Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»

библиотека
материалов

Конспект лекции по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла»

Цели лекции:

1) ввести и обосновать методы вычисления неопределенного интеграла;

2) разобрать доказательство теорем, на которых основываются методы;

3) разобрать примеры на каждый метод.

Тип лекции: изучение нового материала.

План лекции:

1) ввести и обосновать метод введения нового аргумента;

2) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод введения нового аргумента;

3) разобрать примеры, связанные с методом введения нового аргумента;

4) ввести и обосновать метод подстановки;

5) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод подстановки;

6) разобрать примеры, связанные с методом подстановки;

7) ввести и обосновать метод интегрирования по частям;

8) разобрать доказательство теоремы, на которой основывается метод интегрирования по частям;

9) рассмотреть типы интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям и примеры для каждого типа.

Ход лекции

1. Метод введения нового аргумента.

1) По определению неопределённого интеграла hello_html_m30dd026d.gif, x<a;b> - независимая переменная. Эта формула инвариантна относительно х, т.е. в формуле х может быть как независимой переменной, так и непрерывно дифференцируемой функцией.

2) Выделение со студентами этапов в тексте доказательства теоремы.

При разборе доказательства теоремы выделялся план доказательства. Для выделения этапов студентам задавался вопрос «Что делается дальше?». План записывался на доске, и студенты выделяли этапы у себя в лекциях.

Теорема. Если hello_html_m30dd026d.gif, то hello_html_m580ef2d1.gif где u=φ(x) – непрерывно дифференцируемая функция.

Доказательство.

hello_html_m54e3d1d5.gifИмеем

hello_html_m30dd026d.gif, (1)

где х – независимая переменная. С другой стороны, дан hello_html_m71f22cff.gif, где u=φ(x)– непрерывно дифференцируемая функция, значит, du=φ'(x)dx. Тогда

f(u)du=f(φ(x))φ'(x)dx. (2)

Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)).

[F(φ(x))]'=F'(u)φ'(x)=f(u)φ'(x)=f(φ(x))φ'(x), т.е. функция F(φ(x)) является первообразной для f(φ(x))φ'(x). Следовательно, hello_html_m7b8981c5.gif, или по (2) hello_html_m580ef2d1.gif. hello_html_m7e47540.gif

Дано:

1) hello_html_m30dd026d.gif;

2) u=φ(x) – непрерывно дифференцируемая функция.

Доказать: hello_html_m580ef2d1.gif.

План доказательства:

1) находим hello_html_57081e18.gif;

2) находим f(u)du=f(φ(x))φ'(x)dx;

3) рассмотрим F(u)=F(φ(x));

4) находим [F(φ(x))]'=f(φ(x))φ'(x)=hello_html_14515d1f.gif;

5) из 2) и 4) hello_html_m580ef2d1.gif

3) Примеры:

1) hello_html_54fa79ae.gif

u du

2) hello_html_m41dfea40.gif

u u du

3) hello_html_17f69c9a.gif, hello_html_4f67eb44.gif, hello_html_m76edd2a0.gif/

2. Метод подстановки

4) Теорема 2. Пусть y=f(x) непрерывна на ∆x, x=φ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая на ∆t. Пусть определена сложная функция f(φ(t)) на ∆t (множеством значений функции φ(t) является промежуток ∆x). Тогда

hello_html_65724ac.gif. (3)

Доказательство.

hello_html_m54e3d1d5.gifПродифференцируем обе части равенства (3):

hello_html_m388da3ba.gifhello_html_79069c04.gif.

Значит, обе части формулы (3) имеют один и тот же дифференциал и, следовательно, выражают собой одно и то же семейство первообразных для функции f(x). hello_html_m7e47540.gif

Дано:

1) y=f(x) непрерывна на ∆x;

2) x=φ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая на ∆t;

3) определена сложная функция f(φ(t)) на ∆t.

Доказать: hello_html_294caf6f.gif

5) Итак, для вычисления интеграла hello_html_4bbe05dd.gif с помощью подстановки x=φ(t) надо выразить х через t, dx – через t и dt, т.е. dx=φ'(t)dt. Чтобы после вычисления интеграла вернуться к переменной х, надо в полученной функции заменить t значением, которое находится из соотношения t=φ-1(x) (существование обратной функции следует из монотонности φ(t)).

6) Примеры:

1) Линейная подстановка:

а) hello_html_43ec351c.gif, hello_html_m763ff57f.gif;

б) hello_html_6a4e1876.gif.

2) hello_html_m71c6d01f.gif.

3. Метод интегрирования по частям

7) – 8) Теорема 3. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) дифференцируемы на промежутке ∆. Пусть на ∆ функция hello_html_m7515798b.gif имеет первообразную. Тогда функция hello_html_316ad0d7.gif на ∆ имеет первообразную и справедлива формула

hello_html_m5aec4456.gif. (4)

Доказательство.

hello_html_m54e3d1d5.gifПо правилу дифференцирования произведения имеем:

hello_html_180ff7db.gif.

Следовательно, hello_html_4f16d833.gif. (5)

По условию существует интеграл hello_html_m16422b86.gif. По свойству интеграла hello_html_m69dab2ea.gifhello_html_m38549ba0.gif. Поэтому существует интеграл правой части (5), следовательно, существует интеграл и левой части:

hello_html_m233329be.gif.

Относя в последнем равенстве С ко второму интегралу получим (4). hello_html_m7e47540.gif

Замечание. Т.к. v'(x)dx=dv, u'(x)dx=du, то (4) можно записать в виде

hello_html_2a96bf7d.gif. (6)

Дано:

1) u=u(x) и дифференцируема на промежутке ∆;

2) v=v(x) дифференцируема на промежутке ∆;

3) на ∆ функция hello_html_m7515798b.gif имеет первообразную.

Доказать:

1) функция hello_html_316ad0d7.gif на ∆ имеет первообразную;

2) hello_html_m2f8e7003.gif.

План доказательства:

1) hello_html_781da046.gif;

2) hello_html_m4c2fe009.gif;

3) интегрируем равенство и получаем

hello_html_3025ce26.gif.

9) Ihello_html_2e2248a.gif. Подынтегральная функция имеет вид P(x)eax, P(x)cosax, P(x)sinax, где P(x) – многочлен. В таких интегралах за u(x) надо принять многочлен P(x) и формулу интегрирования по частям применять столько раз, какова степень многочлена.

hello_html_m32ecd961.gif eax

u(x) cosax

sinax

Цель интегрирования: понизить степень многочлена до 0.

II. Подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Вhello_html_m6ad80665.gif этом случае за u(x) надо взять эту функцию.

hello_html_m3636c8fe.giflnx

arcsinx

hello_html_232f3adc.gifarccosx = u(x)

arctgx

arcctgx


Цель интегрирования: находя hello_html_57081e18.gif при u(x) равной одной из функций lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx перейти к многочлену от переменной hello_html_m5547f17b.gif.

III. Подынтегральная функция имеет вид: eaxsinbx, eaxcosbx, cos(lnx), sin(lnx).

Формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причём оба раза за u(x) выбирается одна и та же функция (либо показательная, либо тригонометрическая). После этого получается линейное уравнение относительно исходного интеграла.


hello_html_m2ebaf31f.gifhello_html_m312adc2.gifsinbx , cos(lnx), sin(lnx)

hello_html_57de0fe8.gifcosbx


u(x)

Цель интегрирования: после применения формулы интегрирования по частям два раза получить линейное уравнение относительно исходного интеграла и найти из этого уравнения значение исходного интеграла.



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 14.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров404
Номер материала ДВ-061820
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх