Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект лекции"Функция и ее свойства. Преобразование графиков функций"

Конспект лекции"Функция и ее свойства. Преобразование графиков функций"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Технологическая карта теоретического занятия (лекции) №1

Дисциплина (профессиональный модуль): математика: алгебра и начала математического анализа

Специальность: все специальности

Курс 1 Семестр 1

Тема: «Функция и ее свойства. Преобразование графиков функций».

Группы: фарм А-11, Б-11, лаб А, Б-11, с/д АБВ-11

Преподаватель: Башлиева Анастасия Юрьевна

Продолжительность 90 минут Место проведения ККБМК

Цели занятия:

Образовательная:

  1. Изучить понятие функции, ее свойства.

  2. Научить строить графики разнообразных функций.

  3. Систематизировать и обобщить знания о функции, полученные в школе.

Развивающая:

1. Развить представления о роли месте математики в современном мире

2. Способствовать развитию алгоритмического, творческого мышления.

Воспитательная:

1. Способствовать развитию интереса к предмету, активности

2. Воспитывать аккуратность в работе

Требования к знаниям и умениям:

Знать: определение функции, области определения и значения, графика функции.

Уметь: строить графики функций, находить область определения и значения.

Тип лекции: информационная.

Образовательные технологии: информационная, обучающая технология.

Методы и приемы обучения: рассказ, беседа.

Средства обучения:

Технические средства обучения: компьютер.

Электронные ресурсы: мультимедийные презентации.

Литература:

Основная:

  1. Башмаков М. И. Учебник. Математика. – Академия, 2013 год.

  2. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10(11) кл. – М., 2000

  3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2004.

Дополнительная:

  1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровень). 11кл.-. М., 2006.

Межпредметные и внутрипредметные связи: химия, физика, информатика






Хронологическая карта занятия

Вступление, мотивация изучения темы:

- формулировка темы лекции, характеристика ее профессиональной значимости, новизны и степени изученности;

- постановка целей;

- изложение плана лекции, включающего основные вопросы, подлежащие рассмотрению;

- характеристика рекомендуемой литературы.

3

3.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция (вопросы, изученные на прошлой лекции, связь их с новым материалом).

2

4.

Основная часть лекции (изложение содержания в соответствии с планом).

75

5.

Обобщение и систематизация изученного материала.

3

6.

Подведение итогов.

5

Итого: 90 минут

Вступление, мотивация изучения темы:

Понятие функции  является одним из главнейших во всей математике, науке, технике... Без этого понятия - никак. Вообще никак. Имеет смысл разобраться, правда? Тем более, что это достаточно просто. Если рискнуть, и... почитать.

Начнём с представления о функции, затем освоим понятие функции. После этого определение функции окажется простым и вполне человеческим.

Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:

  1. Какое понятие функции вам известно?

  2. Что такое система координат?

  3. Что такое натуральное и действительное число?

Основная часть лекции:

  1. Числовая функция.

Числовой функцией с областью определе­ния D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, за­висящее от х.

Функции обычно обозначают латинскими или гречески­ми буквами. Рассмотрим произвольную функцию f. Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точ­ке х и обозначают f(х). Область определения функции f обозна­чают D (f). Множество, состоящее из всех чисел f(х). таких, что х принадлежит области определения функции f, называют об­ластью значений функции f и обозначают Е (f).

Функции вида f (х) = р (х), где р (х) — многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида f {х) = р (х)/ q (х), где р и q — многочлены, называют дробно-рациональными функ­циями.

Частное р (х)/ q (х) определено, если q (x) не обращается в нуль. Поэтому область определения дробно-рациональной функции f {х) = р (х)/ q (х)—множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q (x).


2. График функции. Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) коор­динатной плоскости, где y = f (х), a x «пробегает» всю область определения функции f.

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Оу. Множество, изображенное на рисунке 1, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой а, но разными ординатами b1 и b2. Если бы мы сочли это множество графиком функции, то пришлось бы считать, что эта функция имеет при х = а сразу два значения b1 и b2, что противоречит опре­делению функции. Часто функцию задают графически. При этом для любого хо из области определения легко найти соответствующее значение yo = f о) функции (рис. 2).


hello_html_7f8f5c2f.png


Преобразования графиков.


1) Параллельный перенос вдоль оси ординат. Для построения графика функции f (x) +b, где b постоянное число, надо перенести график f на величину b вдоль оси ординат.

hello_html_m1d123515.png

Пример. Построим графики функций: a) y = sinx + 2, б) у=х2–5.

а) В соответствии с правилом переносим график функции y= sinx вверх по оси Оу на 2 единицы (рис. 3).

б) Построение осуществляется переносом параболы у = х2 вниз по оси Оу (рис. 4).

hello_html_mc999033.png

2) Растяжение вдоль оси Оу с коэффициентом k.

