Конспект для обучающихся "Отношения и пропорции"

Конспект урока для обучающихся Математика 1 курс

Тема: «Отношения и пропорции»

Отношение – это частное от деления одного числа на другое.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Например:

Крайние члены пропорции: в первой пропорции; – во второй.

Средние члены пропорции: в первой пропорции; – во второй.

Основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов:

Пример 1.

Проверьте, верны ли равенства, используя основное свойство пропорции:

Решение:

Ответ: равенство верно.

Пример 2.

Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

Решение:

Ответ:

Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным. Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.

Пример 3.

Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму (коэффициент пропорциональности ) будет равно:

Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.

Пропорциональные зависимости

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Не всякие две величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, рост ребенка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребенка не удваивается.

Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции.

Пример 4.

За 3,2 кг товара заплатили 11,52 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара?

Решение:

Количество товара

Стоимость товара

1 покупка

3,2 кг

11,52 руб.

2 покупка

1,5 кг

х руб.

Зависимость между количеством товара и стоимостью покупки прямо пропорциональная, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками.

Запишем пропорцию: .

Теперь найдем неизвестный член пропорции:

Пример 5.

Два прямоугольника имеют одинаковую площадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдите ширину второго прямоугольника.

Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) второго прямоугольника, запишем кратко условие задачи:

Решение. Запишем кратко условие задачи в виде таблицы, обозначив буквой х стоимость (в рублях) 1,5 кг этого товара. Запись будет иметь следующий вид:

Длина

Ширина

1 прямоугольник

3,6 м

2,4 м

2 прямоугольник

4,8 м

х м

Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками.

Запишем пропорцию:

Теперь найдем неизвестный член пропорции: