Муниципальное
казенное государственное учреждение
«Средняя
общеобразовательная школа №32»
Конспект к уроку:
«Геометрия
с элементами тригонометрии на ЕГЭ»
Учитель
математики
высшей категории
Оршокдугова
Р.М.
2016
г.
Задание 7 ЕГЭ — геометрия с элементами
тригонометрии
Рассмотрим задачи c тригонометрией в ее классическом
понимании, где изучаются обычные прямоугольные треугольники.
Поэтому никаких тригонометрических окружностей и отрицательных углов сегодня не
будет — только обычные синусы и косинусы.
Такие задачи составляют примерно 30% от общего числа. Помните:
если в задаче хоть раз упоминается угол π, она решается совсем
другими способами. Мы обязательно рассмотрим их в ближайшее время. А сейчас —
главное определение :
Треугольник — фигура на плоскости,
состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. Фактически, это
замкнутая ломаная из трех звеньев. Точки называются вершинами
треугольника, а отрезки — сторонами. Важно заметить, что вершины не должны
лежать на одной прямой, иначе треугольник вырождается в отрезок.
Довольно часто треугольником называют не только саму ломаную, но
и часть плоскости, которая этой ломаной ограничена. Таким образом, можно
определить площадь треугольника.
Два треугольника называются равными, если один можно получить из
другого путем одного или нескольких движений плоскости: сдвига, поворота или
симметрии. Кроме того, существует понятие подобных треугольников: их углы
равны, а соответствующие стороны пропорциональны...
Это треугольник ABC. Более того, это прямоугольный
треугольник: в нем ∠C =
90°. Именно такие чаще всего и встречаются в задаче B8.
Все, что надо знать для решения задачи — это несколько простых
фактов из геометрии и тригонометрии, а также общая схема решения, в которой эти
факты используются. Затем останется просто «набить руку».
Начнем с фактов. Они разбиты на три группы:
1.
Определения и следствия из них;
2.
Основные тождества;
3.
Симметрии в треугольнике.
Нельзя сказать, что какая-то из этих групп важнее, сложнее или
проще. Но информация, которая в них содержится, позволяет решить любую
задачу B8. Поэтому знать надо все. Итак, поехали!
Группа
1: определения и следствия из них
Рассмотрим треугольник ABC, где ∠C —
прямой. Для начала — определения:
Синус угла — это отношение
противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла — это отношение
прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла — это отношение
противолежащего катета к прилежащему.
Один угол или отрезок может входить в разные прямоугольные
треугольники. Более того, очень часто один и тот же отрезок является катетом в
одном треугольнике и гипотенузой — в другом. Но об этом — дальше, а пока будем
работать с обычным углом А. Тогда:
1.
sin A = BC : AB;
2.
cos A = AC : AB;
3.
tg A = BC : AC.
Основные следствия из определения:
1.
sin A = cos B; cos A =
sin B — самые часто используемые следствия
2.
tg A = sin A : cos A —
связывает тангенс, синус и косинус одного угла
3.
Если ∠A +
∠B =
180°, т.е. углы смежные, то: sin A = sin B;
cos A = −cos B.
Хотите — верьте, хотите — нет, но этих фактов достаточно, чтобы
решить примерно треть всех тригонометрических задач B8.
Группа
2: основные тождества
Первое и самое главное тождество — теорема Пифагора:
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применительно к треугольнику ABC,
рассмотренному выше, эту теорему можно записать так:
AC 2 + BC 2 = AB 2
И сразу — небольшое замечание, которое убережет читателя от
множества ошибок. Когда решаете задачу, всегда (слышите, всегда!) записывайте
теорему Пифагора именно в таком виде. Не пытайтесь сразу выражать катет, как
это обычно требуется. Возможно, вы сэкономите пару строчек вычислений, но
именно на этой «экономии» было потеряно больше баллов, чем где-либо еще в
геометрии.
Второе тождество — из тригонометрии. Выглядит следующим образом:
sin 2 A +
cos 2 A = 1
Оно так и называется: основное тригонометрическое
тождество. С его помощью можно через синус выразить косинус и наоборот.
Группа
3: Симметрии в треугольнике
То, что написано ниже, относится только к равнобедренным треугольникам.
Если в задаче таковой не фигурирует, то для решения достаточно фактов из первых
двух групп.
Итак, рассмотрим равнобедренный треугольник ABC,
где AC = BC. Проведем к основанию высоту CH.
Получим следующие факты:
1.
∠A = ∠B. Как следствие, sin A =
sin B; cos A = cos B; tg A =
tg B.
2.
CH — не только высота, но и
биссектриса, т.е. ∠ACH =
∠BCH.
Аналогично, равны и тригонометрические функции этих углов.
3.
Также CH — это медиана, поэтому AH = BH =
0,5 · AB.
Теперь, когда все факты рассмотрены, перейдем непосредственно к
методам решения.
Общая
схема решения задачи №7 ЕГЭ
Геометрия
отличается от алгебры тем, что в ней нет простых и универсальных алгоритмов.
Каждую задачу приходится решать с нуля — и в этом ее сложность. Тем не менее, общие
рекомендации дать все-таки можно.
Для начала, следует обозначить неизвестную сторону (если таковая
имеется) за X. Затем применяем схему решения, которая состоит из
трех пунктов:
1.
Если в задаче есть равнобедренный треугольник, применить к нему
все возможные факты из третьей группы. Найдите равные углы и выразите их
тригонометрические функции. Кроме того, равнобедренный треугольник редко бывает
прямоугольным. Поэтому ищите в задаче прямоугольные треугольники — они там
обязательно есть.
2.
Применить к прямоугольному треугольнику факты из первой группы.
Конечная цель — получить уравнение относительно переменной X.
Найдем X — решим задачу.
3.
Если фактов из первой группы оказалось недостаточно, применяем
факты из второй группы. И снова ищем X.
Примеры
решения задач
А теперь попробуем с помощью полученных знаний решить наиболее
распространенные задачи 7. Не удивляйтесь, что с таким арсеналом текст решения
окажется не намного длиннее, чем исходное условие. И это радует :)
Задача. В треугольнике ABC угол C равен
90°, AB = 5, BC = 3. Найдите cos A.
По определению (группа 1), cos A = AC : AB.
Гипотенуза AB нам известна, а вот катет AC придется
искать. Обозначим его AC = x.
Переходим к группе 2. Треугольник ABC —
прямоугольный. По теореме Пифагора:
AC 2 + BC 2 = AB 2;
x2 + 32 = 52;
x2 = 25 − 9 = 16;
x = 4.
Теперь можно найти косинус:
cos A = AC : AB =
4 : 5 = 0,8.
Задача. В треугольнике ABC угол B равен
90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH —
высота. Найдите AH.
Обозначим искомую сторону AH = x и
рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, причем ∠AHB =
90° по условию. Поэтому cos A = AH : AB= x : AB =
4/5. Это пропорция, ее можно переписать так: 5 · x = 4 · AB.
Очевидно, мы найдем x, если будем знать AB.
Рассмотрим треугольник ABC. Он также прямоугольный,
причем cos A =AB : AC. Ни AB,
ни AC нам не известны, поэтому переходим ко второй группе
фактов. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin 2 A +
cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A =
1 − (4/5)2 = 1 − 16/25 = 9/25.
Поскольку тригонометрические функции острого угла положительны,
получаем sin A = 3/5. С другой стороны, sin A = BC : AC =
3 : AC. Получаем пропорцию:
3 : AC = 3 : 5;
3 · AC = 3 · 5;
AC = 5.
Итак, AC = 5. Тогда AB = AC ·
cos A = 5 · 4/5 = 4. Наконец,
находим AH = x:
5 · x = 4 ·
4;
x = 16/5 = 3,2.
Задача. В треугольнике ABC AB = BC, AC =
5, cos C = 0,8. Найдите высоту CH.
Обозначим искомую высоту CH = x.
Перед нами равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC.
Следовательно, из третьей группы фактов имеем:
∠A =
∠C ⇒
cos A = cos C = 0,8
Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный (∠H =
90°), причем AC= 5 и cos A = 0,8. По определению,
cos A = AH : AC = AH :
5. Получаем пропорцию:
AH :
5 = 8 : 10;
10 · AH = 5 · 8;
AH = 40 : 10 = 4.
Осталось воспользоваться второй группой фактов, а именно
теоремой Пифагора для треугольника ACH:
AH 2 + CH 2 = AC 2;
42 + x2 = 52;
x2 = 25 − 16 = 9;
x = 3.
Задача. В прямоугольном треугольнике ABC ∠B =
90°, AB = 32, AC = 40. Найдите синус
угла CAD.
Поскольку нам известна гипотенуза AC = 40 и
катет AB = 32, можно найти косинус угла A:
cos A = AB : AC = 32 : 40 =
0,8. Это был факт из первой группы.
Зная косинус, можно найти синус через основное тригонометрическое
тождество (факт из второй группы):
sin 2 A +
cos 2 A = 1;
sin 2 A = 1 − cos 2 A =
1 − 0,82 = 0,36;
sin A = 0,6.
При нахождении синуса вновь был использован тот факт, что
тригонометрические функции острого угла положительны. Осталось заметить, что
углы BAC и CAD смежные. Из первой группы
фактов имеем:
∠BAC +
∠CAD = 180°;
sin CAD = sin BAC = sin A =
0,6.
Задача. В треугольнике ABC AC = BC =
5, AB = 8, CH — высота. Найдите tg A.
Треугольник ABC — равнобедренный, CH —
высота, поэтому заметим, что AH = BH = 0,5
· AB = 0,5 · 8 = 4. Это факт из третьей группы.
Теперь рассмотрим треугольник ACH: в нем ∠AHC =
90°. Можно выразить тангенс: tg A = CH : AH.
Но AH = 4, поэтому остается найти сторону CH,
которую обозначим CH = x. По теореме Пифагора
(факт из группы 2) имеем:
AH 2 + CH 2 = AC 2;
42 + x2 = 52;
x2 = 25 − 16 = 9;
x = 3.
Теперь все готово, чтобы найти тангенс: tg A = CH : AH =
3 : 4 = 0,75.
Задача. В треугольнике ABC AC = BC, AB =
6, cos A = 3/5. Найдите высоту AH.
Обозначим искомую высоту AH = x.
Снова треугольник ABC — равнобедренный, поэтому заметим, что ∠A =
∠B,
следовательно, cos B = cos A = 3/5. Это факт
из третьей группы.
Рассмотрим треугольник ABH. По условию, он прямоугольный
(∠AHB =
90°), причем известна гипотенуза AB = 6 и cos B =
3/5. Но cos B = BH : AB= BH :
6 = 3/5. Получили пропорцию:
BH :
6 = 3 : 5;
5 · BH = 6 · 3;
BH = 18/5 = 3,6.
Теперь найдем AH = x по
теореме Пифагора для треугольника ABH:
AH 2 + BH 2 = AB 2;
x2 + 3,62 = 62;
x2 = 36 − 12,96 = 23,04;
x = 4,8.
Дополнительные
соображения
Бывают нестандартные задачи, где рассмотренные выше факты и
схемы бесполезны. Увы, в таком случае нужен действительно индивидуальный
подход. Подобные задачи любят давать на всевозможных «пробных» и
«демонстрационных» экзаменах.
Ниже приведены две реальные задачи, которые предлагались на
пробном ЕГЭ в 2016 г. Справились с ними единицы, что свидетельствует о высокой
сложности этих задач.
Задача. В прямоугольном треугольнике ABC из
угла C = 90° провели медиану и высоту. Известно, что ∠A =
23°. Найдите ∠MCH.
Заметим, что медиана CM проведена к
гипотенузе AB, поэтому M — центр описанной
окружности, т.е. AM = BM = CM = R,
где R — радиус описанной окружности. Следовательно,
треугольник ACM — равнобедренный, и ∠ACM =
∠CAM =
23°.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBH.
По условию, оба треугольника прямоугольные. Кроме того, ∠B —
общий. Следовательно, треугольники ABC и CBH подобны
по двум углам.
В подобных треугольника соответствующие элементы
пропорциональны. В частности:
BCH = BAC =
23°
Наконец, рассмотрим ∠C.
Он прямой, и, кроме того, ∠C =
∠ACM +
∠MCH+ ∠BCH.
В этом равенстве ∠MCH —
искомый, а ∠ACM и
∠BCH известны
и равны 23°. Имеем:
90° = 23° + MCH +
23°;
MCH = 90° − 23° − 23° = 44°.
Задача. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60.
Найдите диагональ этого прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника: AB = x, BC = y.
Выразим периметр:
PABCD =
2 · (AB + BC) = 2 · (x + y) =
34;
x + y = 17.
Аналогично выразим площадь: SABCD = AB · BC = x · y =
60.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный,
поэтому запишем теорему Пифагора:
AB 2 + BC 2 = AC2;
AC 2 = x2 + y2.
Заметим, что из формулы квадрата разности следует равенство:
x2 + y2 =
(x + y)2 − 2 · x · y =
172 − 2 · 60 = 289 − 120 = 169
Итак, AC 2 = 169, откуда AC =
13.
Хочется
заметить, что в математике нет царских путей. Математика - высокая винтовая
лестница. Чтобы взобраться по ней к вершинам знаний, надо пройти каждую
ступеньку, от первой до последней. Прежде чем достичь вершины, нам вместе с
учениками нужно пройти долгий путь познания.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.