Конспект элективного занятия в 9 классе "Решение задач на работу"

Подготовка к ОГЭ по математике.

Решение текстовых задач на производительность.

Занятие подготовила и провела 07.12.15 года учитель математики

Горшукова Елена Николаевна.

Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно. « Если вы хотите плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их»,  - советовал учащимся известный математик Джорж Пойа в книге « Как решить задачу». Решение любой задачи требует напряженного труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку. Это нужные качества в жизни человека, ведь в пословице говорится « Ум без догадки гроша не стоит» .

 Большинство выпускников не решают текстовые задачи. Они задачу даже не читают, сразу говорят – такие задачи решать не умею.

Предлагаю рассмотреть на этом занятии решение текстовых задач на производительность ( на работу), используя сборник под редакцией Д.А.Мальцева        « Математика. 9 класс. ОГЭ 2016. 60 тестов +приложения.»

Задачи на работу аналогичны задачам на движение. Вся работа играет роль расстояния, а производительность объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. При решении таких задач используется формула: А = N * t, где   А – величина выполненной работы ( объем работы); N – производительность труда ( скорость выполнения работы); t – время работы. Все величины считаются положительными. Чем так хороша производительность труда? А тем, что производительность труда нескольких человек можно складывать Это значит, что, для того чтобы получить производительность труда группы из нескольких человек, нужно сложить производительность труда в группе. Поэтому при составлении уравнения  в качестве переменной х удобно выбрать производительность.

Итак, начинаем, открываем сборник и находим:

Т-7, №22

Первый наборщик набирает за час 5 страниц текста, второй – 6 страниц, а третий – 7 страниц. Определите, по сколько страниц текста нужно отдать для набора каждому из них если потребуется, чтобы весь текст, объем которого 216 страниц, был набран как можно быстрее.

Решение.

 1) 5 + 6 +7 = 18 страниц за час они наберут вместе;

2) 216: 18 = 12 часов – каждому работать;

3) 5*12 = 60 стр – 1-му; 6*12 = 72 стр -2-му; 7*12 = 84 стр -3-му.

 Ответ: 60стр; 72стр; 84стр.

 ! Т-8, №22

В городе имеется три завода по выпуску рыбных консервов. Первый завод может переработать 50 тонн рыбы за трое суток, второй – 45 тонн за двое суток, а третий – 95 тонн за шесть суток. Определите минимальное время (в сутках), за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.

Решение.

1)    50/3 + 45/2 + 95/6 = 330/6 = 55 тонн рыбы вместе за 1 сутки;

2)    110 : 55 = 2 суток – минимальное время, за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.

Ответ: 2 суток.

Т-47, №22

Двое каменщиков, работая вместе, за 1 час могут выложить участок стены площадью  2 кв.м. Работая отдельно, второй каменщик выложит участок стены площадью 4,8 кв.м на 2 часа быстрее, чем это сделает первый. За сколько часов, работая отдельно, первый каменщик выложит стену площадью 8 кв.м?

Решение. Пусть 1-й каменщик за час выкладывает х кв.м стены, а второй – у кв.м. Тогда имеем:

	А, кв.м	Р, дет/ч	t, час
1-й каменщик	4,8	х	4,8/х	на 2 часа больше
2-й каменщик	4,8	у	4,8/у

За ск.часов, работая отдельно, 1-й выложит стену площадью 8 кв.м?

Составим и решим систему уравнений:

х + у =2,

4,8/х - 4,8/у = 2;  х#0, у#0.

Выразим из первого уравнения х = 2 – у и подставим во второе уравнение:

4,8у – 2у(2-у) – 4,8(2 –у) =0;

2 + 5,6у -9,6 =0,     

5 +14у -24 =0,

Д=196+480=676 =  ,

у=-4 (не подходит по смыслу задачи), у= 1,2.

Т.о. второй каменщик выкладывает за 1 час 1,2 кв.м.,                                               первый   2 – 1,2 = 0,8 кв.м за 1 час.

8/0,8 = 10 часов – выполнит работу первый каменщик.

Ответ: 10 часов.

 ! Т-48,№22

Токарь 6 разряда и его ученик за час вместе изготовляют 40 деталей. Ученику для изготовления 40 деталей требуется времени на 2 часа больше, чем требуется токарю для изготовления 96 деталей. Сколько деталей в час изготовляет токарь?

Решение.

	А, дет	Р дет/час	t,час
токарь	96	96/х	х
ученик	40	40/х+2	х+2
вместе		40

Составим и решим уравнение: 96/х + 40/х+2 = 40, х>0

96(х+2) + 40х - 40х(х+2)=0,

10 -14х -48 =0, Д=2116=,

х= - 1,6 (не подходит по смыслу задачи), х = 3.

т.о. токарь за 3 часа изготовит 96 деталей.

96:3 = 32 детали изготовит токарь за 1 час.

Ответ: 32 детали.

! Т-49, №22.

Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй  - за 40 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.

	А, л	t, мин	Р, л/мин
1 насос	1	24	1/24
2 насос	1	40	1/40
3 насос	1	60	1/60

Решение:

Обозначив искомое время через t, составим и решим уравнение:

(1/24 + 1\40 + 1/60) t= 1,

20/240 *t=1,

t= 12.     Т.о. бак три насоса наполнят за 12 минут.

Ответ:12 минут.

Т-50, №22.

Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой – за 18 часов. За сколько часов выполнят заказ эти мастера, работая вместе?

Решение.

	А, з	t, час	Р, з/час
1 мастер	1	12	1/12
2 мастер	1	18	1/18

Обозначив искомое время через t, составим и решим уравнение:

(1/12 +1/18) * t = 1,

t=36:5 =7,2.

т.о. за 7,2 часа эти мастера выполнят заказ.

Ответ:  за 7,2 часа.

! Т-55,№22.

Бассейн можно наполнять через четыре трубы. Если открыть вторую, третью и четвертую трубу, то бассейн наполнится за 1 час, если открыть первую, третью и четвертую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только первую и вторую трубу – бассейн наполнится за 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?

Решение.

Обозначим через а – часть бассейна, которая заполняется первой трубой за 1 минуту.

1/ (в+с+д) =60,

1/ (а + с+ д) =75,

1/(а + в ) = 100.

Решим эту систему методом сложения.2(а+в+с+д)= 12/300,

а+в+с+д=1/50 – скорость наполнения бассейна через четыре трубы одновременно. Найдем время наполнения по формуле: t = A / N.

1: 1/50 = 50 минут наполнится бассейн.

Ответ: за 50 минут.

Т-56,№22

Бассейн может наполнять через четыре трубы. Если открыть первую, вторую и третью, то бассейн наполнится за 1 час 45 минут, если открыть первую, вторую и четвертую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только третью т четвертую трубу – бассейн будет наполняться 2 часа 55 минут. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?

Решение.

Обозначим через а – часть бассейна, которая заполняется первой трубой за 1 минуту.

а+в+с=1/105,

а+в+д = 1/75.

с +д = 1/175.

Решим и эту систему методом сложения:

2(а+в+с+д) =30/1050,

а+в+с+д = 1/70 – скорость наполнения бассейна через четыре трубы одновременно. Найдем время наполнения по формуле: t = A / N.

1: 1/70 = 70 минут наполнится бассейн.

Ответ: за 70 минут.

                         Примеры более сложных  задач на производительность

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р ­– производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

.

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

    у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда  – производительность труда первого рабочего,

     – производительность труда второго рабочего.

     – совместная производительность труда.

     – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

Решение:

Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.

  у – время работы второго рабочего.

По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.

Пусть объем всей работы равен 1.

Тогда  – производительность труда первого рабочего,

     – производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

     – объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

     – объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

  Þ    Þ  4у²–19у+12=0

 ч.  и  у₂=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи  у₁=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому  не подходит по смыслу задачи. Для полученного у₂=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4–1  Þ  х=3 ч.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.

Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.

Задача 2. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в час делала каждая бригада?

Решение:

Пусть х деталей в час изготовляет первая бригада (производительность первой бригады).

      у – производительность второй бригады.

     х+у – совместная производительность бригад.

Так как вместе они сделали 72 детали, то

       – время совместной работы бригад.

Так как бригады работали с 8 до 15 часов, всего 7 часов, то

       – время работы бригад раздельно, тогда

       – число деталей, которое изготовила первая бригада, работая отдельно

       – число деталей, которое изготовила вторая бригада, работая отдельно

По условию   или 

Составим второе уравнение. По условию:

  х+1 – производительность труда первой бригады на другой день.

  у–1 – производительность труда второй бригады на другой день.

  х+1+у–1=х+у – совместная производительность (такая же, как и в первый день).

Так как бригады работали с 8 до 13 часов – всего 5 часов, то

   – число деталей, которые изготовила первая бригада, работая отдельно,  во второй день.

   – число деталей, которые изготовила вторая бригада, работая отдельно, во второй день.

По условию   или  .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений:

Решим эту систему методом замены переменных:

Пусть ...................(V)

Тогда имеем:

  Þ 

Выразим из первого уравнения  и подставим во второе уравнение

  Þ  v²+2v–8=0  Þ  v₁=2,  v₂=–4.

Значение v₂=–4 не подходит по смыслу задачи (из условия ясно, что производительность первой бригады выше, чем второй, а значит  х–у=v>0). Найдем значение u, соответствующее v₂=2, подставив значение v₂ в выражение для u:

.

Так как нам нужно найти значения х и у, подставим полученные значения для u  и v в (V)

  Þ    Þ    Þ    Þ 

Ответ: 13 деталей в час изготавливала первая бригада; 11 деталей в час изготавливала вторая бригада.