Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект лекции "Тригонометрические тождества. Формулы приведения"

Конспект лекции "Тригонометрические тождества. Формулы приведения"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Технологическая карта теоретического занятия (лекции) №13

Дисциплина (профессиональный модуль): математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

Специальность: все специальности

Курс 1 Семестр 1

Тема: «Тригонометрические тождества. Формулы приведения»

Группы: фарм А-11, Б-11, лаб А, Б-11, с/д АБВГДЕ-11

Преподаватель: Башлиева Анастасия Юрьевна

Продолжительность 90 минут Место проведения ККБМК

Цели занятия:

Образовательная:

  1. Сформировать представление о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа.

  2. Сформировать представление о тригонометрии.

Развивающая:

1. Развить представления о роли месте математики в современном мире

2. Способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления.

Воспитательная:

1. Способствовать развитию интереса к предмету, активности

2. Воспитывать аккуратность в работе

3. Умение работать в команде, выражать собственное мнение, давать рекомендации.

Требования к знаниям и умениям:

Знать: определение градусной и радианной меры, единичной окружности, синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уметь: производить перевод из градусной меры в радианную , определять синус, косинус, и тангенс числа.

Тип лекции: информационная.

Образовательные технологии: информационная, обучающая технология.

Методы и приемы обучения: рассказ, беседа.

Средства обучения:

Технические средства обучения: доска (белая доска), мел (цветные маркеры)

Основная:

  1. Башмаков М. И. Учебник. Математика. – Академия, 2013 год.

  2. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10(11) кл. – М., 2000

  3. Алимов Ш.А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 клас­сы. — М., 2014.

  4. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

  5. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

  6. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

  7. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

Дополнительная:

  1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровень). 11кл.-. М., 2006.

  2. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2004

Межпредметные и внутрипредметные связи: химия, физика, информатика, ОСД, Фармакология.


Хронологическая карта занятия

Время (минуты)

1.

Организационный момент.

2

2.

Вступление, мотивация изучения темы:

- формулировка темы лекции, характеристика ее профессиональной значимости, новизны и степени изученности;

- постановка целей;

- изложение плана лекции, включающего основные вопросы, подлежащие рассмотрению;

- характеристика рекомендуемой литературы.

3

3.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция (вопросы, изученные на прошлой лекции, связь их с новым материалом).

2

4.

Основная часть лекции (изложение содержания в соответствии с планом).

75

5.

Обобщение и систематизация изученного материала.

3

6.

Подведение итогов.

5

Итого: 90 минут

Вступление, мотивация изучения темы:

Сегодняшняя тема лекции: Основы тригонометрии”. Задача: обобщить и систематизировать материал по данной теме и выявить основные недочеты и трудности, над которыми надо еще поработать.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:

  1. Что такое синус?

  2. Что такое косинус?

  3. Что такое тангенс и котангенс?

Основная часть лекции:

В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Любой угол можно рассматривать как результат вращения луча в плоскости вокруг начальной точки. Вращая луч вокруг точки О от начального положения OA до конечного положения ОВ, получим угол АОВ (рис. 1).

Понятие об измерении углов известно из геометрии. При измерении углов принимают некоторый определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол.

На практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята hello_html_m2111adc2.gif часть полного оборота, которую называют градусом.

hello_html_910ad86.gif





Рис. 1.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот.

В мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный hello_html_74e28ad6.gif части полного оборота.

В артиллерии за единицу измерения углов принята hello_html_2b006f39.gif часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (0,01 часть большого деления угло­мера называют малым делением угломера).

В связи с развитием техники появилась потребность измерять круговые движения (т. е. повороты на сколь угодно большие углы и различные колебательные процессы, связанные с круговым движением). Появилась потребность в новой, универсальной единице измерения дуг и углов. Такой единицей оказалась радианная (радиусная) мера угла, она появилась в трудах Ньютона (1643—1727) и Лейбница (1646—1716) и вошла в науку благодаря трудам академика Петербургской академии наук Леонарда Эйлера (1707—1783).

Вы хорошо знакомы с числовой осью, т. е. прямой, на которой отмечена начальная точка О, единица масштаба ОЕ и положительное направление. При помощи числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой. Каждому действительному числу z ставится в соответствие определенная точка М, которая является концом отрезка ОМ длины |z|. Отрезок ОМ откладывается в положительном направлении, если z > 0, и в отрицательном, если z < 0. Точка О соответствует числу z = 0. Действительное число z называется координатой точки М и записывается M(z).

Пусть дана некоторая единичная окружность, т.е. окружность с центром в некоторой точке О и с радиусом, равным единице масштаба. Выберем на этой окружности некоторую точку А (рис.2).

Пhello_html_m5290ba6c.gifо аналогии с прямой каждому числу hello_html_m6adc82df.gif поставим в соответствие точку Мα данной единичной окружности такую, что длина дуги АМα равна α, причем дуга АМα откладывается от точки А против часовой стрелки. Числу 0 и числу 2π поставим в соответствие точку А. Таким образом, между точками единичной окружности и числами промежутка [0; 2π[ установлена взаимно однозначное соответствие.

Рис. 2.


Число α называется радианной мерой дуги АМα и соответственно угла АОМα.

Из формулы для вычисления длины дуги окружности следует формула, связывающая радианную и градусную меры угла. Действительно, если α – длина дуги единичной окружности, градусная мера которой равна β, то hello_html_3d8885a5.gif.

Таким образом, дуга в 1 радиан содержит hello_html_m4f1b63ec.gif градусов: hello_html_mf74a0e.gif

Дуга в 1° содержит hello_html_m1393c1a6.gif радиан: hello_html_m51f05e44.gif.

Пример: Выразить в радианной мере углы 120; 320.

Ответ: Так как hello_html_m38b655da.gif, то hello_html_m4a454fde.gif, hello_html_5ebfe667.gif.

Для перевода меры угла из градусной в радианную и обратно существуют таблицы (см., например, В. М. Брадис, Четырехзначные математические таблицы).

Приведем таблицу для углов и дуг, которые встре­чаются часто.


Градусы

3360°

1180°

990°

660°

445°

330°

118°

115°

1100°

11°

β°

Радианы

2π

π

hello_html_m44138efc.gif

hello_html_m52e8e22a.gif

hello_html_m267f1b23.gif

hello_html_m2aa29ebb.gif

hello_html_60c29b73.gif

hello_html_f9dbf71.gif

hello_html_3cec8b4a.gif

hello_html_m8fbf42a.gif

hello_html_4582b80c.gif


Снова рассмотрим единичную окружность с выбран­ной точкой А (рис. 2).

Кhello_html_6d275b88.gifаждому числу hello_html_m7343e505.gif поставим в соответст­вие точку Мα данной единичной окружности такую, что длина дуги АМα равна |α| и дуга АМα откладывается от точки А по часовой стрелке (рис. 3). Числу - 2π поставим в соответствие точку А.

Произвольное число α представим следующим образом: hello_html_macf2eb4.gif, где k — некоторое целое число, а hello_html_m43c829ff.gif. Заметим, что для любого α такое представление возможно. Теперь числу α поставим в соответствие ту же точку, что и числу α0, т. е. точки Мα и hello_html_64dd59cf.gif совпадают.

Рис. 3.


Таким образом, выше построено соответствие между действительными числами и точками единичной окружности. Из самого построения этого соответствия следует, что точки hello_html_m38b07f41.gif, hello_html_1165e559.gif, hello_html_m44ad4646.gif совпадают.

О точке Мα говорят, что она получается из точки А поворотом на |α| радиан против часовой стрелки, если α > 0, и по часовой стрелке, если α < 0. Вращение против часовой стрелки иногда называют вращением в положительном направлении, а вращение по часовой стрелкевращением в отрицательном направлении.


Тригонометрические функции числового аргумента.

Ранее было установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек единичной окружности. Каждому действительному числу α поставлена в соответствие точка Мα единичной окружности.

Пhello_html_762b2d73.gifусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат так, что ее начало совпадает с центром рассматриваемой единичной окружности, а единичная точка оси абсцисс совпадает с точкой А.

Пусть хα, уα — координаты точки Мα. Тогда каждому числу α поставлены в соответствие два числа хα и уα.. Число уα. называется синусом α и обозначается sin α, а число хα называется косинусом α и обозначается cos α.

Функция sin α, hello_html_m71cd4b95.gif, называется синусом. Рис. 4.

Функция cos α, hello_html_m71cd4b95.gif, называется косинусом.

Пример 1: Найти синус числа hello_html_m5935cedf.gif.

Решение: Так как hello_html_2e65d42b.gif, то этому соответствует та же точка М, что и числу hello_html_m16810bb7.gif. Опустим из точки М перпендикуляр MP на ось Ох (рис. 4), имеем |РМ| = у. В прямоугольном треугольнике РОМ длина гипотенузы ОМ равна 1 (так как окружность единичная), длина катета РМ равна hello_html_3bfcd93a.gif (как катет, лежащий против угла в 30º). Следовательно, ордината точки М равна числу 0,5, т. е. у = 0,5.

Ответ: hello_html_m5d88f5db.gif.

Пример 2: Найти sin 1,17.

Решение: См. «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса, стр. 62,

sin 1,17 ≈ 0,9208.

Тангенсом действительного числа α называется отношение hello_html_m607aa99d.gif и обозначается tg α.

Легко видеть, что tg α определен для всех действительных чисел hello_html_ma40dfd.gif.

Функция tg α, hello_html_m38b0f685.gif, называется тангенсом.

Котангенсом действительного числа α называется отношение hello_html_m151d6bd4.gif и обозначается ctg α. Легко видеть, что ctg α определен для всех действительных чисел а hello_html_m6de91e0c.gif.

Функция ctg α, hello_html_m2d880ba3.gif, называется котангенсом.

Реже используются функции секанс и косеканс

hello_html_2088104e.gif.

Пример 3. Найти tg hello_html_m60f8cfe.gif и ctg hello_html_m60f8cfe.gif.

Рhello_html_396d15b5.gifешение. Числу hello_html_58566bc4.gif на числовой окружности соответствует точка М, которая является концом дуги в 135°. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ох. Треугольник OMN прямоугольный и равнобедренный (рис. 5). Координаты точки М будут hello_html_ma666d23.gif, hello_html_m28951796.gif. Следовательно,

tg hello_html_58566bc4.gif= hello_html_18fbe7bf.gif; ctg hello_html_58566bc4.gif= hello_html_76bc66f4.gif.

Ответ: tg hello_html_58566bc4.gif= hello_html_m2f72f365.gif; ctg hello_html_58566bc4.gif= hello_html_m5aa1ee03.gif.

Рис. 5.

Периодичность тригонометрических функций.


Тригонометрические функции являются периодическими функциями

Теорема: Число 2π является минимальным периодом синуса и косинуса.

Это следует из того, что значение тригонометрических функций определяются с помощью координат вращающейся точки.

Но при вращении этой точки по единичной окружности через каждый оборот она занимает тоже самое положение, как известно полный оборот точка совершает тогда, когда приращение аргумента равно 2π. Следовательно, sin (t +2π) = sin t, аналогично, и для cos (t +2π) =cos t.

Тангенс и котангенс также являются периодическими функциями, но наименьшим периодом для тангенса и котангенса является π.

Пример 4: Найти sin 2672° = sin (7·360° + 152°)= sin 152°

Далее находим по таблице Брадиса или выражаем в радианах.


Знаки тригонометрических функций.


Знаки тригонометрических функций определяются тем, в какой из координатных четвертей плоскости лежит рассматриваемый угол.

hello_html_39d9e4e4.gif

Так как синус числа α является ординатой конца единичного вектора с началом в начале координат, то синус положителен в первой и второй четвертях и отрицателен в третей и четвертой.

hello_html_3acaf12a.gif

Косинусом числа α есть абсцисса конца вектора. Поэтому косинус положителен в первой и четвертой четвертях и отрицателен - во второй и третей.

hello_html_m7383ef4d.gif

Тангенс и котангенс есть отношение координат, поэтому они положительны когда координаты имеют одинаковые знаки (первая и третья ) и отрицательны, когда разные (вторая и четвертая).


Пример 5: Найти знак sin 2735°

Ответ: 2735° = 7 · 360° + 215°. Так как 360° = 2π, а синус есть периодическая функция с периодом 2π, то знак синуса зависит только от величины угла 215°, который расположен в третьей четверти, где синус отрицателен. Следовательно, sin 2735º = sin 215º < 0.

Пример 6: Определить знак следующего выражения sin 300° · cos 200°.

Ответ: sin 300° < 0, cos 200° < 0. Следовательно, sin 300° · cos 200° > 0.


Четность и нечетность тригонометрических функций.

Докажем, что косинус – функция четная, а синус, тангенс и котангенс – функции нечетные.

Пусть дана единичная окружность с центром в начале координат. Любые два противоположных действительных числа α и — α можно изобразить на этой окружности двумя точками Мα и М, симметричными относительно оси абсцисс (рис. 6). Так как точки Мα и М лежат на единичной окружности, то координатами точки Мα будут числа cos α и sin α, а координатами точки М будут числа cos (– α) и sin (– α). Так как точки Мα и М, симметричны относительно Ох, то их абсциссы совпадают, а ординаты противоположны. На основании этого для любых допустимых чисел α справедливы равенства:

hello_html_3db64c98.gif

Рис. 6.

hello_html_m2b4ee60f.gif

Формула (1) означает, что косинус – функция четная, а формулы (2), (3), (4) означают, что синус, тангенс и котангенс – функции нечетные, что и требовалось доказать.


Пример 7:

hello_html_m57bc4b89.gif

Пример 8:

hello_html_4a58c35f.gif


Основное тригонометрическое тождество.


hello_html_566f126a.gif

Следствие:

hello_html_58dc2bcf.gif

hello_html_m15e4f0a9.gif


Пример 9: Найдите значения cos α, tg α, ctg α, если sin α = hello_html_7aa94223.gif.

Ответ: Так как hello_html_3af1d5f.gif, то hello_html_13cc770c.gif.

Используя соотношения hello_html_72ec122a.gif и hello_html_5b3088d9.gif имеем: hello_html_321e4c5d.gif и hello_html_m2e3f10a7.gif.

Тригонометрические формулы. Формулы приведения.

Значение тригонометрических функций острых углов можно вычислить по таблице. Возникает проблема для вычисления тригонометрических функций для аргумента, большего hello_html_m7f4c8991.gif. Для этой цели существуют формулы приведения. Формулы приведения позволяют заменить тригонометрические функции больших значений аргументов тригонометрическими функциями острого угла.

Основные формулы приведения

hello_html_m103b6caa.gif

hello_html_m4a69bdcc.gif

Пhello_html_m652a64c.gifравило: Если в формуле приведения угол α вычитается из числа hello_html_m66c9e752.gif или прибавляется к этому числу, взятому нечетное число раз, то приводимая функция меняется на кофункцию. Если же число hello_html_m66c9e752.gif взято четное число раз, то название приводимой функции сохраняется. Знак перед приведенной функцией ставится такой, каков знак приводимой функции в соответствующей четверти, если считать угол α острый.

Пример 1: Найти значение cos 315°.

cos 315° = cos (270° + 45°) = hello_html_m4513e5db.gif. По таблице находим, что hello_html_22a0de1f.gif.

Следовательно, получаем, что hello_html_430fbabe.gif.

Пример 2: Привести к тригонометрической функции острого угла

sin 162° = sin (90° + 72°) = sin (hello_html_m66c9e752.gif + 72°) = cos 72°.

cos 830° = cos (2 · 360° + 110°) = cos l10° = cos (90° + 20°)= cos (hello_html_m66c9e752.gif + 20°) = – sin 20°.

ctg 2281° =ctg (6 · 360° + 121°)= ctg l21° = ctg (90° + 31°) = ctg (hello_html_m66c9e752.gif + 31°) = – tg 31°.

Формулы сложения

Примеры

hello_html_m6454867e.gif

hello_html_32fb0cf0.gif

hello_html_7a1e82f6.gif

hello_html_50a47d12.gif

hello_html_8993e76.gif

hello_html_425e9e3c.gif

Формулы двойного угла

hello_html_76220a41.gif

hello_html_395747a5.gif

hello_html_69eb4564.gif

hello_html_m20ee2804.gif

hello_html_m15601ea8.gif

hello_html_m5b532afe.gif

Формулы понижения степени

hello_html_5273e034.gif

hello_html_242ae4d9.gif

hello_html_m44201d2b.gif

hello_html_4c20afe.gif

Формулы суммы и разности синусов и косинусов

hello_html_m2ea18e22.gif

hello_html_14a42f98.gif

hello_html_4e713353.gif

hello_html_50783fa9.gif

hello_html_5d45ee8a.gif

hello_html_m59fcecfd.gif

Произведения тригонометрических функций

hello_html_74f350bb.gif

hello_html_m1c5a7e04.gif

hello_html_7fe2d954.gif

hello_html_57f250dd.gif

hello_html_m2a4068d5.gif

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Рассмотрим следующие тождества: hello_html_7c4c47d3.gif, hello_html_m9ee5fe3.gif.

Если из первого тождества вычтем второе, то получим hello_html_439eb1eb.gif.

Откуда hello_html_m1bda1a43.gif.

Если сложить тождества, то получим hello_html_m71ca1479.gif. Откуда hello_html_e8d416.gif.

Если разделим почленно hello_html_m510e44d0.gif на hello_html_4cda3628.gif, то получим hello_html_m303939b5.gif.

Пример: Найти hello_html_25b17281.gif, если hello_html_m25ef4795.gif

Ответ: hello_html_336a90f.gif

Пример: Упростите выражение hello_html_23a57d46.gif

Ответ: Используя формулуhello_html_m71ca1479.gif, получим hello_html_5722e3b6.gif. Для преобразования hello_html_m6b07bbdb.gifиспользуем формулу двойного угла hello_html_76220a41.gif. Тогда hello_html_15351.gif

Обобщение и систематизация изученного материала:

  1. Что такое радианная мера, радиан?

  2. Что такое синус? Что такое косинус?

  3. Что такое тангенс и котангенс? Какие формулы тригонометрии вам известны?


Подведение итогов: основные понятия по теме получены, закреплены примерами.

Общая информация

Номер материала: ДБ-359333

Похожие материалы