Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект факультативного заняття за темою "Властивості медіан трикутника"

Конспект факультативного заняття за темою "Властивості медіан трикутника"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m51af5fb9.gifhello_html_m455419f0.gifhello_html_4158ab8.gifC:\Users\Нина\Desktop\Старый компьютер\image002.gif





«ВЛАСТИВОСТІ МЕДІАН ТРИКУТНИКА»



Факультативне заняття

з математики

для учнів 8-9 класів



Сімоненко Н.М.

вчитель математики

Харківської ЗОШ І-ІІІ степенів №59





Тема. Медіани трикутника.

Мета: розглянути роль медіан в трикутнику та застосування властивостей медіан для розв’язання задач; розвивати стійкий інтерес учнів до математики; логічне мислення; навички самостійно і творчо працювати з учбовою літературою.

Очікувані результати: учні знають властивості медіан трикутника та уміють їх застосовувати при розв’язанні задач.

Структура заняття: І. Підготовчі завдання.

ІІ. Основний матеріал:

1) історична довідка;

2)теоретичний матеріал;

3)приклади розв’язання задач.

ІІІ. Самостійне розв’язання задач.

IV. Гра.

V. Домашнє завдання.

Хід заняття

І. Підготовчі завдання.

  1. Повторення властивостей медіан трикутник.

Можна запропонувати учням конкурс:

«Хто сформулює найбільшу кількість властивостей медіан трикутника».

Відповідь може бути такою:

  • медіана ділить протилежну сторону трикутника навпіл;

  • медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники;

  • точка перетину медіан трикутника поділяє кожну медіану у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника;

  • медіани трикутника поділяють трикутник на шість рівновеликих трикутників;

  • медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині;

  • медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є висотою та бісектрисою;

  • в правильному трикутнику кожна медіана є бісектрисою та висотою;

  • точку перетину медіан трикутника називають центроїдом, або центром мас трикутника;

ІІ. Основний матеріал.

1) Історична довідка. (Можна дати завдання кільком учням підготувати історичну довідку про «особливі точки трикутника»)

Ви неодноразово чули термін «особливі точки трикутника».

У четвертій книзі «Початків» Евклід розв’язує задачу: «Вписати коло в даний трикутник». Із розв’язання випливає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного кола. Із розв’язання іншої задачі Евкліда випливає, що перпендикуляри, проведені до середин сторін трикутника, також перетинаються в одній точці – центрі описаного кола. У «Початках» не сказано про те, що і три висоти трикутника перетинаються в точці, яку називають ортоцентром трикутника. Про це твердження було відомо Архімеду.

Особливою точкою трикутника є точка перетину його медіан, яка називається центроїдом. Архімед довів,що вона є центром ваги трикутника. Починаючи XVIII ст., на зазначені вище чотири точки було звернуто особливу увагу, вони були названі «особливими» точками трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов’язаних з цими та іншими точками, слугувало початком для створення нового розділу елементарної математики – «геометрії трикутника», одним із засновником якого був Леонард Ейлер.

У 1765 році Ейлер довів, що в будь - якому трикутнику ортоцентр, центроїд і центр вписаного кола лежать на одній прямій, яку пізніше назвали «прямою Ейлера».

У 20 – х роках XIXст. Французькі математики Понселе Ж., Бріаншон Ш. довели незалежно один від одного теорему: основи медіан, основи висот і середини відрізків висот, що з’єднують ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному колі. Це коло називають «колом дев’яти точок», або «колом Ейлера».

2)Теоретичний матеріал.

Щоб успішно розв’язувати задачі з геометрії треба добре знати теоретичний матеріал. На початку заняття були названі властивості медіан, які часто застосовуються для розв’язання задач, але медіани мають властивості, які не вивчаються на уроках. Розглянемо деякі з них.

1.Довести, що медіани трикутника можна знайти за формулами:

hello_html_7da2887d.gifhello_html_59d6cc15.gifhello_html_m48c537c7.gif.

(Щоб вивести формули медіан трикутника, треба згадати ознаку паралелограма: якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник буде паралелограмом. Ще треба знати властивість діагоналей паралелограма: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін).

В С

М



А D









Доведення. Нехай в трикутнику АВС АВ=с, АС=b, ВС=а, медіана ВМ=mb. Продовжимо медіану ВМ за точку М на відрізок МD=ВМ. Тоді за ознакою паралелограма чотирикутник АВСD- паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

АС2D2=2(АВ2+ВС2), враховуючи, що ВD=2ВМ, одержуємо: АС2+4ВМ2=2(АВ2+ВС2), ВМ2=hello_html_228666ac.gif, ВМ=hello_html_m77403cc6.gif враховуючи що АВ=с, АС=b, ВС=а, ВМ=mb , маємо

hello_html_m48c537c7.gif. Аналогічно можна вивести також формулиhello_html_7da2887d.gif hello_html_59d6cc15.gif.

2.Довести, якщо дві медіани трикутника перпендикулярні, тоді сума квадратів сторін трикутника, до яких вони проведені, в 5 разів більша квадрата третьої сторони, тобто hello_html_11852162.gifc2+b2=5a2.

(Для доведення треба згадати теорему Піфагора та властивість медіан трикутника).

hello_html_3865b2f0.png

Доведення. Нехай медіани ВК і СР перпендикулярні і перетинаються в точці О. АВ=c, ВС=a, АС=b. Трикутник ВОС прямокутний, кут ВОС прямий. Тоді за теоремою Піфагора: ВС2=ВО2+СО2. За властивістю точки перетину медіан трикутника, маємо ВО=hello_html_6a1c94eb.gifВК, СО=hello_html_6a1c94eb.gifСР. Одержуємо ВС2=hello_html_m1ae3d52d.gif(ВК2+СР2). Медіани трикутника знаходяться за формулами:

hello_html_7da2887d.gifhello_html_47fa2158.gifhello_html_m48c537c7.gifhello_html_59d6cc15.gifПозначимо ВС=а, ВК=mb, CP=mc, одержимо hello_html_7fe33281.gifmb2+ mc2) =a2, підставляючи значення mb і mc в рівність hello_html_7fe33281.gifmb2+ mc2) = a2 , маємо , hello_html_11852162.gifc2+b2=5a2, що треба було довести.

3.Довести, якщо точку перетину медіан трикутника з’єднати з вершинами трикутника, то одержимо три рівновеликі трикутники.

Спочатку доведемо, що медіани трикутника поділяють трикутник на шість рівновеликих трикутників (трикутники рівновеликі,якщо мають рівні площі).hello_html_692afba4.png

Доведення. Проведемо в трикутнику АВС медіани АА1, ВВ1, СС1. Вони перетинаються в точці М. Проведемо також висоту ВН1 і відрізок МКhello_html_2605d301.gif АС, тоді ВН1hello_html_48169bee.gifМК і трикутники МКВ1 та ВН1В1 подібні. Доведемо, що площа трикутника МВ1С дорівнює hello_html_m11f0fb5b.gif площі трикутника АВС. Маємо SМВ1С=hello_html_6eec8aff.gifВ1Сhello_html_79c0f69b.gifМК, але В1С=hello_html_6eec8aff.gif АС, тоді SМВ1С =hello_html_685d8d49.gifАСhello_html_79c0f69b.gifМК. З подібності трикутників МКВ1 та ВН1В1 маємо МК:ВН1=МВ1:ВВ1=hello_html_7f8f9891.gif тому, що МВ1= hello_html_7f8f9891.gifВВ1. Отже МК=hello_html_7f8f9891.gifВН1 і тоді SМВ1С =hello_html_685d8d49.gifАСhello_html_79c0f69b.gifМК=hello_html_685d8d49.gifАСhello_html_3c4bc677.gifВН1=hello_html_m11f0fb5b.gif (hello_html_6eec8aff.gifАСhello_html_79c0f69b.gifВН1)=hello_html_6eec8aff.gifSАВС. Отже трикутники ВМС1, АМС1, АМВ1, СМВ1, СМА1, ВМА1 рівновеликі і кожний з них дорівнює шостій частині площі трикутника АВС. Кожний з трикутників ВМС, ВМА, АМС складається з двох рівновеликих трикутників, тому і трикутники ВМС,ВМА,АМС рівновеликі, що й треба було довести.

4.Довести, якщо М – точка перетину медіан трикутника АВС, тоді hello_html_m7c7dfe1c.gif+hello_html_7ef22d4c.gif+hello_html_4fa91e9c.gif=0.

(Для доведення треба повторити додавання векторів за правилом паралелограма та чому дорівнює сума протилежних векторів).

hello_html_147f00d1.png

Доведення. Нехай відрізки АА1, ВВ1, СС1 – медіани трикутника АВС. Застосовуючи додавання векторів за правилом паралелограма, одержимо:

hello_html_49d71816.gif1=hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_3b8cd368.gif+hello_html_m27a7dc13.gif), hello_html_652f8a06.gif =hello_html_m56c89094.gif hello_html_460ed72.gif+hello_html_m5a8ae588.gif ) hello_html_35cccabe.gif1=hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_11f755d3.gif+hello_html_m13e16339.gif). Додамо почленно ліві та праві частини одержаних рівностей і одержимо:

hello_html_49d71816.gif1+hello_html_652f8a06.gif +hello_html_35cccabe.gif1hello_html_m7c48e444.gif hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_3b8cd368.gif+hello_html_m27a7dc13.gif+ hello_html_460ed72.gif+hello_html_m5a8ae588.gif + hello_html_11f755d3.gif+hello_html_m13e16339.gif ) =

= hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_3b8cd368.gif + hello_html_460ed72.gif + hello_html_m27a7dc13.gif + hello_html_m68aac50a.gif hello_html_m5a8ae588.gif + hello_html_11f755d3.gif)= 0, hello_html_49d71816.gif1+hello_html_652f8a06.gif +hello_html_35cccabe.gif1=0.

З властивостей медіан трикутника (медіани трикутника точкою перетину діляться в відношенні 2:1) маємо: hello_html_m7c7dfe1c.gif=hello_html_5a936956.gif1, hello_html_7ef22d4c.gif=hello_html_m30dd2b98.gif1, hello_html_4fa91e9c.gif=hello_html_13f23e5b.gif1. Знову почленно додамо ліві та праві частини одержаних рівностей, тоді hello_html_m7c7dfe1c.gif+hello_html_7ef22d4c.gif+hello_html_4fa91e9c.gif=hello_html_5a936956.gif1hello_html_m30dd2b98.gif1hello_html_13f23e5b.gif1 =hello_html_5ffb5354.gif (hello_html_49d71816.gif1+hello_html_m6c263ec5.gif1+hello_html_m1cdb14b5.gif=hello_html_5ffb5354.gif hello_html_79c0f69b.gif0=0. hello_html_11852162.gif

3)Розв’язання задач.

Задача 1. Довести, що медіана АD рівновіддалена від вершин В і С трикутника АВС. C:\Users\Нина\Pictures\0008-015-Dano-ABC-AD-cheviana-G-AD.png

Доведення. Проведемо перпендикуляри ВH і СK до медіани АD. Розглянемо трикутники ВDH і CKD. Ці трикутники прямокутні: кути СKD і ВHD прямі. Кути СDK і ВDH рівні як вертикальні. Тоді трикутники ВDH і СKD рівні за гіпотенузою та гострим кутом. Якщо трикутники рівні, то рівні і їх відповідні сторони: ВH = СK. Отже вершини В і С рівновіддалені від медіани АD.

Задача2. В трикутнику АВС АВ=4см, ВС=6hello_html_5909bbae.gif см, кут АВС дорівнює 30hello_html_m28215024.gif. Знайти медіану ВМ.

(Учням треба нагадати , що скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля та додавання векторів за правилом паралелограма).

hello_html_m45e3efa1.png

Розв’язання. Відомо, що hello_html_d4eeb8b.gif= hello_html_6eec8aff.gif(hello_html_460ed72.gif+hello_html_m5a8ae588.gif). Піднесемо обидві частини рівності до другого степеня, одержимо: hello_html_d4eeb8b.gif 2=hello_html_685d8d49.gif(hello_html_460ed72.gif + hello_html_m5a8ae588.gif)2 =hello_html_685d8d49.gif(hello_html_460ed72.gif2 +2hello_html_6877fad7.gif +hello_html_m5a8ae588.gif2)=

=hello_html_685d8d49.gif(16+2hello_html_m78d5fe0e.gif+108)=49,ВМ2=49,ВМ=7см. Відповідь: 7см.

Задача 3. В трикутнику АВС медіани СD і ВЕ перетинаються в точці К. Знайти площу чотирикутника АDКЕ, якщо АС=20см, ВС=12см, кут АСВ дорівнює 135hello_html_m28215024.gif.

hello_html_m24165375.png

Розв’язання. Проведемо медіану АМ до третьої сторони. Для розв’язування задачі застосуємо властивість медіан трикутника: медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників. Площі трикутників ВКD, ВКМ, АКD, АКЕ, СКЕ, СКМ рівні. Чотирикутник АDКЕ складається з двох рівновеликих трикутників, тоді його площа дорівнює hello_html_7f8f9891.gif площі трикутника АВС. Площу трикутника АВС можна знайти за формулою S=hello_html_6eec8aff.gifabhello_html_m115f0060.gif

SАВС =hello_html_6de40db5.gif20hello_html_79c0f69b.gif12hello_html_4c689c9d.gif=60hello_html_39f1b7ec.gif(см2). Тоді площа чотирикутника АDКЕ буде: SАДКЕ=hello_html_31de5b55.gif60hello_html_39f1b7ec.gif=20hello_html_m5e6fe79f.gifсм2). Відповідь: 20hello_html_39f1b7ec.gifсм2.

ІІІ. Самостійне розв’зання задач.

Задача 1. Довести, що медіана АМ в трикутнику АВС з більшою із сторін АС і АВ, утворює менший кут.

C:\Users\Нина\Pictures\0008-015-Dano-ABC-AD-cheviana-G-AD.png

Доведення. Нехай АСhello_html_m7c48e444.gifАВ. Продовжимо медіану АМ за точку М на відрізок АМ=МТ, та одержимо паралелограм АВТС, в якому ВТ=b і кут АТВ дорівнює hello_html_59a89678.gif. В трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, тоді в трикутнику АТВ сторона АВ=c менша сторони ВТ=b. Кут АТВ дорівнює куту САТ, як внутрішні різносторонні (АСhello_html_m79ccb722.gif, АС=ВТ як протилежні сторони паралелограма, тоді кут САМ менший кута ВАМ тобто hello_html_m596dc391.gif. Отже медіана трикутника з більшою стороною утворює менший кут.

Задача2. Промінь, який виходить з вершини А і містить медіану АD, трикутника АВС, є геометричним місцем точок G, які лежать на промені, таких, що SABG=SACG.

Розв’язання. Нехай BHhello_html_2605d301.gifAD, CKhello_html_2605d301.gifAD, Ghello_html_m2e28bbd1.gifAM. Розглянемо трикутники АВG і АСG, вони мають спільну основу АG та рівні висоти BH=CK (прямокутні трикутники ВHD і СKD рівні за гіпотенузою та гострим кутом) тоді площі цих трикутників рівні. Якщо точка G не лежить на медіані, то висоти і площі трикутників будуть різні.

IV. Гра « Вірю - не вірю».

Вчитель задає питання - учні відповідають: вірно чи невірно.

  1. Якщо точку перетину медіан трикутника з’єднати з вершинами трикутника, то одержимо три рівновеликі трикутники. (так)

  2. Якщо довжина медіани 24 см, то точкою перетину медіан вона поділилась на відрізки 8см і 16см.(так)

  3. Якщо площа трикутника 36см2, то площі трикутників, на які поділила даний трикутник медіана, будуть 12см2 і 24см2.(ні, 18 і18)

  4. Точка перетину медіан трикутника називається ортоцентром.(ні, центроїдом)

  5. Сума квадратів медіан дорівнює hello_html_m57c90caf.gif суми квадратів сторін трикутника.(так)

  6. Чотири «особливі» точки трикутника: точка перетину медіан; точка перетину висот; точка перетину бісектрис; центр кола, вписаного в трикутник.(невірно останнє: повинно бути «точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника».

  7. Якщо одну з медіан АМ трикутника АВС продовжити на відрізок АМ так щоб АМ=МD, то одержимо паралелограм АВDС.(так)

  8. Якщо сторони трикутника 8см, 9см, 13см, то більшою буде медіана, яка проведена до сторони , довжина якої 8см.(так)

  9. У трикутнику точка перетину медіан, ортоцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, яка називається прямою Ейлера.(так)

V. Домашнє завдання. Розв’язати задачі.

Задача 1..В випуклому чотирикутнику ABCD відстань між точками перетину медіан трикутників ABD і ВСD дорівнює а. Знайти АС.

Розв’язання. Нехай точки M і N – точки перетину медіан в трикутниках ABD і BCD тоді МN=а. Нехай К – середина відрізка BD тоді СК і АК медіани. За властивістю медіан – медіани точкою перетину діляться відношенні 2:1, починаючи від вершини, hello_html_62e25df3.gif = hello_html_57c96e57.gif = 3. Трикутники АКС і MNK подібні за першою ознакою з коефіцієнтом hello_html_7f8f9891.gif. Тому АС=3MN=3a. Відповідь: АС=3a. hello_html_167bd62a.png

Задача 2. Медіани прямокутного трикутника АВС, hello_html_5d62e976.gifС=90hello_html_m28215024.gif, проведені до катетів, дорівнюють 3см і 4см. Знайти гіпотенузу.hello_html_mecfa9ff.png



Розв’язання. АD і ВЕ – медіани. Нехай катет АС більший катета ВС, тоді медіана ВЕ менша медіани АD. Позначимо катет АС=2х, а катет ВС=2у. За теоремою Піфагора АС2+ ВС2=АВ2. АВ2=(2х)2+(2у)2, АВ2=4х2+4у2=4(х22)

З hello_html_2514b0ff.gifВСЕ: ВС2+СЕ2=ВЕ2 , з hello_html_2514b0ff.gifАСD: АС2D2D2,враховуючи позначення, маємо 4у22=32 , 4х22=42. З одержаних рівнянь складаємо систему:hello_html_m991af45.gif. Розв’язавши систему, одержимо: х2=hello_html_7be1b3c9.gif, у2=hello_html_m4d2614a7.gif. Тоді АВ2=hello_html_m5db14ba7.gif+hello_html_30873cfc.gif=20, АВ=2hello_html_m2d3d49c6.gif Відповідь: 2hello_html_m2d3d49c6.gif

Задача 3. Нехай CM − медіана трикутника ABC , в якому CAB 30і

CMB 45hello_html_m4f2bbaa3.gifЗнайти величину кута ACB (в градусах).

hello_html_m9bca624.png

Розв`язання. Кут ВМC є зовнішнім для трикутника AMC, тому

MCA BMC MAC 453015

Опустимо висоту BH трикутника ABC . Трикутник BHA прямокутний з

кутом 30 тому BH hello_html_6eec8aff.gifАВ=BM MA, hello_html_5d62e976.gif АВН =90hello_html_m28215024.gif-30hello_html_m28215024.gif=60hello_html_m28215024.gif.

Трикутник BHM рівнобедрений з кутом 60, тоді він і рівносторонній. Звідси

CMH BMH BMC 604515.

Таким, чином, у трикутнику MHC два кути рівні по 15він є рівнобедреним з MH HC . Тоді трикутник BHC є прямокутним і рівнобедреним ( BH HC ), і, отже, ACB 45.

Відповідь:45



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 19.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров699
Номер материала ДA-052250
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх