Конспект лекции по теме «Системы линейных алгебраических уравнений и их классификация. Теорема Крамера» дисциплины ЕН.01 Математика по специальности СПО 15.02.01 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям)»

Конспект лекции

дисциплина ЕН.01 Математика

специальность СПО 15.02.01  Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования (по отраслям), базовый уровень подготовки

Тема: «Системы линейных алгебраических уравнений и их классификация.    

                                              Теорема Крамера»

К системам линейных алгебраических уравнений приводит множество прикладных, в том числе, экономических задач.

где аij - коэффициент при  переменных; bi - свободные члены уравнений.

Система m линейных уравнений с n неизвестными  :

,

·        Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

·        Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений, (ещё её называют противоречивой).

·        Cовместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

·        Cовместная система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу, называемую матрицей системы уравнений:

где  aij - коэффициент при неизвестной;  i - номер уравнения; j - номер неизвестного, при котором  стоит этот коэффициент

А mxn

  = ,

Коэффициенты b₁, b₂, …, b_m - это свободные члены уравнений системы (СЛАУ).

Опр. СЛАУ называется однородной системой уравнений, если свободные члены уравнений равны нулю.

Примечание: Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет, по крайней мере, нулевые решения: ==…= = 0

Расширенная матрица системы уравнений (1.1) имеет вид:

                                А₁ =.

В матричной форме система уравнений (1.1) примет вид:  А•Х=В , где

А - это матрица коэффициентов при переменных;

X =- это матрица-столбец переменных;

 B = - это матрица-столбец свободных членов.

Опр. Две системы уравнений называются равносильными (или эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (или обе системы несовместны).

Опр. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ 1.1) называется упорядоченный набор ;;...; ) из n чисел, при подстановке которых в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превращается в верное равенство.

Опр. Общим решением СЛАУ называется выражение для неизвестных ;;...;  из которого можно получить любое конкретное решение системы;

        а частным решением СЛАУ называется любое конкретное решение системы.

Теорема Крамера

 Пусть ∆= detA - определитель системы А, а ∆_j - определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j- го столбца столбцом свободных членов.

Тогда, если ∆≠0, та система уравнений имеет единственное решение, определенное по формуле: x_j =,   (где j = 1, 2, .., n).

Если ∆=0, то пользоваться формулой Крамера нельзя, возможны два случая:

а) хотя бы один ∆_j≠0, то решений нет ( система несовместна);

б) все ∆_j=0, то СЛАУ имеет решений бесконечно много (система неопределённая).

cистема двух линейных уравнений с двумя переменными x и y; - каждое уравнение задает прямую на плоскости

Пример:    -

y

Возможны три варианта решения этой СЛАУ: 

Y0

1)

 
                                                                        X

Здесь ∆ ≠ 0, СЛАУ имеет единственное решение (X₀; Y₀) - это координаты точки, в  которой  пересекаются эти две прямые  и

2)

Здесь ∆= 0, но ∆_x ≠ 0 или ∆y ≠ 0. Решений нет, система уравнений несовместна.

две прямые совпадают

3)                у

                  0                              x

Здесь ∆ = 0 и ∆x = 0 и ∆_y = 0. 

СЛАУ имеет бесконечное множество решений ( т.е. система неопределённая).

Координаты любой точки этой прямой являются решениями данной системы уравнений.

Пример:    , уравнения системы задают одну и ту же прямую, т.к.

.

Из первого уравнения имеем: x= 5+2y ;

пусть y= t, где t,

то x=2t+5

Ответ: бесконечное множество решений  , где t∈ R.

Система трех линейных уравнений с 3-мя неизвестными

  - каждое уравнение СЛАУ задаёт плоскость;

Возможны пять вариантров решения этой СЛАУ (в зависимости от пересечения плоскостей):

1)     

    

 

2)       

 

3)         

        

4)

Это плоскости совпадают, а третья плоскость им параллельна, либо две плоскости параллельны, а третья плоскость их пересекает.

Тогда СЛАУ не имеет решений, система несовместна.

Примечание:

Если в результате элементарных преобразований расширенная матрица коэффициентов системы  получит  вид:

1)   -то единственное решение (СЛАУ определённая)

                                           матрица приведена к треугольному виду

2)  - множество решений (система неопределённая)

                                           матрица приведена к ступенчатому виду

3)  - нет решений (система несовместная)

                             третья строка противоречива

Информационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

1.     Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2.     Башмаков М. И. Математика: учебник.-М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1.     Башмаков М. И. Математика: учебник.-М.: Академия, 2015.

3.     Григорьев В. П. Математика: учебник.-М.: Академия, 2016.

4.     Григорьев В. П. Математика: учебник.-М.: Академия, 2015.

5.     Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для СПО.-М.:Профобразование, 2017.

Краткое описание документа:

В конспекте лекции рассмотрены системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Дана их классификация.

Рассмотрено решение СЛАУ по формулам Крамера с помощью определителей.

Рассмотрены частные случаи решения систем линейных алгебраических уравнений и дан геометрический анализ, каким ситуациям эти частные случаи соответствуют.