Инфоурок / Математика / Научные работы / Исследовательская работа" Способы решения кубических уравнений "

Исследовательская работа" Способы решения кубических уравнений "

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Выбранный для просмотра документ Исследовательская МБУ СО №11.docx

библиотека
материалов

hello_html_68959fc0.gifhello_html_68959fc0.gifhello_html_7627abec.gifhello_html_211d4ddc.gifhello_html_211d4ddc.gifhello_html_m14853d49.gifhello_html_m69121a5b.gif

Министерство образования и науки Республики Дагестан



Республиканская научная конференция

молодых исследователей «Шаг в будущее»




Исследовательская работа


Способы решения кубических уравнений



Симпозиум 3. Математика и информационные технологии


Автор: Мирзаханова Гулизар Садировна

Ученица 10 «а» класса МБУ СОШ №11 г.Дербента

Руководитель: Адилова С.Э., учитель математики МБУ СОШ №11 г.Дербента, учитель высшей категории,

«Почетный работник общего образования РФ»







2014г.

Оглавление

Введение 1

Основная часть……………………………………………………..……………………

  1. Кубическое уравнение………..…………………………………………………..2

  2. Теорема Виета для кубического уравнения……………………………….….…2

  3. Формула Кардано………………………………………………………………....4

  4. Классификация кубических уравнений, методы и приемы

их решения………………………………………………….………………………...6



Заключение………………………………..………………………………..……….…..9

Литература…………………………………………..……………………………........10





























Аннотация

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Уравнения мы встречаем и на уроках физики, химии и при решении различных практических задач. Мы подробно изучили правила решения линейных уравнений, формулы связанные с решением квадратных уравнений и... поверхностно начали изучение уравнений третьей степени. Тут-то и стали возникать вопросы: надо ли вообще изучать правила решения кубических уравнений? Встречаются ли кубические уравнения при решении практических задач? Ознакомившись с научно-популярной литературой, узнали, что именно к решению кубических уравнений сводится немало задач из физики, астрономии, Далее нас заинтересовали вопросы: 1) доказана ли формула для корней уравнения третьей степени, т.е. можно ли найти корни кубического уравнения, выполняя конечное число операций над коэффициентами такого уравнения. А удивительная теорема Франсуа Виета применима к кубическим уравнениям? Ознакомившись со справочной литературой, я выяснила, что формула для вычисления корней кубического уравнения существует, но она применяется редко. И мне захотелось узнать причину такой непопулярности формулы Кардано. Ведь итальянский математик Джироламо Кардано опубликовал эту формулу в книге «Великое искусство, или о правилах алгебры» в 1545 году. Однако нашей главной задачей в ходе работы было нахождение более рационального способа для решения уравнений третьей степени.

Цель работывыявление связи между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, классификация кубических уравнений по методам и приемам их решений.

Мы начали собирать материал, и нам захотелось больше узнать о древних выдающихся математиках, которые дали нам формулы для решения квадратных и кубических уравнений, используемые нами сейчас. Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие ли опровергающие мою мысль. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о причинах непопулярности формулы Кардано и о рациональных способах решения кубических уравнений. Я еще узнала, что творцы математики - это люди с удивительными судьбами, с сильными характерами, преодолевающие трудности и невзгоды героически. Так что, знакомство с историей математики играет большую роль в становлении личности, в формировании нравственной позиции, в выборе жизненного пути.


Введение

Актуальность темы состоит в следующем: для обычного школьника решение квадратного уравнения – знакомая процедура, идущая по формулам. Логичны вопросы: существует ли, наряду с этим алгоритмом, алгоритм вычисления корней кубического уравнения? Какие способы решения кубических уравнений применяются на практике?

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла). Математики средневековья создали довольно развитую теорию кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате "О доказательствах задач алгебры и алмукабалы" Омара Хаяма (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Ф.Виет (1593г.). Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С.Ферро (около 1515 г. ), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи. Я изучила историю их открытий и поняла, что даже авторство найденных формул недостаточно ясно.

Объект исследования - уравнения третьей степени.

Предмет исследования - различные способы решения кубических уравнений.

Гипотеза - предположение о том, что существует связь между коэффициентами кубического уравнения и его корнями, при решении таких уравнений можно применять разнообразные способы.

Перед собой я поставила цели: узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, систематизировать знания о способах решения кубических уравнений, научиться их решать рациональными способами.

Для достижения поставленных целей необходимо выполнить ряд задач:

-анализ школьных учебников;

- анализ научной и справочной литературы;

- рассмотреть аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени;

-рассмотреть формулу Кардано для уравнения третьей степени;

-рассмотреть элементарные способы и приемы решения кубических уравнений.

В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования: изучение и анализ учебной, справочной, научной литературы, сравнение различных видов уравнений и их классификация, обобщение по поводу практичности и рациональности изученных способов решения уравнений третьей степени. Работа состоит из введения, четырех глав основной экспериментальной части, заключения, списка литературы и приложений.

Основная часть

  1. Кубическое уравнение.

Кубическим уравнением называется уравнение вида: ax3+bx+cx+d=0 (1), где x-переменная, a,b,c,d, - некоторые числа, где а≠0.Число х, обращающее уравнение в верное равенство, называется корнем или решением уравнения. Оно также является корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части уравнения. Если а=1,то уравнение называют приведенным кубическим уравнением: х3+bх2+cx+d=0 (2). Согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение может иметь три корня (с учетом кратности). Из справочной литературы я узнала, что для кубических уравнений тоже существует дискриминант, как и для квадратных уравнений, с помощью которого различаются три случая существования корней кубического уравнения (1).

Вычисляется он по формуле D= -4b3d+b2c2-4ac3+18abcd-27c2d2. Если D>0, то уравнение имеет три различных действительных корня. Если D<0, то уравнение имеет один действительный и пару комплексно сопряженных корней. Если D=0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двукратный действительный корень и еще один отличный от них действительный корень; либо все три корня совпадают, образуя корень кратности 3.

Пока я не нашла ответ на вопрос, существуют ли общие формулы для корней кубических уравнений, рассмотрим частные случаи.

Если в кубическом уравнении(1) d=0, т.е. оно имеет вид ах2+bx2+сх=0, то левую часть уравнения можно представить в виде произведения х(ах2+bx+с)=0. Решение этого уравнения сводится к решению линейного уравнения х=0 и квадратного ах2+bx+с=0. И то, и другое уравнение мы всегда можем решить.

Если в кубическом уравнении(1) b=c=0, то оно имеет достаточно простой вид: ax3+d=0. В этом случае x3= - hello_html_2d94bf20.gif и х = hello_html_m5d6d6f97.gif.

Как же решить полное кубическое уравнение?



2.Теорема Виета для кубического уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения

x2+px+q=0, если х1 и х2 – его корни, то х2+рх+q= (х-х1)(х-х2); х2+рх+q= х2-(х12)*х+х12,

т.е. х12= -р, х12=q.Это верно, так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной.

Рассуждая аналогичным образом, я убедилась, что теорема Виета верна и для кубического уравнения (2).

Пусть х1, х2, х3 – корни этого уравнения, тогда справедливо равенство х3+bх2+сх+d = (х-х1)*(х-х2)*(х-х3).

Преобразуем его правую часть: (х-х1)*(х-х2)*(х-х3)=х3-(х123) * х2+(х1х21х32х3) *х-х1х2х3. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему равенств:

х123= -b,

х1х21х32х3=с,

х123= -d.

Верна и теорема, обратная теореме Виета. Если числа х123 таковы, что

х123= -b

х1х21х32х3

х123= -d

то эти числа являются корнями уравнения х3+bх2+сх+d=0. А корни кубического уравнения (1) связаны с его коэффициентами a,b,c,d следующим образом:

х123= - hello_html_m6acef63e.gif,

х1х21х32х3= hello_html_64ef67f6.gif,

х123= - hello_html_6c64b5b8.gif,

hello_html_10527c0e.gif + hello_html_m348b10cb.gif + hello_html_63f97291.gif = - hello_html_m6b7632da.gif , d≠0

Пример 1. Рассмотрим уравнение: х3+4х2+х-6=0.

Одна из формул Виета для данного уравнения имеет вид: х1х2х3=6

Прямо-таки напрашивается вывод: целый корень, если он существует, надо искать среди делителей свободного члена – числа 6. Я нашла в учебнике алгебры также теоремы.

Теорема 1. Пусть Р(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Если целое число m является корнем уравнения P(х)=0, то m является делителем свободного члена многочлена Р(х).

Теорема 2. Пусть Р(х) – многочлен произвольной степени. Число а является корнем уравнения Р(х)=0 тогда и только тогда, когда Р(х) делится на (х-а) без остатка.

Вернемся к уравнению х3+4х2+х-6=0. Корнями этого уравнения могут быть следующие числа: ±1; ±2; ±3; ±6. Обнаружив, что х=1 является корнем данного уравнения (это можно сделать подстановкой), разделим х3+4х2+х-6 на (х-1) и получим: х3+4х2+х-6 = (х-1)(х2+5х+6).

Запишем наше уравнение в виде: (х-1)(х2+5х+6)=0. Значит, х-1=0 или х2+5х+6=0. Отсюда следует: х1=1, х2=-2, х3=-3. Таким образом, я убедилась, что можно связать корни кубического уравнения с его коэффициентами. Произведение всех корней уравнения (2) равно модулю свободного члена. Если корни такого уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Пример 2. Решим уравнение х3-3х2-х+3=0 с помощью формул Виета:

х123= 3,

х1х21х32х3= -1,

х123= -3

Подбором найдем, что х1= -1, х2=1, х3=3.




3.Формула Кардано.

Так как от уравнения (1) всегда можно перейти к уравнению (2), то рассмотрим уравнение вида: х3+bx2+сх+d=0. Снова обратимся за аналогией к квадратным уравнениям. При решении квадратных уравнений нас выручало выделение полного квадрата. Стоит, наверное, попытаться в кубическом уравнении выделить полный куб, используя формулу (а+b)3=a3+b3+3ab*(a+b) (3).

Чтобы избежать громоздких выкладок в буквенном виде, я взяла уравнение x3+4x2+x-6=0, решенное выше (имеет 3 корня)

Выделим полный куб, после чего получим уравнение: (х+hello_html_m4d2614a7.gif)3 - hello_html_ea47016.gif х- hello_html_m5b6e2d85.gif =0.

Сделаем подстановку: y=x+hello_html_m4d2614a7.gif, отсюда х=y-hello_html_m4d2614a7.gif .

Имеем: y3- hello_html_ea47016.gif (y - hello_html_m4d2614a7.gif) - hello_html_m5b6e2d85.gif =0,

y3 - hello_html_ea47016.gif y+ hello_html_m8cd4033.gif - hello_html_m5b6e2d85.gif =0,

y3 - hello_html_ea47016.gif y - hello_html_1f9cfa82.gif =0, т.е. удалось получить кубическое уравнение, несодержащее слагаемое с квадратом переменной.

Значит, любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида x3+px+q=0 (4).

Общий подход к решению уравнений вида (4) разработал Джероламо Кардано (1501-1576гг.)

На самом деле, если в формулу (3) подставить х=а+b, получаем: х33+b3+3abx,

х3-3abx-(а3+b3) = 0, откуда для уравнения (4):

а3+b3= -q, а3+b3= -q,

3ab= -p, или а3b3= - (hello_html_603f907d.gif)3 (5)

Корнем уравнения (4) будет число х=а+b. По теореме, обратной теореме Виета, числа u=a3, v=b3 являются корнями приведенного квадратного уравнения t2+gt – (hello_html_603f907d.gif)3 = 0.

Выпишем эти корни:

t1,2= - hello_html_3125fc7a.gif ± hello_html_m54b8f7d9.gifПеременные a и b равны кубическим корням из t1 и t2, а искомое решение кубического уравнения (4) – сумма этих корней: х = hello_html_m47096d9f.gif + hello_html_m36889e63.gif.(6)

Эта формула, выражающая корень кубического уравнения (4) через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов и носит название формулы Кардано.

Выражение D= hello_html_16bda344.gif + hello_html_m3a018bab.gif называют дискриминантом уравнения (4).

Мне интересно было проверить, как «работает» формула Кардано.

Уравнение х3+4х2+х-6=0 имеет 3 корня. Проверим можно ли найти эти корни по формуле Кардано, используя уравнение, полученное из него указанными выше преобразованиями, т.е. уравнение y3 - hello_html_ea47016.gif y - hello_html_1f9cfa82.gif =0,где р= - hello_html_ea47016.gif , q= - hello_html_1f9cfa82.gif.


D = hello_html_m3caccca.gif

Получилось, что для вычисления корня моего уравнения по формуле (6),надо извлечь корень квадратный из отрицательного числа. А может быть по аналогии с квадратным уравнением предположить, что в этом случае нет корней, поскольку Dhello_html_m360d6129.gif. Ведь корни у этого уравнения есть: они найдены выше простым разложением левой части на множители.

Итак, я поняла, что не всё так просто и легко от того, что имеем формулу Кардано. Решила еще раз проверить мои догадки. Например, я составила уравнение х3+15х+124=0, имеющее один корень х= -4. Попробую получить этот корень по формуле Кардано:

х = hello_html_4d479f30.gif + hello_html_1bfda161.gif =

= hello_html_m29e266d.gif + hello_html_13317027.gif = hello_html_61bdc6ee.gif+ hello_html_7605d5d2.gif = hello_html_1c75d83f.gif + hello_html_mf6aaecc.gif = 1-5 = -4.

В этом случае формула Кардано сработала правильно.

Рассмотрим уравнение, имеющее один иррациональный корень: х3+6х+2=0.

По формуле Кардано, получим:

х= hello_html_m3ce71435.gif + hello_html_m7432a973.gif = hello_html_3a1c1cf6.gif + hello_html_3276e119.gif = hello_html_3403f8fc.gif + hello_html_34d26a74.gif = hello_html_3403f8fc.gif - hello_html_mb1e7f.gif

Значит, если уравнение вида (4) имеет единственный корень, то формула (6) его и даёт, а если уравнение имеет три корня, встречаем невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Следующее уравнение х3-12х+16 = 0 я подобрала, имеющее два корня.

На самом деле: х = 2 (23-12*2+16=0), х = -4 ((-4)3- 14* (-4) +16 = 0).

По формуле Кардано:

D = hello_html_m7a51dd9f.gif = hello_html_m24048a11.gif + hello_html_m5a29fc52.gif = 64-64 = 0.

Следовательно, число корней уравнения (4) зависит от знака дискриминанта D = hello_html_m25567443.gif + hello_html_3e0ebf9c.gif следующим образом: если Dhello_html_m7c48e444.gif0, то уравнение имеет один действительный корень; если D=0, то уравнение имеет два корня, если Dhello_html_m7c48e444.gif0, то уравнение имеет три действительных корня, но находить их надо, не применяя формулу Кардано. Конечно,мне это показалось удивительным: все коэффициенты действительные, все корни действительные, а промежуточные вычисления приводят к несуществующим числам. Из справочной литературы я узнала, что это и есть тот «неприводимый случай», который заинтересовал многих математиков в XVI веке и привел к расширению множества действительных чисел. И еще , я смогла узнать, что уравнение вида х3+рх=q удалось решить итальянскому математику Даль Ферро (1465- 1526) . Почему для такого вида, а не для вида х3+рх+q=0? Это потому что, тогда еще не были введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже.

4.Классификация кубических уравнений, методы и приемы их решения.

4.1.Симметрические уравнения. Уравнение вида hello_html_m7be7893.gifназывается симметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень hello_html_4fdf939.gif, значит, левую часть уравнения можно разложить на множители.

Пример: hello_html_m5490354d.gif,hello_html_m57f20985.gif корень уравнения,

hello_html_6f620159.gif, hello_html_m2f34dc5d.gif,

Д = 36 – 4 = 32, hello_html_m1dd23a15.gif.Ответ. hello_html_4fdf939.gif, hello_html_m52f70657.gif.

4.2. Кососимметрические уравнения. Уравнение вида hello_html_m4906740e.gifназывается кососимметрическим кубическим уравнением. Такое уравнение обязательно имеет корень hello_html_m51354fdd.gif. Например: hello_html_m6878cf22.gif.

Используя корень hello_html_m51354fdd.gif, сводим уравнение к квадратному hello_html_688fce3f.gif, которое не имеет действительных корней. Ответ. hello_html_m51354fdd.gif.

4.3.Возвратные уравнения. Уравнение вида hello_html_7cbd77a4.gifназывается возвратным кубическим уравнением. Например: hello_html_1b398088.gif.Уравнение можно записать в виде hello_html_603b845e.gif, тогда один из корней hello_html_3633a83b.gif, после деления левой части на(x+2),решим квадратное уравнение hello_html_m7613d12.gif, корни которогоhello_html_70215648.gif. Ответ.hello_html_3633a83b.gif,hello_html_70215648.gif.

4.4 Способ разложения левой части уравнения на множители. Пример1. hello_html_1a436c6.gif+3hello_html_m6ea82a6e.gif+ x-2=0.hello_html_m5132f5c0.gif

Теперь остается решить уравнение х+2=0 и квадратное уравнение hello_html_5b13e6ce.gif.

Ответ: hello_html_4894d1fa.gif, х3=-2.Для разложения многочлена на множители можно использовать различные способы: вынесение за скобки общего множителя, способ группировки, деление многочлена на многочлен, метод неопределенных коэффициентов, разложение по формулам сокращенного умножения и т.д.

Пример 2. Решите в целых числах уравнение хhello_html_m7bf7a97e.gif– х = 2014 .

Решение: левая часть уравнения хhello_html_m7bf7a97e.gif– х = (х – 1) х (х+1) – произведение трех последовательных целых чисел и делится на 3. Правая же часть не делится на 3. Уравнение не имеет решений в целых числах.

4.5. Способ понижения степени уравнения. Способ основан на теореме Безу и делении многочленов. Пример1.Решить уравнениеhello_html_425c781e.gif(прил.1.).

4. 6. Способ подбора корней. Так как кубическое уравнение имеет не более трех действительных корней, то в случае их рациональности возможен подбор корней способом проверки возможных вариантов. Например: hello_html_12423d36.gif.

Делители - 6 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 6 ( числители возможных корней).

Делители 6 : 1, 2, 3, 6 (знаменатели возможных корней).

Рациональные корни данного уравнения следует искать среди чисел: ±1, ±2, ±3, ±6, ±hello_html_m24a3d061.gif, hello_html_m19fbb5c8.gif, hello_html_1ee66481.gif, hello_html_m2f97d36a.gif, hello_html_ac766fb.gif.

По схеме Горнера получаем:


6

1

-11

-6

-1

6

-5

-6

0

hello_html_5d859780.gif

6

10

4

0

hello_html_m61040765.gif

6

-3

-9

0

Подберем три корня по нулевым остаткам в делении:hello_html_688f557.gif, других корней быть не может. Ответ: hello_html_22dbb870.gif.

4.7. Графический способ. hello_html_m15264eec.gif-6hello_html_7a2a5240.gif+5x+12=0, hello_html_m15264eec.gif=6hello_html_7a2a5240.gif-5x-12.

Построим график функций y=hello_html_m15264eec.gif и y=6hello_html_7a2a5240.gif-5x-12 (прил.2)

Видим, что уравнение имеет три корня, их значения можно проверить подстановкой:hello_html_m5742c79e.gif,hello_html_m775b68b.gif,hello_html_mad6df7b.gif

С помощью графического метода можно приближенно находить корни уравнения или решать вопрос о количестве рациональных корней уравнения (прил.3и4).

4.8. Использование монотонности функции.

Этот способ основан на следующих утверждениях: 1) строго монотонная функция принимает каждое свое значение ровно один раз; 2)если одна функция  возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение  f(х)=g(х)   имеет не более одного решения; 3)если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение f(х)=g(х)   либо имеет единственный корень, либо не имеет корней. Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений: уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида; уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции; уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

Пример 1. Решить уравнение :hello_html_6863a873.gif. Рассмотрим функцию у = х3 + 3 х – 4 и представим в виде суммы двух функций у = х3 и у = 3 х – 4.Обе функции определены на множестве R и являются возрастающими. Следовательно, их сумма – возрастающая функция. А так как всякая монотонная функция каждое своё значение может принимать лишь при одном значении аргумента, то и значение, равное нулю, она может принимать лишь при одном значении х. Значит, такое уравнение если имеет действительный корень, то только один. Испытывая делители свободного члена, находим, что х = 1.Ответ: х = 1.

Пример 2. Решить уравнение: х3 +х-2=0. Решение. Запишем уравнение в виде: x3 =2-x.  Рассмотрим функции f(x)=x3 и g(x)=2-x.Функция f(x) возрастает на всей области определения, а функция g(x) убывает на области определения. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что х=1.Проверкой убеждаемся, что х=1  действительно корень уравнения. Ответ: 1.

4.9. Способ замены переменной. Если коэффициенты кубического уравнения

hello_html_m71ad2104.gifявляются целыми числами, то уравнение может иметь рациональные корни. При ahello_html_m61fc8c02.gif, умножим обе части уравнения на hello_html_m20f62a32.gif и проведем замену переменных y=ax:hello_html_m9fb6851.gif

hello_html_763d5d9d.gif

hello_html_b5cbc06.gif

Пришли к приведенному кубическому уравнению. Оно может иметь целые корни, которые являются делителями свободного члена.

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m6eeb776f.gif(1)

Решение. Умножим обе части данного уравнения на hello_html_m48b14914.gif:

hello_html_m7a69fbd5.gif.Сделаем замену y=2x:

hello_html_16283741.gif

Найдем корень получившегося уравнения среди делителей свободного члена, то есть числа 36. Подставляя их по очереди в уравнение, убедимся, что корнем уравнения является число hello_html_m38808435.gif,тогдаhello_html_59edf0ca.gif.

Разделим левую часть уравнения (1) на hello_html_m2d53ee8d.gif и разложим на множители, после чего имеемhello_html_61fd121e.gif

2hello_html_mc5afd8.gif6x+9)=0 ,откуда имеем :hello_html_73c853f3.gif,а из уравнения hello_html_20b5516a.gif6x+9 =0 , hello_html_42dfddb4.gif

Ответ: hello_html_73c853f3.gif ,hello_html_1a2f9c7e.gif.

В случае, когда кубическое уравнение не имеет рациональных корней, применяются другие способы решения, например, способ разложения многочлена на множители.

Пример 2. Решить уравнение:hello_html_m630785fb.gif

4.10hello_html_m3e32d461.gifУравнения с параметрами. 1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х3-3х+4=а имеет 1 решение? (прил.6.)

2. В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения

х3 – 3х – а=0(прил.7.).

3. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х32-8х+2-а=0 имеет три корня? (прил.8)

4. При каких значениях параметра a уравнение 2х3-3х2+1-а=0 имеет три различных корня? х3-1,5х2+hello_html_45bd419d.gif=0 не приведенное уравнение, введем подстановку х=у+0,5:

(у+0,5)3-1,5(у+0,5)2+hello_html_45bd419d.gif=0,

у3-0,75у-0,25+hello_html_45bd419d.gif=0 ,

р=-0,75, q= hello_html_m196a0efd.gif; уравнение имеет три различных корня, если D<0,D=hello_html_57e2ff0d.gif-0,125, то есть 0,25-а+а2-2=0, а2-а-1,75=0,

hello_html_13de94a8.gif<0hello_html_m69abf313.gif-2а(2-2а)<0, тогда аhello_html_6e217a2f.gif(0;1).

Заключение

В данной работе были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени. Мне удалось выделить основные виды кубических уравнений и практические способы их решения. Еще я пришла к выводу, что использовать формулу Кардано для решения кубических уравнений не всегда целесообразно. Когда уравнение имеет три решения, выражение под квадратным корнем в формуле Кардано отрицательно. Если уравнение имеет всего одно решение, формула его и дает. Значит, причина непопулярности формулы (6) не только в её громоздкости (не такая она уж и громоздкая), а в её ненадежности. Тогда зачем же она нужна? Дело в том, что формула (6) дает ответ на классический вопрос о «разрешимости уравнений третьей степени в радикалах». Это означает, что для решения уравнений третьей степени с целыми коэффициентами вполне хватает запаса рациональных чисел, расширенного корнями разных степеней.

Вывод. Решать кубические уравнения рациональнее, используя способы, разобранные

в главе 4 основной части данной работы. Формулу Кардано удобно применять при решении кубических уравнений с параметром

Во втором полугодии 9 класса мы изучали элективный курс «Тайны решений уравнений», на занятиях которого и познакомились с более интересными способами решения различных уравнений, в том числе и кубических. В конце изучения элективного курса мы провели эксперимент по практическому применению исследованных способов:hello_html_3696d5ea.gif20 учащихся 9 класса получили задание решить кубическое уравнение х3 – 6х2 + 11х -6 = 0 тремя способами:

1. C помощью формулы Кардано верно решили 5 человек (прил.9).

2. Графическим способом верно решили 15 человек (прил.10)

3. С помощью разложения на множители верно решили 18 человек (прил.11).

Выводы о практическом применении способов решения кубических уравнений четко демонстрирует диаграмма (прил.12).

Рассмотренные примеры имеют различный уровень трудности - от простых до олимпиадных. Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала достаточно многогранна и перспективна для продолжения исследования.

Результаты настоящего исследования рекомендуется использовать для углубленного изучения данной темы на уроках и занятиях элективных курсов, для подготовки к ГИА и к олимпиадам. Курс поможет учащимся систематизировать полученные на уроках знания по решению уравнений, и открыть для себя новые методы их решения. Это будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданиями более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

Литература

  1. Алгебра и начала анализа, 10-11классы. Алимов Ш.А. Колягин Ю.М.Москва. Просвещение, 2014г.

  2. Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.

  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра 9кл., под редакцией С.А.Теляковского Москва Просвещение, 2014г.

  4. Математический энциклопедический словарь/гл. ред. Ю.В. Прохорова.— М. Современная энциклопедия, 1988.

  5. Эфендиев Э.И. Практикум по элементарной математике. Махачкала.2001.

  6. Электронная энциклопедия «Википедия»: http://wikipedia.org.






Выбранный для просмотра документ приложения.pptx

библиотека
материалов
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6 Приложение 7
Приложение 8
Приложение 9 Приложение 10 Приложение 11
Приложение 12
9 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Приложение 1
Описание слайда:

Приложение 1

№ слайда 2 Приложение 2
Описание слайда:

Приложение 2

№ слайда 3 Приложение 3
Описание слайда:

Приложение 3

№ слайда 4 Приложение 4
Описание слайда:

Приложение 4

№ слайда 5 Приложение 5
Описание слайда:

Приложение 5

№ слайда 6 Приложение 6 Приложение 7
Описание слайда:

Приложение 6 Приложение 7

№ слайда 7 Приложение 8
Описание слайда:

Приложение 8

№ слайда 8 Приложение 9 Приложение 10 Приложение 11
Описание слайда:

Приложение 9 Приложение 10 Приложение 11

№ слайда 9 Приложение 12
Описание слайда:

Приложение 12

Выбранный для просмотра документ Прил..docx

библиотека
материалов

Приложение 1

ScanImage002



















































Приложение 2

ScanImage001













































Приложение 3















































Приложение 4

















































Приложение 5

















































Приложение 6





Выбранный для просмотра документ введ.docx

библиотека
материалов

Введение

Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения. Ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания.

Актуальность темы состоит в следующем: для обычного школьника решение квадратного уравнения – знакомая процедура, идущая по формулам. Логичны вопросы: существует ли, наряду с этим алгоритмом, алгоритм вычисления корней кубического уравнения (многочлена третьей степени)? Какие способы решения кубических уравнений применяются на практике?

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла). Математики средневековья создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате "О доказательствах задач алгебры и алмукабалы" Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами. В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593г.). Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 г. ), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи. Я изучила историю их открытий и поняла, что даже авторство найденных формул достаточно темно по сей день. Поэтому хочу исследовать математическую суть дела. Перед собой я поставила цели: узнать о кубических уравнениях больше, чем позволяет школьная программа, систематизировать знания о способах решения кубических уравнений, научиться их решать рациональными способами.

Для достижения поставленных целей необходимо выполнить ряд задач:

- анализ научной литературы;

-анализ школьных учебников;

- рассмотреть аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени;

-рассмотреть формулу Кардано для уравнения третьей степени;

-рассмотреть элементарные способы решения кубических уравнений.



Выбранный для просмотра документ прил.2.docx

библиотека
материалов

C:\Users\СОШ№11\Desktop\Безымянный.png

hello_html_m1137a400.png

































В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения х3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а.

D=(hello_html_4a544d44.gif)2 + (hello_html_72e37293.gif)3 =(-hello_html_m16d0eb4e.gif)2+(-1)3= hello_html_24960e23.gif-1=hello_html_4f042bf2.gif.

_+.__-__._+

-2 2

При а hello_html_m79f24a27.gif (-∞;-2) hello_html_297d2b87.gif (2;∞) уравнение имеет 1 решение;

При а hello_html_m79f24a27.gif (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.







2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение х32-8х+2-а=0 имеет три корня?

Уравнение х3+3х2-24х+6-3а=0 приводим к виду у3+ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а где q= hello_html_m64e95a2d.gif- hello_html_267257eb.gif + hello_html_3cd05c0e.gif и 3 p=hello_html_m47de7c8a.gif q=32-3а; р=-27. Для данного вида уравнения D=(hello_html_4a544d44.gif)2 + (hello_html_72e37293.gif)3 =(hello_html_72f7251a.gif)2+(-9)3=hello_html_m56da8a1f.gif -729 =hello_html_m7c041bdd.gif; D<0. Решим неравенство hello_html_m7c041bdd.gif<0. D=(-192)2-4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 3242 а1 = hello_html_mcbc57e4.gif=hello_html_61ed5f4d.gif=28hello_html_m6a772bb3.gif, а2 =hello_html_7cea69ee.gif= - hello_html_m5dafa6ef.gif= -7hello_html_612269fd.gif.

+_.__-___._+

-7hello_html_612269fd.gif 28hello_html_m6a772bb3.gif

а hello_html_m79f24a27.gif ( -7hello_html_612269fd.gif; 28hello_html_m6a772bb3.gif)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала : 28.

Ответ.28







Будем искать многочлены hello_html_m1357127.gifи hello_html_202d07d5.gif такие, что справедливо тождественное равенство hello_html_m3fba80ba.gif, выполняя умножение и группируя слагаемые, получаем hello_html_mb8617b9.gif.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем систему условий:hello_html_36c40594.gif после решения системы получаем:

hello_html_m61c18d6b.gif, т.е. после разложения на множители hello_html_m4f7d754.gif и после решения квадратного уравнения hello_html_73e2bcf7.gif.

Ответ. hello_html_73e2bcf7.gif.




Пример: hello_html_m11da225e.gif

hello_html_mfcef66e.gifкорень уравнения


1

7

7

1

-1

1

6

1

0

hello_html_m25d207b0.gif,

hello_html_m1778c763.gif,

Д = 36 – 4 = 32,

hello_html_m6140748b.gif.

Ответ. hello_html_m11012ae.gif, hello_html_17955640.gif.

Пример1.Решить уравнениеhello_html_2474c478.gif.

hello_html_46cf7e38.gif

Делители - 6: ±1; ±2; ±3; ±6

hello_html_3b17781d.gif, hello_html_4f6fcd28.gif корень уравнения. После того, как найден один из корней , нужно разделить многочлены для понижения степени уравнения и сведения кубического уравнения к квадратному.

дробь1

hello_html_2f4b56c2.gif

hello_html_m3b960dce.gif,

Д = 9 + 12 = 21,

hello_html_m4b94b1c9.gif.

Ответ. hello_html_m6703f679.gif, hello_html_f6bbc42.gif.




Пример . Решить уравнение hello_html_m70eec5dd.gifhello_html_m70eec5dd.gif.(прил.)

Решение: это уравнение возвратное ,проведем группировку: hello_html_51a5cd28.gif

hello_html_m75048002.gifявляется корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена :hello_html_190d6f2e.gifhello_html_190d6f2e.gif,

hello_html_mcad1dcb.gif,

hello_html_55bc8734.gif,

hello_html_3bb4f06c.gif.
















Решите уравнение: hello_html_7f9049a8.gif.

Чтобы разложить левую часть уравнения на множители, надо представить одно из слагаемых в виде суммы так, чтобы можно было применить группировку.

hello_html_1a504414.gif

hello_html_322a5964.gif

Ответ: hello_html_m63f057b1.gif.







Решите уравнение: hello_html_m7117a80d.gif.

Так как 1+7–8=0, значит x=1.

hello_html_2302af81.gif

Ответ: hello_html_m7e6640e7.gif.


Общая информация

Номер материала: ДВ-507145

Похожие материалы