Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.
Подать заявку на курс
- Математика
Конспект элективного занятия в 9 классе "Решение задач на работу"
Подготовка к ОГЭ по математике.
Решение текстовых задач на производительность.
Занятие подготовила и провела 07.12.15 года учитель математики
Горшукова Елена Николаевна.
Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано, научиться ему можно. « Если вы хотите плавать, смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их», - советовал учащимся известный математик Джорж Пойа в книге « Как решить задачу». Решение любой задачи требует напряженного труда, воспитывает волю, упорство, развивает любознательность, смекалку. Это нужные качества в жизни человека, ведь в пословице говорится « Ум без догадки гроша не стоит» .
Большинство выпускников не решают текстовые задачи. Они задачу даже не читают, сразу говорят – такие задачи решать не умею.
Предлагаю рассмотреть на этом занятии решение текстовых задач на производительность ( на работу), используя сборник под редакцией Д.А.Мальцева « Математика. 9 класс. ОГЭ 2016. 60 тестов +приложения.»
Задачи на работу аналогичны задачам на движение. Вся работа играет роль расстояния, а производительность объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. При решении таких задач используется формула: А = N * t, где А – величина выполненной работы ( объем работы); N – производительность труда ( скорость выполнения работы); t – время работы. Все величины считаются положительными. Чем так хороша производительность труда? А тем, что производительность труда нескольких человек можно складывать Это значит, что, для того чтобы получить производительность труда группы из нескольких человек, нужно сложить производительность труда в группе. Поэтому при составлении уравнения в качестве переменной х удобно выбрать производительность.
Итак, начинаем, открываем сборник и находим:
Т-7, №22
Первый наборщик набирает за час 5 страниц текста, второй – 6 страниц, а третий – 7 страниц. Определите, по сколько страниц текста нужно отдать для набора каждому из них если потребуется, чтобы весь текст, объем которого 216 страниц, был набран как можно быстрее.
Решение.
1) 5 + 6 +7 = 18 страниц за час они наберут вместе;
2) 216: 18 = 12 часов – каждому работать;
3) 5*12 = 60 стр – 1-му; 6*12 = 72 стр -2-му; 7*12 = 84 стр -3-му.
Ответ: 60стр; 72стр; 84стр.
! Т-8, №22
В городе имеется три завода по выпуску рыбных консервов. Первый завод может переработать 50 тонн рыбы за трое суток, второй – 45 тонн за двое суток, а третий – 95 тонн за шесть суток. Определите минимальное время (в сутках), за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.
Решение.
50/3 + 45/2 + 95/6 = 330/6 = 55 тонн рыбы вместе за 1 сутки;
110 : 55 = 2 суток – минимальное время, за которое на этих заводах можно переработать 110 тонн рыбы.
Ответ: 2 суток.
Т-47, №22
Двое каменщиков, работая вместе, за 1 час могут выложить участок стены площадью 2 кв.м. Работая отдельно, второй каменщик выложит участок стены площадью 4,8 кв.м на 2 часа быстрее, чем это сделает первый. За сколько часов, работая отдельно, первый каменщик выложит стену площадью 8 кв.м?
Решение. Пусть 1-й каменщик за час выкладывает х кв.м стены, а второй – у кв.м. Тогда имеем:
А, кв.м
Р, дет/ч
t, час
1-й каменщик
4,8
х
4,8/х
на 2 часа больше
2-й каменщик
4,8
у
4,8/у
За ск.часов, работая отдельно, 1-й выложит стену площадью 8 кв.м?
Составим и решим систему уравнений:
х + у =2,
4,8/х - 4,8/у = 2; х#0, у#0.
Выразим из первого уравнения х = 2 – у и подставим во второе уравнение:
4,8у – 2у(2-у) – 4,8(2 –у) =0;
2
+ 5,6у -9,6 =0,
5 +14у -24 =0,
Д=196+480=676 = 
,
у=-4 (не подходит по смыслу задачи), у= 1,2.
Т.о. второй каменщик выкладывает за 1 час 1,2 кв.м., первый 2 – 1,2 = 0,8 кв.м за 1 час.
8/0,8 = 10 часов – выполнит работу первый каменщик.
Ответ: 10 часов.
! Т-48,№22
Токарь 6 разряда и его ученик за час вместе изготовляют 40 деталей. Ученику для изготовления 40 деталей требуется времени на 2 часа больше, чем требуется токарю для изготовления 96 деталей. Сколько деталей в час изготовляет токарь?
Решение.
А, дет
Р дет/час
t,час
токарь
96
96/х
х
ученик
40
40/х+2
х+2
вместе
40
Составим и решим уравнение: 96/х + 40/х+2 = 40, х>0
96(х+2) + 40х - 40х(х+2)=0,
10
-14х -48 =0, Д=2116=
,
х= - 1,6 (не подходит по смыслу задачи), х = 3.
т.о. токарь за 3 часа изготовит 96 деталей.
96:3 = 32 детали изготовит токарь за 1 час.
Ответ: 32 детали.
! Т-49, №22.
Первый насос наполняет бак за 24 минуты, второй - за 40 минут, а третий – за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение.
А, л
t, мин
Р, л/мин
1 насос
1
24
1/24
2 насос
1
40
1/40
3 насос
1
60
1/60
Решение:
Обозначив искомое время через t, составим и решим уравнение:
(1/24 + 1\40 + 1/60) t= 1,
20/240 *t=1,
t= 12. Т.о. бак три насоса наполнят за 12 минут.
Ответ:12 минут.
Т-50, №22.
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой – за 18 часов. За сколько часов выполнят заказ эти мастера, работая вместе?
Решение.
А, з
t, час
Р, з/час
1 мастер
1
12
1/12
2 мастер
1
18
1/18
Обозначив искомое время через t, составим и решим уравнение:
(1/12 +1/18) * t = 1,
t=36:5 =7,2.
т.о. за 7,2 часа эти мастера выполнят заказ.
Ответ: за 7,2 часа.
! Т-55,№22.
Бассейн можно наполнять через четыре трубы. Если открыть вторую, третью и четвертую трубу, то бассейн наполнится за 1 час, если открыть первую, третью и четвертую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только первую и вторую трубу – бассейн наполнится за 1 час 40 минут. За сколько минут наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Решение.
Обозначим через а – часть бассейна, которая заполняется первой трубой за 1 минуту.
1/ (в+с+д) =60,
1/ (а + с+ д) =75,
1/(а + в ) = 100.
Решим эту систему методом сложения.2(а+в+с+д)= 12/300,
а+в+с+д=1/50 – скорость наполнения бассейна через четыре трубы одновременно. Найдем время наполнения по формуле: t = A / N.
1: 1/50 = 50 минут наполнится бассейн.
Ответ: за 50 минут.
Т-56,№22
Бассейн может наполнять через четыре трубы. Если открыть первую, вторую и третью, то бассейн наполнится за 1 час 45 минут, если открыть первую, вторую и четвертую трубу – бассейн наполнится за 1 час 15 минут, а если открыть только третью т четвертую трубу – бассейн будет наполняться 2 часа 55 минут. За какое время наполнится бассейн, если открыть все четыре трубы?
Решение.
Обозначим через а – часть бассейна, которая заполняется первой трубой за 1 минуту.
а+в+с=1/105,
а+в+д = 1/75.
с +д = 1/175.
Решим и эту систему методом сложения:
2(а+в+с+д) =30/1050,
а+в+с+д = 1/70 – скорость наполнения бассейна через четыре трубы одновременно. Найдем время наполнения по формуле: t = A / N.
1: 1/70 = 70 минут наполнится бассейн.
Ответ: за 70 минут.
Примеры более сложных задач на производительность
Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением
.
Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.
Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,
у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.
Тогда 
– производительность труда первого рабочего,
– производительность труда второго рабочего.
– совместная производительность труда.
– время, за которое они выполнят задание, работая вместе.
Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.
Решение:
Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.
у – время работы второго рабочего.
По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.
Пусть объем всей работы равен 1.
Тогда – производительность труда первого рабочего,
– производительность труда второго рабочего.
Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то
– объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.
Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то
– объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.
По условию 
.
Таким образом, мы получили систему двух уравнений
Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе
Þ 
Þ 4у2–19у+12=0
ч. и у2=4 ч.
Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи у1=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому не подходит по смыслу задачи. Для полученного у2=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х
х=4–1 Þ х=3 ч.
Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.
Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.
Задача 2. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в час делала каждая бригада?
Решение:
Пусть х деталей в час изготовляет первая бригада (производительность первой бригады).
у – производительность второй бригады.
х+у – совместная производительность бригад.
Так как вместе они сделали 72 детали, то
– время совместной работы бригад.
Так как бригады работали с 8 до 15 часов, всего 7 часов, то
– время работы бригад раздельно, тогда
– число деталей, которое изготовила первая бригада, работая отдельно
– число деталей, которое изготовила вторая бригада, работая отдельно
По условию 
или 
Составим второе уравнение. По условию:
х+1 – производительность труда первой бригады на другой день.
у–1 – производительность труда второй бригады на другой день.
х+1+у–1=х+у – совместная производительность (такая же, как и в первый день).
Так как бригады работали с 8 до 13 часов – всего 5 часов, то
– число деталей, которые изготовила первая бригада, работая отдельно, во второй день.
– число деталей, которые изготовила вторая бригада, работая отдельно, во второй день.
По условию 
или 
.
Таким образом, мы составили систему двух уравнений:
Решим эту систему методом замены переменных:
Пусть 
...................(V)
Тогда имеем:
Þ 
Выразим из первого уравнения 
и подставим во второе уравнение
Þ v2+2v–8=0 Þ v1=2, v2=–4.
Значение v2=–4 не подходит по смыслу задачи (из условия ясно, что производительность первой бригады выше, чем второй, а значит х–у=v>0). Найдем значение u, соответствующее v2=2, подставив значение v2 в выражение для u:
.
Так как нам нужно найти значения х и у, подставим полученные значения для u и v в (V)
Þ 
Þ 
Þ 
Þ 
Ответ: 13 деталей в час изготавливала первая бригада; 11 деталей в час изготавливала вторая бригада.
8
| Автор | |
|---|---|
| Дата добавления | 14.12.2015 |
| Раздел | Математика |
| Подраздел | Конспекты |
| Номер материала | ДВ-259439 |
Просмотров: 126
Комментариев: 0
Просмотров: 141
Комментариев: 0
Просмотров: 166
Комментариев: 0
Просмотров: 136
Комментариев: 0
Просмотров: 416
Комментариев: 0
Просмотров: 245
Комментариев: 0
Просмотров: 150
Комментариев: 0