Конспект "Интеграл и его применение"

Тема. Интеграл и его применение

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

•      о нахождении площади под кривой;

•      пройденного пути при неравномерном движении;

•      массы неоднородного тела, и тому подобных;

•      а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл) Интеграл – совокупность первообразных.

Рассмотрим интегралы: неопределённый и определённый.

Неопределённый интеграл

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪  – неопределённый интеграл ∫  — знак интеграла, dx — элемент интегрирования.

𝑓(𝑥) – подынтегральная функция

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 – подынтегральное выражение

𝐹(𝑥) – первообразная функции f(x)  

С – произвольное число

Чтобы вычислить неопределённый интеграл надо найти первообразную для функции f(x). Для некоторых функций мы умеем вычислять первообразную от данной функции, используя таблицу первообразных (f = k, F = kx +C; f = 𝑥^𝑛, F = ^𝑥𝑛+1 + C). Итак, для

𝑛+1 вычисления интегралов надо знать и уметь использовать таблицу интегралов. Ниже приведены 10 формул вычисления интегралов. Таблица неопределённых интегралов

1.  ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶                                     𝑥𝑛+1

2.  ∫ 𝑥𝑛_{𝑑𝑥  𝐶}

3.   𝐶

^𝑎𝑥

4.  ∫ 𝑎^𝑥𝑑𝑥 =  + 𝐶, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1

𝑙𝑛𝑎

5.  ∫ 𝑒^𝑥𝑑𝑥 = 𝑒^𝑥 + 𝐶

6.  ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶

7.  ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶

8.   𝑡𝑔𝑥 + 𝐶

𝑑𝑥

9.  ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶

 𝐶

Примеры с решением

1.  ∫ 12𝑑𝑥 = 12𝑥 + 𝐶

2.   𝐶

3

3.𝐶

^𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝐶    

4.  ∫ 2

𝑙𝑛2

5.  ∫ 6𝑒^𝑥𝑑𝑥 = 6𝑒^𝑥 + 𝐶

6.  ∫ 4𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶

7.  ∫ 3𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶

8.   𝐶

9.  ∫(4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 9)𝑑𝑥 = −4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 9𝑥 + 𝐶

 𝐶 

Определённый интеграл

𝒃

∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙)|^𝒃_𝒂 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)

𝒂

𝐹(𝑏) − значение первообразной при   𝑥 = 𝑏 

𝐹(𝑎) − значение первообразной при 𝑥 = 𝑎

𝑎 и𝑏 – границы интегрирования

Чтобы       вычислить      определённый           интеграл         используем    таблицу       неопределённых интегралов, затем следует вычислить значения 𝐹(𝑏) и 𝐹(𝑎).

Рассмотрим примеры с решением вычисления определённых интегралов  

 

Самостоятельно выполнить 

Вычислить   интеграл 

1.     ∫(5𝑥 − 17)𝑑𝑥

2.     ∫(4𝑥³ − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥

4

3.     ∫ 𝑥³ 𝑑𝑥

1

1

4.     ∫(2𝑥² + 3𝑥 − 1)𝑑𝑥  

−3

Применение определённого интеграла

Криволинейной             трапецией называется         плоская           фигура,           ограниченная осью Oх, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f(x), которая не меняет знак на этом промежутке.  

 

        Тогда площадь       криволинейной       трапеции       численно       равна       определенному

𝒃 интегралу∫_𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙. 

Основная формула вычисления площади фигур, ограниченной линиями

 𝐒 = ∫_𝒂^𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙)|^𝒃_𝒂 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)  – формула Ньютона – Лейбница, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 0 рис.1.

 

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как ранее пытались ее решить: разбили отрезок [a;b] на n одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили 𝑛 → ∞ в пределе 𝑆_𝑛 → 𝑆 и получили искомую площадь S. Ввели обозначение:  𝐒 = ∫_𝒂^𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙. Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу.  Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

 

Рис. 2.  

Ввели функцию S(x). Каждому х на отрезке [a;b] соответствует   площадь под соответствующей частью кривой S(x). Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно: каждому х соответствует единственное значение S(x). Надо найти любую первообразную от функции f(x) и взять приращение этих первообразных.     

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Пример 1. 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 𝒚 = 𝒙^𝟐, 𝒚 = 𝟎, 𝒙 = 𝟏, 𝒙 = 𝟐.

Решение.

Построим графики данных функций (линий). Искомая площадь рис.3.

 

Рис.1  

        Вот формула: 𝑺 _𝒂^𝒃            

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

пределы интегрирования: 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐, 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝟐

              𝐒  𝑑𝑥 = ^𝑥3³ |₁² = ³ − ³ =  −        = .

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

Ответ: 7/3кв. ед. Пример 2.  

Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной функцией 𝑓, осью Ox и прямыми x=1 и x=4.

Решение. 

Построим графики заданных функций:

 

По геометрическому смыслу определенного интеграла нахождение площади заданной криволинейной трапеции сводится к вычислению определенного интеграла.

 𝑆  

 

Ответ.  

𝑚

         Повторение:                (формула     𝑎^𝑚  

Пример 3. 

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 𝑦 = −𝑥² + 4𝑥, 𝑦 = 0

Решение.

Схематически изобразим параболу 𝑦 = −𝑥² + 4𝑥, 𝑦 = 0

   

Корни: х=0 и х=4, ветви направлены вниз рис 5.

 

Рис. 3 

Применим известную нам формулу. И применим её для данной функции у = – х²+4х и пределов интегрирования a=0 и b=4.

𝑆

Искомая площадь: S = = 10

Ответ:𝟏𝟎 ^𝟐  кв. ед.

𝟑

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋.

Решение.

Построим графики (рис. 4).

 

Рис. 4

Фигура, ограниченная линиями:𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋. 

Формула та же самая: 𝑺 = ∫_𝒂^𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙)|^𝒃_𝒂 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) В этом случае: 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝜋, 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥.              Итак, надо найти определенный интеграл:

𝜋

𝑆 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = (−cos𝑥)|^π₀ = − 𝑐𝑜𝑠𝜋 − (−𝑐𝑜𝑠0) = −(−1) + 1 = 1 + 1 = 2.

Ответ: 2 кв. ед.