Для построения графика функции у = kf (x) надо растянуть гра­фик функции y = f(x) в k раз вдоль оси ординат.

Примеры. Построим графики функций у=2

и у = — cos х.

Построение осуществляется в первом случае из графика функ­ции у = х2 (рис. 5), а во втором случае сначала строим график функ­ции y = cos х, затем воспользуемся растяжением вдоль оси ординат с коэффициентом 1/3 (рис. 6).

hello_html_m59125a90.png


3) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на вектор (а; 0) за­дается формулами х1=х + а;

у1 = у


Примеры. Построение графика функции у =hello_html_m3dc6ac03.gif показано на рисунке 7.

Построение графика функции y = cos (xπ/4) показано на рисунке 8.


hello_html_m254f7ea8.png


4) Растяжение вдоль оси абсцисс Ох с коэффициентом k задается фор­мулами х1 = kх

у1 = у.

Примеры. Построение графиков функций y = cos 2x

и у = sin х/3

показано на рисунках 9 и 10.

hello_html_m72b54994.png













Отчетливое выявление основных свойств, позволяющих достаточно наглядно судить о ее поведении, называют исследованием функции.

В стандартную схему исследования функции обычно включают следующие пункты.

1. Область определения функции.

2. Нули (корни) функции.

3. Промежутки знакопостоянства.

4. Точки экстремума функции.

5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность) функции.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

7. Множество значений функции.

Дадим краткое описание тех понятий, которые включены нами в схему исследования функции.

Область определения – множество значений аргумента, при которых задана функция. Если функция задана формулой, то имеется в виду ее естественная область определения, т. е. множество чисел, к которым применима данная формула.

Примеры:

hello_html_m658b9519.png

Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0.

Примеры:

hello_html_m408d69f.png

Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых функция положительна или отрицательна, или, иначе, решения неравенств f(x) > 0 и f(x) < 0.




Примеры:

hello_html_m30a17944.png

Точки экстремума – точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большое (максимум) или самое малое (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.


Примеры:

hello_html_m326aa92a.png

Промежутки возрастания и убывания – интервалы, на которых функция или возрастает, или убывает. Слова “возрастание” и “убывание” функции иногда заменяют одним словом – “монотонность” функции.

Примеры:

hello_html_m3e38cbde.png

Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое или самое маленькое значение функции по сравнению со всеми возможными (в отличие от экстремумов, где сравнение ведется только с близкими точками).

Примеры:

а) y = 1 – x; функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

б) y = –x, x hello_html_m7cb53dec.gif [–1; 1]; наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(–1) = 1 – наибольшее значение; y(1) = 1 – наименьшее значение.

в) y = x2 – 1; наименьшее значение функция принимает при x = 0,

y(0) = –1. Наибольшего значения у функции нет.

г) y = –x2 + 2x, x hello_html_m7cb53dec.gif [1; 3], наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах промежутка: y(1) = 1 – наибольшее значение;

y(3) = –3 – наименьшее значение.

Множество значений функции – множество чисел, состоящее из всех значений функции.

Примеры

а) y = –x, Е: R, или y – любое число.

б) y = –x, x hello_html_m7cb53dec.gif [–1; 1]. Е: [–1; 1].

в) y = x2 – 1, E: [–1; +¥ ).

г) y = –x2 + 2x, x hello_html_m7cb53dec.gif [0; 3], Е: [–3; 1]


Построим:

для построения графика функции y = |f(x)| для всех x из области определения, надо ту часть графика функции y = f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (f(x) < 0), отразить симметрично этой оси.

Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

Пример: y = |x2 - 4|.

Строим график функции y = x2 – 4

hello_html_cc4c12c.png

Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения графика такой функции. Его можно легко довести до автоматизма. Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо чередовать построение графиков вида y = f(|x|) и y = |f(x)|.

С построением графиков зависимостей вида |y| = f(x) учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо такие графики вызывают наибольшие затруднения. Учитывая, что в формуле |y| = f(x) f(x) ≥ 0 и на основании определения модуля

hello_html_7eacb8b5.pnghello_html_m2d5f997a.png

Правило: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости |y| = f(x) состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Обобщение и систематизация изученного материала:

  1. Что включает в себя исследование функции?

  2. Какие свойства функции вам известны?

  3. Что такое график функции?

  4. Какие преобразования графика вам известны?

  5. Что такое функция?

  6. Что такое область определения и область значений?

  7. Что такое график функции?

  8. Какие преобразования графика вам известны?


Подведение итогов: сегодня мы с вами разобрали понятие функции, ее свойства, графики функций, способы построения графиков функций и преобразование графиков. Научились применять свойства функций при решении примеров. Спасибо за внимание




Автор
Дата добавления 17.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров63
Номер материала ДБ-359322
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх