Компьютерный практикум

 «Создание программы, реализующей методы решения систем линейных уравнений

в Microsoft Office Excel»

 

Матрицы и действия над ними.

Матрица размерами m × n – это совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например,

 

                                        2    5    2

                                А=   3   10    7     - матрица.             

                                        6   -3   -4

Общий вид матрицы:

                                         а₁₁   a₁₂   …  a_1n 

                                         a₂₁   a₂₂   …  a_2n       

                              А =    a₃₁   a₃₂   …  a_3n                          

                                         …………………

                                        a_m1  a_m2  …  a_mn        

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Они обозначаются буквами с двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, а второй – номер столбца, в которых содержится этот элемент.

Если m = n, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ.

Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

 

                                              1   0    …    0

                                     Е =    0   1   …    0                        

                                             ………………

                                               0   0    …   1     

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

 

              a₁₁  а₁₂  …  а_1n                                     b₁₁   0     …   0  

    А =    0     а₂₂ …  а_2n                             B =  b₂₁   b₂₂  …    0           

              ………………                                        ………………

              0     0    …  a_nn                                     b_n1   b_n2   …   b_nn

Преобразование элементов квадратной матрицы, состоящее в замене строк соответствующими столбцами, называется транспонированием матрицы. Т.е., если

 

                                        a₁₁  a₁₂  …   a_1n 

                               A =   a₂₁  a₂₂  …   a_2n            

                                        …………………

                                        a_n1  a_n2  …   a_nn    

то

                                        a₁₁  a₂₁  …   a_n1  

                             A^T =   a₁₂  a₂₂  …   a_n2   

                                        ………………

                                        a_1n  a_2n  …   a_nn  

                             

 

Определитель n-го порядка матрицы

 

                                        а₁₁  а₁₂  …   а_1n

                              А =    а₂₁  а₂₂  …   а_2n

                                        …………….…

                                        а_n1  а _n2 …   а_nn  

есть число

 

           а₁₁  а₁₂  …   а_1n   

 ∆ =    а₂₁  а₂₂  …   а_2n     =    ∑                   (-1)^{I(k , k , …, k )} a_1k a_2k  … a_nk  

           ………………           (k₁, k₂, …, k_n)

           а_n1  а_n2  …   а_nn  

 

Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки индексов элементов а_ij. Числа а_ij называют элементами определителя.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной, а матрица с определителем, равным нулю – вырожденной.

 

Определитель обладает свойствами:

1.      При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

2.      Если все элементы некоторой строки определителя состоят из нулей, то определитель равен нулю.    

3.      От перестановки двух строк определитель меняет знак.

4.      Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5.      Общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя, или, если все элементы некоторой строки определителя умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это число.

6.      Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7.      Определитель не изменяется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

М и н о р ы.

 

Определители   входящие в формулу, называются

минорами элементов .

Вообще минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент.

 

 

 

 

А л г е б р а и ч е с к и е  д о п о л н е н и я.

 

В формуле элементы   умножаются на        +.

Эти выражения называются алгебраическими дополнениями элементов .

Вообще алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со

своим или противоположным знаком согласно следующему правилу:

Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если нечетное, - то с  противоположным знаком.

 

Определителем второго порядка    называется выражение    -.

 

Определителем третьего порядка

 называется выражение  =

 

  

Или в виде схемы:

 

 

 

 

             «+»                                 «-»

     Для запоминания формулы для вычисления определителя третьего порядка полезно правило Произведения элементов главной диагонали и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали, берутся со знаком

минус, а произведения элементов вспомогательной диагонали и элемен­тов, лежащих в вершинах треугольников с основаниями, параллель­ными вспомогательной диагонали,

 — со знаком плюс. В каждое из про­изведений со знаком плюс и со знаком минус входит только по одному элементу каждой строки и каждого столбца определителя.

 

 

Определителем четвертого порядка

 

 называется выражение где

                               - алгебраические дополнения элементов т. е.

 

  

Примеры вычисления определителей:

 

   3+4-12=-5

               1     1      1

               1    -5     2     =  = 6.   

             4    -2     4

Действия над матрицами.

Основные операции, которые производятся над матрицами, – сложение, вычитание, умножение, а также умножение матрицы на число.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Таким образом, если

 

                а₁₁   …  а_1n                               b₁₁  …  b_1n

       А =   …………..   ;                 В =    ……………         , то                    

                a_m1   …  а_mn                              b_m1  …  b_mn 

 

 

                                       a₁₁+ b₁₁  …  a_1n + b_1n 

                       A + B =    ………………………                      

                                       a_m1+ b_m1 …  a_mn + b_mn           

   

Операция нахождения суммы матриц называется сложением матриц и распространяется на случай конечного числа матриц одинаковых размеров.

Так же, как и сумма, определяется разность двух матриц

 

                                      a₁₁ – b₁₁  … a_1n – b_1n   

                       A – B =   ………………………                        

                                      a_m1 – b_m1 … a_mn – b_mn            

 

Произведением матрицы А = [а_ij] на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением их на число λ.

 

                        λa₁₁  … λa_1n 

     λA =    ………………           

                 λa_m1 … λa_mn

 

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Пусть матрицы А и В такие, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

 

              а₁₁   …   а_1n                                       b₁₁   …   b _1n                                                       

     A =   ……………                      B =   ………………

              a_m1  …   a_mn                              b_m1   …   b_mn    

                                     

 В этом случае произведением матрицы А на матрицу В является матрица С, элемент которой с_ij определяется по следующему правилу:

                           c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + … + a_inb_nj = 

                 где i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Для получения элемента с_ij матрицы произведения С = АВ нужно элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Например, если:

 

                      2   3   5                             7       8

           А =                                  В =       9     10             , то                                

                      1   0   4                            11     12     

 

                                  

                2*0 + 3*3 + 5*1       2*2 +3*4 + 5*2             14    26

                                                                     =                                  

                1*0 + 0*3 + 4*1       1*2 +0*4 + 4*2               4     10

 

Число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов – числу столбцов матрицы В.                 

Обратная матрица.

 

Пусть дана квадратная матрица            а₁₁   …   а_1n      

                                                         A =   ……………      

                                                                    a_m1  …   a_mn                                                               

Если существует матрица Х такая, что АХ = ХА = Е, где Е – единичная матрица, то

матрица Х называется обратной по отношению к матрице А, а сама матрица А – обратимой. Обратная матрица для А обозначается А^-1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1. Найти матрицу, обратную матрице А,

                                            

7	-5	0
4	0	11
2	3	4

 

                                

 

 

 

 

Р е ш е н и е. Проверим, обратима матрица А или нет, т.е. является ли она невырожденной:

 

 

	7	-5	0
	4	0	11	=	-261
	2	3	4
				Следовательно, существует обратная матрица.
Найдем алгебраические дополнения определителя:
		0	11
A 11  =		3	4	=	-33
		4	11
A 12  =	(-1)	2	4	=	6
		4	0
A 13  =		2	3	=	12
		-5	0
A 21  =	(-1)	3	4	=	20
		7	0
A 22  =		2	4	=	28
		7	-5
A 23  =	(-1)	2	3	=	-31
		-5	0
A 31   =		0	11	=	-55
		7	0
A 32  =	(-1)	4	11	=	-77
		7	-5
A 33  =		4	0	=	20
		-33	6	12
A ~	=	20	28	-31
		-55	-77	20
		-33	20	-55
A T	=	6	28	-77
		12	-31	20

 

 

	-33	20	-55
	6	28	-77
	12	-31	20

       A ^-1    =

 

 

 

Системы линейных уравнений.

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

 

                             a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

                             a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ;                           

                             ……………………………………

                             a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n  = b_m ;     

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные. Числа а₁₁, а₁₂, … , а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, … , b_m  - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij  

(i = 1, 2, . . ., m; j = 1, 2, . . .,n) и свободные члены b_i (i=1, 2, . . .,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij   соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел α₁, α₂, α_n, которая будучи поставлена в систему на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или  эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

               Правило Крамера.

Пусть дана система 3 линейных уравнений с 3неизвестными:

 

                             a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃ x₃ = b₁ ;

                             a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃ x₃ = b₂ ;                            

                             a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃  = b₃ .   

 

 Определителем системы называется определитель, составленный из

коэффициентов а_ij. 

                                          a₁₁     a₁₂    a₁₃ 

                               ∆  =    a₂₁     a₂₂    a₂₃                                                                                      

                                          a_n1      a_n2    a₃₃

Составим определители ∆x₁,  

 

                                    b₁   a₁₂   a₁₃

                      ∆x₁ =     b₂   a₂₂   a₂₃   

                                    b₃   a₃₂   a₃₁

 

                                     a₁₁     b₁   a₁₃

                      ∆x₂ =      a₂₁     b₂   a₂₃     

                                     a₃₁     b₃   a₃₃  

 

 

 

                                     a₁₁    a₁₂    b₁   

                      ∆x₃ =      a₂₁    a₂₂    b₂       

                                     a_n1    a_n2    b_n    

 

 

Тогда решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными выражается через определители так:

 

                                                      

 

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а данные формулы  – формулами Крамера.

 

Возможны три случая.

1. Определитель системы не равен нулю:. Тогда система имеет единственное решение

                                                                       .

2. Определитель системы равен нулю:. Пусть при этом один из определителей  не равен нулю. В этом случае система не имеет решений.

. Тогда система имеет бесчисленное множество решений.

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры решения системы уравнений методом Крамера

 

Пример 1 . Решить систему уравнений

3(-18+20)-4(15-16)+2(25-24)=6+4+2=12

5(-18+20)-4(-9+4)+2(-15+6)=10+20-18=12

=3(-9+4)-5(15-16)+2(5-12)=-15+5-14= -24

 

Х=; у =; z =.

 

Ответ: (1; -2; 5).

 

Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

 

Пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

 

                                    а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n  = b₁;

                                    а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_2nх_n  = b₂;                         

_.                                    ……………………………………

                                   а_m1х₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n = b_m

 

Метод Гаусса решения системы  заключается в последовательном исключении переменных.

Пусть a₁₁0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы, начиная со второго, неизвестную х₁. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a₂₁/a₁₁, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a₃₁/a₁₁, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

                                  а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b_1;

                                              а′₂₂х₂ + …+ а′_2nх_n = b′_2;                                                                

                                             …………………………                               

                                             а′_m2х₂ + …+ а′_mnх_n = b′_m

Пусть а₂₂ 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п – 2 уравнений системы  неизвестную х₂ путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a′₃₂/a′₂₂ , из четвертого уравнения — второго, умноженного на a′₃₄/a′₂₂ и т. д. В результате получим систему

                               а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +  а₁₃х₃ + …+ а_1nх_n = b_1;

                                         а′₂₂х₂ +  а′₂₃х₃ + …+ а′_2nх_n = b′_2;

                                                      а′′₃₃х₃ + …+ а″₃х_n  = b″_3;

                                                                   ……………………………

                                                      а″_m3х₃ +…+а″_mnх_n = b″_m.

Продолжая этот процесс, систему  приведем к равносильной системе вида

 

                      c₁₁х₁ + c₁₂х₂ + c₁₃х₃ + …+ c_1kх_k + …+ c_1nх_n = d_1;

                                  c₂₂х₂ + c₂₃х₃ + …+ c_2kх_k + …+ c_2nх_n = d_2;

                                              c₃₃х₃ + …+ c_3kх_k + …+ c_3nх_n = d_3;               

                                                            ………………………………………

                                                                  c_kkх_k + …+c_knх_n = d_k.

 

Из последнего уравнения системы  найдем   неизвестную x_k, выраженную через неизвестные х_k+1, х_k+2, . . . x_{n :}

                                            x_k =     (d_kk – c_{k k+1}x_k+1 – … – c_knx_n).

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы, найдем выражение для неизвестной х_k-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных

х_k,  х_k-1, . . . x₂ в первое уравнение системы, получим выражение для неизвестной x₁.

В результате указанная система уравнений  приводится к виду

 

                         x₁ = d′₁ + c′_{1 k+1}x_k+1 + …+ c′_1nx_n;

                         x₂ = d′₂ + c′_{2 k+1}x_k+1 + …+ c′_2nx_n;                        

                         ………………………………………                           

                         x_k = d′_k + c′_{k k+1} x_k+1 + …+ c_knx_n.

 

Пример1. Решить методом Гаусса систему уравнений

 

х + 2у - z   = 2,

2х -  y + z = 3,

x + y + z = 6.

Умножим первое уравнение на —2 и сложим полученное уравнение со вторым, а также умножим первое уравнение на — 1 и сложим с  третьим.   Получим  систему

х + 2у - z  = 2,

 - 5 y +3 z = -1,

     - y +2 z = 4.

Теперь удобно поменять местами второе и третье   уравнения

(так как коэффициент при  y  в  третьем  уравнении  -1):

х + 2у - z   = 2, 

      - y + 2 z = 4,

-5 y +3 z = -1.

Умножим второе уравнение на -5 и   сложим полученное уравнение с третьим:

х + 2у — z   = 2, 

      - y + 2 z = 4,

-7 z = -21.

 

Теперь из третьего уравнения находим  z = 3.

Подставляя z = 3 во второе уравнение, получаем   - у + 6 =4; отсюда у = 2. Наконец, подставляя у = 2, z = 3 в первое уравнение, находим   х = 1.              

                                  

Ответ: (1; 2; 3).

 

Решение систем уравнений методом обратной матрицы.

 

              x + y +   z =  1

              x – y + 2z = -5

            4x + y + 4z = -2

Определим:

       1    1     1                          х                    1

А=  1   -1    4    ;       Х=         у       ;  В=    -5

       4     1   -4                          z                  -2

 

 

 Найдём обратную матрицу А^-1:

 

          1    1     1

∆  =    1   -1    4     = 4*(-1)*1 + 1*1*1 + 1*2*4 – 4*(-1)*1 – 1*1*4 – 1* *2*1=

          4     1  -4                                                           = -4+1+8+4-4-2=9-6=3 0

 

 Следовательно, обратная матрица существует. Найдем её:

Составим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

 

А₁₁= (-1)²   -1  2    = -6       А₁₂= (-1)³    1  2      =  4           А₁₃= (-1)⁴   1  -1    = 5

                    1   4                                      4  4                                          4   1

 

А₂₁= (-1)³   1   1     = -3      А₂₂= (-1)⁴     1   1     =  0           А₂₃= (-1)⁵  1   1     = 3

                   1   4                                       4   4                                         4   1

 

А₃₁= (-1)⁴  1   1 =3             А₃₂= (-1)⁵     1   1      = -1           А₃₃= (-1)⁶   1   1    =-2

                 -1   2                                       1   2                                           1  -1

 

Составим матрицу из алгебраических дополнений:

 

     -6      4     5

     -3      0     3

      3     -1    -2

Транспонируем полученную матрицу:

 

                             -6      -3      3

            А ^T  =        4       0      -1

                              5       3      -2

 

Умножим полученную матрицу на число, обратное определителю матрицы А,

т.е на 1/3:

 

            -6/3    -3/3      3/3                 -2      -1        1

А^-1 =     4/3      0/3    -1/3       =      4/3       0     -1/3

             5/3      3/3     -2/3               5/3       1     -2/3

 

 

Найдём Х=А^-1*В

 

 

             2      -1       1           1              -2+5-2                   1

    Х=  4/3      0     -1/3   *   -5      =     4/3+2/3          =      2

           5/3      1     -2/3        -2             5/3-5+4/3              -2

 

 

Ответ: (1; 2; -2).

 

 Решение системы уравнений методом Крамера  в Microsoft Office Excel

     Решим систему уравнений с помощью программы Microsoft Office Excel:

                                

                            7 x₁   - 5 x₂             =  31

                            4 x₁             +11 x₃ = -43

                            2 x₁   + 3 x₂ + 4 x₃ = -20

 

Исходная матрица коэффициентов:					Свободные члены системы:
	7    -5	0			31
	4      0	11			-43
	2      3	4			-20
Определитель матрицы:
	7	-5	0
	4	0	11	=	-261
	2	3	4
Составим вспомогательные определители:
	31	-5	0
	-43	0	11	=	-783
	-20	3	4
	7	31	0
	4	-43	11	=	522
	2	-20	4
	7	-5	31
	4	0	-43	=	1305
	2	3	-20
Найдем решение системы по формулам Крамера:

                     

 

Ответ: (3; -2; -5).

 

 Решение системы уравнений методом Гаусса  в Microsoft Office Excel

Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя переменными.

                             

                 

Составим расчетный бланк для решения системы линейных уравнений  методом Гаусса.

Занесем коэффициенты при переменных и свободные члены в расчетный бланк.

В разделе I записываются коэффициенты при переменных, свободные члены и подсчитанные контрольные суммы для каждой строки. Последняя строка раздела I получается делением первой строки этого раз­дела на коэффициент a_11.

Первые две строки раздела II получаются вычитанием из соответствующих элементов раздела I произведения a_i1b_1j

(i = 2, 3; j = 2, 3, 4, 5). Последняя строка раздела II получается делением первой строки этого раздела на коэффициент   a₂₂⁽¹⁾

Аналогично заполняется раздел III.

Заполнение разделов I—III составляет прямой ход метода Гаусса. При обратном ходе используются послед­ние строки разделов I—III. Обратный ход начинается с вычисления послед­ней переменной системы линейных уравнений  x₃ , которая равна b₃₄. Остальные переменные х₂ и х₁ находят вычи­танием из свободного члена соответствующей строки суммы произведений ее коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных переменных.

Над контрольными суммами в каждой строке проде­лывают те же операции, что и над остальными числами этой строки. В процессе вычислений при отсутствии оши­бок число, стоящее в столбце «контрольные суммы», должно быть равно сумме всех остальных чисел той же строки.

Разделы				Свободные члены	Контрольные суммы
I	а11	а12	а13	а14
	а21	а22	а23	а24
	а31	а32	а33	а34
II
III
IV

 

 

    

 

Получаем  расчетный бланк решения системы линейных уравнений  методом Гаусса

с помощью программы Microsoft Office Excel:

 

Исходная матрица коэффициентов:					Столбец свободных членов системы:
	7	-5	0		31
	4	0	11		-43
	2	3	4		-20
	Х 1	Х 2	Х 3	свободные члены	контрольные суммы
I
	7	-5	0	31	33
	4	0	11	-43	-28
	2	3	4	-20	-11
	1	-0,71	0	4,43	4,71
II		2,86	11	-60,71	-46,86
		4,43	4	-28,86	-20,43
		1	3,85	-21,25	-16,4
III			-13,05	65,25	52,2
			1	-5	-4
IY	3	-2	-5

 

 

Ответ: (3; -2; -5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.7. Решение системы уравнений матричным способом  в Microsoft Office Excel
	7	-5	0					31
	4	0	11					-43
	2	3	4					-20
Определитель матрицы:
	7	-5	0
	4	0	11	=	-261
	2	3	4
Следовательно, существует обратная матрица.
Найдем алгебраические дополнения определителя:
		0	11
A 11  =		3	4	=	-33
		4	11
A 12  =	(-1)	2	4	=	6
		4	0
A 13  =		2	3	=	12
		-5	0
A 21  =	(-1)	3	4	=	20
		7	0
A 22  =		2	4	=	28
		7	-5
A 23  =	(-1)	2	3	=	-31
		-5	0
A 31   =		0	11	=	-55
		7	0
A 32  =	(-1)	4	11	=	-77
		7	-5
A 33  =		4	0	=	20
		-33	6	12
A ~	=	20	28	-31
		-55	-77	20
		-33	20	-55
A T	=	6	28	-77
		12	-31	20
A -1	=	* A T	Тогда  X = A -1 * B
X 1			-33	20		-55			31
X 2	=	*	6	28		-77	*		-43	=
X 3			12	-31		20			-20
	3	X 1  =	3
=	-2	X 2  =	-2
	-5	X 3  =	-5

 

 

 

Библиографический список:

 

1)      Алгебра и элементарные функции./Ф.П.Яремчук, П.А.Рудченко.  Киев: „Наукова думка”, 1987г.

2)      В.С. Щипачев. Высшая математика./Ф.Р.Гантмахер. Москва: „Высшая школа”, 1985г.