Конференция по математике на тему "Интересные задачи по математике"

Нестандартные задачи по математике

как способ развития логического мышления у студентов

Пущаев Андрей Анатольевич,

преподаватель  ГБПОУ «СПЭТ»

Аннотация

Занимательные или интересные задачи на логическое мышление издавна привлекали к себе различные слои общества. В часы досуга многие люди так или иначе упражняются в своих способностях размышлять, анализировать, находить решения в различных ситуациях. Некоторым нравится разгадывать кроссворды, другим ребусы и шарады, третьи, увлечённые социальными сетями, разгадывают короткие головоломки, предложенные  другими участниками сети.

Вариантов занимательных задач множество, но в любом случае, для их решения требуется задуматься, проанализировать, «пропустить», как говорится, через себя, и только после этого можно найти правильное решение. С развитием математики появляется огромное число именно математических головоломок и ребусов, так как комбинации с числами - это кладезь различных идей в их создании. Но математические задачи не так привлекательны, точнее, привлекательны не для всех.

Умение решать занимательные задачи - интереснейшее занятие.

Во время учебной деятельности студентов в процессе работы над решением логических задач формируются многие качества математического мышления. Они выражаются гибкостью, критичностью, логичностью, рациональностью. Решение таких задач, способных вносить эмоциональные моменты в умственную работу, дает возможность рассмотреть ситуацию решения как проблемную. Это развивает внутреннюю мотивацию, активизирует психологические процессы, что способствует качественному и быстрому формированию значимых для учебной деятельности мыслительных операций, логических приемов и познавательных умений.

Ключевые слова: математика, анализ, размышление, представление (образ), пример.       

Целью данного исследования является поиск, разработка и проверка учебно-методических условий формирования и развития логического мышления через решение нестандартных задач на занятиях по математике. Помимо этого, автор статьи ставит целью выяснить, каков уровень логического мышления у современного студента, и сопоставить эти данные с данными прошлых десятилетий.

Общепризнанно, что умение рассуждать и логически мыслить чрезвычайно сильно развивается в процессе изучения математики, быть может, сильнее, чем в процессе изучения других предметов. В этой ситуации на преподавателя математики ложится основная нагрузка по формированию у обучающихся логической грамотности.

На протяжении многих лет для оценки математических навыков у обучающихся в образовательных учреждениях проводились и проводятся предметные олимпиады. Автор, в свою очередь, всегда задумывался над теми заданиями, которые представляют олимпиаду по математике. Зачастую для того, чтобы найти подход к той или иной задаче, нужно приложить немало усилий. Другими словами, если в практике не встречались такие задачи, ход решений которых мы не знаем, то решение их практически не возможно.

В свою очередь владение элементарным комплексом логических понятий и действий позволяет обучающимся не только находить логические решения нестандартных задач, но и лучше усваивать дисциплину «математика».

Исследование проводилось на группах первого и второго курсов. В качестве логических заданий были выбраны задания прошлых десятилетий из сборников: В.Н. Болховитинов «Твоё свободное время», Гайшут А.Г. «Математика в логических упражнениях», Игошин В.И. «Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учебное пособие для студентов высших учебных заведений», Калужин Л.Н. «Элементы теории множеств и математическая логика в школьном курсе математики».

В результате исследования были получены следующие данные:

1) Обучающиеся, у которых развито логическое мышление – 6%

2) Обучающиеся, которых заинтересовали такие задания (участвуют в рассуждениях), но с заданиями не справляются – 63%

3) Обучающиеся, которые пытаются вникнуть в условие задачи, но в рассуждениях не участвуют – 22%

4) Обучающиеся, которые никак не участвуют в рассуждениях – 9%.

Были обучающиеся, которые пытались использовать подсказку «Интернет». Их отнесли к второй категории (63%). Это такая категория студентов, которые, на сегодняшний день, на любой вопрос, ищут ответ в Интернете. И таких детей становится, всё больше и больше.

Если взять исследование, проведенное 12 лет назад, которое проводилось на обучающихся старших классов одной из средних школ, то результаты были таковы:

1) Обучающиеся, у которых развито логическое мышление – 2%

2) Обучающиеся, которых заинтересовали такие задания (участвуют в рассуждениях), но с заданиями не справляются – 43%

3) Обучающиеся, которые пытаются вникнуть в условие задачи, но в рассуждениях не участвуют – 53%

4) Обучающиеся, которые никак не участвуют в рассуждениях – 2%.

В результате данного исследования можно заключить, что, в принципе, логическое мышление у обучающихся прошлых лет и настоящих не сильно отличается. А вот, то, что дети чаще пользуются Интернетом, считаем, даёт положительный эффект в развитии логического мышления. «Гуляя» по Интернет-сайтам, люди встречаются с множеством различных задач на логику, на память, просто проходят какие-то тесты, и это всё способствует развитию мышления. Дети чаще стали задавать вопросы, связанные с математическими и логическими задачами, которые им встретились в сети.

Таким образом, на сегодняшний день актуальна проблема одновременного изучения курса математики и элементов логики. Математика, которую изучают в школе, а затем и профессиональных заведениях – основа всей математики. Чтобы изучение шло успешно, необходимо усвоить азы. Для этого необходимо, прежде всего, научить решать задачи, особенно логические. Это задачи, которые кажутся на первый взгляд простыми, могут потребовать остроумия, смекалки при их решении.

Цель занятий по логике - не заучивание правил, а развитие способностей умения рассуждать и делать правильные выводы. Однако в практике современного образования не реализуются объективно существующие возможности для одновременного изучения курса математики и элементов логических ситуаций.

В настоящее время не все учебники содержат материал, который познакомил бы обучающихся с элементами логики в полной мере, а доля логических задач и  упражнений в этих учебниках незначительна.

Существует комплекс требований к системе учебных заданий  (Хотченкова Е.А. Дидактические условия развития логического мышления учащихся-младших подростков средствами математики // Эвристическое образование: Матер. 8-й регион, научно-практ. конф. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. - С. 115-117.) направленных на развитие логического мышления. Выделим основные из них:

Требование 1. Система заданий должна носить развивающую направленность, способствовать не только формированию определенных математических умений и навыков, но, в первую очередь, содействовать развитию логического мышления студентов, учить их определенным мыслительным приемам.

Требование 2. В систему должны быть включены учебные задачи, которые помогут сформировать такие умения как анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение и классификация, и тем самым реализовать цель нашего исследования.

В приложении 1 приводится подборка задач по логике для студентов, которые могут быть использованы как во время занятий, так и во внеурочной деятельности по дисциплине.

Как, уже было отмечено выше, спектр задач на развитие логического мышления очень большой, мы же возьмём в качестве рассмотрения такие типы задач, которые, как мне кажется, легко разыграть по ролям.

1 задача, про Ханойские башни. Можно нарисовать схему на доске, и перекладывать диски путём стирания. Но также можно очень быстро, изготовить модель такой задачи. Диски можно изготовить из простой бумаги, просто вырезав круги. А вертикальные шесты - просто обозначив три точки на столе. Эту задачу даже можно решать индивидуально. Конечно, для усложнения, нужно увеличивать количество дисков.

2 задача на соответствие. И для лучшего её понимания, удобно вынести данные в таблицу. Вообще, большую часть занимательных, целесообразно представлять с помощью схемы, таблицы, графика или даже рисунка.

3 задача про мудрецов и колпаки. Эту задачу можно обыграть. Заранее подготовить подобие «колпаков» (Два листа белой бумаги и третий любой другой цвет. С помощью степлера, или клея, изготовить три головных убора) Выбрать из группы двух «мудрецов», и повелителя. Далее разыгрываем ситуацию по условию задачи. Повелитель сидит посередине, мудрецов разводим по углам. Закрывают глаза, мы на них одеваем импровизированные колпаки. Открыв глаза они должны произнести – «На мне (белый, чёрный) колпак»

Рассуждения: предположим, что на мудрецов надели, один белый и один чёрный колпак, тогда, тот на котором надет белый колпак, видя, что на другом чёрный, сразу ответит: - На мне белый колпак, соответственно другой скажет, что на нем чёрный колпак.

Предположим, что на мудрецов надели оба белых колпака. Тогда смотря друг на друга, мудрецы, задумаются, ведь никто из них сразу не сможет сказать, на ком какой колпак. И эта задержка будет являться отгадкой, какого цвета колпак на каждом из мудрецов.

4 задача. Про потерянный рубль. Эту задачу так же, разыграем, для большего понимания. Итак. Выберем хозяина кафе, официанта и трёх друзей. Трём друзьям раздадим по 10 рублей, рублёвым номиналом, для удобства расплачиваться (изготовим заранее из бумаги). Далее по условию задачи. Всё становится предельно понятно, куда денется лишний рубль.

5 задача. Про двух математиков. Разыграем её так. Выберем действующие лица. Два математика и один участник, который будет играть роль трамвая. Он будет показывать номера написанные на карточках: 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10. Это числа, которые получаются в результате сложения всех комбинаций чисел произведения которых равны 36. Далее разыгрываем задачу по условию. В этой задаче есть один нюанс. Эта задача решается не тем кому задают её, а как бы третьим лицом – именно математиком. И поэтому, обыграв ситуацию, всем будет понятен ход рассуждений.

Из выше сказанного можно заключить, что на сегодняшний день студенты чаще встречаются с задачами на логику мышления благодаря Интернету. Математике придают более привлекательную форму. Те знания, которые приобретаются в этой науке, способствуют использованию их в дальнейшей жизни. И не важно, какую профессию выбирают студенты; в будущем эти знания обучающиеся обязательно будут использовать в своей профессии.

Список использованных источников:

1.    Гайшут А.Г. Математика в логических упражнениях. – К.: Рад. шк, 1985. – 192с.

2.    Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / В.И.Игошин. – 3-е изд. – М.: издат. Центр «Академия», 2007. – 304с.

3.    Калужин Л.Н. Элементы теории множеств и математическая логика в школьном курсе математики. Пособие для учителей, М.: «Просвещение», 1978. – 88с.

4.    Столяр А.А. Логические проблемы преподавания математики. Учебное пособие для математических факультетов педагогических институтов. Минск: «Высшая школа», 1965. – 254с.

5.    Эдельман С.Л. Математическая логика. Учебное пособие для институтов. М.: «Высшая школа»,1975.–17 с.

6.         Хотченкова Е.А. Дидактические условия развития логического мышления учащихся-младших подростков средствами математики // Эвристическое образование: Матер. 8-й регион, научно-практ. конф. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. - С. 115-117.

Приложение 1

Подборка задач по логике

Задачи – головоломки

Задача Ханойских башен — одна из самых первых задач, которые предлагаются начинающим программистам, в основном, чтобы проиллюстрировать концепцию рекурсивных решений. В этой статье приводится метод, который позволяет теоретическим путем, без рекурсии, указывать оптимальное решение для текущего хода.

Есть три вертикальных шеста. На первый нанизаны три диска разных диаметров, по убыванию. Нужно переложить диски на третий шест, причём больший по диаметру диск не может ложиться на меньший, за один ход можно перемещать только один диск.

Решение: Суть решения сводится к пониманию того, что для перемещения текущего диска необходимо решить задачу по переносу всех предыдущих дисков на свободный стержень, перемещению требуемого диска и последующему обратному перемещению всех предыдущих дисков меньшего размера на нужный стержень. Таким образом, решение задачи сводится к предыдущим решениям, что и иллюстрирует механизм рекурсии.

К такому типу задач относятся и кубик – Рубика, и игра «Пятнадцать», и в какой-то степени шахматы.

Задачи на соответствие

В одном классе учатся Иван, Петр, Сергей. Их фамилии: Иванов, Петров, Сергеев. Установите фамилию каждого из ребят, если известно, что Иван – не Иванов. Петр – не Петров, Сергей – не Сергеев и что Сергей живёт в одном доме с Петровым.

	Иван	Пётр	Сергей
Иванов	×	×
Петров		×	×
Сергеев	×		×

Решение:

Такие задачи очень удобно анализировать с помощью таблицы, которая представлена выше.

Прежде всего поставим исключения (крестики) - Иванов Иван, Петров Пётр, Сергеев Сергей. Далее рассуждаем так, если Сергей живёт в одном доме с Петровым, значит Сергей не Петров – ставим крестик. Следовательно, Сергей – Иванов. Если Сергей – Иванов, значит Пётр не может быть Ивановым. Ставим крестик Пётр – Иванов. Следовательно Пётр – Сергеев. Если Пётр – Сергеев, значит Иван не может быть Сергеевым. Следовательно Иван – Петров.

Ответ: Сергей – Иванов, Пётр – Сергеев, Иван – Петров

Ещё одна задача такого типа.

Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом платье говорит Черновой; «Нам надо поменяться платьями, а то у всех троих цвет платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?

	Белова	Чернова	Краснова
Белое	×	×
Чёрное		×	×
Красное	×		×

Решение: Из условия следует, что на Беловой не белое платье, на Черновой не черное, на Красновой не красное. Поставим крестики в соответствующие клетки таблицы по диагонали. Далее рассуждаем так, Чернова не в белом платье, следовательно Чернова – Красное. Значит Белова не может быть в красном платье, следовательно Белова – Чёрное, ну и Краснова – Белое.

Ответ: Белова в черном платье,  Чернова – в красном, Краснова – в белом.

Задачи на логику и рассуждения

Решили как-то пять мудрецов поразвлечься. Взяли они десять колпаков, причем разноцветных - шесть красных, два белых и два синих, позвали независимую персону, он каждому должен одеть на голову по колпаку. Естественно, все это происходит в кромешной тьме и никто из мудрецов даже не знает, какие колпаки оказались лишними. Затем они выходят на свет, смотрят друг на друга, и кто первый определит, какой на нем колпак, тот и победит. Кто станет победителем, если на трех участниках красные колпаки, на одном - синий и на одном - белый? Решение.  Победителем станет один из мудрецов с красным колпаком. Для простоты будем называть мудрецов по цвету надетых на них колпаков. Один из трех красных думает:

 - Если б я был белый, тогда один из двух красных подумает "допустим, я синий,  тогда мой красный сосед сразу догадался бы, что он красный (видит два белых и два синих). Но так как он этого не делает, то я не синий.  Но так как я вижу перед собой два белых, то следовательно я красный". Но эти два красных молчат, следовательно, я не белый. Точно также двое могли определить, что они красные, если бы я был синим. Но они все еще молчат, следовательно, я не синий тоже. Отсюда вывод - я красный

Мы же упростим задачу:

Один Повелитель решил наказать за проступок двух мудрецов. Он сказал: "У меня есть колпаки, 2 белых и 1 черный. Сядьте в 2 угла и закройте глаза, я надену на каждого из вас колпак. Отгадаете на ком какого цвета колпак подарю вам жизнь, нет отрублю головы». Мудрецы угадали, какие на них колпаки. Как они это сделали?

Такие задачи удобно инсценировать.

Рассуждения: предположим, что на мудрецов надели, один белый и один чёрный колпак, тогда, тот на котором надет белый колпак, видя, что на другом чёрный, сразу ответит: - На мне белый колпак, соответственно другой скажет, что на нем чёрный колпак.

Предположим, что на мудрецов надели оба белых колпака. Тогда смотря друг на друга, мудрецы, задумаются, ведь никто из них сразу не сможет сказать, на ком какой колпак. И эта задержка будет являться отгадкой, какого цвета колпак на каждом из мудрецов.

Вот ещё одна похожая задача.

На столе стоят три одинаковых ящика. В одном из них 2 черных шарика, в другом 1 черный и 1 белый шарик, в третьем 2 белых шарика. На ящиках написано: "2 белых", "2 черных", "черный и белый". При этом известно, что ни одна из записей не соответствует действительности. Как, вынув только один шарик, определить правильное расположение надписей?

Решение: Вынимаем шарик из коробки с надписью "черный и белый". Возможны два варианта: 1) шарик белый; тогда второй шарик в этой коробке тоже белый (иначе надпись была бы правильной); третий белый шарик может находится либо в коробке "2 белых", либо в коробке "2 черных", т.е. опять два варианта: а) белый и черный шарики находятся в коробке "2 белых"; тогда в коробке "2 черных" находятся 2 черных шарика - невозможный вариант; б) белый и черный шарики находятся в коробке "2 черных"; тогда в коробке "2 белых" находятся 2 черных шарика - единственно возможный вариант 2) шарик черный аналогично пункту 1) Собственно ответ: Вытаскиваем шарик из коробки с надписью "белый и черный". Если шарик белый, то: в коробке "белый и черный" - 2 белых шарика; в коробке "2 белых" - 2 черных шарика; в коробке "2 черных" - белый и черный шарики. Если шарик черный: в коробке "белый и черный" - 2 черных шарика; в коробке "2 белых" - белый и черный шарики; в коробке "2 черных" - 2 белых шарика.

Ещё одна задача на логику (про потерянный рубль).

Три друга зашли пообедать в кафе. Пообедав, официант принёс счёт на 30 рублей. Каждый отдал по 10 рублей. И они ушли. Проверив внимательней счёт, хозяйка поняла, что обед стоил 25 рублей. Она послала официанта возвратить 5 рублей. Официант догнав посетителей отдал им 5 рублей, трое взяли по рублю. А два рубля отдали официанту. Вопрос: 30 руб. они заплатили, три получили обратно – 27 руб. и 2 у официанта – 29 руб., куда делся ещё один рубль?

Задачу удобно инсценировать.

Раздадим каждому из трёх посетителей кафе по 30 рублей, желательно, по рублю разменных денег (можно вырезать из бумаги). И обыграв ситуацию, всё будет понятно.

Задача на логику, и не только

Встречаются два математика, не видевшиеся много лет. Один спрашивает у другого:

–      Дети есть?

–      Да, трое сыновей.

–       Сколько лет?

–       Если перемножить их возраста будет 36.

–       Мало информации.

–       Сумма их возрастов равна номеру проезжающего троллейбуса.

–       Мало информации.

–       Младший рыжий.

–       Теперь всё ясно.

Сколько детям лет?

Решение:

Разложим на простые множители число 36. Получим числа 2,2,3,3,1. Далее, с этими числами переберём все варианты, произведения трёх из которых даёт число 36. Получаем следующие варианты: 1,1,36; 1,2,18; 1,3,12; 1,4,9; 1,6,6; 2,2,9; 2,3,6; 3,3,4. Следующим этапом найдём их сумму: 38, 21, 16, 14, 13, 13, 11, 10. Если бы проезжал троллейбус с каким либо номером, но не 13, то второму математику сразу было бы ясно какой из вариантов подходит, для определения возрастов детей. Но, друг говорит, что опять мало информации, и тут мы понимаем, так как младший – рыжий, то есть не близнецы, то единственно правильный ответ 1,6,6.

Эта задача, которая встречается в ЕГЭ по математике:

В классе 35 учеников, из них 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11- в литературном, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой?

11 литература

20 математика

Решение: Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают. Значит, посещают кружки 35-10=25 учеников. 25 учеников посещают кружки. 20 учеников занимаются в математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-20=5 человек. В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают только литературный кружок. Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический кружок.