Конспект и презентация урока урока математики в 6 кл на тему: "Признаки делимости натуральных чисел"

I. Немного из истории.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).

Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.

                             

Блез Паскаль             Пифагор.              Леонардо Пизанский            Эратосфен                                    (Фибоначчи)

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.

Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Выделялись классы:

Ø совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3),

Ø дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),

Ø фигурных чисел (треугольное число, квадратное число),

Ø простых чисел и др.

II. Признаки делимости натуральных чисел,  изучаемые в школе.

При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.

Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими  равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.

III. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000

 

25·4=100;  56·4=224;  123·4=492;  125·4=500;  2345·4=9380;  2500·4=10000; …

Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.

Признак делимости на 4 читается так:

Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.

 

Заметим, что 6=2·3Признак делимости на 6:

Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.

Примеры:

216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.

625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.

2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.

279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.

 

125·8=1000;  242·8=1936;  512·8=4096;  600·8=4800;  1234·8=9872;  122875·8=983000;…

Умножая натуральное число на 8, мы заметили такую закономерность, числа оканчиваются тремя нулями, или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Значит, признак таков:

 Натуральное число делится на 8 тогда, когда три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.

Заметим, что 15=3·5

 Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.

Примеры:

346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.

48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.

87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.

Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидел такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

Натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.

На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,…  Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.

Натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.

 

Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.

Примеры:

25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.

8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.

1.Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.

Примеры:

478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469  делится на 7.

479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.

2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.

Примеры:

4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.       57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.

 

1.Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных  местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.

Пример:

2135704   2+3+7+4=16,  1+5+0=6,  16-6=10,  10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.

1352736      1+5+7+6=19,   3+2+3=8,   19-8=11,  11 кратно 11, значит, это число делится на 11.

 2.Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.

Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14;  12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.

3.Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.

Примеры:

594 делится на11, т.к. 5+4=9,  9-в середине.

473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.

861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.

 

Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.

Примеры:

636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.

587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.

27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.

 

1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.

Примеры:

Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65,   65 делится на 13.

Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72,   72 не делится на 13.

2. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры, делится на 13. 

Примеры:

988 делится на 13, т.к.  98 - 9·8 = 26,  26 делится на 13.   853 не делится на 13, т.к.  85 - 3·9 = 58,  58 не делится на 13.

 

Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда,  когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.

Примеры:

Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.

Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.

Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.

 

Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

Примеры:

1534   десятков-153,  4·2=8,  153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.

1824          182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.

 

1. Натуральное число делится на 37, если сумма чисел, образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится соответственно на 37.

Пример: Определим, делится ли число 100048 на 37.

100/048      100+48=148, 148 делится на 37, значит, и число делится на 37.

2. Трехзначное натуральное число, написанное одинаковыми цифрами делится на 37.

Пример:

Числа 111, 222, 333, 444, 555, …делятся на 37.

Применение признаков делимости натуральных чисел

при решении задач

Признаки делимости применяются при нахождении НОД и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД и НОК.

Задача 1:   (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5  класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг.  Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

       203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Из практических соображений следует, что учебников не может быть 29. также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

 Решение:

Количество подарков должно быть делителем каждого из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел.  НОД (60, 175, 225) = 15.  Каждый подарок будет содержать: 60 : 15 = 4 – апельсина,    175 : 15 = 11 – орехов и  225 : 15 = 15 – конфет.                         

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?  

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК (7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42 : 7 + 42 : 3 + 42 : 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают, что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек. Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

 Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе 7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

 Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51… - числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54… - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

 Ответ:  В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение:     НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков),  тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов);   240: 40 = 6 (конфет);   200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Урок математики в 6 классе

 по теме «Признаки делимости на 2,на 5 и на 10»

Дата: 

 Учитель: Аджаматова Г.М

Школа: МКОУ «БСОШ №2 им. Сатыбалова Т.Б»

Автор учебника: Муравин Г.К, Муравина О.В

Тип урока:  Обобщение изученного м атериала

Цели деятельности учителя.

Главная дидактическая цель: формировать навык использования признаков делимости на 2, на 5 и  на 10; способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания; воспитывать культуру поведения  при фронтальной работе, индивидуальной работе.

Формировать  УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Регулятивные: умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок, высказывать своё предположение.

Коммуникативные: умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).

Планируемые образовательные  результаты.

Предметные: уметь применять признаки при  решении задач.

Личностные: уметь осуществлять самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные: регулятивные – умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок высказывать своё предположение.

Коммуникативные – умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

Познавательные – умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).

Основные понятия: чётные цифры, нечётные цифры, признаки делимости.

 Ресурсы.

1.Учебник. Муравин Г.К, Муравина О.В

2.Презентация 

Ход урока.

1.Мотивация к учебной деятельности (организационный момент).

Однажды польский писатель Станислав Лем сказал,

«Для того, чтобы что-то узнать, надо уже что-то знать».

Немного из истории. О признаках делимости.

Деление чисел издавна считалось задачей, куда более трудной, чем умножение

 Поэтому делить люди научились гораздо позже, чем умножать. Учёные – математики долго занимались поиском наиболее простого способа деления чисел.

Один из них – деление «уголком», которым мы пользуемся сейчас, впервые появился в Европе в 10 веке и получил название «золотого деления». На деление уголком часто затрачивается много времени, а ведь возникают ситуации, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет.

Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое.

Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.

В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки.  

Если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.

Первые люди, занимающиеся признаками деления

Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228) – это  один из крупнейших Европейских средневековых математиков первой величины.
Он открыл признак делимости на,  2,3, и 5

Блез Паскаль

Признак Паскаля —  «универсальный признак делимости»:

Блез Паскаль(1623—1662)  – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.

Древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры уже знали признак делимости на 2.

2.Актуализация и пробное учебное действие.

Устная работа

3. Работа по карточкам

4.Физкультминутка

5.Решение задач

1.   Для подарков детям купили 40 штук апельсинов, 120 конфет и 160 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно изготовить? По сколько апельсинов, конфет и орехов будет в каждом подарке?

2.Пятиклассники решили сделать подарки первоклассникам. Они приготовили 69 шариков и 46 флажков и все их раздали малышам поровну. Сколько учеников в первом классе?

3. Некоторые признаки делимости( на 11, на 7)

6. Тестирование

Вариант 1.

Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.

а) 8016;      б) 195;        в) 4050;      г) 1113.

      2.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.

  а) 1113;    б) 914;        в) 3040;      г) 7035.

        3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.

  а) 2894;    б) 405;        в) 2802;      г) 785.

       4.  Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 5*62, чтобы полученное число делилось на 9?

             а) 0;          б) 2;            в) 9;            г) 5.

         5.  Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 430 < x < 460?            а) x = 445;  б) х = 450;  в) х = 440; г) х = 455.

Вариант 2.

Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.

а) 4060;      б) 1008;      в) 8160;      г) 1001.

       2.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.

   а) 1225;  б) 1330;        в) 10012;    г) 4326.

        3.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.

    а) 504;      б) 1982;      в) 2108;    г) 5041.

        4.  Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 23*5, чтобы полученное число делилось на 9?

         а) 5;            б) 8;            в) 0;            г) 4.

 5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 230 < x < 260? а) х = 255;    б) х = 250;                  в) х = 240;   г) х = 245.

7. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Оцените свою деятельность на уроке.

Закончить наш урок, мне хотелось бы притчей.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого спросил: “Что ты делал целый день?” И тот с ухмылкой отвечает, что целый день возил проклятые камни.

У второго спросил: “ А что ты делал целый день?” А тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”.

А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “ А я принимал участие в строительстве храма! ”На все окружающее нас, можно смотреть разными глазами, выражать разными словами, но из любой ситуации должны сделать вывод, двигающий нас вперед!

Достаньте  смайлики, если у вас на уроке все получалось правильно, если остались от урока положительные эмоции, урок был интересным, то отметьте радостный смайлик. Если вы таскали тяжёлые камни, если всё было не понятно, то отметьте плачущий смайлик, если в течение урока вы добросовестно выполняли свою работу, но у вас возникали проблемы – отметьте читающий смайлик.

  Благодарю за внимание. Вы свободны.

8. Домашнее задание

• 1 слайд

  
  
  
  
  
  ОТКРЫТЫЙ УРОК
  ПО МАТЕМ АТИКЕ
  ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ.
  ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
  6 «А»КЛАСС
  

• 2 слайд

  Деление чисел издавна считалось задачей, куда более трудной, чем умножение. Поэтому делить люди научились гораздо позже, чем умножать. Учёные – математики долго занимались поиском наиболее простого способа деления чисел.
  Один из них – деление «уголком», которым мы пользуемся сейчас, впервые появился в Европе в 10 веке и получил название «золотого деления». На деление уголком часто затрачивается много времени, а ведь возникают ситуации, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет.
  

• 3 слайд

  Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое.
  Признаки делимости всегда интересовали ученых разных времен и народов.
  Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.
  В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки.  
  

• 4 слайд

  Если существуют признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, то существуют и другие признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел.
  
  Леонардо Пизанский
  Первые люди, занимающиеся признаками деления
  Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228) – это  один из крупнейших Европейских средневековых математиков первой величины.
  Он открыл признак делимости на, 2,3, и 5
  

• 5 слайд

  Блез Паскаль(1623—1662)  – один из самых знаменитых людей в истории человечества. Вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель.
  Древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры уже знали признак делимости на 2.
  Блез Паскаль.
  Признак Паскаля — «универсальный признак делимости»:
  

• 6 слайд

  1.Назовите несколько чисел кратных 6
  2.Назовите делители числа 48
  5.Укажите выражения, которые делятся на 5
  35+40
  1+100
  30+12
  3+70
  100 – 10
  40 – 11
  98 – 20
  90 - 85
  15*23
  40*48
  23*99
  100*44
  1. Устная работа
  4.Укажите выражения, которые делятся на 3
  33+114
  41*9
  39-40
  24-12
  1. Устная работа
  1. Устная работа
  

• 7 слайд

  Да
  Нет
  Да
  Нет
  Нет
  Нет
  Да
  Да
  Нет
  Да
  Да- верные утверждения, нет - неверные
  

• 8 слайд

  
  2
  4
  3
  Делилось на 3
  
  5 76
  
  900
  
  4 2
  0,3,6,9
  0,3,6,9
  0,3,6,9
  Какие цифры можно подставить вместо буквы « », чтобы полученное число :
  

• 9 слайд

  Задание 1:
  Коля принёс несколько коробок с яйцами, по 10 яиц в каждой коробке. Может ли быть, что он принёс 35 яиц? 43 яйца? 50 яиц?
  Задание 2:
  Составьте трёхзначные числа, которые делятся на 5 с помощью цифр 0, 2, 7, 5 ?
  2.Работа по карточкам
  

• 10 слайд

  Вариант 1.
  Вариант 2.
  Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.
  а) 4060;б) 1008;в) 8160;г) 1001.
  2. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.
  а) 1225;б) 1330;в) 10012;г) 4326.
  3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.
  а) 504;б) 1982;в) 2108;г) 5041.
  4. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 23*5, чтобы полученное число делилось на 9?а) 5;б) 8;в) 0;г) 4.
  5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 230 < x < 260?а) х = 255;б) х =250 в) х = 240;г) х = 245.
   
  Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.
  а) 8016;б) 195;в) 4050;г) 1113.
  2. Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.
  а) 1113;б) 914;в) 3040;г) 7035.
  3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.
  а) 2894;б) 405;в) 2802;г) 785.
  4. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 5*62, чтобы полученное число делилось на 9?
  а) 0;б) 2;в) 9;г) 5.
  5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 430 < x < 460? а) x = 445;б) х = 450;в) х = 440; г) х = 455.
  Физминутка
  

• 11 слайд

  5. Решение задач
  Для подарков детям купили 40 штук апельсинов, 120 конфет и 160 орехов. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно изготовить? По сколько апельсинов, конфет и орехов будет в каждом подарке?
  2.Пятиклассники решили сделать подарки первоклассникам. Они приготовили 69 шариков и 46 флажков и все их раздали малышам поровну. Сколько учеников в первом классе?
  

• 12 слайд

  
  
  
  
  
  Проверим как вы усвоили изученный материал.
  
  ТЕСТ
  

• 13 слайд

  Вариант 1.
  Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.
  а) 8016;б) 195;в) 4050;г) 1113.
  2. Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.
  а) 1113;б) 914;в) 3040;г) 7035.
  3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.
  а) 2894;б) 405;в) 2802;г) 785.
  4. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 5*62, чтобы полученное число делилось на 9?
  а) 0;б) 2;в) 9;г) 5.
  5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 430 < x < 460? а) x = 445;б) х = 450;в) х = 440; г) х = 455.
  Вариант 2.
  Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.
  а) 4060;б) 1008;в) 8160;г) 1001.
  2. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.
  а) 1225; б) 1330;в) 10012;г) 4326.
  3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.
  а) 504; б) 1982; в) 2108; г) 5041.
  4. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 23*5, чтобы полученное число делилось на 9?
  а) 5;б) 8;в) 0;г) 4.
  5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 230 < x < 260? а) х = 255; б) х = 250;в) х = 240; г) х = 245.
  

• 14 слайд

  
  
  
  
  
  СПАСИБО ЗА УРОК!
  

Признаки делимости натуральных чисел

Признаки  делимости		Примеры
Число делится на 2 тогда и только тогда,	когда оно оканчивается чётной цифрой.	Число 2367498 делится на 2, так как оно оканчивается цифрой 8.
Число делится на 3 тогда и только тогда,	когда сумма цифр числа делится на 3	Число 1 236 981 делится на 3, так как 1+2+3+6+9+8+1=30 делится на 3.
Число делится на 4 тогда и только тогда,	когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.	Число 14676 делится на 4, так как его последние цифры 7 и 6, а число 76 делится на 4.
Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда,	когда удвоенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 4.	Число 92 делится на 4, так как 2 ∙ 9 + 2 = 20  делится на 4.
Число делится на 5 тогда и только тогда,	когда оно оканчивается цифрой 5 или 0.	Числа 12325 и 8190 делятся на 5, так как первое оканчивается цифрой 5, а второе цифрой 0.
Число делится на 6 тогда и только тогда,	когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3.	Число 2539782  делится на 6, так как оно чётное и 2+5+3+9+7+8+2 = 36 делится на 3.
	когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц делится на 6.	Число 1254 делится на 6, так как 125×4+4=504, 50×4+4=204, 20×4+4=84 делится на 6.
Число делится на 7 тогда и только тогда,	Когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7.	Число 253253 делится на 7, так как разность 253 - 253 = 0, а 0 делится на любое число (не равное нулю).
	когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7.	Число 138689257 делится на 7, так как |138 – 689 + 257| = 294 делится на 7.
	когда утроенное число десятков, сложенное с числом единиц делится на 7.	Число 154 делится на 7, так как 15∙3 + 4 = 49    делится на 7
	Когда модуль разности числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7=	Число 469 делится на 7, так как 46-9×2=28 делится на 7
Признаки  делимости		Примеры
Индивидуальные признаки делимости на 7	Умножьте первую слева цифру испытуе­мого числа на 3 и прибавьте следующую цифру; резуль­тат умножьте на 3 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. После каждого действия разрешается из результата вычитать число, кратное семи. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда окончательный результат делится на 7.	Определим делимость числа 48916 на 7. 4×3+8=20º6, 6×3+9=27º6, 6×3+1=19º5, 5×3+6=21 делится на 7, значит, 48916 делится на 7.
	Умножьте первую справа цифру испытуе­мого числа на 5 и прибавьте следующую цифру; резуль­тат умножьте на 5 и прибавьте следующую цифру и т. д. до последней цифры. после каждого действия разрешается из результата вычитать число, кратное семи. Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда окончательный результат делится на 7.	Определим делимость числа 37184 на 7. 4×5+8=28º0, 0×5+1=1, 1×5+7=12º5, 5×5+3=28 делится на 7, значит 37184 делится на 7.
	Удвойте последнюю цифру и вычтите предыдущую, удвоите результат и прибавьте третью справа и т. д., чередуя вычитание и сложение, уменьшая каждый резуль­тат, где возможно, на 7 или на число, кратное семи.  Исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда окончательный результат делится на 7.	Определим делимость числа 12138 на 7. 8×2-3=13º6, 6×2+1=13º6, 6×2–2=10º3, 3×2+1=7  делится на 7, значит, 12138  делится на 7.
Число делится на 8 тогда и только тогда,	когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.	Число 253328 делится на 8, так как 328 делится на 8.
Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда,	когда двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.	Число 592 делится на 8, так как  59 + 1 = 60  делится на 4.
	когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.	Число 952 делится на 8, так как  9∙4 + 5∙2 + 2 = 48   делится на 8
Число делится на 9 тогда и только тогда,	когда сумма цифр числа делится на 9	Число 12927 делится на 9, так как 1+2+9+8+7=27 делится на 9.
Число делится на 10 тогда и только тогда,	когда оно оканчивается цифрой 0.	Число 7168900 делится на 10, так как оно оканчивается цифрой 0.
Признаки  делимости		Примеры
Число делится на 11 тогда и только тогда,	когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами, делится соответственно на 11	Число 253264 делится на 11, так как 264 - 253 = 11 делится на 11.
	когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах и суммой цифр, стоящих на нечётных местах делится на 11.	Число 9163627 делится на 11, так как (9 + 6 + 6 + 7) - (1 + 3 + 2) = 22, делится на 11.
	когда сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц) делится на 11.	Число 103785 делится на 11, так как 10+37+85=132 и  01+32=33 делятся на 11.
	когда разность между числом десятков данного числа и числом его единиц делится на 11.	Число 27874 делится на 11, так как 2787-4=2783, 278–3=275, 27-5=22, 22 делится на 11.
Число делится на 13 тогда и только тогда,	когда разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится на 13.	Число 279253 делится на 13, так как разность 279 - 253 = 26 делится н 13
	когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.	Число 845 делится 13, так как 84 + 5∙4 = 104 и 10 + 4∙4 = 26 делятся на 13
	когда разность числа десятков и девятикратного числа единиц делится на 13.	Число 845 делится 13, так как 84 – 9∙5 = 39  делятся на 13
Число делится на 17 тогда и только тогда,	когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.	Число 221 делится на 17, так как |22 – 5∙1|= 17 делится на 17.
	когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17.	Число 221 делится на 17, так как |22 + 12∙1| = 34 делится на 17.
Число делится на 18 тогда и только тогда,	когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 9.	Число 35964 делится на 18, так как  3+5+9+6+4=27 делится на 9.
Число делится на 19 тогда и только тогда,	когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.	Число 646 делится на 19, так как на 19 делятся  и  64 + 2×6 = 76 и 7 + 2×6 = 19.
Число делится на 20 тогда и только тогда,	когда последняя цифра числа  0, а предпоследняя – чётная.	Число 19580  делится на 20, так как на оканчивается на 0, а предпоследняя цифра 8 четная.
	когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.	Число 236860  делится на 20, так как 60 делится на 20.
Число делится на 23 тогда и только тогда,	когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.	Число 28842 делится на 23, так как 288 + 3×42 = 414 и 4 + 3 ×14 = 46  делятся на 23.
Признаки  делимости		Примеры
Число делится на 25 тогда и только тогда,	когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 25.	Число 78975  делится на 25, так как 75 делится на 25.
Число делится на 27 тогда и только тогда,	когда сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц), делится на 27.	Число 358182 делится на 27, так как 358+182=540 делится на 27.
Число делится на 29 тогда и только тогда,	когда число десятков, сложенное с утроенным числом единиц, делится на 29.	Число 261 делится на 29, так как 26 + 3×1 = 29 делится на 29.
Число делится на 30 тогда и только тогда,	когда оно оканчивается цифрой 0 и сумма цифр делится на 3.	Число  145440 делится на 30, так как оканчивается цифрой 0 и 1+4+5+4+4+0=18 делится на 3
Число делится на 31 тогда и только тогда,	когда модуль разности числа десятков и утроенного числа единиц делится на 31.	Число 1209 делится на 31, так как |120 – 3×9| =93 делится на 31.
Число делится на 37 тогда и только тогда,	когда сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц), делится на 37.	Число 259111 делится на 37, так как сумма 259+111=370 делится на 37.
	когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённым числом десятков, за вычетом числа единиц, умноженного на семь.	Число 481 делится на 37, так как |3×4 + 4×8 – 1×7| = 37 делится на 37.
	когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с числом единиц, умноженного на десять, за вычетом числа десятков, умноженного на 11.	Число 481 делится на 37, так как на 37 делится |4 – 11×8 + 10×1| = 74.
Число делится на 41 тогда и только тогда,	когда модуль разности числа десятков и четырёхкратного числа единиц делится на 41.	Число 1189 делится на 41, так как  |118 – 4×9| = 82 делится на 41.
Число делится на 50 тогда и только тогда,	когда число, образованное двумя его последними цифрами,  делится на 50.	Число 743050 делится на 50, так как 50 делится на 50.
Число делится на 59 тогда и только тогда,	когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 6, делится на 59.	Число 767 делится на 59, так как 76 + 6×7 = 118, 11 + 6×8 = 59 делятся на 59.
Число делится на 79 тогда и только тогда,	когда число десятков, сложенное с числом единиц, умноженное на 8, делится на 79.	Число 711 делится на 79, так как 71 + 8×1 = 79 делятся на 79.
Число делится на 99 тогда и только тогда,	когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц).	Число 12573 делится на 99, так как 1 + 25 + 73 = 99  делится на 99.
Число делится на 101 тогда и только тогда,	когда модуль суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётные со знаком «-», делится на 101.	Число 590547 делится на 101, так как |59 – 5 + 47| = 101 делится на 101.

Класс:	6
Предмет;	Математика
Учебник:	Математика. 6 класс : Г.К Муравин, О.В Муравина
Название раздела, темы:	Делимость чисел
Тема урока:	Признаки делимости на 9 и на 3.
Цели урока:	1.      Образовательные: научить учащихся устанавливать делимость чисел используя признаки делимости чисел. 2.      Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, умения общаться. 3.      Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления, внимания и памяти.
Тип урока:	Урок обобщения
Планируемые результаты:	Коммуникативные: воспринимать текст с уче­том поставленной учебной задачи, находить в тексте информацию, необходимую для ре­шения. Регулятивные: составлять план последова­тельности действий, формировать способ­ность к волевому усилию в преодолении препятствий. Познавательные: уметь выделять существен­ную информацию из текстов разных видов
Средства обучения:	ü  Презентация на тему «Признаки делимости на 9 и на 3», созданная в программной среде MS PowerPoint; ü  Комплект для проекции: ноутбук, мультимедийный проектор, экран, колонки; ü  Книжные пособия: Математика. 6 класс : учеб. Г.К Муравин, О.В Муравина
Методы и приемы	ü  Наглядный (демонстрация) ü  Словесный (объяснение, рассказ; беседа) ü  Работа с книгой (чтение, изучение, беглый просмотр) ü  Проблемного изложения (вопросы: проблемные, аналитические, репродуктивные) ü  Самоконтроль
Литература	Ø  Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений Г.К Муравин, О.В Муравина
Ресурсы сети Интернет	1.      http://school-collection.edu.ru/ – единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. 2.      www.festival.1september.ru – Я иду на урок математики (методические разработки). 3.      http://fcior.edu.ru –  Федеральный центр информационно – образовательных ресурсов.

Тест №1. Признаки делимости.

Вариант 1.

1.     Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.

а) 8016;      б) 195;                 в) 4050;      г) 1113.

      2.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.

             а) 1113;   б) 914;                 в) 3040;      г) 7035.

        3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.

              а) 2894;   б) 405;                 в) 2802;      г) 785.

       4.  Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 5*62, чтобы полученное число делилось на 9?

             а) 0;          б) 2;            в) 9;            г) 5.

         5.  Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 430 < x < 460?

            а) x = 445;          б) х = 450;           в) х = 440;          г) х = 455.

        6. Запись натурального числа состоит из двенадцати единиц и тринадцати нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?

         а) может;            

б) не может;                 

в) может, если последняя цифра 1;          

г) может, если последняя цифра 0.

Вариант 2.

1.     Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.

а) 4060;      б) 1008;      в) 8160;      г) 1001.

       2.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.

             а) 1225;   б) 1330;      в) 10012;    г) 4326.

        3.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.

              а) 504;              б) 1982;      в) 2108;      г) 5041.

        4.  Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 23*5, чтобы полученное число делилось на 9?

         а) 5;            б) 8;            в) 0;            г) 4.

        5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 230 < x < 260?

         а) х = 255;           б) х = 250;           в) х = 240;           г) х = 245.

         6. Запись натурального числа состоит из десяти единиц и девяти нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?

         а) может;   

б) может, если последняя цифра 0;

в) не может;                 

г) может, если последняя цифра 1.

Вариант 3.

1.     Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.

а) 6150;      б) 1608;      в) 955;                 г) 3311.

        2.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.

         а) 1505;      б) 2604;      в) 578;                 г) 506.

        3.   Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.

         а) 995;                  б) 1990;      в) 305;                 г) 7050.

        4.   Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 2*09, чтобы полученное число делилось на 9?

         а) 5;            б) 7;            в) 8;            г) 0.

        5.   Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 530 < x < 560?

         а) х = 545;           б) х = 555;           в) х = 550;           г) х = 540.

       6.  Запись натурального числа состоит из пятнадцати единиц и восьми нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?

         а) может, если последняя цифра 0;

         б) может, если последняя цифра 1;

         в) не может;

         г) может.

Вариант 4.

1.     Из данных чисел выберите число, которое делится на 3 и на 5.

а) 5965;      б) 5690;      в) 3555;      г) 3250.

       2.  Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 5.

         а)  9450;     б) 395;                 в) 3605;      ш) 3404.

        3. Из данных чисел выберите число, которое делится на 2 и на 3.

         а) 7342;      б) 4335;      в) 7434;      г) 5233.

           4. Какую цифру нужно поставить вместо * в числе 3*25, чтобы оно делилось на 9?

         а)  2;           б) 3;            в) 8;            г) 0.

           5. Какое число, кратное 25, удовлетворяет неравенству 830 < x < 860?

         а) х = 855;           б) х = 840;           в) х = 845;           ш) х = 850.

           6. Запись натурального числа состоит из двенадцати единиц и девяти нулей. Может ли это число быть квадратом другого натурального числа?

         а) может, если последняя цифра 0;

         б)  может;

         в) может, если последняя цифра 1;

         г) не может.

Краткое описание документа:

Главная дидактическая цель: формировать навык использования признаков делимости на 2, на 5 ина 10; способствовать развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания; воспитывать культуру поведенияпри фронтальной работе, индивидуальной работе.

Формировать УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Регулятивные: умения определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; проговаривать последовательность действий на уроке; работать по коллективно составленному плану; оценивать правильность выполнения действия; планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок, высказывать своё предположение.

Коммуникативные: умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

Познавательные: умения ориентироваться в своей системе знаний (отличать новое от уже известного с помощью учителя); добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке).