Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме "Геометрия масс"

Конспект факультативного занятия в 11 классе по теме "Геометрия масс"

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m63f93ec6.gifhello_html_600d6437.gifhello_html_72de9d8f.gifhello_html_72de9d8f.gifhello_html_m63f93ec6.gifhello_html_600d6437.gifПлан урока.

Название: « Геометрия масс»

Тема : « Геометрия»(элективный курс)


Место урока: 10класс , «Геометрия масс» , М.Балк, В.Болтянский


Цели в блоках достижения:


личностных результатов:

1 самопознание;

2.смыслообразование;

3.самооценка;

4.формирование целостного мировоззрения;


метапредметных результатов:

5.формирование обобщённого представления о межпредметном понятии «Центр масс»;

6. применение сформированного понятия в окружающей действительности;

7.формирование регулятивных УУД (оценка выполнения учебной задачи, формирование коммуникативной компетентности);

8.формирование познавательных УУД (умение выделять свойства, подведение под понятие, моделирование, классификация, обобщение, умение анализировать графические изображения);


предметных результатов:

9.развитие пространственного мышления;

10. формирование умения- распознавать опорные задачи;

- решать планиметрические и стереометрические задачи с привлечением свойства центра масс.


















1

Актуализация знаний полученных в курсе планиметрии.




Ученики работают в индивидуальных листах контроля.

Вопрос 1. На отрезке MN отметить точку Р так, что МР:РN=4:5 и точку К так, что МК:МN=2:9

hello_html_40b5713.png

Вопрос2. Что такое чевиана?

Задача 1.

В равнобедренном треугольнике АВС, с основанием АВ, чевиана АD делит боковую сторону в отношении 2:7. Треугольник разбивается на два треугольника. Найти площадь исходного треугольника, если площадь треугольника ADC равна 4 кв. ед.



hello_html_3beba9e0.pnghello_html_3beba9e0.png


Задача2. Эта чевиана является биссектрисой. Найти стороны треугольника, если периметр треугольника 22 см.


Самопроверка

Вопрос 1.Точка Р разбивает отрезок MN на два отрезка: в одном - четыре части, в другом – пять частей.

Отрезок МК это часть всего отрезка MN.

Вопрос 2. Чевиана это отрезок соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Задача 1. Опорная задача: если два треугольника имеют равные высоты, то их площади относятся, как основания.

Ваш ответ? (18)

Задача решена неправильно. У этой задачи два решения. (В качестве подсказки на индивидуальном листе два треугольника). CD:DB=2:7 либо CD:DB=7:2.

Второе решение hello_html_m76464fbd.gif.

Задача 2.

А вот вторая задача имеет одно решение.

В случае, когда CD:DB=2:7 получим набор отрезков длинами 4,4,17. Треугольник не существует. В случае, когда CD:DB=7:2 получим треугольник со сторонами hello_html_16f9849f.gif

2




Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В своем послании к Эратосфену «О механических теоремах» Архимед писал: «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем».

(Слайд с портретами Архимеда и Эратосфена)

3

hello_html_m4e3b7618.pnghello_html_m55e4ce63.pnghello_html_m4a873ad0.png


Показ фрагмента фильма «Геометрия масс».

Что это за метод? Это геометрия масс. Вы знакомились с этим методом в курсе планиметрии. Сегодня на уроке мы обобщим наши знания по этому вопросу и научимся применять геометрию масс при решении стереометрических задач. Запишите тему урока.

1) Что в основе метода?

Правило рычага Архимеда.

(Работаем со скриншотом фильма)


Центр масс данной системы двух точек А и В будет такая точка С отрезка АВ, что АС:СВ=m2:m1
F:\Геометрия масс\Безымянный6.bmp

2) Теорема о перегруппировке масс

Если нам дана система из нескольких материальных точек, то вместо любой пары (тройки,..) точек мы можем рассмотреть их центр масс, в котором находится суммарная масса исходных двух (трёх,…) точек.C:\Documents and Settings\Admin\Мои документы\Мои рисунки\Безымянный5.bmp






3) Наличие радиус векторов на скриншотах говорит о том, что опорные утверждения доказываются с помощью векторов, а любая задача на центр масс имеет векторное решение.Безымянный4.bmp






4) В ходе решения мы ищем одну прямую, на которой лежит центр масс заданной системы материальных точек, а затем другую прямую, на которой лежит центр масс этой же системы материальных точек. Точка пересечения прямых и есть искомый центр масс.Провешивание.bmp

При решении стереометрических задач центр масс можно определить как точку пересечения прямой и плоскости


4




1) Опыты с цилиндром и конусом с одинаковыми основаниями и высотами.

Опытным путём (как в фильме) определяют центр масс конуса и цилиндра (с одинаковыми основаниями и высотами), подвешенных на противоположных концах палки. Вывод: плечо до конуса примерно в три раза длиннее, чем плечо до цилиндра, следовательно, по правилу рычага цилиндр весит в три раза больше. Поскольку тела одной плотности, то объём конуса составляет одну треть объёма цилиндра с таким же основанием и высотой.


2) Демонстрация игрушки «Птичка»


orel1.jpg

Кому-то это кажется чудом. Но секрет птицы прост – она изготовлена так, что ее центр масс приходится точно на кончик клюва.


А где находится центр масс системы трёх единичных материальных точек? (Это точка пересечения медиан. Центр масс делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины.)




3) Где находится центр масс параллелограмма?


Лежит в точке пересечения его диагоналей.

4Z

1D

5







1А 1

Как разместить массы, чтобы центр масс находился в точке D с суммарной массой 1?


2Z

1D

5







1А -1В


5





В планиметрии мы выделяли две опорные задачи.


Первая опорная задача (в треугольнике проведены две чевианы).



На стороне ВС треугольника АВС взята точка D , такая что ВD:DС=5:1. В каком отношении медиана СE делит отрезок АD?

hello_html_47bf8cc.png

Распределим массы так, чтобы центр масс системы трёх материальных точек А,В и С находился в точке К пересечения чевиан. Заменим материальные точки 1А и 1В их центром масс 2Е. Центр масс точек А,В,С лежит на прямой СЕ. Заменим материальные точки 1В и 5С их центром масс 6D. Центр масс точек А,В,С лежит на прямой AD. Прямые пересекаются в точке К. Это центр масс материальных точек А, В, С.


1А+1В+5С=7К

1А+6D=7K hello_html_m244bbaaf.gif


5C+2E=7Khello_html_m215a563f.gif


Пусть площадь треугольника СКD равна 1. Найти площадь треугольника АВС. Найти площадь четырёхугольника ЕКDB.

hello_html_7b666d64.pnghello_html_m26e1564a.png

SCKD=1hello_html_m23785cf1.gif SCKA=6hello_html_m23785cf1.gif SADC=7hello_html_m23785cf1.gif SABD=35hello_html_m23785cf1.gif SABC=35+7=42hello_html_m23785cf1.gif SACE=21hello_html_m23785cf1.gif SAKE=21-6=15hello_html_m23785cf1.gif


SDKEB=35-15=20



Дан прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Через центр вписанной окружности проведена прямая параллельная стороне треугольника. Найти длину отрезка секущей внутри треугольника.

hello_html_m48aa3384.png


Вторая опорная задача (в треугольнике пересекаются чевиана и отрезок секущей).


В треугольнике ABC точка F делит основание ВС в отношении 3:1, считая от вершины В. Точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая соответственно от вершины А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?


hello_html_mb03a1e1.png



Решение. Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их .центром оказалась точка F: очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1В), а в С — массу 3. Далее, имея уже м. т. 1 В, подберем для точки А такую массу х, чтобы точка М оказалась центром масс двух м. т. и хА. По правилу рычага имеем 1· ВМ = х ·МА , откуда х = ВМ : МА = 5. Наконец, имея м. т. 3С, подберем для точки А еще другую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром масс двух м. т. 3 С и у А. По правилу рычага имеем 3· CP = у· РА , откуда у = 0,6. У нас возникла новая ситуация: кроме м. т. 1В и 3С, мы имеем в точке А две различные массы 5 и 0,6. Рассмотрим систему из всех четырех м. т. IB, 5А, 3С и 0,6С. Ее центр масс обозначим через Z. Перенесем массы м. т. 1В и 5А в их центр масс М, а массы м. т. 3С и 0,6А — в их центр масс Р. Тогда Z окажется центром масс лишь двух м. т. 6М и 3,6Р. Мы могли бы и иначе сгруппировать те же четыре м. т.: перенести массы м. т. 1В и ЗС в их центр масс F, а вместо и 0,6А рассмотреть одну м. т. 5,6А. Тогда Z окажется центром масс двух м. т. 4F и 5,6А. Следовательно, Z — точка пересечения отрезков MP и AF. Так как Z — центр масс м. т. 5,6А и 4F, то АZ : ZF =4:5,6= 5: 7. Аналогично убедимся, что MZ : ZP = 3: 5.


Третья опорная задача


От боковых ребер PМ, РN, PK правильной треугольной пирамиды РMNK плоскость отсекает соответственно hello_html_m51f07a50.gif считая от вершины Р. Какую часть отсекает секущая плоскость от высоты РE пирамиды?


hello_html_55b5830c.png

hello_html_m4b6b61b9.png





Решение можно свести к применению второй опорной задачи.

1) в треугольнике NPK медиана PD пересекается с отрезком секущей ВС в точке F;

2) ) в треугольнике MDP чевиана PE пересекается с отрезком секущей АF в точке Z ;




hello_html_m696a6898.pnghello_html_m18f39a89.png


Четвёртая опорная задача


Основанием пирамиды FABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость пересекает боковые ребра AF, BF, CF, DF соответственно в точках А111,D1 так, что АА11F=2;

BB1:B1F=5; CC1:C1F=10 В каком отношении секущая плоскость делит четвёртое ребро? высоту?





hello_html_64938909.png


Итоги


Если у вас есть трудная задача, отдайте ее ленивому. Он найдет более легкий способ выполнить ее.
Законы Мерфи



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 18.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров198
Номер материала ДВ-269674
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх