МБОУ «Кульгешская ООШ
им. Н.А.Афанасьева»
« Прогрессия -
движение вперед»
Выполнила:
учитель математики
МБОУ «Кульгешская ООШ
им.
Н.А.Афанасьева»
Урмарского района
Чувашской Республики
Вишневская Ираида Витальевна.
Кульгеши-2022 г.
Тема: « прогрессия - движение вперед»
Цели урока:
- повторить материал по теме
«Арифметическая и геометрическая прогрессии»;
- активизировать познавательную
деятельность обучающихся;
- показать необходимость знания математики
при решении жизненных, исторических задач.
ХОД УРОКА:
- Организационный момент.
- История возникновения понятия прогрессии
- Активизация знаний обучающихся.
- Решение задач
- ПРОГРЕССИИ ВОКРУГ НАС
- Решение задач на сложные проценты
- Итоги
Математические
знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены
творчески.
А.Н. Колмогоров
Дорогой друг! Сегодня
у тебя необычный урок математики. Сегодня ты еще раз убедишься в том, что
математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе
сегодняшнего урока тебя ожидает большая радость творчества и огромное поле
приложения математических знаний и умений.
Желаю
тебе успехов и творческих радостей на уроке!
2.История
возникновения понятия прогрессии
Первые
представления об арифметической и геометрической прогрессиях появились у
древних народов. Ещё в Древнем Риме диаметры колес в водопроводах были
выбраны в соответствии с геометрической прогрессией.
В клинописных
вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и
указания, как их решать.
В Германии молодой
Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи
ещё учеником начальной школы.
1+2+3+4+…+98+99+100
= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101∙50 = 5050.
Легенда о
геометрической прогрессии(Показ видеоролика)
Масса
такого числа зерен больше триллиона тонн.
Индусский
царь не в состоянии был выдать подобной награды.
Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…
3. Активизация знаний обучающихся
«Математическое домино»
1задание:
В буквенном виде написать определение арифметической и геометрической
прогрессии: (an)-арифметическая
прогрессия,(bn)-геометрическая
прогрессия.
an+1
= an+d bn+1=bn.q ,
q≠ 0
2 задание: Написать формулу разности арифметической и знаменателя
геометрической прогрессии.
d=an+1-an 
3 задание: Написать формулу n члена арифметической
и геометрической прогрессии.
an= a1+d(n-1) bn=b1.qn-1
, q≠ 0
4 задание : Написать формулу
характеристического свойства двух прогрессий.
an = 
bn2 =bn+1.bn-1
5 задание: Написать формулу суммы n первых членов
арифметической и геометрической прогрессии. 
Арифметическая
прогрессия Геометрическая прогрессия №1
|
1
|
В
буквенном виде написать определение арифметической и геометрической
прогрессии:
|
|
|
хn+1 = хn+d
|
хn+1= хn.q , q≠ 0
|
|
2
|
Написать
формулу разности арифметической и знаменателя геометрической прогрессии.
|
|
|
d= хn+1- хn
|
 
|
|
3
|
Написать
формулу n члена арифметической и геометрической
прогрессии.
|
|
|
хn= х1 +d(n-1)
|
хn= х1 . qn-1 , q≠ 0
|
|
4
|
Написать формулу
характеристического свойства двух прогрессий
|
|
|
хn = 
|
хn2 =хn+1
. хn-1
|
|
5
|
Написать
формулу суммы n первых членов арифметической и
геометрической прогрессии.
|
|
|
 =  =
|
 =
 =
|
4. Решение
задач
В третьем
тысячелетии високосными годами будут 2008, 2012, 2016, 2020.
В какой
последовательности записаны года?
В искусственном
водоеме 10 кг водорослей. Через три дня их стало 20 кг. Через шесть дней
– 40 кг, а
через девять – 80 кг. В какой последовательности увеличивается масса
водорослей?
Ни одна из пагубных привычек не уносит столько
здоровья, сколько курение.
Курящими не рождаются.
Ими становятся люди, которых вовремя не предупредили, не остановили руку,
протянутую к сигарете.
В последние годы во
многих странах осуществляются долгосрочные национальные программы по борьбе с
курением, что позволяет снизить число курильщиков.
Вы знаете, что курение – это очень вредная и опасная
привычка;
Сколько вредных веществ от одной сигареты остается в
легких курильщиках;
Что курение - ловушка, в которую лучше не попадать.
Работа в
тетрадях №2 1) Дано: (а n )
арифметическая прогрессия а1 = 5 d = 3 Найти:
а6
№3 Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия b1= 5 q = 3 Найти: b5. Решение: используя формулу bn = b1 q n-1
b5 =b1q4 = 5 ∙ 34 = 5∙ 81=405 Ответ: 405.
Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b4= 40 q = 2
Найти: b1.
Решение: используя
формулу bn = b1 q n-1
b4 =b1q3 ;
b1 = b4 : q3 =40:23 =40 :8=5
Ответ: 5.
ЛОГИЧЕСКАЯ ПАУЗА (№4) Заданы три первых члена числовых последовательностей. Известно, что
одна из этих последовательностей не является ни геометрической, ни
арифметической прогрессией. Укажите её.
А. 1; 2; 3;…
Б. 1; 2; 4;…
В. 1; 4; 16;…
Г. 1; 4; 9;…
№5
Решить
уравнение: 1+3+5+...+х = 324
Решу ОГЭ №14
№6 Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и
то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что
за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было
подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.
Практическая
задача (№7)
Бригада
маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на
одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме
бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров
красила весь забор.
Решается с помощью арифметической
прогрессии по формуле:
Sn = 240 a1 + an=60
30n=240 n=8 Ответ: 8
5.ПРОГРЕССИИ
ВОКРУГ НАС
Математике должно
учить в школе ещё с той целью, чтобы познания,
здесь приобретаемые были достаточными для
обыкновенных потребностей жизни.
И.Л.Лобачевский
1) Химия. При повышении температуры по арифметической
прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные
треугольники образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность.
Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два
нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4
части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением
пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток
времени их число удваивается.
5) Литература. Вспомним
строки из поэмы А. С. Пушкина «Евгений Онегин»:
...Не мог он ямба
от хорея,
Как мы не бились
отличить...
Ямб - это стихотворный размер с ударением на
четных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую
прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2:
«Мой дЯдя сАмых
чЕстных прАвил...» /А. С. Пушкина/
Хорей - это стихотворный размер с ударением на
нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию
1; 3; 5; 7...
«Я пропАл, как
звЕрь в загОне» /Б.Л.Пастернак/
Экономика Вклады в сбербанке ежегодно увеличиваются на
одинаковый процент.
Какую бы область
человеческой жизни мы не затрагивали, в этой области обязательно находилась
проблема или задача решаемая с помощью процентов ( простых или сложных).
Простые проценты – это увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии,
сложные проценты – это увеличение в
геометрической прогрессии.
6.Решение задач на сложные проценты
Сложным
процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате
инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не
выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного
вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход .
Сложные
проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты
Формула сложного процента
- начальный вклад, сумма
р - процент(ы) годовых
n- время размещения вклада в банке
Пример 1.
Найти прибыль от 30000 рублей положенных
на депозит на 3 года под 10% годовых, если в конце каждого года проценты
добавлялись к депозитному вкладу.
Решение. Используем формулу для вычисления сложных процентов:
|
B =
30000(1 +
|
10%
|
)3 =
30000 · 1.13 = 39930
|
|
100%
|
прибыль равна
39930 - 30000 = 9930 Ответ: прибыль 9930 рублей.
Пример 2.
Зная, что годовая процентная ставка
депозита равна 12%, найти эквивалентную ей месячную процентную ставку.
Решение.
Если положить в банк A рублей, то через год получим:
Если проценты
начислялись каждый месяц с процентной ставкой х, то по формуле сложных
процентов через год (12 месяцев)
Приравняв эти
величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную
процентную ставку
|
A(1
+
|
12%
|
) =
A(1 +
|
x
|
)12
|
|
100%
|
100%
|
x = (12√1.12 - 1)·100% ≈
0.9488792934583046%
Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.
N.B. Из
решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна
годовой ставке поделенной на 12.
Рефлексия
Домашняя работа: Придумайте или найдите задачи, позволяющие использовать арифметическую
и геометрическую прогрессии, оформите их решение в тетрадь
Приложение 1
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
|
1
|
В буквенном
виде написать определение арифметической и геометрической прогрессии:
|
|
|
|
|
|
2
|
Написать
формулу разности арифметической и знаменателя геометрической прогрессии.
|
|
|
|
|
|
3
|
Написать
формулу n члена арифметической и геометрической прогрессии.
|
|
|
|
|
|
4
|
Написать формулу
характеристического свойства двух прогрессий
|
|
|
|
|
|
5
|
Написать
формулу суммы n первых членов арифметической и геометрической
прогрессии.
|
|
|
|
|
Арифметическая
прогрессия Геометрическая прогрессия
|
В буквенном
виде написать определение арифметической и геометрической прогрессии:
|
|
|
|
|
Написать
формулу разности арифметической и знаменателя геометрической прогрессии.
|
|
|
|
|
Написать
формулу n члена арифметической и геометрической прогрессии.
|
|
|
|
|
Написать формулу
характеристического свойства двух прогрессий
|
|
|
|
|
Написать
формулу суммы n первых членов арифметической и геометрической
прогрессии.
|
|
|
|
|
хn+1 = хn+d
|
хn+1= хn.q , q≠ 0
|
|
|
d= хn+1- хn
|
 
|
|
|
хn= х1 +d(n-1)
|
хn= х1 . qn-1 , q≠ 0
|
|
|
хn = 
|
хn2 =хn+1 . хn-1
|
|
|
 =
 =
|
 =
 =
|
|
|
|
|
|
|
хn+1 = хn+d
|
хn+1= хn.q , q≠ 0
|
|
d= хn+1- хn
|
|
|
хn= х1 +d(n-1)
|
хn= х1 . qn-1 , q≠ 0
|
|
хn =
|
хn2 =хn+1 . хn-1
|
|
=
=
|
=
 =
|
|
хn+1 = хn+d
|
хn+1= хn.q , q≠ 0
|
|
d= хn+1- хn
|
|
|
хn= х1 +d(n-1)
|
хn= х1 . qn-1 , q≠ 0
|
|
хn =
|
хn2 =хn+1 . хn-1
|
|
=
=
|
=
=
|
Приложение2
Самооценка
ФИО_______________________________________________
Класс
___________ Дата_____________
|
Вопросы №
|
ответы
|
проверка
|
|
1 (5б)
|
|
|
|
2 (2б)
|
|
|
|
3 (2б)
|
|
|
|
4 (2б)
|
|
|
|
5 (2б)
|
|
|
|
6 (5б)
|
|
|
|
7 (5б)
|
|
|
|
8 (5б)
|
|
|
|
9
|
|
|
|
10
|
|
|
|
Итого
|
|
|
Оценка «5», если 20- 28б.
Оценка «4», если 12-19б.
Оценка «3»,
если 7- 11б.
Самооценка
ФИО_______________________________________________
Класс
___________ Дата_____________
|
Вопросы №
|
ответы
|
проверка
|
|
1 (5б)
|
|
|
|
2 (2б)
|
|
|
|
3 (2б)
|
|
|
|
4 (2б)
|
|
|
|
5 (2б)
|
|
|
|
6 (5б)
|
|
|
|
7 (5б)
|
|
|
|
8
|
|
|
|
9
|
|
|
|
10
|
|
|
|
Итого
|
|
|
Оценка «5», если 20-28б.
Оценка «4», если 12-19 б.
Оценка «3»,
если 7-11б.
Приложение
« Решение задач»
Работа в тетрадях
№2
1) Дано: (а n )
арифметическая прогрессия а1 = 5 d = 3 Найти:
а6
№3
Дано: (bn ) - геометрическая прогрессия
b1= 6 q = 2
Найти: b5.
№4
Заданы три первых
члена числовых последовательностей. Известно, что одна из этих
последовательностей не является ни геометрической, ни арифметической прогрессией.
Укажите её.
А. 1; 2; 3;…
Б. 1; 2; 4;…
В. 1; 4; 16;…
Г. 1; 4; 9;…
№5 Решить уравнение: 1+3+5+...+х = 324
№ 6 (ОГЭ)
Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно
она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с
предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток.
Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа
была выполнена за 16 дней.
№7 Практическая задача:
Бригада маляров
красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и
то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада
покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила
весь забор.
№ 8 Решение задач на сложные проценты
Вкладчик открыл
счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет
12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма
будет лежать на счете через шесть лет?
Дополнительные
задачи
№ 9 Курс
воздушных ванн начинают с 15 минут в первый увеличивают время этой процедуры в
каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные
ванны в указанном режиме, чтобы максимальная продолжительность была 1 час 45
минут.
№ 10 Ребенок
заболеет ветрянкой, если в его организме окажется не менее 27000 вирусов
ветряной оспы. Если заранее не сделана прививка от ветрянки, то каждый день
число попавших в организм вирусов утраивается. Если в течении 6 дней после
попадания инфекции болезнь не наступает, организм начинает вырабатывать
антитела, прекращающие размножение вирусов. Какое минимальное количество
вирусов должно попасть в организм, чтобы ребенок, которому не сделали прививку,
заболел.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.