6886197b.gif

a11+ b11 … a1n + b1n

A + B = ………………………

am1+ bm1 … amn + bmn

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковых размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

hello_html_6886197b.gif

a11 – b11 … a1n – b1n

A – B = ………………………

am1 – bm1 … amn – bmn


Произведением матрицы А = [аij] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ.

hello_html_265b5eab.gif

λa11λa1n

λA = ………………

λam1λamn


Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

hello_html_4295f015.gifhello_html_4295f015.gif

а11а1n b11 … b 1n

A = …………… B = ………………

am1 … amnbm1 bmn

В этом случае произведением матрицы А на матрицу В является матрица С, элемент которой сij определяется по следующему правилу:

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj=hello_html_2c79f909.gif

где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента сij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

hello_html_54c6fbb.gifhello_html_m389e8b04.gif

2 3 5 7 8

А = В = 9 10 , то

1 0 4 11 12


hello_html_m15a77246.gifhello_html_3ad6d9cc.gif

2*0 + 3*3 + 5*1 2*2 +3*4 + 5*2 14 26

hello_html_m66e82a5e.gif=

1*0 + 0*3 + 4*1 1*2 +0*4 + 4*2 4 10


Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов – числу столбцов матрицы В.

Обратная матрица.

hello_html_m1667d50e.gif

Пусть дана квадратная матрица а11 … а1n

A = ……………

am1amn

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то

матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а сама матрица Аобратимой. Обратная матрица для А обозначается А-1.











Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице А,

hello_html_e3018e6.gif

7


-5

0

4

0

11

2

3

4






Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:



hello_html_234196f7.gif



7

-5

0







4

0

11

=

-261

hello_html_21b5f1f5.gif




2

3

4









Следовательно, существует обратная матрица.










Найдем алгебраические дополнения определителя:






0

11






A 11 =


3

4

=

-33















4

11






A 12 =

(-1)

2

4

=

6















4

0






A 13 =


2

3

=

12















-5

0






A 21 =

(-1)

3

4

=

20















7

0






A 22 =


2

4

=

28















7

-5






A 23 =

(-1)

2

3

=

-31















-5

0






A 31 =


0

11

=

-55















7

0






A 32 =

(-1)

4

11

=

-77















7

-5






A 33 =


4

0

=

20











-hello_html_16f6d4a7.gif33

6

12





A ~

=

20

28

-31







-55

-77

20















hello_html_60157294.gif



















-33

20

-55





A T

=

6

28

-77







12

-31

20

















-33

20

-55



6

28

-77



12

-31

20







hello_html_60157294.gif

A -1 = hello_html_17624ea.gif



Системы линейных уравнений.

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:


a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1 ;

hello_html_m5e2238bb.gifa21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2 ;

……………………………………

am1x1+ am2x2 + …+ amnxn = bm ;

где х1, х2, …, хn - неизвестные. Числа а11, а12, … , аmn называются коэффициентами системы, а b1, b2, … , bm - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы аij

(i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . .,n) и свободные члены bi (i=1, 2, . . .,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов аij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной хi, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi.

Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел α1, α2, αn, которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х1, х2, …, хn, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Правило Крамера.

Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3неизвестными:

hello_html_m5e2238bb.gif

a11x1 + a12x2 + a13 x3 = b1 ;

a21x1 + a22x2 + a23 x3 = b2 ;

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 .


Определителем системы называется определитель, составленный из

коэффициентов аij. hello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gif

a11 a12 a13

= a21 a22 a23

an1 an2 a33

Составим определители x1, hello_html_4ff78dc2.gif

hello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gif

b1 a12 a13

x1 = b2 a22 a23

b3 a32 a31


hello_html_25e5efc6.gifhello_html_25e5efc6.gifa11 b1 a13

x2 = a21 b2 a23

a31 b3 a33



hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif

a11 a12 b1

x3 = a21 a22 b2

an1 an2 bn



Тогда решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными выражается через определители так:


hello_html_m4feb80d7.gifhello_html_649dde19.gifhello_html_7f3eed3.gif


Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а данные формулы – формулами Крамера.


Возможны три случая.

  1. Определитель системы не равен нулю:hello_html_m5b42b3c1.gif. Тогда система имеет единственное решение

hello_html_615999c8.gif.

  1. Определитель системы равен нулю:hello_html_41f40700.gif. Пусть при этом один из определителей hello_html_m4bbacbe5.gif не равен нулю. В этом случае система не имеет решений.

hello_html_189db7d7.gif. Тогда система имеет бесчисленное множество решений.









Примеры решения системы уравнений методом Крамера


Пример 1 . Решить систему уравнений

hello_html_m2730c648.gif

hello_html_5d50d893.gif3(-18+20)-4(15-16)+2(25-24)=6+4+2=12

hello_html_80e39ce.gif5(-18+20)-4(-9+4)+2(-15+6)=10+20-18=12

hello_html_m5be5ba84.gif=3(-9+4)-5(15-16)+2(5-12)=-15+5-14= -24


Х=hello_html_m6967e73c.gif; у =hello_html_m754d92be.gif; z =hello_html_m3fee8608.gif.


Ответ: (1; -2; 5).


Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений


Пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:


hello_html_m248e259d.gifа11х1 + а12х2 + …+ а1nхn = b1;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn = b2;

. ……………………………………

аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm


Метод Гаусса решения системы заключается в последовательном исключении переменных.

Пусть a11hello_html_m7e118f1.gif0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы, начиная со второго, неизвестную х1. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a21/a11, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a31/a11, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

а11х1 + а12х2 + … + а1nхn = b1;

hello_html_m3544cdd1.gifа′22х2 + …+ а′2nхn = b′2;

…………………………

а′m2х2 + …+ а′mnхn = b′m

Пусть а22 hello_html_m7e118f1.gif0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п – 2 уравнений системы неизвестную х2 путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a32/a22 , из четвертого уравнения — второго, умноженного на a34/a22 и т. д. В результате получим систему

hello_html_m90a63cd.gifа11х1 + а12х2 + а13х3 + …+ а1nхn = b1;

а′22х2 + а′23х3 + …+ а′2nхn = b′2;

а′′33х3 + …+ а″3хn = b″3;

……………………………

а″m3х3 +…+а″mnхn = b″m.

Продолжая этот процесс, систему приведем к равносильной системе вида


hello_html_m90a63cd.gifc11х1 + c12х2 + c13х3 + …+ c1kхk+…+ c1nхn= d1;

c22х2 + c23х3 + …+ c2kхk+…+ c2nхn= d2;

c33х3 + …+ c3kхk + …+ c3nхn = d3;

………………………………………

ckkхk+…+cknхn= dk.

Из последнего уравнения системы найдем неизвестную xk, выраженную через неизвестные хk+1, хk+2, . . . xn :

xk = (dkkck k+1xk+1 – … – cknxn).

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы, найдем выражение для неизвестной хk-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных

хk, хk-1, . . . x2 в первое уравнение системы, получим выражение для неизвестной x1.

В результате указанная система уравнений приводится к виду

hello_html_m90a63cd.gif

x1 = d′1 + c′1 k+1xk+1 + …+ c′1nxn;

x2 = d′2 + c′2 k+1xk+1 + …+ c′2nxn;

………………………………………

xk = d′k + c′k k+1 xk+1 + …+ cknxn.


Пример1. Решить методом Гаусса систему уравнений


хhello_html_m4d32746e.gif + 2у - z = 2,

- y + z = 3,

x + y + z = 6.

Умножим первое уравнение на —2 и сложим полученное уравнение со вторым, а также умножим первое уравнение на — 1 и сложим с третьим. Получим систему

хhello_html_m4d32746e.gif + 2у - z = 2,

- 5 y +3 z = -1,

- y +2 z = 4.

Теперь удобно поменять местами второе и третье уравнения

(так как коэффициент при y в третьем уравнении -1):hello_html_m4d32746e.gif

х + 2у - z = 2,

- y + 2 z = 4,

-5 y +3 z = -1.

Умножим второе уравнение на -5 и сложим полученное уравнение с третьим:

хhello_html_m4d32746e.gif + 2у — z = 2,

- y + 2 z = 4,

-7 z = -21.


Теперь из третьего уравнения находим z = 3.

Подставляя z = 3 во второе уравнение, получаем - у + 6 =4; отсюда у = 2. Наконец, подставляя у = 2, z = 3 в первое уравнение, находим х = 1.

Ответ: (1; 2; 3).





Решение систем уравнений методом обратной матрицы.


hello_html_475d0106.gifx + y + z = 1

xy + 2z = -5

4x + y + 4z = -2

Определим:

hello_html_760f5a71.gifhello_html_72ad5d9e.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gif1 1 1 х 1

А= 1 -1 4 ; Х= у ; В= -5

4 1 -4 z -2



Найдём обратную матрицу А-1:

hello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif

1 1 1

= 1 -1 4 = 4*(-1)*1 + 1*1*1 + 1*2*4 – 4*(-1)*1 – 1*1*4 – 1* *2*1=

4 1 -4 = -4+1+8+4-4-2=9-6=3 hello_html_3750bfcb.gif0


Следовательно, обратная матрица существует. Найдем её:

Составим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif

А11= (-1)2 -1 2 = -6 А12= (-1)3 1 2 = 4 А13= (-1)4 1 -1 = 5

1 4 4 4 4 1


Аhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif21= (-1)3 1 1 = -3 А22= (-1)4 1 1 = 0 А23= (-1)5 1 1 = 3

1 4 4 4 4 1

hello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gif

Аhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif31= (-1)4 1 1 =3 А32= (-1)5 1 1 = -1 А33= (-1)6 1 1 =-2

-1 2 1 2 1 -1

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

hello_html_afd708f.gifhello_html_m262ea49d.gif

-6 4 5

-3 0 3

3 -1 -2

Транспонируем полученную матрицу:

hello_html_m262ea49d.gifhello_html_m262ea49d.gif-6 -3 3

А T = 4 0 -1

5 3 -2


Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю матрицы А,

т.е на 1/3:

hello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gif

-6/3 -3/3 3/3 -2 -1 1

А-1 = 4/3 0/3 -1/3 = 4/3 0 -1/3

5/3 3/3 -2/3 5/3 1 -2/3



Найдём Х=А-1


hello_html_645808b7.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_72ad5d9e.gifhello_html_m250ae979.gifhello_html_54c6fbb.gif

2 -1 1 1 -2+5-2 1

Х= 4/3 0 -1/3 * -5 = 4/3+2/3 = 2

5/3 1 -2/3 -2 5/3-5+4/3 -2



Ответ: (1; 2; -2).


Решение системы уравнений методом Крамера в Microsoft Office Excel

Решим систему уравнений с помощью программы Microsoft Office Excel:

hello_html_m3544cdd1.gif

7 x1 - 5 x2 = 31

4 x1 +11 x3 = -43

2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = -20


Исходная матрица коэффициентов:


Свободные члены системы:


hello_html_m666537c6.gif





hello_html_3c771374.gif




7 -5

0



31



4 0

11



-43



2 3

4



-20










Определитель матрицы:







7

-5

0





hello_html_234196f7.gif

4

0

11

=

-261




2

3

4













Составим вспомогательные определители:





hello_html_40ab5f95.gif


31

-5

0






-43

0

11

=

-783




-20

3

4













hello_html_c106e8a.gif



7

31

0






4

-43

11

=

522




2

-20

4













hello_html_4d113e23.gif



7

-5

31






4

0

-43

=

1305




2

3

-20













Найдем решение системы по формулам Крамера:









hello_html_m7e7fd964.gif


Ответ: (3; -2; -5).


Решение системы уравнений методом Гаусса в Microsoft Office Excel

Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя переменными.

hello_html_2fa403bc.gif

hello_html_4bc13f0.gif

Составим расчетный бланк для решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Занесем коэффициенты при переменных и свободные члены в расчетный бланк.

В разделе I записываются коэффициенты при переменных, свободные члены и подсчитанные контрольные суммы для каждой строки. Последняя строка раздела I получается делением первой строки этого раз­дела на коэффициент a11.

Первые две строки раздела II получаются вычитанием из соответствующих элементов раздела I произведения ai1b1j

(i = 2, 3; j = 2, 3, 4, 5). Последняя строка раздела II получается делением первой строки этого раздела на коэффициент a22(1)

Аналогично заполняется раздел III.

Заполнение разделов IIII составляет прямой ход метода Гаусса. При обратном ходе используются послед­ние строки разделов IIII. Обратный ход начинается с вычисления послед­ней переменной системы линейных уравнений x3 , которая равна b34. Остальные переменные х2 и х1 находят вычи­танием из свободного члена соответствующей строки суммы произведений ее коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных переменных.

Над контрольными суммами в каждой строке проде­лывают те же операции, что и над остальными числами этой строки. В процессе вычислений при отсутствии оши­бок число, стоящее в столбце «контрольные суммы», должно быть равно сумме всех остальных чисел той же строки.

Разделы

hello_html_1c7bfa0b.gif

hello_html_6078b3b7.gif

hello_html_m484caff6.gif

Свободные члены

Контрольные

суммы



I


а11




а12




а13




а14





hello_html_1751292.gif






а21


а22


а23


а24


hello_html_m5d7b1815.gif


а31


а32


а33


а34


hello_html_m46e3860d.gif


hello_html_1e62cabc.gif

hello_html_4620a1da.gif

hello_html_m86c3377.gif

hello_html_625a23ab.gif

hello_html_7a96e7a7.gif

II




hello_html_m51de2cde.gif


hello_html_66144461.gif




hello_html_m4fc6f695.gif


hello_html_19902bc3.gif




hello_html_71e0cdb2.gif


hello_html_m462aa50f.gif



hello_html_m2a54ed6.gif


hello_html_2967827d.gif





hello_html_5a5b1586.gif

hello_html_m45bf3c67.gif

hello_html_4cb1a3bb.gif

hello_html_m6c3b4cc2.gif

III




hello_html_m44413caa.gif


hello_html_75650e93.gif


hello_html_5c7654f6.gif




hello_html_mddd78ef.gif

hello_html_m7949d803.gif

hello_html_1634b609.gif

IV


hello_html_m6dcf21b1.gif



hello_html_122ce2af.gif


hello_html_m4c607a1e.gif






Получаем расчетный бланк решения системы линейных уравнений методом Гаусса

с помощью программы Microsoft Office Excel:


Исходная матрица коэффициентов:


Столбец свободных членов системы:


hello_html_2d0984c5.gif

7

-5

0


hello_html_32feba8d.gif

31






4

0

11


-43





2

3

4


-20















 

Х 1

Х 2

Х 3

свободные члены

контрольные суммы







I

 

 

 

 

 




7

-5

0

31

33




4

0

11

-43

-28




2

3

4

-20

-11




 

 

 

 

 




1

-0,71

0

4,43

4,71




 

 

 

 

 

 




II

 

2,86

11

-60,71

-46,86




 

4,43

4

-28,86

-20,43




 

 

 

 

 




 

1

3,85

-21,25

-16,4




III

 

 

-13,05

65,25

52,2




 

 

1

-5

-4




 

 

 

 

 

 




IY

3

-2

-5

 

 




 

 

 

 

 
























Ответ: (3; -2; -5).












2.7. Решение системы уравнений матричным способом в Microsoft Office Excel


hello_html_m634f4e9c.gif

7

-5

0



hello_html_m5b8d509b.gif

31





4

0

11



-43




2

3

4



-20












Определитель матрицы:








hello_html_234196f7.gif


7

-5

0







4

0

11

=

-261

hello_html_21b5f1f5.gif




2

3

4





Следовательно, существует обратная матрица.

Найдем алгебраические дополнения определителя:















0

11






A 11 =


3

4

=

-33















4

11






A 12 =

(-1)

2

4

=

6















4

0






A 13 =


2

3

=

12















-5

0






A 21 =

(-1)

3

4

=

20















7

0






A 22 =


2

4

=

28















7

-5






A 23 =

(-1)

2

3

=

-31















-5

0






A 31 =


0

11

=

-55















7

0






A 32 =

(-1)

4

11

=

-77















7

-5






A 33 =


4

0

=

20











hello_html_633aa112.gif

















-33

6

12





A ~

=

20

28

-31







-55

-77

20







hello_html_e583a67.gif









-33

20

-55





A T

=

6

28

-77







12

-31

20

























hello_html_m201daccd.gif









A -1

=

* A T

Тогда X = A -1 * B




























Xhello_html_m1ae1af23.gif1

hello_html_m201daccd.gif




-33

hello_html_40ae13ab.gif

20

-55


hello_html_4290810e.gif

31



X 2

=

*

6

28

-77

*

-43

=

X 3



12

-31

20


-20























hello_html_mefee307.gif

3

X 1 =

3






=

-2

X 2 =

-2







-5

X 3 =

-5


















Библиографический список:


  1. Алгебра и элементарные функции./Ф.П.Яремчук, П.А.Рудченко. Киев: „Наукова думка”, 1987г.

  2. В.С. Щипачев. Высшая математика./Ф.Р.Гантмахер. Москва: „Высшая школа”, 1985г.


18


Краткое описание документа:

    Разработка  компьютерного практикума «Создание программы, реализующей методы решения систем линейных уравнений MS Excel», предназначена для выполнения практических работ по информатике в 9-11 классах. Содержит описание методов решения систем линейных уравнений c использованием матриц, их реализацию в MS Excel. Работа предполагает повторение учащимися тем учебной программы, а также изучение материала курса «Высшая математика» и интеграцию предметов. Результатом проекта является разработка программы для решения систем линейных уравнений различными математическими методами в программе MS Excel.

 

 

Автор
Дата добавления 03.02.2015
Раздел Информатика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров377
Номер материала 360833
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх