МУНИЦИПАЛЬНОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«СРЕДНЯЯ
ШКОЛА №8» ГОРОДА СМОЛЕНСКА
Конспект
урока по теме:
«Свойства
и признаки параллелограмма»
разработан
учителем математики
Нефедовой
Е.В.
2016
г.
Свойства
и признаки параллелограмма
1.
Загадка
Хоть стороны мои
Попарно и равны, и параллельны,
Все ж я в печали, что не равны мои
диагонали,
Да и углы они не делят пополам
Но все ж, скажи, дружок, кто я?
2.
Определение
Параллелограмм
- это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны,
т.е. лежат на параллельных прямых.
3.
Значение слова
Параллелограмм
( от греч. parallelos – параллельный и gramme
– линия), четырехугольник с попарно параллельными сторонами.
4.
Свойства
1)
Диагонали параллелограмма пересекаются и
точкой пересечения делятся пополам (т. 6.2)
2)
У параллелограмма противолежащие стороны
равны, противолежащие углы равны (т. 6.3)
3)
Сумма величин углов, прилежащих к одной
стороне параллелограмма, равна
4)
Диагональ параллелограмма разбивает его на
два равных треугольника
Дано:
ABCD-пар-м
AC-диагональ
Док-ть: ABC=CDA
Доказательство:
ABC=CDA
по 3 сторонам: AB=CD
BC=AD
по т. 6.3
AC
– общая
Или
ABC=CDA
по стороне и прилежащим углам: AC – общая
∟1=∟2 – внутр. н.
л. При AD//BC,
сек. AC
∟3=∟4 – внутр. н.
л. При AB//CD,
сек. AC
5)
Биссектриса любого угла параллелограмма
отсекает от него равнобедренный треугольник
Дано:
ABCD-пар-м
AM-диагональ
Док-ть: ABM:
AB=BM
Доказательство:
ABM
– равнобедренный, т.к ∟1=∟3 – углы при основании
∟1=∟2=∟3 внутр. н.
л.
6)
Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма
параллельны
Дано:
ABCD-пар-м
AM-
биссектриса ∟A
CE-
биссектриса ∟C
Док-ть: AM//CE
Доказательство:
Т.к. ABCD-пар-м.
то ∟A=∟C,
значит ∟1=∟3=∟4=∟5
∟5=∟4=∟2
∟2=∟5=∟1, значит
AM//CE,
т.к. ∟1=∟2 – соответственно
7) Биссектрисы
углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, перпендикулярны
Дано:
ABCD-пар-м
AE-
биссектриса ∟A
BK-
биссектриса ∟B
Док-ть:AE┴BK
Доказательство:
ABEK-ромб,
т.к. 1) пар-м ∟A+∟B=180
2) AE и BK являются
диагоналями и биссектрисами
Значит AE┴BK,
т.л. диагонали ромба перпендикулярны
8)
В параллелограмме угол между высотами,
проведенными из вершины его тупого угла, равен острому углу параллелограмма
Дано:
ABCD-пар-м
BK и BF-высоты ∟B
Док-ть: ∟1=∟2
Доказательство:
KBFD-четырехугольник
∟K+∟1+∟F+∟D=360
∟1+∟D=360-180=180
∟1=180-∟D=∟A
9)
Сумма
расстояний от любой точки, лежащей внутри параллелограмма, до прямых, на
которых лежат его стороны – величина постоянная для данного параллелограмма
Доказательство:
5.
Признаки
1)
(т. 6.1) Если диагонали четырехугольника
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник –
параллелограмм
Дано: ABCD
ACBD
AO=CO
BO=DO
2)
Если в четырехугольнике две стороны равны
и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
AB=CD
AB//CD
3)
Если в четырехугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
AB=CD
AB//CD
4)
Если в четырехугольнике противолежащие
стороны и противолежащие углы равны, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
AB=CD
AB//CD
1.
Надо доказать, что AB//CD и BC//AD
2.
∟A+∟B+∟C+∟D=360 (Сумма углов двух
треугольников, например, ABD и CBD)
Значит, 2∟A+2∟B=360
∟A+∟B=180 – в.о. при BC и AD, сек. AB,
значит BC//AD
∟С+∟B=180 – в.о. при AB и CD, сек. BC,
значит AB//CD
ABCD – параллелограмм по
второму признаку: AB=CD и AB//CD
5)
Если диагонали четырехугольника разбивают
его на 2 равных треугольника, то этот четырехугольник – параллелограмм
Дано: ABCD
ABC=CDA
Т.к.
ABC=CDA,
то AB=CD и BC=AD
–соответственно, значит ABCD – параллелограмм
по третьему признаку
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.