- 14.12.2015
- 622
- 0
Курсы
Другое
Подготовка к ОГЭ по математике.
Решение текстовых задач на производительность.
Занятие подготовила и провела 07.12.15 года учитель математики
Горшукова Елена Николаевна.
Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно. « Если вы хотите плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их», - советовал учащимся известный математик Джорж Пойа в книге « Как решить задачу». Решение любой задачи требует напряженного труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку. Это нужные качества в жизни человека, ведь в пословице говорится « Ум без догадки гроша не стоит» .
Большинство выпускников не решают текстовые задачи. Они задачу даже не читают, сразу говорят – такие задачи решать не умею.
Предлагаю рассмотреть на этом занятии решение текстовых задач на производительность ( на работу), используя сборник под редакцией Д.А.Мальцева « Математика. 9 класс. ОГЭ 2016. 60 тестов +приложения.»
Задачи на работу аналогичны задачам на движение. Вся работа играет роль расстояния, а производительность объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. При решении таких задач используется формула: А = N * t, где А – величина выполненной работы ( объем работы); N – производительность труда ( скорость выполнения работы); t – время работы. Все величины считаются положительными. Чем так хороша производительность труда? А тем, что производительность труда нескольких человек можно складывать Это значит, что, для того чтобы получить производительность труда группы из нескольких человек, нужно сложить производительность труда в группе. Поэтому при составлении уравнения в качестве переменной х удобно выбрать производительность.
Итак, начинаем, открываем сборник и находим:
Т-7, №22
Первый наборщик набирает за час 5 страниц текста, второй – 6 страниц, а третий – 7 страниц. Определите, по сколько страниц текста нужно отдать для набора каждому из них если потребуется, чтобы весь текст, объем которого 216 страниц, был набран как можно быстрее.
Решение.
1) 5 + 6 +7 = 18 страниц за час они наберут вместе;
2) 216: 18 = 12 часов – каждому работать;
3) 5*12 = 60 стр – 1-му; 6*12 = 72 стр -2-му; 7*12 = 84 стр -3-му.
Ответ: 60стр; 72стр; 84стр.
! Т-8, №22
В городе имеется три завода по выпуску рыбных консервов. Первый завод может переработать 50 тонн рыбы за трое суток, второй – 45 тонн за двое суток, а третий – 95 тонн за шесть суток. Определите минимальное время (в сутках), за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.
Решение.
1) 50/3 + 45/2 + 95/6 = 330/6 = 55 тонн рыбы вместе за 1 сутки;
2) 110 : 55 = 2 суток – минимальное время, за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.
Ответ: 2 суток.
Т-47, №22
Двое каменщиков, работая вместе, за 1 час могут выложить участок стены площадью 2 кв.м. Работая отдельно, второй каменщик выложит участок стены площадью 4,8 кв.м на 2 часа быстрее, чем это сделает первый. За сколько часов, работая отдельно, первый каменщик выложит стену площадью 8 кв.м?
Решение. Пусть 1-й каменщик за час выкладывает х кв.м стены, а второй – у кв.м. Тогда имеем:
|
А, кв.м |
Р, дет/ч |
t, час |
|
1-й каменщик |
4,8 |
х |
4,8/х |
на 2 часа больше |
2-й каменщик |
4,8 |
у |
4,8/у |
|
За ск.часов, работая отдельно, 1-й выложит стену площадью 8 кв.м?
Составим и решим систему уравнений:
х + у =2,
4,8/х - 4,8/у = 2; х#0, у#0.
Выразим из первого уравнения х = 2 – у и подставим во второе уравнение:
4,8у – 2у(2-у) – 4,8(2 –у) =0;
2 + 5,6у
-9,6 =0,
5 +14у -24
=0,
Д=196+480=676
= ,
у=-4 (не подходит по смыслу задачи), у= 1,2.
Т.о. второй каменщик выкладывает за 1 час 1,2 кв.м., первый 2 – 1,2 = 0,8 кв.м за 1 час.
8/0,8 = 10 часов – выполнит работу первый каменщик.
Ответ: 10 часов.
! Т-48,№22
Токарь 6 разряда и его ученик за час вместе изготовляют 40 деталей. Ученику для изготовления 40 деталей требуется времени на 2 часа больше, чем требуется токарю для изготовления 96 деталей. Сколько деталей в час изготовляет токарь?
Решение.
|
А, дет |
Р дет/час |
t,час |
|
токарь |
96 |
96/х |
х |
|
ученик |
40 |
40/х+2 |
х+2 |
|
вместе |
|
40 |
|
|
Составим и решим уравнение: 96/х + 40/х+2 = 40, х>0
96(х+2) + 40х - 40х(х+2)=0,
10 -14х -48
=0, Д=2116=
,
х= - 1,6 (не подходит по смыслу задачи), х = 3.
т.о. токарь за 3 часа изготовит 96 деталей.
96:3 = 32 детали изготовит токарь за 1 час.
Ответ: 32 детали.
! Т-49, №22.
Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй - за 40 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение.
|
А, л |
t, мин |
Р, л/мин |
1 насос |
1 |
24 |
1/24 |
2 насос |
1 |
40 |
1/40 |
3 насос |
1 |
60 |
1/60 |
Решение:
Обозначив искомое время через t, составим и решим уравнение:
(1/24 + 1\40 + 1/60) t= 1,
20/240 *t=1,
t= 12. Т.о. бак три насоса наполнят за 12 минут.
Ответ:12 минут.
Т-50, №22.
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой – за 18 часов. За сколько часов выполнят заказ эти мастера, работая вместе?
Решение.
|
А, з |
t, час |
Р, з/час |
1 мастер |
1 |
12 |
1/12 |
2 мастер |
1 |
18 |
1/18 |
Обозначив искомое время через t, составим и решим уравнение:
(1/12 +1/18) * t = 1,
t=36:5 =7,2.
т.о. за 7,2 часа эти мастера выполнят заказ.
Ответ: за 7,2 часа.
! Т-55,№22.
Бассейн можно наполнять через четыре трубы. Если открыть вторую, третью и четвертую трубу, то бассейн наполнится за 1 час, если открыть первую, третью и четвертую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только первую и вторую трубу – бассейн наполнится за 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Решение.
Обозначим через а – часть бассейна, которая заполняется первой трубой за 1 минуту.
1/ (в+с+д) =60,
1/ (а + с+ д) =75,
1/(а + в ) = 100.
Решим эту систему методом сложения.2(а+в+с+д)= 12/300,
а+в+с+д=1/50 – скорость наполнения бассейна через четыре трубы одновременно. Найдем время наполнения по формуле: t = A / N.
1: 1/50 = 50 минут наполнится бассейн.
Ответ: за 50 минут.
Т-56,№22
Бассейн может наполнять через четыре трубы. Если открыть первую, вторую и третью, то бассейн наполнится за 1 час 45 минут, если открыть первую, вторую и четвертую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только третью т четвертую трубу – бассейн будет наполняться 2 часа 55 минут. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Решение.
Обозначим через а – часть бассейна, которая заполняется первой трубой за 1 минуту.
а+в+с=1/105,
а+в+д = 1/75.
с +д = 1/175.
Решим и эту систему методом сложения:
2(а+в+с+д) =30/1050,
а+в+с+д = 1/70 – скорость наполнения бассейна через четыре трубы одновременно. Найдем время наполнения по формуле: t = A / N.
1: 1/70 = 70 минут наполнится бассейн.
Ответ: за 70 минут.
Примеры более сложных задач на производительность
Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением
.
Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.
Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,
у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.
Тогда – производительность труда первого
рабочего,
– производительность труда второго
рабочего.
– совместная производительность труда.
– время, за которое они выполнят задание,
работая вместе.
Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.
Решение:
Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.
у – время работы второго рабочего.
По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.
Пусть объем всей работы равен 1.
Тогда – производительность труда первого
рабочего,
– производительность труда второго
рабочего.
Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то
– объем работы, выполненной рабочими за
45 минут.
Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то
– объем работы, выполненной вторым
рабочим за 2 часа 15 минут.
По условию .
Таким образом, мы получили систему двух уравнений
Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе
Þ
Þ 4у2–19у+12=0
ч. и у2=4 ч.
Из двух значений для у выберем
то, которое подходит по смыслу задачи у1=45 мин., но
45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно,
поэтому не подходит по смыслу
задачи. Для полученного у2=4 ч. найдем из первого уравнения
первоначальной системы значение х
х=4–1 Þ х=3 ч.
Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.
Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.
Задача 2. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в час делала каждая бригада?
Решение:
Пусть х деталей в час изготовляет первая бригада (производительность первой бригады).
у – производительность второй бригады.
х+у – совместная производительность бригад.
Так как вместе они сделали 72 детали, то
– время совместной работы бригад.
Так как бригады работали с 8 до 15 часов, всего 7 часов, то
– время работы бригад раздельно, тогда
– число деталей, которое изготовила
первая бригада, работая отдельно
– число деталей, которое изготовила
вторая бригада, работая отдельно
По условию или
Составим второе уравнение. По условию:
х+1 – производительность труда первой бригады на другой день.
у–1 – производительность труда второй бригады на другой день.
х+1+у–1=х+у – совместная производительность (такая же, как и в первый день).
Так как бригады работали с 8 до 13 часов – всего 5 часов, то
– число деталей, которые изготовила
первая бригада, работая отдельно, во второй день.
– число деталей, которые изготовила
вторая бригада, работая отдельно, во второй день.
По условию или
.
Таким образом, мы составили систему двух уравнений:
Решим эту систему методом замены переменных:
Пусть ...................(V)
Тогда имеем:
Þ
Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение
Þ v2+2v–8=0
Þ v1=2, v2=–4.
Значение v2=–4 не подходит по смыслу задачи (из условия ясно, что производительность первой бригады выше, чем второй, а значит х–у=v>0). Найдем значение u, соответствующее v2=2, подставив значение v2 в выражение для u:
.
Так как нам нужно найти значения х и у, подставим полученные значения для u и v в (V)
Þ
Þ
Þ
Þ
Ответ: 13 деталей в час изготавливала первая бригада; 11 деталей в час изготавливала вторая бригада.
Настоящий материал опубликован пользователем Горшукова Елена Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материалучитель математики
Файл будет скачан в формате:
Материал разработан автором:
Мещерова Любовь Владимировна
Учитель нач классов
Конспект урока по математике: Решение задач помогает ученикам закрепить навык в решении задач, формирование вычислительных навыков. Составление краткой записи, соответствующей задаче. Развивает математический склад ума.
Курс профессиональной переподготовки
Курс профессиональной переподготовки
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Еще материалы по этой теме
Смотреть
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
7 354 672 материала в базе
Вам будут доступны для скачивания все 333 278 материалов из нашего маркетплейса.
Мини-курс
10 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.