Конспект факультативного занятия " Элементы теории множеств"

Конспект урока из цикла уроков по программе факультатива «Элементы теории множеств»

      Одно из самых важных, самых распространенных и широко употребляемых понятий математики является понятие множества.

Цель нашего занятия: повторить свойства действий над множествами и рассмотреть некоторые задачи, которые решаются при помощи понятия множества.

Для начала определим, какое понятие мы называем множеством?

• Множество- понятие множества является исходным, первичным. Его не определяют через другие понятия, вместо выражения «множество», употребляют слова «совокупность», «набор», «коллекция».
• Основатель теории множеств Георг Кантор (1845-1918) определял множество как многое, мыслимое как единое.

Сообщение учащегося о Канторе ( презентация)

·         Гео́рг Ка́нтор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, 3 марта 1845, Санкт-Петербург — 6 января 1918, Галле (Заале)) — немецкий математик. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей».

• Те объекты, те предметы, из которых составимо какое-нибудь множество называют его элементами.

Итак, в одно множество можно объединить любые объекты.

Фронтальная работа:

Какие названия применяются для обозначения  множества животных? Как называется множество артистов, работающих  в одном театре? Какие названия применяются для обозначения  множества военнослужащих? Какие названия применяются для обозначения  множества кораблей Какое название применяется для обозначения  множества цветов, стоящих в вазе? Как называется множество царей, фараонов, императоров  данной страны, принадлежащих одному семейству? Как называется множество точек земной поверхности,  равноудаленных от Северного полюса? Как называется множество точек земной поверхности, имеющих одинаковую долготу?

Задание 1: Пусть А – множество всех треугольников. Из скольких элементов состоит множество  треугольников на рисунке?

Задание 2 (работа в группах):

 Приведите примеры своих  множеств множеств, которые вы составили сами.

Группы предлагают списки элементов. Класс должен догадаться, о каком множестве идет речь.

Группа №1	Группа №2	Группа №3	Группа №4	Группа №5

Привести пример пустого множества. ( Множество шестиногих собак, множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180).

О некоторых множествах до сих пор неизвестно, пусты они ли нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел n, таких, что n>2, а уравнение X+Y=Z имеет положительные целочисленные решения (известная теорема Ферма). Неизвестно, пусто ли множество цифр, встречающихся лишь конечное число раз в десятичном разложении числа «пи».

Графический диктант: Итак, я считаю, что все следующие множества пусты. Если вы со мной согласны поставьте 1 , если нет -0.

• Множество квадратов с неравными сторонами.                                                     
• Множество прямоугольников с неравными диагоналями.
• Множество треугольников, медианы которых не пересекаются в одной точке.
• Множество целых корней уравнения 4х-1=0
• Множество натуральных корней уравнения 2х-3х-9=0.
• Множество точек пересечения двух параллельных прямых.

Итак, мы с вами задавали множества способом перечисления его элементов. Но не все множества можно задать списком. Например, невозможно составить список рыб в океане.  Как еще можно задать множество?

·         Указать такое свойство, которым обладают все его элементы.

Как называется такое свойство?  (характеристическое)

·         Составьте список элементов множества, заданных характеристическим свойством:

Множество четных чисел, удовлетворяющих неравенству 1<х<5
Множество корней квадратного уравнения х2-6х+8=0

Какое множество у вас получилось  в первом  и втором случае?  ( {2, 4}

Действительно, одно и то же множество  может быть задано различными характеристическими свойствами.  Приведите свои  примеры.

В следующих множествах все элементы, кроме одного, обладают некоторым свойством. Найдите этот элемент.

·   {2, 6, 15 ,84, 156}

·   {2, 7, 13, 16, 29}

·   {1, 4, 9, 25, 67, 121}

·   {квадрат, параллелограмм, прямоугольник, трапеция, ромб}

·   { жираф, аист, корова, барсук, собака}         

·   { лев, гиена, лисица, слон, рысь}

·   {Евклид, Пифагор, Декарт, Колумб, Виет} 

В ряде случаев при решении задач и доказательстве теорем, используют свойства действий с множествами.

Множества можно «складывать», «умножать», «вычитать»

пересечение	объединение	разность
Пересечением (произведением) двух множеств А и В называют такое множество, элементы которого входят и в первое, и во второе множество. Обозначают: А*В . Удобно изображать пересечение множеств на кругах Эйлера. Приведите примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств. А – множество мальчиков всей школы. В – множество учеников 8 класса. А * В – множество мальчиков, которые учатся в 8 классе.	Объединением (суммой) двух множеств А и В называют такое множество, которое составлено из всех элементов обоих множеств А и В. Обозначают: А+В. Удобно изображать объединение множеств при помощи кругов Эйлера. Приведите примеры применения в реальной жизни операции объединения множеств. А – множество успевающих учеников в классе. В – множество девочек в этом классе. С – множество неуспевающих мальчиков. А+ В+ С – является множеством всех учащихся этого класса.	Разностью множеств А и В называют множество тех элементов из А, которых нет в В. Обозначают: А\В (косой минус) Удобно изображать разность множеств при помощи кругов Эйлера. Приведите примеры применения в реальной жизни операции пересечения множеств. А – множество всех учащихся 8 класса. В – множество всех девочек. А\ В – множество мальчиков.

Для рассуждений о множествах используют круги (схемы) Эйлера. Леонард Эйлер предложил наглядно изображать каждое множество в виде круга (размер и положение круга не имеют значения)

·         Сообщения учащихся  об Л. Эйлере

Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707(17070415), Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — российский и швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.Эйлер — автор более чем 800 работ  по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и, начиная с 1766 года, был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Решение задач

1. Три купчихи – Олимпиада Карповна, Дарья Петровна  и  Агриппина Ивановна - сели пить чай. Олимпиада Карповна и Дарья Петровна выпили вдвоем 11 чашек. Дарья Петровна и Агриппина Ивановна -15, а Агриппина  Ивановна и Олимпиада Карповна-14. сколько чашек чая  выпили купчихи вместе?

      2. Во время опроса в одной Орских школ оказалось, что  из- 800 опрошенных учеников 430 посещают электив  по математике, 220- по истории, 180 посещают оба  электива.  Сколько человек не посещают элективов вообще?

3. Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек,  немецкий-30, французский-42, английский и немецкий-8,  английский и французский -10, немецкий и французский -5.

 все три языка изучают 3 студента. Сколько студентов изучают только один язык? Сколько студентов не изучают  ни одного языка?

Выполнение творческого задания: (у учащихся на партах набор  из трех палочек, кольца, пластилина и игрушка-коза)

Как  с помощью трех колышков, колечка и  веревок привязать козу, чтобы она могла есть  траву лишь на части луга, имеющей форму полукруга.

Поставить колышки в точках А и В, на  колышки А и В натянуть веревку, по которой может скользить колечко. К колечку привязать веревку длины R , а к концу этой веревки - козу. Кроме того, привязать козу к веревке длины  R, идущей от третьего колышка.

Итак, мы с вами повторили основные понятия теории множеств. Теория множеств является одной из дисциплин, на которые базируются почти все математические дисциплины - анализ, общая алгебра и другие.

Краткое описание документа:

Одно из самых важных, самых распространенных и широко употребляемых понятий математики является понятие множества. Цель занятия: повторить свойства действий над множествами и рассмотреть некоторые задачи, которые решаются при помощи понятия множества.Для рассуждений о множествах используют круги (схемы) Эйлера.