Конспект лекций по математике для СПО

  Министерство образования и науки Челябинской

области государственное бюджетное

 образовательное учреждение

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по дисциплине Математика

Преподаватель математики

Н.А. Полоскова

Челябинск

2014г.

СОГЛАСОВАНО:                          

Председатель цикловой                                           

методической комиссии              _____________________/____________

«__»___________20___г.                                      

«Конспект лекций» предназначен для начинающих преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений. И преподаватели, и студенты знают, насколько отличаются «живые» лекции по курсу математики от учебников по тому же курсу. Данный «Конспект лекций» позволяет заполнить этот пробел. Краткость и сжатость сочетаются с достаточным уровнем строгости и полноты изложения материала.

Подготовила: Полоскова Н.А., преподаватель математики

«Южно-Уральский многопрофильный колледж»

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ	4
Раздел I. Алгебра	5 – 95
1.1. Тождества сокращенного умножения	5
1.2. Действительные числа	6
1.3. Функция и её свойства	8
1.4. Уравнения и неравенства	18
1.4.1. Системы линейных неравенств	23
1.4.2. Системы линейных уравнений	26
1.4.3. Квадратные уравнения	34
1.4.4. Уравнения, приводимые к квадратным	38
1.4.5. Неравенства второй степени	41
1.5. Степени	45
1.5.1. Степень с произвольным  действительным показателем	45
1.5.2. Показательная функция	48
1.6. Логарифмы	52
1.6.1. Логарифмическая функция	52
1.6.2. Свойства логарифмов	54
1.6.3. Показательные и логарифмические неравенства	55
1.6.4. Логарифмические уравнения	56
1.6.5. Показательные уравнения	58
1.7. Тригонометрия	63
1.5.1. Радианное измерение углов	63
1.5.2. Периодичность тригонометрических функций	71
1.5.3. Формулы приведения	72
1.5.4. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов	75
1.5.5. Тригонометрические функции двойного аргумента	76
1.5.6. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций	76
1.5.7. Графики тригонометрических функций	78
1.5.8. Обратные тригонометрические функции	83
1.5.9. Тригонометрические уравнения	86
Раздел II. Элементы математического анализа	95 – 162
2.1. Пределы	95
2.1.1.Предел функции в точке и на бесконечности	95
2.1.2. Непрерывные функции	96
2.1.3. Вычисление пределов	97
2.2. Производная	100
2.2.1.Приращение аргумента и приращение функции	100
2.2.2. Производная функции. Правила дифференцирования	101
2.2.3. Производные высших порядков	112
2.2.4. Вычисление производной по правилу Лопиталя	114
2.2.5. Исследование функций с помощью производной	114
2.3. Дифференциал функции	123
2.4. Интеграл	124
2.4.1. Неопределенный	124
2.4.2. Определенный	129
2.5  Комплексные числа	134
2.5.1. Алгебраическая форма комплексного числа	137
2.5.2. Тригонометрическая форма комплексного числа	144
2.5.3. Показательная форма комплексного числа	147
2.6.  Ряды.	150
2.6.1. Понятие числового ряда	150
2.6.2. Признаки сходимости числовых рядов	151
2.6.3. Функциональные ряды	155
2.6.4. Степенные ряды	156
2.6.5. Тригонометрические ряды	158
2.6.6. Разложение в ряд Фурье	160
Раздел III. Элементы аналитической геометрии на плоскости	162 – 174
3.1. Векторы. Действия над векторами.	162
3.2. Метод координат	166
3.3 Уравнения прямых	167
Раздел IV. Элементы стереометрии	174 – 214
4.1. .Прямые и плоскости в пространстве	174
4.1.1.Основные понятия и аксиомы стереометрии	174
4.1.2. Параллельность прямой и плоскости. Параллельные плоскости	178
4.1.3. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярные плоскости	185
4.1.4. Двугранные и многогранные углы	189
4.2. Многогранники и площади их поверхностей	193
4.2.1. Многогранники и их основные свойства	193
4.2.2. Призма	195
4.2.3. Параллелепипед	196
4.2.4. Пирамида	197
4.3. Фигуры вращения и площади их поверхностей	193
4.3.1.Цилиндр, конус, площади их боковых поверхностей	194
4.3.2. Шар и сфера. Площадь поверхности сферы	195
4.3.4. Уравнение сферы	199
4.4. Объёмы многогранников и тел вращения 4.4.1.  Решение задач Раздел V. Элементы комбинаторики  Раздел VI. Элементы теории вероятности 6.1. Вычисление вероятностей событий 6.2.Теоремы сложения вероятностей 6.3. Теоремы умножения вероятностей 6.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 6.5. Треугольник Паскаля. Раздел VII. Статистика 7.1.Генеральная и выборочная совокупность 7.2. Статистическое распределение выборки 7.3.Дискретная случайная величина 7.4. Полигон и гистограмма	200 202 208 216 218 223 224 225 227 228 228 230 231 234
ЛИТЕРАТУРА VII	235

ВВЕДЕНИЕ

Конспект – это наиболее совершенная форма записей. Это слово произошло от лат (conspectus), что означает обзор, изложение.

В конспекте сосредоточено самое главное, основное в изучаемой теме, разделе или произведении. В нем сосредоточено внимание на самом существенном, в кратких обобщенных формулировках приведены важнейшие теоретические положения.

Настоящий курс лекций предназначен для студентов средних специальных учебных заведений и построен в виде системы уроков. Конспект обеспечивает доступное для студентов обобщение учебного материала, понимание общих принципов и законов, лежащих в основе изучаемых математических фактов, осознание тех связей, которые существуют между рассматриваемыми явлениями. Этим целям отвечает не только содержание, но и система расположения материала в курсе.

Конспект содержит необходимый материал  практически по всемтемам курса математики, которые обычно изучаются студентами. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке. Учебный материал чётко дозирован по каждому занятию. Такое построение помогает студентам изучать многие вопросы самостоятельно, особенно если студентом пропущено какое-либо конкретное занятие. Конспект лекций соответствует программе по математике для студентов средних профессиональных заведений.

В настоящее время изданы и широко используются в ССУЗах добротные учебники по математике. Настоящий курс с одной стороны – альтернатива этим учебникам, с другой – глубокое дополнение. Этот курс будет полезен начинающим преподавателям, осваивающих преподавание математики в техникумах и колледжах. Изложен материал первого  и второго семестра, разрабатываются темы  разделов «Теория вероятностей и математическая статистика», «Объёмы многогранников и тел вращения», «Кривые второго порядка». Пособие поможет студентам освоить курс математики, подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов по дисциплине.

Раздел I.  АЛГЕБРА

1.1.     Тождества сокращенного умножения

Тождества сокращенного умножения

Понятие действительного числа возникло в результате расширения понятия рационального числа. К понятию действительного числа подошли ещё древнегреческие математики в своей теории несоизмеримых отрезков, но как самостоятельное понятие оно было сформулировано впервые в XVIII в. И. Ньютоном(1643-1727). Строгие теории действительных чисел были построены в конце 19в. немецкими математиками Г. Кантором(1845-1918), Р. Дедекиндом(1831-1916) и К. Вейерштрассом (1815-1897).

Сократить дробь:

1.	8.	15.
2.	9.	16.
3.	10.	17.
4.	11.	18.
5.	12.	19.  при
6.	13.	20.  при
7.	14.	21.

1.2.Действительные числа

Цель урока: расширить понятие числа, ввести иррациональные числа, дать определение множества действительных чисел. R

Ход урока:

       I.      организационный момент

    II.      Повторение:

1. Какая дробь называется десятичной?

2. В чем состоит основное свойство дроби?

3. Какую обыкновенную дробь нельзя обратить в конечную десятичную?

4. Как сравнить положительные и отрицательные числа?

 III.       Изложение материала:

1.     N= {1; 2; 3 ;…} – множество натуральных чисел.

2.     Z­_c= {0; 1; 2; …} – множество целых неотрицательных чисел.

3.     Z={…;-3;-2;-1;0;1;2;3;…} – множество целых чисел.

4.     Q= {m/n, где mЄ Z, n ЄN} – множество рациональных чисел.

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби:

            1/4=0,25=0,25000…

            5/9=0,555…

Начиная с некоторого числа, все знаки у этих дробей начинают повторяться такие десятичные дроби получили название бесконечные периодические дроби.

Определение:бесконечная десятичная дробь а₀, а₁, а₂ называется периодической, если существуют такие натуральные числа N и P, что a_n+p=a_n, для любого n ≥ N.

Например:

1.      0,555…, положив N=1, P=1 имеем a_n+1=a_n=5 для любого n ≥ 1

2.      0.2500…, положив N=3, P=1, получим a_n+1=a_n=0 для любых n ≥ 3

3.      -3.125787878…, положив N=4, P=2, получим a_n+2=a_n для любых n ≥ 4 a_n=7 при четных n и a_n=8 при нечетных n.

Запись бесконечных периодических дробей:

               6,25000…=6,25(0)

               0,555…=0,(5)

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например:

5/11=0,(45)

Каждая бесконечная дробь представляет собой рациональное число.

Например:

      0,3272727…=0,3+0,027+0,00027+…=0,3+0,027(1+0,01+(1/10)²+(1/100)³+…)

      (-1)S=1+1/100+1/100²+1/100³+…

      100S=100+1+1/100+1/100²+1/100³+…

            99S=100 =› S=100/99 =› 0.327(27)=3/10+27/1000=3/10+27/990

Определение: рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби.

Существуют числа, которые не являются рациональными. Например: √2

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство: пусть любое рациональное число, квадрат α=2, представим его несократимой дробью m/n, тогда имеем: (m/n)²=2  =› m²/n²=2  =› m²=2n²=› m² – число четное  =› m – четное.

Если бы m=2k+1, то m²=(4k²+4k)+1 – нечетное, т.к (4k²+4k) –четное.

Но, если m – четное число, то m=2k=› 4k²=m²=› 4k²=2n²=› n²=2k²=› n² – четное  =› n – четное.

Значит m и n – четные, а это противоречит тому, что дробь m/n – несократимая  =› не существует квадрата α=2 =› √2 нельзя представить в виде рационального числа m/n, т.е что оно не является рациональным и его нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Определение: множество всех бесконечных десятичных дробей называется множеством десятичных чисел.

Десятичные числа, не являются рациональными, называются иррациональными.

Определение:Иррациональные числа – бесконечные не периодические десятичные дроби.

=1,41421356…

π=3,14159…

Р-м 2 действительных числа: х=а₀, а₁, а₂, а₃ и у=b₀, b₁, b₂, b₃. Числа х и у называются равными, если равны их целые части и соответствующие десятичные знаки, т.е х=у, если а_i=b_i, i=0, 1, 2, 3, 4,….

Если целые части различные или одна дробь имеет десятичный знак, не совпадающий с десятичным знаком другой дроби, то эти 2k числа считаются не равными.

III.Закрепление:

         2.44а; 2.45 а,в,ж,и; 2.47а,в; 2.49а,в,д,ж

IV. Д/З:

            Глава II §8 п1-3, №2.44б; 2.45б; 2.47б,г,д; 2.49б,г,е,з.

Числовая прямая; числовые промежутки; окрестность точки.

Цель урока: дать определение: числовой оси; интервала; рассмотреть виды интервалов; окрестность точки и абсолютной величины числа. Закрепить материал при решении упражнений.

Ход работы:

             I.      Организационный момент

          II.      Проверка домашнего задания

       III.      Повторение: Правила обращения периодической дроби в обыкновенную.

       IV.      Изложение нового материала:

Определение: Числовая ось – прямая линия, на которой указывается начало отсчета длин, масштаб и направление отсчета.

Точки числовой оси, изображающие рациональные числа, называются рациональными точками.

Как бы близко друг к другу ни лежали 2 рациональных точки А и В между ними обязательно лежит еще бесконечно много рациональных точек.

A         C1CC2B	Пусть даны т.A и т.B с координатами соответственно a  и  b т.С  делит  AB  пополам.  т.С1  делит  AC,  т.С2  делит CB. Этот процесс может продолжаться до ∞.
a                  b

Определение: Интервалом называется множеством всех действительных чисел (точек), заключенных между двумя какими-нибудь числами (точками), называемыми концами интервала.

a<x<b – (a;b) – открытый интервал

a≤x≤b – [a;b] – закрытый интервал (сегмент)

1.3.Функция и её свойства.

Понятие «функция» возникло в математике в связи с потребностью практики. С развитием материалов, машиностроения, астрономии, механики, кораблестроения и др. технические науки в XVII – XVIII в. Математический аппарат способен списывать различные процессы и явления. Это привело к появлению величины и функции. Идея зависимости величины восходит к древнегреческой науке. Общее понятие функции было введено немецким философом и математиком Г. Лейбницем (1646 – 1716). П. Ферма и Р. Декарт показали, как представлять функции аналитически. Декарт ввел в математику понятие  переменной  величины.  Строгое  определения  функции   ввел И.Бернулли (1667 – 1748),  а  затем  его  ученик,  член  Петербургской  Академии  наук  Л.Эйлер (1707 – 1783) ввел обозначение f(x).

Большой вклад в развитие понятие функция внесли Фурье, Лобачевский, Дирихле и др.

Область определения, область изменения, возрастание и убывание функции

Цель урока: обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся знания о функциях. Дать понятие об обратной и сложной функциях.

Ход работы:

             I.      Организационный момент

          II.      Проверкадомашнего задания

       III.      Повторение. Квадратные неравенства и их решение

       IV.      Изложение нового материала:

Определение: Переменная величина у называется функцией от переменной х, если каждому достимому значению х поставлено в соответствие вполне определенное значение у.

Определение: областью определения функции называются все те значения, которые принимает аргумент данной функции (множество тех значений которые принимает аргумент х).

Функции	Правила записи	Область определения функции
1 S круги –есть функция R S=f(R)	S= πR2	R>0
2 V при равномерном движении Есть функция времени V=f(t)	V=const	t>0
3 V шара – есть функция R V=f(R)	V=4/3πR3	R>0

Например:

1.                       х≠2     Д(f)=(-∞;2)U(2;+∞)

2.                          Д(f)=[0;+∞)

3.

   +                     +       1. (2х²-5х-3)>0         Д=49

         0,5            3               Ответ: Д(f)= (-∞;0,5)U(3;+∞)

Определение: множество всех значений функции называется областью изменения функции и обозначается Е(f)

1.      y=sinx                    E(f)=[-1;1]

2.      y=(x-3)²-1             E(f)=[-1;+ ∞)

3.      y=-(x+2)²+5          E(f)=(-∞;5]

Способы задания функции:

1.      Табличный способ – задание функции с помощью таблицы.

х	Х	х1	х2	…	хn
f(х)	У	у1	у2	…	уn

2.      Аналитический способ – задание функции с помощью формулы

3.      Графический способ – с помощью графика

4.      Словесный (описательный) способ – задание функции словами

5.      Полуграфический способ – смешанное задание функции. Например: аргумент задан в виде чисел, а функция – в виде отрезков.

Основные свойства функции.

 I.      Возрастание и убывание функции:

Определение:

х1    х2

Функция у=f(х) называется монотонно возрастающей на данном интервале (a;b) если для любых х1Є(a;b) и х2Є(a;b) выполняется условие х2>х1, то у2>у1, и наоборот х1<х2, то у1<у2 (большему значению аргумента соответствует большему значение функции и наоборот)

Определение:Функция f(х) называется монотонно убывающей на интервале (a;b), если для любых х₂Є(a;b) и х₁Є(a;b) выполняется условие х₂>х₁, то f(х₂)<f(х₁) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Например

=› функция возрастает.

=› функция убывает.

          II.      Ограниченность функции:

Определение:Функция f(х) называется ограниченной сверху на интервале (a;b), если существует точка М такая, что для любых х Є(a;b) выполняется условие f(х)<М

^у

 М                у>М  

                     у<М            Неравенству у<М удовлетворяют точки находящейся ниже

прямой.

f(х)                 _х

Определение: Функция f(х) называется ограниченной снизу на интервале (a;b), если существует точка М такая, что для любых х Є(a;b) выполняется условиеf(х)>М

 

М                    f(х)

Определение:Функция f(х) просто ограничена на интервале (a;b), если она ограничена и сверху и снизу на этом интервале.

Например

1.       Какое  значение  функции  соответствует  число  3?

у=f(х)=f(3)= -5,375

2.      Дана функция  найти у(-2), у(0), у(3)

У(-2)=25 у(0)=1           у(3)=-5

3.      Найти область определения функции 

   Д(f) (0;+ ∞)

х-2≠0        х≠2           Ответ: (0;2)U(2;+ ∞)

4.      Найти область определения функции

1.      (-∞;+∞)

2.      (0,5; +∞)

3.                  (-∞;1)U(1; +∞)

4.              (-5; +∞)

Определение:Для любой функции у=f(х) существует обратная, чтобы её найти, надо из уравнения у=f(х) выразить х через у             (х=f^-1(у)).

Например:

                                          

Д/З:

 Глава 4 §15 п.1, 3-5 №4.1 №4.2

Основные свойства функций

Цель урока: Продолжать изучать понятие функции, рассмотреть основные свойства, научить учащихся читать свойства функций по их графикам.

Ход работы:

 I.      Организационный момент

II.      Проверка домашнего задания

III.      Повторение

IV.      Изложение нового материала:

Определение: Графиком функции у=f(х) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют равенствуу=(f)

Четность и нечетность функций

Определение:Функция у=(f) называется четной, если при всех значениях х из области её определения выполняется равенствоf(-х)=f(х)

Например:

1.      у=х² – четная                    f(-х)=(-х)²=х²

2.      у=2х⁴-3х² – четная           f(-х)=2(-х)⁴-3(-х)²=2х⁴-3х²

^М  _b ^{у            М}             Особенность графика четной функции в том, что он

  симметричен относительно оси у.

-α           α_х

Определение:Функция у=f(х) называется нечетной, если при всех значениях х из области её определения выполняется равенство f(-х)= -f(х)

_b^у_МОсобенность графика в том, что он симметричен 

-α             α    _хотносительно начала координат.

	-b М

 

Определение: Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

f(х)=х²- 3х     х²-3х=0       =›        х(х-3)=0         =›        х=0    х=3

f(0)=0    ;    f(3)=0

Периодичность функций

Определение:Функция у=f(х) называется периодической, если существует такое число  Т≠0, что при всех значения х из области определения выполняется равенство:

f(х+Т)=f(х),  где Т называется периодом функции.

1.                            Т=2π; 360°                          

2.                              Т= π;180°                             

Если Т₀ – наименьшее положение периода функции f, то любой её период выражается формулой Т=nТ₀, где n – целое ≠0 число.

       ^у   Т=1        Чтобы построить график периодической функции, надо построить

_{-3 -2 -1 0 1  2  х} его для наименьшего положения периода и затем перенести его параллельно самому себе.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.

·        Периодичностью отличаются движение различных частей машин, станков и др. механизмов (маховик, коленчатый вал)

·        Периодичностью отличаются явления связанные с движением Земли и др. небесных тел: повторяемость времен года, солнечные и лунные затмения, приливов и отливов и т.д.

·        Все многообразие звуковых явлений связано с периодическими процессами, а именно с периодическими колебаниями среды, в которой распространяется звук.

·        Работа радио связана с периодическими процессами, сами его детали неподвижны, но зато с огромной частотой меняется в его цепях сила и напряжение электрического тока.

V.      Закрепление:

1.            Какие из следующих функций являются строго монотонными, кусочно-монотонными, неубывающими, невозрастающими:

а)                  в)                      д)

б)                                  г)                                    е)

2.            Какие  из следующих функций являются четными, нечетными или же ни теми, ни другими:

а)                                  б)         в)

3.            Найти корни функции:

                                           Ответ: (0;1;2)

4.            Дана функция на промежутке [1;3]. Найти функцию, обратную данной, и область её определения.

х=     =›  =1 =›  4у+3=4   =› у=       

            =›=3 =›  4у+3=12 =› у=                      у Є[;]

№4.6   Найти функцию обратную данной:

а)           б) у=   в) у=             г) у=х²

№4.9   Какая из следующих функций  возрастающая при х>0

         а)                                   б)                                    в

№4.10  Какая из следующих функций убывает при х<0

         а)                                 б)                                в) у=

Д/З: 

         Глава 4 §15 п6-8 №4,11 а,б

Преобразование графиков функций

Цель урока: Познакомить учащихся с простейшими преобразованиями графиков функций.

Ход работы:

             I.      Организационный момент

          II.      Проверка Д/З

       III.      Повторение

       IV.      Изложение нового материала:

Р-м преобразования графиков не изменяющих масштаб графика:

1.      Параллельный перенос (сдвиг) графика функции вдоль оси абсцисс.

График функции у=f(х+а) получается из графика функции у=f(х) с помощью параллельного переноса последнего вдоль оси ОХ на |а| единиц  масштаба в направлении, имеющий знак, противоположный знаку числа а.

   у=(х+2)²у=(х-2)²

у=х²

2.      Параллельный перенос (сдвиг) графика функции вдоль оси ординат.

График функции у= f(х)+b получается из графика функции у=f(х) с помощью параллельного переноса последнего вдоль оси ОУ на |b| единиц масштаба в направлении имеющем знак числа b.

                                            х²+2                                                                                                    у = х + 2

 

у = х²-2

   у = х²у                                                                                                                  

                                                                                                                                                                    у = х - 2

                                                                                                                        у = х

3.           График функции у=f(х+a)+b, где f(х) – простая функция, получается из графика функции у=f(х) с помощью параллельного переноса последнего вдоль оси ОХ на |a| единиц масштаба, а вдоль оси ОУ на |b|.

Например:у= (х-2)²+1   

4.           Симметрия графика функции относительно оси абсцисс.

    График функции у= -f(х) симметричен графику у=f(х) относительно оси ОХ.

       ^у                 

у = f(х)

                                      _х

 у = -f(х)

Рассмотрим преобразования графиков функций, изменяющие масштаб графика.

5.            Растяжение или сжатие графика функции по оси абсцисс.          

График функции у=f(kх) получается из графика функции у=f(х) с помощью растяжения или сжатия последнего по оси ОХ пропорционально коэффициенту k, причем если k>1, то график сжимается в k раз, а если 0<k<1, то график растягивается в 1/k раз.                    

у=2х²

у=х²

у=0,5х²

                    

y=sinx

y=0.5sinx

График функции у=mf(х) получается из графика функции у=f(х) с    помощью растяжения или сжатия последнего по оси ОУ                                                       пропорционально  коэффициенту m, причем если m>1, то график    растягивается в m раз, а если 0<m<1, то график сжимается в 1/m раз.

Рассмотрим построение графиков функций, аналитическое выражение, которых содержит знак модуля.

6.            Построение графика функции у=f(|х|).

Для построения этого графика нужно построить график функции у=f(х) для х≥0. затем отобразить ей симметрично относительно оси ОУ.

_у=f(|х|)                  

7.            Построение графика функции у=|f(х)|.

Для построения графика нужно построить график функции у=f(х) и отобразить относительно оси ОХ те части графика, которые расположены ниже этой оси.

Например:  у=|х²-3х|

х₀=1,5

у₀=-2,25

х=0, х=3                                                                                                   ^{0      3}

          V.      Закрепление:

Построить график функции и привести план построения:

1.                          ^{у=|х|                                          у=||х|-1|}                                 у=|х²-3|

2.                  ^у=|х|-1

3.     

4.     

5.     

6.                

а) k=2, a=-3, b=2                                       

б) k=-0,5, a=4, b=-3

Д/З

Глава 4 §15№4.3 а,в,г,д №4.4б 4.5 №5.31 №5.35 №5.36

Степенная функция. Её свойства и графики

Цель урока: Познакомить учащихся со свойствами функций: у=хⁿ, где n=2k и n=2k-1, у=х ^-2k, у=х ^-(2k-1), 

Ход работы:

             I.      Организационный момент

          II.      Проверка домашнего задания

       III.      Повторение

      IV.      Изложение нового материала:

у=хⁿ, где n=2k;  n=2                                                                            у=хⁿ, где n=2k-1;  n=3

 

1. Д(f)= (-∞;+∞)                                                                       1. Д(f)= (-∞;+∞)

2. Е(f)= [0; +∞)                                                                         2. Е(f)= (-∞;+∞)

3. нули функции

у=0, х=0                                        |                                  у=0, х=0

                     Графики функций проходят через начало координат.

4. Интервалы знакопостоянстве

у>0,  х Є(-∞;0)U(0+∞)                        |                       у>0 х Є(0+∞)   у<0 х Є(-∞;0)

5. Четность и нечетность

f(-х)=(-х)²=х² – четная                        |                                   f(-х)=(-х)³=-х³ – нечетная

6. Интервалы возрастания и убывания функции

у↑ х Є(0+∞)                                                    у↑ х Є(-∞;+∞)     

у↓ х Є(-∞;0)    

7. Наибольшее и наименьшее значение функции

у_наим.=0 при х=0                                            |                                  нет наим. и наиб. значения

8. Ограниченность и неограниченность функции

ограниченная                                                                        неограниченная

9. у=х^2k – непрерывная                                                                   9. у=х^2k-1 – непрерывная

10. Название графика

парабола                                                               |                            кубическая парабола

 

у=х^-2k  ;  у=1/х^2k                                                                 у=х^-(2k-1)  ;   у=1/х^2k-1

1. Д(f)= (-∞;0)U(0+∞)                                                                     1. Д(f)= (-∞;0)U(0+∞)

2. Е(f)= (0; +∞)                                                                                  2. Е(f)= (-∞;+∞)

3. у≠0, х≠0                                                                                          3. у≠0, х≠0

4. у>0,  х Є(-∞;0)U(0+∞)                                                                 4. у>0 х Є(0+∞)       у<0 х Є(-∞;0)

5. функция четная                                                                           5. функция нечетная

6. у↑ х Є(-∞;0)                                                                       6. у↑ ---

    у↓х Є(0+∞)                                                                        у↓ х Є (0;+∞) U(-∞;0)

7. ---                                                                                                    7. ---

8. ограниченная                                                                               8. ограниченная

9. прерывная                                                                                     9. прерывная

10. у=х^-2k                                                                                            10. гипербола

    у=^2k√х                                                                                 у=^2k-1√х

 

1. Д(f)= [0;+∞)                                                                                  1. Д(f)= (-∞;+∞)

2. Е(f)= [0; +∞)                                                                                  2. Е(f)= (-∞;+∞)

3. у=0, х=0                                                                                          3. у=0, х=0

4. у>0,  х Є(0;+∞)                                                                              4. у>0 х Є(0;+∞)    у<0 х Є(-∞;0)

5. функция четная                                                                           5. функция нечетная

6. у↑ х Є(0;+∞)                                                                                  6. у↑ х Є(-∞;+∞)                

7. наименьшее значение у=0, х=0                                    7. ---

8. ограниченная                                                                               8. неограниченная

9. непрерывная                                                                                 9. непрерывная

10.                                                                          10.

Функция у=kх+b

k>0                                                                                                               k<0

               b                                                                                            b

         -b/k                                                                                                        -b/k

1. Д(f)= (-∞;+∞)                                                                                1. Д(f)= (-∞;+∞)

2. Е(f)= (-∞;+∞)                                                                                 2. Е(f)= (-∞;+∞)

3. у=0, kх+b=0 х=                                                3. у=0, х=

     х=0; у=b                                                                                             х=0; у=b

4. у>0  х Є(;+∞)                                                               4. у>0 х Є(-∞;)

    у<0  х Є(-∞;)                                                                               у<0 х Є(;+∞)

5.  ни четная, ни нечетная                                                  5.  ни четная, ни нечетная

6. у↑ х Є(-∞;+∞)                                                                                6. у↓ х Є(-∞;+∞)                 

7. ---                                                                                                    7. ---

8. неограниченная                                                                           8. неограниченная

9. непрерывная                                                                                 9. непрерывная

10. прямая                                                                                         10. прямая

Функция у=aх²+bх+c

               a>0                                                                                                               a<0

                    у                                                                                                                                    у

                                                                                                                                                                           у₀

                                                                                                                                                                                                                   х

                                                                                                                                                                    х₁             х₀                 х₂

                 х₁           х₀      х₂       х                                                                                                                                                      

                       у₀

1. Д(f)= (-∞;+∞)                                                                                1. Д(f)= (-∞;+∞)

2. Е(f)= [у₀; +∞)                                                                                 2. Е(f)= (-∞; у₀]

3. у=0  х=х_1,2                                                                           3. у=0   х=х_1,2

    х=0  у=c                                                                                              х=0   у=c

4. у>0 х Є(-∞;х₁)U(х₂; +∞)                                                               4. у>0 х Є(х₁; х₂)   

    у<0 х Є(х₁; х₂)                                                                                   у<0 х Є(-∞;х₁)U(х₂; +∞)

5 ни четная, ни нечетная                                                    5.  ни четная, ни нечетная

6. у↑ х Є(х₀;+∞)                                                                                 6. у↑ х Є(-∞;х₀)

у↓ х Є(-∞;х₀)                                                                           у↓ х Є(х₀;+∞)

7. у_наим.=у₀                                                                                          7. у_наиб.=у₀

     х_наим.=х₀                                                                           х_наиб.=х₀

8. ограничена снизу                                                            8. ограничена сверху

9. непрерывна                                                                                   9. непрерывна

10. парабола                                                                                      10. Парабола

1.4. Уравнения и неравенства

Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух линейных уравнений, из которых одно – второй степени. За 200 лет до нашей эры китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Основоположником алгебры считается среднеазиатский учёный Мухаммед аль-Хорезми, который в XIX в. написал первый алгебраический труд, переведенный на латинский язык в XII в.. Большой вклад в развитие алгебры внесли среднеазиатский философ, астроном и математик аль-Бируни (973-1048), классик иранской и таджикской поэзии, выдающийся учёный Омар Хайям (1048-1526) и Н. Тарталья (ок. 1500-1557), Дж. Кардано (1501-1576), Л. Феррари (1522-1565). Сложность правил для решения уравнений привела к усовершенствованию уравнений. В конце XVI в. Французский математик Ф. Виет (1540-1603) ввел буквенные обозначения, а в середине XVIII в. Алгебраическая символика приобретает вид, близкий к современному, благодаря выдающемуся французскому учёному Декарту (1596-1650).

Равносильность  уравнений, неравенств, и их систем

Цель урока: Углубить знания учащихся в решении линейных уравнений, неравенств и их систем.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Изложение нового материала.

Определение: Равенство двух функций называется уравнением f(x)=g(x)

Определение: Алгебраическое уравнение с одним неизвестным называется, уравнениемI степени, если обе его части являются многочленами I степени относительно неизвестного  5х=6-х  ;    2х-1=3х-5

Определение: Значения неизвестного, которые обращают уравнение в верное равенство,называются решением или корнями уравнения.

- Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Определение: Два уравнения называются равносильными, если множество решений одного является множеством решений другого.

1) 

2)

3)

Определение: Два выражения связанные знаком > или < называется неравенствами.

1)

Решить неравенство, содержащее неизвестную величину – это значит найти все те значения величины, при которых данное неравенство верно (справедливо)

Определение: Два неравенства с одной переменной называются, равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений),

Например: равное-нысвойства неравенства.

1

2 ; умнож. или раздел. на

3) , умнож. или раздел. на

Например: 1

2)

нет решения

3

4) <3х-│·4

5) ≥ 0

 

а)                 или

                       или  

х є (8;+∞)                                              х є (-∞;-11)

Ответ:  х є (-∞;11]  U (8;+∞)

б

            -11          8

в

                9                                                 7

Ответ: х є [7;9]

Определение: Cистемой уравнений называется несколько уравнений, рассматриваемых совместно.

Определение: Решением системы уравнений называется набор чисел, которые будучи подставлены вместо неизвестных, обращают все уравнения системы в верные равенства

4. Самостоятельная работа на уроке.

1.

2

3.

5

а)

б), х=-

в) 3+х=2х+3                                  х=0

г)> 2           (;∞)

д)<2    (-5;11)

   Д/з  теория

Линейные уравнения и неравенства

Цель урока: Углубить знания учащихся в решении линейных уравнений инеравенств.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Повторение:

1.      Что такое уравнение?

2.      Уравнение 1 степени?

3.      Что называется решением уравнения?

4.      Какие уравнения называются равносильными?

5.      Что такое неравенство?

6.      Что значит решить неравенство?

7.      Какие неравенства называются равносильными?

4. Решение примеров.

1)

2)

3)

4)>2     х є (;∞)

5)

6

7)

8)

9.  Решить графически 

<=>

у₁ =│х-1│ <=>

у₂ =2  

                             у

                             2

                      -1          3                 х

10

11.

12

13

14

15

16

17. 

Д/З:

1) =3

2)

3

4)

5

§13 п1,2,4 

Системы линейных неравенств с одной переменной

Цель урока: Углубить знания учащихся в решении систем линейных неравенств с одной переменной. Научить геометрически интерпретировать решения системы двух линейных неравенств  с двумя переменными.

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Повторение  1. Определение неравенства.

Определение: Системой линейных неравенств называется совокупность двух или более неравенств содержащих одну и ту же неизвестную величину.

Решить систему неравенств – это значит найти все значения неизвестной величины, при которых верно каждое неравенство.

1

нет решений

2.  

N3.36

а)   б) 

в)  (-;2)        г)

3.     

4

5.   

7.      Найти целое решение неравенства.

7

8.

9.  Найти целое решение системы.

10.       Изобразить на координатной плоскости хоу множество решений системы  неравенств

                                                                                     

                                       у                                                       у             

                                        3                                                                          3

                        - 3           0                х                                                                      3           х

Найдем пересечение этих множеств                          у

                                                                                                      3

                                                                                         -3      0          3        х

                                         х=2                                х

11.                                                                                                     

                              2                                          у

Ответ: все точки плоскости, лежащие одновременно правее прямой х=2, на прямой у=1 и ниже ее.

12.                                                         у

                                                           -1

                                                                                   х

                                                                    -1

Ответ:  все точки плоскости лежащие одновременно ниже у=х+1 и у=х-1.

 

13.  

14                                              2               

Апанасов стр 6

29

28       (-∞;-3)

29.(-∞;-8)

35

Д/з Богомолов §13 п 1,2,4

  § 13 п 5

1.   (-∞;0,2)

2      (5;+ ∞)

3.   6.

4.  нет решения  

5.(-∞;-4)

Системы линейных уравнений и методы их решения

Цель урока: повторить известные учащимся способы решения систем  линейных уравнений с двумя неизвестными.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Изложение нового материала.

Определение: Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется совокупность уравнений вида:   

                                                       а₁ х+в₁ у=с₁

                                                       а₂ х+в₂ у=с₂

где х и у – неизвестные

а₁ ,в₁ ,с₁ ,а₂ ,в₂ ,с₂ – некоторые числа.

Определение: Решением системы называется такая пара чисел (х₀ ,у₀ ), которая каждое уравнение системы образует в верное равенство.

Способы решений системы:

1. алгебраического сложения.

2. способ подстановки.

3. графический.

I<=>    (5;3) 

II<=>   (5;3)    

III

x	y
0
	0

x	y
0	5,5
11	0

2.Решить систему уравнений  способом алгебраического сложения

а)  (1;0)

б) (5;-1)

в(0; ())

3). Решить способом подстановки:

а)    (0;1)

б)     (-3;2)

в)   <=>

4. Найти целое значение переменной, удовлетворяющей данной системе неравенств.

          

  Ответ: 19

5. Решить способом алгебраического сложен. и графически

<=>

6. Подстановкой:

а)     (2;3) б) (R)

7. При каком значении параметра а прямые 2х+5у=1 и -9х-ау=3 пересекаются в точке, абсцисса которой = -7    Ответ: а=20

Решение системы двух линейных уравнений с помощью

определителей IIпорядка

Цель урока: научить учащихся: вычислять определители II порядка и решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителей; составлять алгоритм решения системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Ход работы:

I.        Организационный момент.

II.       Проверка домашнего задания.

III.     Повторение:        

1)системы 2-ч линейных уравнений?

2)что значит решать системы.

3)способы решения.

IV.     Изложение нового материала.

Пусть дана система:

(1)     

<=>

a в системе

выражение а₁ в₂ – а₂ в₁   называется определителем системы.

  (2)

Определитель системы образуется из коэффициентов при неизвестных и вычисляется

(2')  

выражение

(3) с₁ в₂ – с₂ в₁ = ∆х – это определитель ∆х, он образуется из определителя (2') путем замены коэффициента при х на столбец свободных членов.

(3')

выражение

(4)  а₁ с₂ – а₂ с₁  - это определитель  ∆у, он образуется из определителя (2') путем замены коэффициентов при у. на столбец свободных членов.

(4')

      формулы Крамера

1.

2.  

3.         

4. 

5.

Свойства определителей 3го порядка.

1 Определитель не изменится, если в нем строки заменить на

столбцы, а столбцы на строки.

2.        если в определителе переставить местами строки, то

изменится только знак.

3.     если все элементы строки имеют общий множитель, то его

      можно вынести за знак  ∆.

4. 

например : 

V.  Закрепление методом Крамера.

1)      N 3.89  a)

2)  б) 

3) 

Исследование множества сист. 2х л.у.		Связь решения системы с пропорц-ю коэф-ов	Ответ	Геометрия иллюстр. множества решений
∆	∆х, ∆у
1.  2.  3.	∆х     любые      ∆у     числа ∆х=0 ∆у=0		един. решение х= у= нет решения бесконечно много решений

Определители третьего порядка системы                                                              трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Цель урока: научить учащихся вычислять определитель 3го порядка и решать системы трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью определителей и метода Гаусса.

Ход урока

1.      Организационный момент.

2.      Проверка домашнего  задания.

3.      Повторение.

4.      Изложение нового материала.

Определение: Совокупность уравнений вида: называются системой 3х линейных уравнений с тремя переменными, где х,у,z –неизвестные ; а,в,с,d- неизвестные числа.

Определение: Решением системы называется такая тройка чисел (х ₀ ,у ₀ ,z ₀ ), которая              обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

Способы решения системы :

а) с помощью опред. 3го  порядка.

б) методом Гаусса.

Таблица вида (1)       называется квадратичной матрицей 3го порядка.

Число=∆  называется определителем матрицы (1).

Например: вычислить определитель.

1

2)     

      формулы Крамера

1.   

Ответ: (-1;-1;2)

Метод Гаусса.Заключается в последовательном исключении неизвестных.

1)    

2)

3)

4)  

Закреплениеметодом Крамера:

а)

                   Решить системы методом Гаусса.

Квадратные уравнения

Цель урока: обобщить и углубить знания учащихся о квадратных уравнениях.

Ход урока:

I.  Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

III.   Математический диктант:          

1.      Абсолютная величина числа 2.      Относительная ошибка 3.      Погрешность 4.      Неравенство. 5.      Определитель 6.      Матрица. 7.      Рациональное число. 8.      Иррациональное число 9.      Периодическая дробь. 10.       Период. 11.       Окрестность точки.

IV.   Изложение нового материала.

Определение: Уравнение вида ах²+bx+c=0(1), где а,b,с – заданные числа, причем а 0, х – переменная, называется квадратным уравнением. 

Если в уравнении (1) а=1, то уравнение называется приведенным и записывается х²+px+q=c(2).

Формулы для нахождения корней квадратного уравнения.

1.  

где

       а) если D>0, то х₁ и х₂

       б) если D=0, то  х₁=х₂

       в) если D<0, то нет действительных корней.

2.    

     ах²+2bx+с=0

     х_1,2=

     x²+px+q=0

    x_1,2=    , D=p²-4q

    x+2px+q=0

    x=

Теорема Виета:

х₁+х₂= -р                     

Например:

x₁=2

x₂=3

Неполные квадратные уравнения:

1.       Если b=0, с  0,  а    0, то уравнение (1) примет вид

  можно извлечь корень только в том случае, если –(а/с)≥0.

2.      

Когда произведение равно нулю?

3.      

x_1,2

Закрепление:

1.        х₁х₂

2.      (x–5)²+(3-x)²–4(x+5)*(3-x)–48=(x+1)²

3.     

4.      x²-(()x)–26=0.

5.     

;                

x_1,2= 

6.     

7.     

8.      Найти точки пересечения графика функции у=х²-2х-3, с осями координат

Ответ: (-1;0), (3;0), (0;-3).

Разложение квадратного трёхчлена на множители

ax²+bx+c=a(x-x₁)*(x-x₂)

1.     

2.      (2x+1)²

3.               D<0

4.      Сократить дробь:

Уравнение с переменой в знаменателе

Решим уравнение вида   (1)

Решение этого уравнения основано на утверждении: Дробь м/n0, тогда и только тогда, когда её числитель =0, а знаменатель неравен 0 

 

м=0                  решением (1) является                   P    (x)=0

n  0                                      система                      Q  (x) 0

Например:

1.

2.                     

3.          

 

    х-6х+8=0                                х₁=2             х₂=4                              Ответ: х=4

   2х*(6-х)  0                           при х=2      знаменатель=0.

4                  (3;4)

5.

6.

7.

8.   (6;-6)

9

10.

11

12.

13

14.   (2;-9)

Сократить дробь:

Уравнения, приводимые к квадратным

Цель урока: Углубить имеющиеся у учащихся знания по применению уравнений, приводимых к квадратным, и закрепить навыки и умения в их решении. Научить решать биквадратные уравнения и простейшие иррациональные уравнения.

Ход работы:

I.  Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания.

III.  Повторение:              квадратные уравнения

                                         формулы корней квадратного уравнения.

IV. Изложение нового материала.

Определение:Уравнение вида ax⁴+bx²+c=0,  называется биквадратным, где х -  неизвестное; а,b,с – заданные числа, причем, а  0.

Биквадратные уравнения решаются подстановкой.

Например:

х⁴-10х²+9=0            х²=t            t²=x⁴

t²–10t+9=0                   t₁+t₂=10                t₁=1

                                    t₁*t₂=9                    t₂=9

x²=1                x²=9

x=+- 1            x= +- 3

Ответ: -3; -1; 1; 3.

Уравнения имеют столько корней, какова наивысшая степень неизвестного.

Например: квадратные -2√; кубические -3√; биквадратные -4√.

Однако не всё уравнения разрешимы в области действительных чисел.

Например: х²= -9   не имеет корней в области действительных чисел, но имеет корни в области компл. чисел.

Например:

1)     (x²-16x)²–2(x²-16x)–63=0

t₁+t₂=2                          t₁=9

t₁*t₂=-63                       t₂= -7

                 x²-16x+7=0

D=256+36=292           D=256-28=228 

 x_1,2=     x_3,4=

x_1,2=x_3,4=

2)     (x²+3x-4)²+(x²+3x+2)²–36=0

t²+k²–36=0

t+k=6

x₁+x ₂= -3                         x₁= -4

x₁*x₂= -4                          x₂= 1

3)     x⁴+13x²+36=0

x²=t                        x⁴=t²

t²-13t+36=0             D=169-144=25

t_1,2= 

x_1,2=                     x_3,4=

4)     3x⁴=28x²–9

3x⁴-28x²+9=0

3t²-28t+9=0                    D=784-108=576

x_1,2=                           x_3,4=

5)     (x-1)²-5(x-1)+6=0

х-1=t

t²-5t+6=0                 t₁*t₂=6                           t₁=3

                                t₁+t₂=5                          t₂=2

a)x-1=3            б)x-1=2

x₁=4                x₂=3                      Ответ: 3, 4.

6)     2x⁴-100x²+98=0

2t²-100t+98=0                  t²-50t+49=0

t₁=49          t₂=1

x_1,2=             x_3,4=

7)     II способ разложения на множители.

x⁴-4x³=0             x₁=0                x₂=4

8)     3x⁴+x³-12x²-4x=0

3x²(x²-4)+x(x²-4)=0

(x²-4)(3x²+x)=0

x²=4             3x²+x=0

x(3x+1)=0

x_1,2=x₃=0                  x₄=

ответ: -2, , 0, 2.

3)

x⁴-16=0           (двучленное уравнение).

(x²-4)(x²+4)=0

x²=4     x²= -4

x_1,2=.

Определение: Иррациональные уравнения – это уравнения содержащие неизвестные под знаком корня.

Метод решения иррациональных уравнений основан на замене данного иррационального уравнения рациональным, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием, поэтому в уравнениях этого типа проверка корней необходима.

=7

=19

=12

(x+5)(20-x)=144

20x–x²+100-5x=144

-x²+15x–44=0

x²–15x+44=0

x₁=11         x₂=4

V.   Закрепление.

1)

=3            (10)

3+=4       (3)

=x         (5)

x+ =21    ()

+x=2x  (4)

=9-x        (6)

+1=x     (4)

=x+2        3;18

2)x²-8=0

(x-2)(x²+2x+4)

x=2            ответ: 2.

3)x³-2x²-8x=0

x(x²-2x-8)=0

x₁=0     x₂= -2    x₃=4

4)x³-5x²-x+5=0

x² (x-5)-(x-5)=0

(x-5)(x²-1)=0

(x-5)(x-1)(x+1)=0

Ответ: -1; 1; 5.

Неравенства второй степени и их решения

Цель урока: Сформировать умения и навыки решения квадратных  неравенств.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Повторение  1) биквадратное уравнение.

                           2) осн. тв. алгебры.

                           3) иррациональные уравнения.

4. Изложение нового материала.

           Неравенство вида  ах²+вх+с≥0 называется квадратным, где а,в,с заданные числа0, х – неизвестное.

Квадратные неравенства решаются:

1. методом интервалов, если D≥0

2. графически, если D<0

а	D	ах²+вх+с≥0	ах²+вх+с <0
а >0	D>0	х0=   у0 = х є (-∞;х1 ) U (х2 ;+ ∞)	х є (х1 ,х2 )
	D=0	х є (-∞;+∞) кроме х1 = х2
	D<0	х є (-∞;+∞)
а<0	D>0	х є (х1 ;х2 )	х є (-∞;х1 ) U (х2 ;+ ∞)
	D=0	х=х1 =х2	х є (-∞;х1 ) U (х2 ;+ ∞)
	D<0		х є (-∞;+∞)

1.  3х²-5х+2 >0

 а >0       х_{1,2 =}   х₁ =1    х₂ =                                          

Ответ: х є (-∞;) U (1;+ ∞).

2.  х²-4х+4 >0

 а=1 >0             х_1,2 =      

Ответ: х є (-∞;х₁ ) U (х₂ ;+ ∞).

3.  х²-5х+7 >0

а=1 >0   D=2525-28=-3 <0

Ответ: х є (-∞;+∞).

4. 2х+1>

х>-6      х є (-6;+∞).

5.     0,2   <0            0,2(-х²+х-1) <0    

      х-х²-1

-х²+х-1<0

а=-1<0                 D=1-4=-3<0

Ответ: х є (-∞;+∞).

6.  х²-5х-6>0

(х-6)(х+1) >0

х є (-∞;-1) U (6;+ ∞).         

                                                 -1          6

7.  -х²+6х-9>0

    х²-6х+9<0                               

                                        3

8               *(-1)  

при х≠6    х+3  ≤0

                 х-7          

исключим 6

х є (-3;6) U (6;7).

                                                     -3           6            7  

9       

х є (-5;-1) U (1;+ ∞).

1.3. Степени

Во многих областях науки и техники, при изучении различных процессов и явлений обнаружена одна общая функциональная зависимость между переменными величинами, участвующими в данном процессе. Например: радиоактивный распад, рост народонаселения, загруженность транспорта, изменение атмосферного давления с изменением высоты над уровнем моря, изменение тока самоиндукции в катушке индуктивности после включения постоянного напряжения.  

Степень с произвольным действительным показателем

Цель урока: Обобщить понятие показателя степени, углубить знания и умения действий над степенями.

Ход урока

1.Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Повторение

4. Изложение нового материала.

Определение: Степенью числа  называется произведение этого числа, взятое n раз.

 – основание степени                                               

 - показатель степени

Свойства с натуральным показателем.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Свойства с рациональным показателем.

Например:

1)

Выполнить действия:

1)  

2)  

3)  

4)  

Вычислить:

1)     ;   2)

Упростить выражение:

Вычислить:

a)

 * (

Упростить:

;

5)

Выполнить действия:

4).

Показательная функция, её свойства и график

Цель урока: Углубить знания о показательной функции; продолжать прививать умение читать свойства функций  по их графикам.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Повторение.

4. Изложение нового материала.

Определение: Функция вида  называется показательной, если  некоторое число  1 и  переменная величина.

x	-3	-2	-1	0	1	2
y				1	2	4

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1

т.е. график проходит через точку с координатами (0; k)

4. График не пересекает ось X, т.к.

5. Функция ни четная, ни нечетная, ни периодическая.

6. При любом  функция , т.е. принимает только положительные значения во всей области определения.

7.

8. Непрерывна.

9. Показательная функция называется экспоненциальной (или экспонентой).

10.

Если

Закрепление: 1) Простроить

Какая функция быстрее возрастет:

б)

1.4. Логарифмы

Цель урока: Дать понятие логарифма с произвольным показателем. Овладеть знаниями и умениями использовать основное log тождество, формулы логарифмирования и потенцирования, формулу перехода от одного основания к другому.

Ход урока

 Организационный момент.

 Проверка домашнего задания.

 Повторение.

 Изложение нового материала.

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию a, где  называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

Например:

1)

2)

3)

4)
5)

6)

7)

8)

Основное логарифмическое тождество.

Например:

1)

2)

3)

Свойства логарифмов.

1.

2.

3. Если равны логарифмы  чисел по одному и тому же основанию, то равны и сами числа.

4. Логарифм произведения  положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей.

Доказательство: Пусть тогда по определению логарифма числа запишем:  перемножим правые и левые части.

Перепишем это равенство по определению логарифма числа.

                     ч.т.д.

например:

(5) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Доказательство: Пусть тогда по def логарифма числа

Разделим почленно эти равенства

Запишем это равенство на основании определения логарифма числа

Например:

(6) Логарифм степени равен произведению показателя степени на основание.

(7) Логарифм корня равен дроби, в числителе log подкоренного выражения, в знаменателе показатель корня.

(8)  формула перехода от одного основания к другому.

(9)

(10)

(11)

(12)

 Закрепление.

Упростить: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

9)    

Логарифмическая функция, её свойства, и график.

Цель урока: Углубить знания учащихся о логарифмической функции, продолжать прививать умение читать свойства функции по их графикам.

Ход урока

 Организационный момент.

 Проверка домашнего задания.

 Повторение: проверочная работа свойства логарифмов.

 Изложение нового материала:

Определение: Функция вида называется логарифмической.

Log –я функция является функцией обратной показательной.

X				1	2	4	8
y	-3	-2	-1	0	1	2	3

1)

3)

4)

5) ни четная, ни нечетная.

6)

7) непрерывная.

8) неограниченная.

9) нет наибольших и наименьших значений.

10) кривая.

X				1	2	4	8
y	3	2	1	0	-1	-2	-3

1)

2)

3)

4)

5) ни нечетная, ни нечетная.

6)

7) нет наибольших и наименьших значений.

8) непрерывная.

9) неограниченная.

 Закрепление.

1) Построить  а)

б)

2) Найти  функций log функция только для положительных чисел.

                 Ответ:

3) Решить:                     № 80  (Алимов)

а)

б)

Свойства логарифмов.

Цель урока: закрепить и отработать на практике свойства логарифмов.

Ход урока

 Организационный момент.

 Проверка домашнего задания.

 Повторение: Исследование графиков.

 Изложение нового материала.

№ 90

2)

3)

4)

№ 142

1)

2)

Показательные и логарифмические неравенства и их решения.

Цель урока: Сформировать умения и навыки решения простейших неравенств.

Ход урока

 Организационный момент

 Проверка домашнего задания.

 Повторение: свойства логарифмов.

 Изложение нового материала.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств  или

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Например:

                  знак не меняется.

Ответ:

Например:

знак меняется

  или  

Ответ: .

Определение: Выражение вида  , где   называется логарифмическим неравенством.

Решение логарифмических неравенств, сводится к решению системы неравенств.

Например: 

Область определения.

функция ↑  знак не меняется.

Ответ:

№ 94 

1)   функция возрастает.

2) и функция убывает.

Логарифмические уравнения и их решение.

Цель урока: Сформировать умения и навыки решения несложных логарифмических уравнений.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Повторение.

4. Изложение нового материала.

Определение: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в основании  логарифма называется логарифмическим.

При решении логарифмических уравнений нужно основываться на свойствах логарифмов и на том положении,что если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами числа.

При решении каждого уравнения надо использовать его особенности и найти способ решения. Проверка корней обязательна.

Способы решения уравнений:

1. По определению логарифма числа.

2. Потенцирование обеих частей уравнения.

3. Сведение логарифмического уравнения к квадратному.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения.

5. Переход от одной системы логарифмов к другой с использованием формулы перехода.

6. Графический.

 По определению логарифма числа.

1)

Проверка: 

Ответ:

Потенцирование т.е. переход от уравнения вида  к уравнению следствию

1)

О.Д.З.

Проверка:  1)                        2)

Сведение к квадратному.

1)

  входит в О.Д.З.

Ответ:

 Логарифмирование обеих частей уравнения.

1)

Обе части уравнения логарифмируют потому основанию, которое содержится в основании логарифма, находящегося в показателе степени.

Ответ: 

 Переход от одной системы логарифма к другой.

1)

Ответ:

 Графический

5. Закрепление.

1)                   О.Д.З.

2)                           О.Д.З.

 не входит в О.Д.З.

Показательные уравнения и их решение.

Цель урока: Сформировать умения и навыки решения несложных показательных уравнений.

Ход урока.

 Организационный момент.

 Проверка домашнего задания.

 Повторение.

 Изложение нового материала.

Определение: Уравнение, содержащее переменную в показателе степени называют показательным.

 Решение показательных уравнений сводится к 5 основным способам:

1. На основании определения нулевого показателя степени.

2. Сведение обеих частей уравнения к одному основанию.

3. Логарифмирование обеих частей уравнения.

4.Вынесение наименьшего общего множителя за скобку.

5. Сведение уравнения к квадратному.

(1). Этим способом решаются уравнения вида:

Например:

 Основан на свойстве степеней; если 2 степени с одним и тем же положительным и отличным от 1 основанием равны, то равны и их показатели.

Например:

Например:

Для решения некоторых показательных уравнений нужно пользоваться теоремами:

Например:

1)

2)

3)

 Способы вынесения наименьшего общего множителя за скобки.

 Сведение уравнения к квадратному.

Уравнение вида  сводится к квадратному и решается с помощью подстановки

Например:                                                                                                                                                                               

1)

№313.Решить уравнение.

1)

2)

3)

4)

№314 Вычислить.

1)

2)

3)

№327.Решить уравнение.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

№ 337.Решить  уравнение

1)

2)

3)

4)

№ 348.Решить уравнение (348-351)

1)                    2)

3)                     4)

№ 349

1)                   2)

№350

1)     2)

№351

1)

2)

№356

1)            2)

3)        3)

1.7.Тригонометрия

    Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

  Развитие тригонометрии происходило в связи с необходимостью решения вычислительных задач, выдвигавшихся астрономией, географией, геодезией. Академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер окончательно разработал символику тригонометрии, которой пользуются и в наши дни. Радианная мера угла появилась уже в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница, но вошла в науку и практику вычислений благодаря трудам Л. Эйлера.

Радианное измерение углов.

Цель урока: Обобщить понятие угла, дать понятие радианного измерения углов, научить учащихся переводить углы из градусной меры в радианную и обратно. Обобщить и углубить знания о тригонометрических функциях числового аргумента. Привести знаки значений тригонометрических функций по четвертям.

                                                              Ход урока.

I Организационный момент 5 мин.

II Анализ контрольной работы. Рассмотреть наиболее характерные ошибки, допущенные учащимися.

III Изложение нового материала.

Функции  у=sinx., y=cosx, y=tgx, y=ctgx  называют тригонометрическими         функциями.

А                                                         Sin α=b/c                     tg α=b/a

                     c

    b                                                    Cos α=a/c                      Ctgα=a/b

                       α

B

               a

Знаки значений тригонометрических функций.

Sin x                                                 Cos x                                Tg x, Ctg x

Радианное измерение углов.

Определение: Угол- это фигура, образованная в результате вращения луча в плоскости вокруг своей начальной точки.

Начальное положение вращающегося луча называется начальной стороной угла поворота, а конечное положение луча – конечной стороной угла поворота.

 Всякому положению вектора на плоскости соответствует два угла.

  Угол в 1^о градус – это угол, который опишет луч, совершив  1/360 часть полного

оборота вокруг своей начальной точки.

  Один радиан – это угол, который равен центральному углу единичной окружности радиуса R.

                          1 рад ≈54^о17′45″

         1 рад=180^о/П          1^о=П/180^о

градусы	360 о	270 о	180 о	90 о	60 о	45 о	30 о	1 о	Βо
радианы	2П	3/2П	П	П/2	П/3	П/4	П/6	П/180 о	П/180 о *β о

                                                                       ^О  

                                                              ²

                 

	0о	30 о	45 о	60 о	90 о	180 о	270 о	120 о	135 о	150 о
Sinx	0				1	0	-1
Cosx	1				0	-1	0	-	-	-
tgx	0		1		-	0	-	-	-1	-
Ctgx	-		1		0	-	0	-	-1	-

Определение тригонометрических функций.

        Отношение координат вектора к его длине не зависит от длины вектора, но зависит от его направления.

                          |х|≤R                            |y|≤R

Определение: Окружность, радиус которой равен 1 , называется единичной окружностью.

                                                                                      Рассмотрим Δ АОВ: |ОА|=R

R=1                                 A(x;у)

R                      

B             х

                         

                                                                                                   

Определение: Отношение абсциссы вектора, образующего угол α с осью ox, к длине этого вектора называется косинусом угла α.

                                                                      

Определение: Отношение ординаты вектора, образующего угол α с осью ox, к длине этого вектора называется синусом угла α.

                     

Отношение  называется тангенсом угла .

Отношение  называется котангенсом угла   .

Величина обратная Cosα называется секансом угла α . Secα=

Величина обратная Sinα  называется косекансом α. Cosecα=

1.Sinα, Cosα  определены для всех углов α є(-∞;+∞)

2.tgα, Secα определены для всех углов кроме ,где n

3. Ctgα, cosecα   определены для всех углов кроме α =Пn, n є z

Прямая у=1 называется осью котангенсов                          

Прямая х=1 называется осью тангенсов.

·

IV Закрепление

1 Найти градусную меру угла   

    2 Найти радианную меру дуги 210˚.

    3 Определить знак выражения.

    а) sin 120˚ cos 240˚·tg 120˚           +

б) cos 2 =cos 57˚ 2 = cos 114˚      _---

в) sin 2 · cos 5        _---

      sin 205˚·cos 275˚           

г) ―――――――――          +      

        tg 200˚·ctg 105˚              

         cos 175˚·ctg 300˚

д) ―――――――――      +

sin 297˚·tg 135˚ 

Соотношения между тригонометрическими

функциями одного аргумента.

Цель урока: Вывести формулы основных соотношений между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Научить учащихся использовать

выведенные формулы при тождественных преобразованиях в процессе решения примеров на упрощение тригонометрических выражений, на доказательство тригонометрических тождеств.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания, фронтальный опрос.

Диктант ( значения тригонометрических функций для углов )

Изложение нового материала.

             У        А(х;у)                      Рассмотрим Δ АОВ - прямоугольный

                                                                  →

                                                              │ОА│ = R = 1

                         В        Х

                                                                 OB=x ,  AB=y

OB²+AB²=ОА²

х²+у²=R     (1)

=cosα=sinα

=cosα=sinα     т.к.  R=1, то

х=cosαy=sinα       (2)

Подставим формулы  (2)→(1)                

IФормулы квадратов:

                         (1)

1`)

1")

разделим обе частина cos² α ≠ 0

 справедливо при всех α кроме =

2’)

2")

 разделим обе части  на sin² α ≠ 0

справедливо при всех α , кроме α = +Пn , n є Z)

3')

3")

II Формулы обратных величин.

1

2

3

3'

3

Применение знаний при решении типовых примеров.

Упростить.

1.     а) (sinα +cosα ) ²+(sinα – cosα ) ²=2

б) sin⁴ α + 2sin² α·cos² α +cos² α =1

в) sinα ·ctgα – cosα =0

2)     Доказать тождество

    sin⁴ α+ cos² α* sin² α= sin² α

    sin² α*( sin² α+ cos² α)= sin² α

Применение знаний на практике.

 Доказать тождества всеми возможными способами.

а

1) домножить числитель. и знаменатель. на ctgα

2) ctgα  в левой части записать в виде 

3)tg α и  ctgα  в левой части перевести в  sinα  и cosα .       

4) tgα в левой. части запишите в виде 

5) правую часть умножить и разделить на cos² α. 

6) в правой части использовать формулу

б

1)домножить числитель и знаменатель левой части на tgα.

2)почленно разделить числитель на знаменатель в левой части.

3)раскрыть по определению

4

5) правую часть домножить и разделить одновременно

6) в правой части  1=

 

в) (1+ctgα )²+(1- ctgα)² =

г) sin⁴α+ sin² α·cos² α+ cos² α=1

sin² α·( sin² α+ cos² α)+ cos² α=1

    sin² α+ cos² α=1

VI Подведение итогов.

VII Д/з

Вычисление значений тригонометрических функций одного

аргумента по заданному значению одной из них.

Цель урока: Научить учащихся вычислять значения тригонометрических функций

                       по заданному значению одной из них.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

III Повторение опорных знаний:

 1) а) основные тригонометрические тождества

     б) формулы квадратов и не производные.

 2)Выполнить устно:

а) - 1  

б)

в)

г) 1-sin² α-cos² α

д) определить знак выражения:

e) вычислить : 2cos 0+ 3sinП+ 4tg 0

3) Устный счет (значение углов)

IV Изложение нового материала.

1)Дано: sinα =0,5      α є(0;П/2)   I часть

   Найти основные функции.

   Решение:

cosα==

tg α=

ctg α==

sec α ==

cosec α =

2) Дано : tg α =-α є (П/2;П)

Найти остальные функции.

Решение:

1) ctgα=(-)=-

2

3) sin α==

4)sec α =1/ cos α=1/(-5/13)= - 5/13

5)cosecα =1/ sinα=1/(12/5)=5/12

V Применение знаний при решении типовых примеров.

а) Дано : cosα = -4/5                α є (П/2;П)

Найти: остальные функции.

Решение:

1) sinα =

2) tgα=

3)сtgα =1/ tgα=1/(-3/4)= - 4/3

4)secα =1/ cosα=1/(-4/5)= - 5/4

5) cosecα =1/ sinα=1׃(3/5)=5/3

б) Дано sinα =15/17   α є (П/2;П)

Найти остальные функции.

Решение:

1)cosα ===

2)tgα=15/17 ׃(-8/17)= -15/8

3) сtgα= -8/17 ׃15/17= -8/15

4)secα =1 ׃(-8/17)= -17/8

5)cosecα =1 ׃(-15/17)= -157/815                         

VI Самостоятельное применение знаний.

а) Дано :tgα=15/8  , α є (П; 3П/2)

Найти: остальные функции.

б) Дано сtgα = - 5/12  ,  α  є (П/2; П)

Найти: остальные функции.

в) Упростить: 1- sin²α + сtg²α·sin²α= cos²α +( cos²α/ sin²α)  sin²α= 2 cos²α

г) Упростить: sin⁴α + sin²α·cos²α= sin²α·( sin²α+ cos²α)= sin²α

Периодичность тригонометрических функций.

Покажем, что тригонометрические функции являются периодическими функциями. 

Теорема: Число 2П является минимальным периодом синуса и косинуса.

Доказательство: Значения тригонометрических функций определяются с помощью координат вращающейся точки (конца единичного вектора). Но при вращении этой точки по единичной окружности через каждый оборот она занимает то же самое положение. А, как известно, полный оборот точка совершает тогда, когда при ращение аргумента равно 2П. 

Следовательно,Sin(x + 2П) = SinX ,аналогично и cos(x +2П) = cosx.

                           Четность тригонометрических функций.

Теорема: Функция cos α является четной, а функция sin α , tg α и сtg α являются нечетными.

Доказательство: В системе координат ОХУ рассмотрим единичные векторы ОА и ОА  с направляющими углами α и (- α) соответственно.

                                                                    Рассмотрим случай, когда 0 ≤ α ≤ П/2.

                                                                    Так как sin является ординатой

                                                                    вектора ОА; а эти ординаты равны по

                                                                    модулю и имеют разные знаки, то sin

                                                                    (- α) = - sinα. Так как cos α является

                                                                    абсциссой вектора ОА, а эти абсциссы совпадают, то cosα = cos(-α). Случаи П/2 ‹ α ‹ П ; П ‹ ≤ 2П предлагается рассмотреть самостоятельно.

Для функции tgα имеем: tg(-α)=sin(-α)/cos(-α) = - sinα/cosα = -tgα ,

 аналогично ctg(-α) = cos(-α)/sin(-α) = cоsα/-sinα = -ctgα.

Формулы приведения.

 Цель урока: вывести формулы приведения, научить учащихся пользоваться ими для нахождения значений тригонометрических функций любых углов.

                                         Ход урока:

I.           Организационный момент.

II.            Проверка домашнего задания.

III.          Повторение опорных знаний:

1.      основные тригонометрические тождества.

2.      производные формулы.

3.      устный счет.

IV.         Изучение нового материала.

Формулы, выражающие тригонометрические функции от аргумента –α, П/2 +- α,

П+- α, 3П/2+- α, 2П+- α, где α-любое допустимое значение аргумента, через тригонометрические функции аргумента α, называются формулы приведения.

Правило названий и правило знаков:

   Для углов П+- α, 2П+- α название функций не меняется, а для углов П/2 +- α, 3П/2+- α название функции меняется на сходное.

   Знак функции определяется по знаку данной функции.

      *Составить и записать таблицу:

№	аргумент	Функция
		sin	cos	tg	ctg
1-2
3-4
5-6
7-8

        V. Применение знаний при решении примеров.

1.      Вычислить, применяя формулы приведения.

cos 120⁰=cos(90⁰+30⁰)= - sin30⁰= - ½

ctg 135⁰=ctg(180⁰ – 45⁰)= - ctg 45⁰= - 1

sin 150⁰=sin(180⁰ – 30⁰)= sin30⁰= ½     

2.      Привести к функциям острого угла, сохранить название функции:

sin 173⁰= sin(180⁰ – 7⁰)=sin7⁰

      tg 355⁰=tg(180⁰+175⁰)=tg175⁰

      tg 355⁰=tg(360⁰ – 5⁰)= - tg5⁰

      ctg(215⁰)=ctg(360⁰ - 35⁰)=ctg35⁰

3.      Упростите выражения.

а) sin(α – (3П/2))·cos (Π – α)+sin(α – П)·sin(П+α)= - sin((3П/2) – α)·cos(Π – α) -        - sin(П – α)·sin(П+α)= -(-cos α)·(-cos α) - sin α·(-sin α)= -cos²α+sin²α.

4.      Доказать тождество.

sin(α–П)+tg(α–П)+cos(1.5П+ α)=tg α

5.Найдитечисловоезначение.

cos 630⁰–sin1470⁰–ctg1125 ⁰=cos(360 ⁰+270 ⁰)–sin(8П+30⁰)–ctg(6П+45 ⁰)=cos270 ⁰  -   -sin30 ⁰ - ctg45 ⁰=0 - ½ -1= 3/2

VI. Самостоятельное применение знаний.

1. Доказать тождество.

2. Упростить.

cos(3.5 П+ α)·tg(0.5 П- α)–sin(П/2- α)+ctg(3П/2- α)

Ответ: tgα.

Решение упражнений на формулы приведения.

Цель урока: Закрепить полученные знания, умения и навыки применения формул приведения.

Ход урока:

 I.      Организационный момент.

II.      Проверка домашнего задания.

III.      Повторение:

           а) устный счет.

           б) формулы приведения.

  У доски вывод:  -основные тригонометрические тождества.

    -основные формулы.

       Диктант:

I.                                                                      II.

sin(90⁰+α)                                                                tg(90⁰–α)

cos(180⁰–α)                                                             ctg(П/2+α)

tg(П/2+α)                                                                 sin(П–α)

sin(3П/2+α)                                                              cos(П–α)

ctg(П–α)                                                                   tg(П+ α)

tg(3П/2+α)                                                                ctg(3П/2+α)

cos(3П/2+α)                                                             sin(3П/2–α)

ctg(3П/2–α)                                                              tg(2П–α)

cos(П+α)                                                                  sin(2П+α)

sin(2П–α)                                                                 ctg(П/2–α)

        Устный счет:

1)sin120 ⁰      √3/2                                      sin315⁰= -√2/2

cos150⁰      -√3/2                                     cos210⁰= -√3/2

tg225⁰         1                                           tg240⁰=√3

sin150⁰        0.5                                        ctg300⁰= - √3/3

2)1-cos⁰α=sin²α                                       3)схемы.

sin²β–1= - cos²β

cosα*tgα*cosecα=1

cos²α·(1+tg²α)=1

tgα·sinα·ctgα=sinα

(1+cosα)·(1–cosα)=sin²α

cosec²α–1=ctg²α

1–sec²β= -tg²β

sin²α+cos²α+ctg²α=cosec²α

(secα+tgα)·(secα-tgα)=1

(ctg²α–cos²α)·tg²α=1-sin²α=cos²α

1/cos²α–sin²α–tg²α=cos²α

((1-cos²α)/(1-sin²α))+tgα·ctgα=1/cos²α.

IV. Применение знаний на практике.

Решение у доски по карточкам.

V. Самостоятельная работа по карточкам.

Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов (теоремы сложения).

Теорема 1:Справедливо равенство.

cos (α–β)=cosα*cosβ+sinα*sinβ, где α и β-любые углы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть L₁ – единичный вектор, образующий с 

OX,  угол α.

L₂ - единичный вектор, образующий с осью       

OX,  угол β.

                                                                  Тогда угол между L₁ и L₂ = α–β.

      

                 L₁    

                                       L₂

        α         

          Β

Скалярное произведение двух векторов, равно произведению их длин на cos угла между ними, т.е. L₁L₂  =1·1·сos (α–β)  (1)

Но L₁=(cosα; sinα); L₂ =(cosβ; sinβ).

По формулам для скалярного произведения векторов в координатах (a·b=x₁·x₁+  

+y₁·y₁).

L₁·L₂=cos α·cos β+sin α·sin β    (2)

Сравним (1) и (2), получим:

cos (α–β)=cos α·cos β+sin α·sin β.

Таким образом, косинус разности двух углов равен произведению косинуса первого угла, на косинус второго угла, плюс произведение синуса первого угла, на синус  второго угла.

Следствие:

При β= α из (6)следует:

tg 2α=

Теорема 6: Справедливо равенство.

tgα=                             (7)

при условии, что α, β; (α–β) не равно (2к+1) П/2, .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: самостоятельно.

Например: sin75⁰=sin(30⁰+45⁰)=cos 30⁰·sin 45⁰+sin 35⁰+cos 45⁰·+·=

Определение: Дополнительными углами называются углы, дополняющие друг друга до х.

Тригонометрические функции угла равны сходным по названию тригонометрическим функциям дополнительных углов.

sin 75⁰=cos 15⁰                         tg 45⁰=ctg 45⁰

сtg 35⁰=ct 55⁰                           cos 30⁰=sin 60⁰

V. Применение знаний при решении типовых примеров.

1)     Вычислить:

sin10⁰·cos50⁰+cos10⁰·sin50⁰=sin(10⁰+50⁰)=sin 60⁰=.

2)     cos3Π/8·sin Π/8+sin 3Π/8·cos Π/8=sin(3Π/8+Π/8)=sin4Π/8=sin=1.

Сборник Апанасов:

№51

8) sin72⁰·cos18⁰+sin18⁰·cos72⁰=sin96⁰-1

9) cos6⁰·cos54⁰–sin6⁰·sin54⁰=

10) sin79^0·cos49⁰–sin49⁰·cos79⁰=

11 )sin17⁰·cos43⁰–sin(-43⁰)·cos17⁰=

12)sin(45⁰+x), если cos x =, x принадлежит (0;90⁰)

sin45·cos x +cos45·sin x =·+·=

sinx==

13)cos(30⁰-x), если cosx=-√0,2, x принадлежит (90⁰;180⁰)

sin x ==

cos(30⁰-x)=cos30⁰·cos x+sin30⁰·sin x= - +(()/2)=(-)/2

14)sin(60⁰-x), если сosx=-0,6, x принадлежит (180⁰;270⁰)

sinx =√1-0,36= -0,8

sin(60⁰-x)= ·(-0,6) - ·0,8

15)cos (60⁰+x), если sinx= -, x принадлежит (3Π/2; 2Π).

cos x=

cos(60⁰+x)=·+·=

16)sin(x+y), если sin x=, sin y= -, x  (0; Π/2), у (Π ; 3Π/2).

Тригонометрические функции двойного аргумента.

Цель урока: вывести формулы тригонометрических функций двойного и половинного аргумента, научить пользоваться полученными формулами при решении упражнений.

Ход урока:

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка д/з.

III.             Повторение.

IV.             Изложение нового материала.

 Для вывода формул двойного аргумента используем теоремы сложения, где α=β.

1.      sin(α+ α)=sinα*cosα+sinα*cosα=2sinα*cosα

sin 2α=2sin α·cos α

   *sin 3α=sin2* 3/2 α=2sin 3/2α*cos3/2α   

      *sin 4α=2cos 2α*sin 2α

2.      cos(α+ α)=cos α*cos α–sin α*sin α=cos ²α–sin²α

cos 2α=cos²α–sin²α

2’  cos²α–sin²α=cos²α–(1–cos²α)=2cos²α-1

2’’ cos²α–sin²α=1–sin²α–sin²α=1-2sin²α

3.      tg(α+α)= =tg2α=

4.      ctg2α=((1-tg²α) / (2tgα))

например:

1.sin120⁰=2sin60⁰·cos60⁰=2··√3/2=√3/2

2.cos 6α=cos2·3α=cos²3α-sin²3α

3.cos α/2=cos2· α/4= cos²α/4 – sin²α/4.

4.tgα= ¾,     найти tg 2α

5.cos120⁰=cos2·60⁰= cos²60⁰–sin²60⁰=   - = -

Формулы понижения степени.

1.     cos 2α=2 cos²α – 1

    2 cos²α=1+ cos 2α

cos²α=(1+ cos 2α)/2

2.      cos 2α=1–2sin²α

         2sin²α=1–cos2α

sin²α =(1–cos2α )/2

V. Применение знаний при решении.

1 Упростить:===1

2.cos 4α–sin⁴α=(cos²α–sin²α)·(cos²α+sin²α)=cos2α

3.==2·= 2сtg 2

4.==

5. 2·

Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.

Цель урока: Вывести формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение и наоборот. Научить пользоваться этими формулами.

Ход урока:

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка д/з.

III.             Повторение: вывод формул.

IV.             Изучение нового материала.

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

+

sin(α–β)= sinα·cosβ–cosα·sinβ      (1)

sin(α+β)+sin(α–β)=2sinα·cosβ

sinα·cosβ=½(sin(α+β)+sin(α–β))

sin(α+β)–sin(α–β)=+2sinβ·cosα                                        (4)

cos(α+β)=cosα·cosβ–sinα·sinβ

cos(α–β)= cosα·cosβ+sinα·sinβ                                          (2)  

cos(

cos+

cos(                           (3)

sin=

α+β=x            α –β=y                          

α=x–β            x-β-β=y  => - 2β=y+x

α–x+α=y

2α=x+y

                                             (5)

            Подставим  (5) в (1), (2), (3), (4)

sinx+siny=2sin∙n

cos x+cos y=2cos

cos x – cos y= - 2sin

sin x–sin y=2sin

V. Применение знаний:

tgα+tgβ=

tg α–tg β=

ctg α+ctg β=

График и свойства функции у= sinx

Цель урока: Исследовать график функции y= sinx, y= cosx  и научить строить учащихся графики

Ход урока:

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания

III Повторение: проверочная работа по карточкам

IV Изучение нового материала

у= sinx

х	0	30˚	45˚	60˚	90˚	180˚	270	360
sinx	0		0,7	0,86	1	0	-1	0

1)D(f)= (- ∞;+∞)

2)Е(f)=[-1;1]

3)y=0    sin x =0    x=n, nZ

    x=0     y=0

4)sin(-x)=-sin(x)- функция нечетная симметричная относительно начала координат.

5)sin(x+2n)=sinx-периодическая, с наименьшим положительным периодом 2=360

6)у             х ε (- П/2+2Пn; П/2+2Пn)         nε

 

y           х ε (П/2+2Пn; 3П/2+2Пn)         nεZ

7)y>0         х ε (2Пn; П+2Пn)                      nεZ

y<0         х ε ( -П+2Пn;2Пn)                     nεZ

8)ограничена сверху и снизу

9)непрерывная

10)у_{наибольший}=1  х=П/2+2Пn; y_{наименьший}= - 1      х= - П/2+2Пn.

11)Синусоида

График и свойства функции y=cosx

X	0	300	450	600	900	1800	2700
sin x	1	0,86	0,7	½	0	- 1	0

1.      D(f)=(-∞;+∞)

2.      E(f)=[-1;1]

3.      x=0          y=1

      y=0          cos x =0                              x=П/2+Пn,       n ε Z

4.      cos (-x)=cosx – четная симметричная относительно оси оу

5.      cos(x+2Пn)=cosx – функция периодическая, с наименьшим положительным периодом 2П

6.      у             х ε (-П+2Пn; 2Пn)   nεZ

 у         х ε (2Пn; П+ 2Пn)    nεZ

7.      у>0        х ε (- П/2+ 2Пn; П/2+ 2Пn)  nεZ

     у<0        х ε (П/2+ 2Пn; 3П/2+ 2Пn)  nεZ

8.      ограничена сверху и снизу

9.      непрерывна

10. у_{наибольший}=1  х= 2Пn; ; y_{наименьший}= - 1     х=П+2Пn

11. косинусоида

График и свойства функции y=tgx , y= ctgx

Цель урока: Научить учащихся строить графики тригонометрических функцийу=tgx , у=ctgx  и с их помощью показать свойства этих функций.

Ход урока:

 IV.      организационный момент

    V.      Проверка домашнего задания

 VI.      Повторение свойств функций sinx=y    и  cosx=y

График и свойства функции y=tgx:

x	0˚	30˚	45˚	60˚	90˚	180˚	270˚
tg x	0	0.6	1	1.73	∞	0	∞

1.      D(f)= (- ∞;+∞) кроме x=, n є z

          у=tgx=cosx≠0      x=

2.      E(f)=(- ∞;+∞)

3.      у=0    tgx=0           x= , n є z

x=0         y=0

4.      tg (-x)= -tg x  - нечётная

5.      tg (x+ Пn)=tgx – периодическая с наименьшим положительным периодом П=180 ˚

6.      функция кусочно-возрастающая.

7.      у>0   х є  (, )    n є z

     у<0   х є  (-,)   n є z

8.      неограниченная.

9.      нет наибольших и наименьших значений.

10. функция имеет разрыв при х=– точка разрыва

11. график тангенсоида. 

График и свойства функции y=сtgx:

 

1.      D(f)= (- ∞;+∞) , х≠

ctgx=,   sinx≠0  ,   sinx≠ ,  nєz

2.      E(f)= (- ∞;+∞)

3.      y=0   x=, n є z

4.      ctg (-x)= -ctg x- нечётная

5.      ctg (x+ )=ctgx периодическая с наименьшим положительным периодом =180˚

6.      у   функция кусочноубывающая на D(f).

7.      y>0    x є (,) n є z

у<0    х є (,) n є z

8.      неограниченная.

9.      нет наибольших и наименьших значений.

10.  х=  – точка разрыва.

11. график- котангенсоида.

Построить:  1) у=tg│x│

      2)y=│tgx│

Построение графиков тригонометрических функции

Цель урока: Научить учащихся строить графики тригонометрических функций.

 

Д/З:

Постороить график у=2sin (x+), у=3cos 2x

§ 19, 20,21

356,369,371

101а,109б,112а

Обратные тригонометрические функции

Цель : Дать понятие обратных тригонометрических функций, научить учащихся находить их значения с помощью таблиц и микрокалькуляторов.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания

III Повторение опорных знаний:

1. Вычислить:    Ответ:-0,993

2. Упростить:

                                                 Ответ: (-)

3. Вычислить: (если)

4. Упростить:

                                           Ответ:

IV Изложение нового материала.

Определение:Функция обратная для y=sinx , x, называется арксинусом и обозначается arcsinx.

D(f)= [-1;1]

E(f)=

График функций y=arcsinx , x [-1;1]

симметричен графику функций y= sinx,

x, относительно биссектрисы

 координатных углов I  и III четвертей

например: sin()= -1  =>arcsin (-1)=

sin ()==>arcsin (-√3/2)=

sin ()=arcsin ( )=

sin=arcsin=

Самостоятельно:

sin =                arcsin =

sin 0=0                       arcsin 0=0

sin (-)= -              arcsin (-)= -

sin ()=arcsin x()=

sin=1                     arcsin 1=

Определение: Функция, обратная для функции у=cosx, х є [0;] , называется арккосинусом   и обозначается arccosx.

1. D(f)=[-1;1]

2. Е(f)=[0;]

 

cos 0=1   =>  arccos 1=0

cos =arccos =

cos=arcsin=

Самостоятельно: 

cos=   ;  cos= - ½  ; cos= -   ; cos= -1

Определение:Функция, обратная для функции у= tgx ,  x є (-;) , называется арктангенсом и обозначается arctgx.

1. D(f)=(-∞;+∞)

2. Е (f)=(-;)

 

                                                      График функции у=arctgx , где x є R, симметричен

                                                      графику функции у=tgx, x є (-;), относитель-

                 но биссектрисы координатных углов I и III четверти

Вычислить:

arctg 1=,                        tg=1

tg (-)= -1                        tg (-)=

tg=tg=

Определение:Функция, обратная для функции y=ctgx, x є (0;), называется арккотангенсом и обозначается arcctgx/

1. D(f)= (-∞;+∞)

2.E(f)=(0;)

                                              График функции у=arcctgx симметричен графику

y=ctgxx є  (0;), относительно биссектрисы

I и IIIчетвертей.

 Вычислить: arcctg 1=, сеп =1, ctg ()= -1, ctg=, ctg² = -,

ctg=.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Цель урока: Научить учащихся решать простейшие тригонометрические уравнения.

Ход урока:

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания

III Фронтальный опрос на устный счет

arcsin  1           arccos 1                   arcctg ()

arcsin  -1          arcsin (-)            arctg (-)

arcos 0             arctg                      arcsin 0

arctg 1              arccos (-)               arcsin

IV Изложение нового материала.

Определение:     Уравнение, которое содержит под знаком тригонометрической функции неизвестное, называется тригонометрическим

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения:

Решением тригонометрических уравнений называются такие значения х, которые удовлетворяют длинному уравнению.

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти его корни.

Особенность тригонометрических уравнений в том, что они либо имеют большое

множество решений, либо не имеют решения. Единственного решения быть не может.

1. sin x=a                                             x₁=arcsin a+2R,  R є Z    }

                                                                                                                   }    =>

                                                                    x₂=-arcsin а+2R, R є Z }

x=

Если n чётное число, т.е. n=2R, то получим Z= arcsinx +2R , R є Z

Если n нечётное число, т.е. n=2R+1, то получим х= – arcsin а +2R

1) sinx=

x=(-1)ⁿarcsin+n=(-1)ⁿ*+n, nєZ

2)sinx= -

x=(-1)ⁿ*arcsin(-)+n=(-1)ⁿ*(-arcsin)+n=(-1)ⁿ(-1) arcsin+n=

=(-1)ⁿ⁺¹ *+n , nєZ

3) sin 2x=

2x=(-1)ⁿarcsin+n, nєZ=(-1)ⁿ+n, nєZ

x=(-1)ⁿ+()*n, n є Z

2.  cosx=a                      Aбсциссу а имеют 2  точки окружности

 

                       arcos a                         x₁=arcos a+2n    }

                                                        x₂=-arccos a+2n }  =>

                     a                                        x=    n є Z

                       - arcos a

1)     cos x=

x= arcos(-)+2n   ,    n є Z

x= (- arccos)+2n= (-)+ 2n , n є Z

х=+2n, n є Z

2)cos = =>=arccos+2n=+2n , n є Z

х= ()+4n,    nєZ

3)cos= - 2     нет решений

3. tgx=a

 

Ч/з т.(через заданные точки) М и т. С  проведём

прямую. Она       окружность  в двух точках. М1

 получается поворотом т.Р на угол х   x1=arctga+2R,

R є Z , aM2 получается поворотом т.Р

на угол х2=(arctga+)+2R,  R є Z.

x=arctg a+n  , n є Z              

Например:

1)  tg(x+11˚)=

    x+11˚=arctg+n , n є Z

    x+11˚=60 ˚+ n

    x=49˚+n  , n є Z

2)  tg 3x= -1

3x= arctg(-1)+180˚n= - arctg1+ n= -45 ˚+ n, n є Z

x= -15˚+60˚ n,  n є Z

4.  ctg x=a                                               

х= arctg а+n  ,   n є Z

например:    сtg=1

=arctg 1+n=45 ˚+180 ˚n

x=135 ˚+540 ˚n, n є Z

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнения                                                                       Решение уравнений

                                                                                                                                                           

1 sinx=m ,  │m│≤1                                         x=(-1)ⁿ*arcsinm+ n , nєZ

2 sinx=0                                                          x=n , nєZ

3 sinx=1                                                          x=+2 n , nєZ

4 sinx= -1                                                        х= - +2 n , nєZ

5 cos x=a  , │a│≤1                                           x=arccos a+2 n , n є Z

6 cos x=0                                                         x= +n , n є Z

7

9

нет решений

                                     нет решений

 

Например:

1) сos (x+52˚)=0

x+52˚= +n=90˚+180˚n , n є Z

x=38˚+180˚n   , nєZ

2) cos² x=

cos x=

x₁=arccos +2n , n є Z

x₂=arccos (-)+2n= (+arccos )+2n=+2n  , n є Z

3) сtg²х+сtg х=0

сtg х*(сtg х+1)=0

сtg х=0       х=+n , n є Z

сtg х= -1     х=-arcсtg 1+n=+n , n є Z

4) tg(3x+21˚)=0

3x+21˚=arctg 0˚+n=n

3x=n-21˚

x=60˚n-7˚ , nєZ

5) 2sin x+=0

sin x= -  => x=(-1)ⁿ arcsin (-)+ n=(-1)ⁿ⁺¹arcsin +n , n є Z

x=(-1)ⁿ⁺¹+n

6) 3 сtg(x+17˚)+=0

сtg(x+17˚)= -                                                                                             

x+17 ˚=- arcсtg+n

x+17˚=+n=120˚+n

х=103˚+n , nєZ

7) сos(30˚-x)=1

сos(x-30˚)=1

x-30˚=2 n

x= 30˚+2 n , nєZ

x=135+540  , nєZ

Способы решения тригонометрических уравнений.

Цель урока: Познакомить учащихся с методами решения тригонометрических уравнений. Научить применять  умения и навыки решения тригонометрических уравнений.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

III Повторение.

IV Изложение нового материала.

I Тригонометрические уравнения относятся к числу трансцендентных уравнений,

которые имеют общую теорию решения, поэтому рассматриваются частные виды

уравнений, допускающие элементарное решение.

В основном все тригонометрические уравнения можно свести путём тождественных преобразований к следующим способам:

1) способ подстановки, т.е. сведение уравнения к квадратному.

2)сведение к одной тригонометрической функции.

3)способ разложения на множители.

4)решение уравнения с помощью формул.

5)решение однородных уравнений.

6)графический.

1 способ подстановки:     2 cos² x+ cosx-1=0

cos x=t        cos² x=t²

2t²+t-1=0

t₁= -1             t₂=

cos x= -1       cos x=

x=+2n , n є Z          

х=arccos  +2n

х=+2n , n є Z

II Сведение к одной тригонометрической функции.

Тригонометрические функции входящие в уравнение, выражаются через функцию

одного и того же аргумента и уравнение приводится к простейшему. Корни вводить не рекомендуется.

2 sin² x=3 cosx

2(1- cos² x)=3 cosx

2-2 cos² x-3 cos x=0

2 cos² x+3 cos x-2=0                D=25

2t²+3t-2=0

t₁= t₂= -2             cosx=

III Разложение на множители.

2 sin² x+2 sinx-=

2 sin² x+2 sinx-=0

2sinx(sinx+1)- =0

(sinx+1)*=0

sinx= -1        2sinx=sinx=

х= (-1)^R arc sin x (-1)+n

x= (-1)^R+1+ Пn

х= (-1)^R arc sin x + n

х= (-1)^R+ n ,    nєZ

IV Решение уравнений с помощью формул.

cos 2x= cos 6x

cos 6x- cos 2x=0

-2 sin 4x* sin (-2x)=0

sin 4x* sin 2x=0

х=

sin 4x=0                       sin 2x=0

4х=n                         2х= n

х=, n є Zx=, n є Z

V Решение однородных уравнений в котором все члены уравнения одной и той же

степени относительно неизвестного а, правая часть о называется однородным.

1) cos x+ sin x=0   (:cos x≠0)

1+tg=0         tg x= -1

tg x= arctg(-1)+ n= - arctg 1+ n=+ n , n є Z

2)   3 sin x-5 cos x=0       (:cos x≠0)

tg x=                 x=arctg +n , n є Z

3) sin x  +cos x=0            (:cos x≠0)

tg x+1=0

tg x= -= -

x=arctg(-)+n= -+n , n є Z

Однородные уравнения второй степени.

1. 5sin² x-2cos² x-3sinx*cosx=0  (:cos² x≠0)

5sin² x -2cos² x - 3sin x*cos x =0

cos² x    cos² x          cos x

5tg² x-3tg x-2=0

D=49   t₁=1   t₂= -

tg x =1   tg x=-

x=arctg 1+n

x= -arctg +n , n є Z

x=+n , n є Z

2. 5sin² x-7sin x*cos x+4cos² x =1

5sin² x-7sin x*cos x+4cos² x-cos² x-sin² x=0

4sin² x-7sin x*cos x+3cos² x=0           (:cos x≠0)

4tg² x-7tg x+3=0                      tg x=t

4t²-7t+3=0          D=1              t₁=1   ,   t₂=

tg x=1      tg x=

x= arctg 1+ n                         х= arctg  + n , n є Z

x=+ n ,  n є Z

3. cos² x(-х)+8 cosx(+х)+7=0

cos² x-8 cos x+7=0                               cos x=у

y ²-8y+7=0                                            D=36     y₁=1         y₂=7

cos x=1

x=2n

4. 1.5 - 0.5 cos 4x= sin² x+ cos² x

1.5 -0.5 cos 4x =1

-0.5 cos 4x =1-1.5= -0.5

cos 4x=1

4x=2 n , =>  x=  , n є Z

5.      …3х sin x- cos 7x* cos 5x=0

2(cos (3х-х)- cos (3х+х))= (cos (7х+5х)+ cos (7х-5х))=0

 cos 2x-  cos 4x-  cos 12x-  cos 2x=0

cos 4х+ cos 12x=0

cos 4х+ cos 12x=0

2cos 8x*cos 4x=0

cos 8x*cos 4x=0

cos 8x=0                                              cos 4x=0

8х=+n                           4х=+n

х=+n , n є Zx=+n  , n є Z

6.  sin (x-15˚)*sin (x+45˚)=

 (cos (x-15-x-45˚)-cos (x-15˚+x45˚))=

cos (-60˚) -cos (2x+30˚)=1

-cos (2x+30˚)=1

cos (2x+30˚)= -

2x+30˚=arccos (- )+2n

2x=-30˚arccos (- )+2n= -30˚120˚+2n

x= -=()+()= - 15˚60˚180n

x₁=45˚+n , n є Z                                            

x₂= -75˚+n , n є Z

7. 2 sin 3x-1=0

sin 3x=

3x=(-1)ⁿ arcsin  +n=(-1)ⁿ +n

х=(-1)ⁿ+ , nєZ

8.  cos (-)=1

-=2 n

х=+4 n

9.  sin 2x*cos x+ cos 2x*sin x=0

sin (2x+x)=0

sin 3x=0

3x= n

x=,n є Z

10.  2 cos (2х+)=1

cos (2х+)=

2х+=arccos +2n=+2 n

2х=-+2 n

2х₁=-+2 n

х₁=+ n , n є Z

2х₂= --+2n= -+2n

х₂= -+n , nєZ

ctg² x+ctgx=2

y² +y-2=0

y₁ =1                                       y₂ = -2

ctg x=1                                    ctg x= -2

x=+nх=-arcctg 2+n

12.  2sin 10x-=0

sin 10x=

10x=(-1)ⁿ arcsin +n

10x=(-1)ⁿ+n

х=(-1)ⁿ+                                                                     243

                                                                                                                258

13.  4sin³ x-sin x=0

sin x(4sin² x-1)=0

sin x=0                           sin² x=

x₁ =n                            sin =

x₂ =(-1)ⁿ arcsin  +n=(-1)ⁿ +n

х₃ =(-1)ⁿ⁺¹ +n , n є Z

2.1.Пределы

Предел функции в точке и на бесконечности

Цель урока: Дать определение передела функции в точке. Сортировать у учащихся понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.

Ход урока

              I.         Организационный момент:

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Изложение нового материала

Определение:Число b называется пределом функции  при, если для любого сколь угодно малого положительно найдется такое положительное число , что при любых, удовлетворяющих условию  выполняется неравенство.

Например:

1.  

2.  

3.  

Эти функции разрывные в т. , но разрывные по-разному.

Определение: Величина называется, если её  и, если её.

 -  -

Например:  -   -

Определение:  Величина обратная  является  и наоборот.

Определение: Число А называется пределом функции  на  (в бесконечно удалённой точке), если для любого  найдётся такое, что при любом  выполняется неравенство  и записывают

функции слева и справа

Определение: Число А называется пределом функции в т.справа (слева), если любое , найдётся такое , что при  (), выполняется условие  и записывается .

Определение:функции в точке существует, если  справа меньше слева

1.      Закрепление: по определению предела.

2.  

3.  

4.  

5.  

Домашнее задание: глава IV§18 п. 1,2

Непрерывность функции

Цель урока: Дать понятие непрерывности функции в точке и на промежутке.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

Современное понятие о непрерывности функции было сформулировано Б. Больцано и О. Коши. Понятие о непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразным, т.е. количественные изменения переходят в качественные.

Определение:  Функция ,  называется непрерывным в т.  означает выполняемость следующих условий:

1.   Функция  должна быть определена в т.;

2.   У функции должна существовать в т.;

3.   функции в т. совпадает со значением функции в этой точке.

Например: Непрерывна ли функция  в точке ?

функция непрерывна в точке .

Д/З: глава IV§19 п. 15 №4,43(а, б)

Теоремы о пределах

Цель урока: Сформулировать теоремы о пределах. Научить вычислять пределы функции в точке.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Изложение нового материала

Теорема₁ Переменная величина не может иметь двух разных пределов. Следовательно, если две переменные величины имеют пределы и при всех своих изменениях равны между собой, то равны и их пределы.

Теорема₂ Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Если функции  и  имеют лимит, то

Теорема₃ Предел суммы (разности) функций, равен сумме (разности) пределов функций.

Теорема₄ Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций

Теорема₅Постоянный множитель можно вынести за знак предела

Теорема₆ Предел степенной равен той же степени предела переменой

Теорема₇ Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если предел делителя не равен нулю

Теорема₈

Вычисление пределов функции

1.   если вычисляется предел функции в точке, то необходимо использовать теоремы о пределах (подставить предельное значение переменной).

Например:

2.   если имеется неопределённость вида , когда в числителе знаменателе стоят многочлены любой степени и переменная неограниченно возрастает, то необходимо числитель и знаменатель разделить на переменную в наивысшей степени и перейти к пределам.

 Например:

3.   если имеется неопределённость , когда в числителе и в знаменателе стоят многочлены любой степени, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить, а затем перейти к пределам.

 Например:

4.   если под знаком предела стоят выражения содержащие иррациональность, то необходимо числитель и знаменатель умножить на сопряжённое выражения числителю или знаменателю (если иррациональность и в числителе и в знаменателе, то умножают одновременно и знаменатель и числитель на сопряжённое выражение) затем сокращают и переходят к пределам. Например:

а)

б)

IV. Закрепление:

№4.44

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

8.     

9.     

10.

Домашнее задание:глава IV§18 п. 3 №4.36 (в, г, д);  глава IV §15-19   №4.29, 4.24

Вычисление пределов функций

Цель урока: Продолжать формирование умений и навыков вычисления пределов

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Поверка домашнего задания

           III.      Решение упражнений (индивидуальных карточек)

I   1. ;                          2.

II    1.  ;                         2.

III   1.   ;                     2.

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.     

2.2.Производная

Понятие производной появилось в 17 в. при решении задачи об определении мгновенной скорости неравномерного движения и некоторых других задач. Основной предпосылкой для создания дифференциального исчисления явилось введение в математику переменной величины. Дифференциальное исчисление было развито немецким математиком и философом Г.Лейбницем и английским математиком и механиком И. Ньютоном. С помощью дифференциального исчисления был решен целый ряд задач теоретической механики, физики, астрономии. Обоснование основных понятий дифференциального исчисления было сделано О. Коши на основе понятия предела.

Для развития дифференциального исчисления характерно, что после строгого введения основных понятий с помощью предельного перехода оно даёт возможность находить производные с помощью простого алгоритма чисто алгебраического характера. Именно поэтому изучение основных формул дифференцирования и умение их использовать в процессе решения упражнений имеют большое практическое и воспитательное значение.

Приращение аргумента и приращение функции

Цель урока: Дать определение приращения функции и приращения аргумента. Познакомить с одним из основных понятий курса математического анализа. Дать основные задачи, приводящие к понятию производной.

Ход урока:

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

Пусть задана функция , и пусть  - некоторое значение аргумента из интервала . Тогда, если - другое фиксированное значение аргумента, то разность  называется приращением аргумента и обозначается , т.е.

Определение: Приращением функции называется изменения функции при заданном приращении аргумента

Приращение функции зависит от самого аргумента (в отличие от приращения аргумента)

Определение: Функция непрерывна в точке , если приращение этой функции в этой точке стремится к нулю при стремлении к нулю приращения аргумента , если .

Задача, приводящая к понятию производной

1.      задача о касательной

Определение: Угловой коэффициент прямой называется  угла наклона этой прямой к горизонтали.

Поставим задачу:

Найти: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Решение:

Проведём секущую между точками графика с абсциссами,  и . Образуется треугольник АВС – это треугольник Ньютона. Устремим , тогда секущая АВ как прямая стремится к касательной. А угловой коэффициент секущей АВ стремится к угловому коэффициенту касательной.

Определение: Касательной к графику функции  называется предельное положение секущей при сближении точек сечения.

Найдём угловой коэффициент секущей:

 при

Определение: Производная функции  равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции .

2. задача о скорости

При равномерном движении тела за одинаковый промежуток времени  проходит одинаковое расстояние , т.е. движется с постоянной скоростью

При неравномерном движении тела за одинаковый промежуток времени  проходит различное расстояние , т.е. движется с переменой скоростью . Тогда отношение  является средней скоростью движения тела.

Поставим задачу:

Найти формулу вычисления скорости неравномерно движущегося тела в данный момент времени  (мгновенную скорость).

1-       график равномерного движения

2-       график неравномерного движения

Чем меньше , тем ближе графики расположены друг к другу, тем точнее средняя скорость  характеризует неравномерное движение. Если заставить , т.е. промежуток времени  будет стремиться стать моментом времени , то тогда  к скорости в момент времени, следовательно . Если существует лимит  при , то его принимают за скорость неравномерного движущегося тела в момент времени, т.е. .

Например: Тело свободно падает по закону . Найти формулу для вычисления скорости в момент времени .

               

Ответ:

Скорости многих физических процессов протекающих неравномерно, находятся через предел отношения приращения функции, задающей закон данного физического процесса к промежутку времени, за который это приращение произошло при условии, что промежуток времени стремится к нулю ().

Например: Сила тока (или скорость протекания заряда)

, где  - изменение заряда

Например: Скорость химической реакции

, где  - количество вещества вступившего в реакцию

Например: Ускорение движущегося тела (скорость изменения скорости)

, где  - изменения скорости тела

Все рассмотренные пределы имеют одинаковую структуру:

, где  - приращение функции;   - приращение аргумента.

Домашнее задание:глава VI§27 п. 1

Производная функции. Геометрический смысл производной.

Цель урока: Познакомить с одним из основных понятий курса математического анализа.

Ход урока

1.     Организационный момент

2.     Повторение

3.     Проверка домашнего задания

4.     Изложение нового материала

Определение₁: Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной данной функции.

Обозначение:

                           

Действие нахождения производной называется её дифференциалом (от латинского «differencia» - что означает разность), т.к. этот процесс связан с составлением разности  и .

Определение ₂: Функция называется дифференцируемой в точке, если в этой точке она имеет производную, т.е. существует.

Например: дифференцируема ли функция  в точке ?

Определение ₃: Функция называется дифференцируемойна некотором промежутке, если она дифференцируема во всех точках этого промежутка.

Теорема (о связи непрерывности и дифференцируемости): Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

По условию - дифференцируема в точке , следовательно, существует  или без символа «».

  при

 при

 - б./м. при

  при . Или с символом «»

непрерывна в точке .

Обратное утверждение выполняется не всегда, т.е. не все непрерывные в точке функции являются дифференцируемыми в этой точке.

Например: является ли функция  дифференцируемой в точке

 - непрерывна во всех точках

Рассмотрим точку

1.   Если , то , и по этому

2.   Если , то , и по этому

Не существует , следовательно, в точке  не дифференцируется.

·        Геометрический смысл производной.

Производная от данной функции в данной точке – это угловой коэффициент касательной.

·        Физический смысл производной.

Если  координата точки в момент времени , то  есть скорость точки.

Вычисление производной функции  в точке  на основеопределения.

1.   найти разность

2.   найти отношение

3.   найти придел этого отношения при

Например:

Пусть . Найти .

Решение: 1)

2)

3)

    1.  Производная постоянной величины равна нуля.

Производная суммы и разности функции

Цель урока: Вывести простейшие формулы дифференцирования и научить применять при решении примеров.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Повторение

           III.      Изложение нового материала.

Теорема: Если функция  и  имеют производные во всех точках интервала , то    для любого  или      2.

Доказательство:

Сумму функций , где , которая представляет собой новую функцию . Найдём производную этой функции, исходя из определения.

Пусть - некоторая точка . Тогда

Аналогично доказывается разность.

Что и требовалось доказать.

Например:  

     3. Производная степенной функции

Например:

          IV.      Самостоятельная работа №467 – 469

№473  1 – 4

1)

2)

3)

4)

Домашнее задание:№470

Производная произведения функций.

Цель урока: Вывести простейшие формулы дифференцирования и научить применять их при решении примеров.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

Теорема: Если функция  и  имеют производные во всех точках интервала , то  для любого или  4.

Доказать:

Доказательство: 1. Зададим аргументу  приращение , то по основному правилу

2.

3.

 т.к.  имеет производную, то , следовательно,

Что и требовалось доказать.

Например: 1)

2)

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

    5.

Например:

Доказательство: Применим теорему о производной произведения к ,где

Что и требовалось доказать.

Например:

             V.      Самостоятельная   №478 – 480, 482, 485

Домашнее задание:№481 §24 №484

Производная частного двух функций

Цель урока: Вывести простейшие формулы дифференцирования и научить применять их при решении примеров.

Ход урока

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

Теорема:  Если функция  и  имеют производные во всех точках интервала , причём  для любого , то  для любо                                                 

го  или 6.

Доказательство:

1.

2.

3.

4.

5.

Что и требовалось доказать.

Например:

1)

2)

V.    Закрепление

№488

1)                                                   3) 

2)                                                   4)  

№489

1) ;               2) ;                   3) ;                  4)

Сложная функция. Производная сложной функции.

Цель урока: Дать определение сложной функции. Сформулировать и доказать теоремы о производной сложной функции. Научить дифференцировать сложную и степенную функции.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение: производная частного двух функций

          IV.      Изложение нового материала

Пусть заданы две функции  и , причём область определения функции  содержит множество значений функции .

Определение: Функция, заданная формулой , называется сложной функцией, составленной из функций  и .

Например:  состоит из:  и

Теорема: Пусть функция ,  имеет производную в т очке , а функция определена на интервале, содержащем множество значений функции , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке , которая вычисляется по формуле  или, опуская значения аргументов

или Теорема:  Если, ,то 7

Доказательство:  дифференцируема, следовательно,  непрерывна, поэтому при .

Что и требовалось доказать.

Например:

№614                                                                               №615

а)                                             а)

б)                                                б)

г)                                                   в)

                                                                                          г)

Домашнее задание:§29  п. 1-3 №614

Производная показательной функции

Цель урока: Сформулировать и доказать теорему о производной показательной функции. Научить дифференцировать показательную функцию.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение:

 1) определениесложной функции;

 2) теорема о производной сложной функции

          IV.      Изложение нового материала

Рассмотрим функцию ,

Теорема:  Функция  имеет производную в каждой точке числовой прямой, и её производная вычисляется по формуле

Доказательство: Пусть  - некоторая точка числовой прямой. Тогда   т.к.  - производная точка числовой прямой, то в последней формуле можно заменить на . Т.о., имеем

Что и требовалось доказать.

Следствие  Показательная функция , где , дифференцируема в каждой точке числовой прямой, и её производная вычисляется по формуле

  10.

Доказательство: 1. Прологарифмируем , получим

2. дифференцируем по

Т:  Если , то

Доказательство: 1. логарифмируем функцию:  

2. дифференцируем по

подставляя,  получим:

Например: 1)

2)

Домашнее задание: №616 стр.278    №503, 511 (1,2), 512 (3,4)

 Производная логарифмической функции

Цель урока: Сформулировать и доказать теорему о производной логарифмической функции.Научить дифференцировать логарифмическую функцию.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

I.          Рассмотрим функцию . Найдём производную

, т.о.   8.

                 I.      Рассмотрим функцию , где

, и поэтому логарифмическая функция дифференцируема в своей области определения, и её производная вычисляется по формуле      9.

Например:

Домашнее задание: 625 – 649, 617  Апанасов §60

Производная синуса и косинуса.

Цель урока: Вывести формулы для нахождения производной синуса и косинуса. Научить дифференцировать функции синуса и косинуса.     

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

По определению производной, имеем  тогда  по теореме о пределе произведения, имеем

 т.к.

косинус функция непрерывная то 11.

Например:

Согласно определению производной, имеем

 тогда

12.

Например:

Домашнее задание:№620, 621, 504 – 507

Производная тангенса и котангенса.

Цель урока: Вывести формулу для нахождения производных тангенса и котангенса. Научить дифференцировать функции тангенса и котангенса.

Ход работы

                 I.      Организационный момент

              II.      Проверка домашнего задания

           III.      Повторение

          IV.      Изложение нового материала

Пусть дана функция . По определению  применим формулу . Тогда

  13.

Например: 1)

2)

3)

Пусть дана функция . По определению  применим формулу . Тогда

  14.

Например: 1)

2)

3)

4) 

5) 

6) 

7) 

Домашнее задание:Апанасов №109 – 144

Производные высших порядков

Цель урока: Ввести понятие производной второго порядка. Познакомить учащихся с ее механическим смыслом.

Ход урока

                 I.      Организационный момент

              II.      Повторение (письменная работа)

           III.      Проверка Д/З

          IV.      Изложение нового материала

- первая производная от

- вторая производная от

Вторая производная от функции, есть первая производная от первой производной.

Пример:

                  

                  

Вторая производная и её механический смысл

Пусть материальная точка движется прямолинейно и , тогда  скорость движения есть функция времени, следовательно, - ускорение движения в рассматриваемый момент времени.

Механическое значение второй производной

Пусть S – путь,  t – время

  

Например:

Найти  в момент времени.

Самостоятельно  №7.9 – 7.13

Домашнее задание:§32  №7.14 – 7.19

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать.

Пусть дана функция (*). Найти

1)     логарифмируем обе части (по основанию )

2)     дифференцируем обе части, где есть сложная функция от

 подставляем (*) вместо

3)    

логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня) и, в частности, для нахождения производной от показателно степенной функции , где U и V – функции от

Найти:      а)

1.

2.

3.

б)

Правило Лопиталя

(для раскрытия неопределенностей вида )

Теорема: Если  и и определены в некоторой окрестности т. и дифференцируемы в ней и , то

Короткая (но не точная) формулировка

Предел отношения функций пределу отношения производных этих функций.

1.

2.

3.

Исследование функций с помощью производных

Возрастание и убывание функций

Цель урока: Научить определять характер поведения функции (возрастание, убывание) на интервале.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Проверка Д/З индивидуально у всех учащихся

                 III.      Повторение

                IV.      Изложение нового материала

Необходимые условия монотонности

Теорема₁: Если дифференцируемая функция , возрастает на интервале , то  для любого .

Доказательство:

Если , следовательно, любое  и  справедливо неравенство: , т.к.  дифференцируема , то

Что и требовалось доказать.

Теорема₂:Если дифференцируемая функция , убывает на интервале , то  для любого .

Доказательство: т.к. - убывает, то - возрастающая. Из Т₁ следует  для любого , следовательно   для любого

Что и требовалось доказать.

Достаточные условия

Теорема₁:Если функция имеет «+» производную  в каждой точке интервала , то функция возрастает на этом интервале.

Теорема₂: Если функция имеет «-» производную  в каждой точке интервала , то функция убывает на этом интервале.

Например: 

1.

2.

 убывает на интервалах  и , т.к.

 возрастает на интервалах  и

Правило нахождения интервалов монотонности

1.      Вычислить  данной функции

2.      Найти точки, в которых  или не существует (критические точки)

3.      отметить критические точки на оси и определить знак  на каждом интервале. Если , то возрастает, а если , то  убывает.

Например:

1.      Область определения

2.                                                                        

3.      , для  возрастает на  и                    

 убывает на

Самостоятельно №7.20 (а-г)

Д/З §33 п. 1 – 3 №7.20 (д-м)

Исследование экстремумов функции

Цель урока: Дать определение максимума и минимума функции и научить находить экстремумы функции по первому правилу.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Повторение

                 III.      Изложение нового материала

Значение аргумента, при которых значение функции является наибольшим  или наименьшим называются точками или  функции, а значение функции при этих значениях аргумента называется или .

Точка из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая -окрестность  точки , что любой  из  этой -окрестности выполняется неравенство .

Точка из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая -окрестность  точки , что любой  из  этой -окрестности выполняется неравенство .

Значит, точка и  служит границей перехода от возрастания к убыванию.

Точки максимума и минимума функции  называется точками экстремума данной функции, а значит, называется в точке и , называется экстремумами функции.

Монотонное , и знак производной

Определение: называется монотонно возрастающей на , если для всех чисел из,

Теорема: Если  при любом , то  монотонно  на

Доказательство: Пусть выполнено условие Th. Пусть заданы  и  и . Пусть , тогда

Обратная теорема:

Теорема: Если  монотонно  на  существует на , то  при

Доказательство: Пусть выполнено условие теоремы. Пусть . Тогда ;  Поэтому

Пример:  при  - монотонно

Аналогично формулируется результаты об убывании и отрицательной производной.

Исследование специальных точек на экстремум с помощью первой производной.

Теорема Ферма

Теорема: Если точка  является точкой экстремума  функции , определенной в некоторой окрестности точки , и в этой точке существует производная , то она равна нулю:

Точки, в которых производная обращается в нуль называются стационарными точками данной функции. Стационарные точки называются подозрительными на экстремум.

Теорема о проверке стационарных точек на экстремум с помощью первой производной.

Th: Если  непрерывна в т., то

1) , то  точка max

2) , то  точка min

3) , то  - ни точка max, ни точка min

4) , то  - ни точка max, ни точка min

Доказательство:

Доказательства для 1-го случая: При  функция монотонно  на , значит, любой

При  функция монотонно  на , значит, любой существует , , значит,  - точка max

Пункт 2 аналогичен 1

Доказательство 3-го случая: При  любой

При  любой  нет ни max, ни min

Пункт 4 аналогичен 3

Например: 1)

2) не существует

           

	+	не существует			+

№7.21

а)

   1)

   2)

	+	0

   3) 

Домашнее задание: Составить конспект «уравнение касательной к графику функции».  №7.21 §35,36

Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке

Цель урока: Показать применение исследования функции на экстремум к решению прикладных задач.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Повторение

                 III.      Изложение нового материала

Определение:    1)  называется точка наибольшего значения  на отрезке , если любой

                   2)  называется точка наименьшего значения  на отрезке , если любой

точка наибольшего значения – точка

точка  - тоска наименьшего значения.

Наибольшее значение функции может достигаться внутри отрезка , тогда точка наибольшего значения стационара. Наибольшее значение может достигаться так же на концах в точках  и . Отсюда вытекает алгоритм поиска наибольшего значения:

Составим список стационарных точек:

x	x1	x2	…	xn	a	b

Не исследуя точки  на экстремум, находим наибольшее из значений функции в этой таблице. Аналогично наименьшее.

Пример: . Найдите наибольшее и наименьшее значения  на отрезке

      

x	2	8	-1	9
y	46	-62	-62	-52

 наибольшее , наименьшее

Наибольшее значение достигается внутри отрезка, а наименьшее на концах отрезка и внутри.

Исследование стационарных точек на экстремум с помощью второй производной

Цель урока: Дать понятия направления изгиба кривой, условия выпуклости кривой вверх и вниз, точки перегиба. Сформулировать правило нахождения точки перегиба. Дать правило исследования функции на экстремум с помощью производной. Показать исследование квадратного трёхчлена с помощью производной.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Повторение

                 III.      Изложение нового материала

Теорема: Если  непрерывна в т. и  и , то  - тоска min

       Если  и , то  - тоска max

Доказательство: Если  и непрерывна в т. (рис 1) в некоторой окрестности т..  её производная больше 0, значит,  (рис 2), значит,  при переходе через т. меняет знак с – на +, т.е.  - точка min

Аналогично доказывается  второй пункт.

Исследование стационарных точек на экстремум

с помощью второй производной

Th: Если  непрерывна в т. и  и , то  - точка min

       Если  и , то  - тоска max

Доказательство: Если  и непрерывна в т. (рис 1) в некоторой окрестности т..  её производная больше 0, значит,  (рис 2), значит,  при переходе через т. меняет знак с – на +, т.е.  - точка min

Аналогично доказывается  второй пункт.

Направление выпуклости и вогнутости кривой.

Определение: График функции  называется выпуклым на отрезке , если лежит ниже любой касательной проведенной в т. из отрезка.

Определение: График функции  называется вогнутым на отрезке , если он лежит выше любой касательной проведенной в т. из отрезка.

Диагностирование выпуклости с помощью второй производной.

Теорема: Если  при любых , то график  вогнутый на отрезке .

Доказательство:

Пусть  для любых . Рассмотрим касательную проведенную в т. и составим её уравнение .

Рассмотрим разность между  и

Мы хотим показать, что эта разность  положительна для любых , т.е. график лежит выше касательной.

ч.т.д.

В нашей геометрической иллюстрации . Если будет больше , то картина симметрично перевернется, а вывод останется тем же.

Теорема: Если  при любых , то график  выпуклый на отрезке .

Доказательство: Пусть , проведем касательную функции  с абсциссой . Составим уравнение касательной

Рассмотрим разность:

следовательно, график выпуклый.

Определение: Точка, по одну сторону от которой график выпуклый, а по другую вогнутый, называется точкой перегиба вторая производная равна нулю или не существует.

1.              Найти  и точки , в которых  или не существует, а кривая непрерывна и которые лежат внутри области её расположения.

2.              Определить знак  слева и справа от каждой из этих точек. Исследуя т. будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё  имеет разные знаки

Выяснить есть ли у графика функции  точка перегиба:

 не существует

Исследовать на выпуклость, вогнутость и перегиб 

1. 

2.  не существует

3.

Ответ:      

                  

                  

Асимптоты графика

Определение: Асимптотой данной функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении точки графика в бесконечность (или , или , или оба )

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.

1)               Прямая  является вертикальной асимптотой , если  или

Пример:

2)               Выведем формулу для нахождения коэффициента  и

Для наклонной асимптоты характерно

Разделим на

Считая, что  уже найдено, найдем свободный коэффициент  из (1)

Если обе формулы дают числа, то наклонная асимптота существует и

Если хотя бы один из этих пределов равен бесконечности или не существует, то наклонных асимптот нет.

Пример:

Ответ:  - асимптота

Замечание: При  формулы для асимптот те же.

Пример: Для предыдущей функции найти асимптоты при .

Ответ: асимптоты нет

Замечание: 1) График функции может пересекать асимптоту и даже в бесконечном множестве точек.

2) Если  и  число, то тогда асимптота существует и принадлежит вид  (горизонтальная асимптота)

Схема исследования функции для построения графика.

1.      Найти область определения функции

2.      Найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в этих точках

3.      Выяснить является функция четной, нечетной или периодической.

4.      Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции

5.      Найти асимптоты графика функции:

а) вертикальные

б) невертикальные

6.      Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции

7.      Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости вверх и вниз.

8.      Найти еще несколько точек графика функции, исходя из её уравнения.

9.      Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Дифференциал функции

Цель урока: Дать понятие дифференциала функции как главной части приращения функции. Раскрыть геометрический смысл дифференциала функции.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Проверка домашнего задания

                 III.      Повторение

                IV.      Изложение нового материала

Пусть задана функция , которая дифференцируема в точке , тогда = производной в точке , следовательно,

Формула (1) тем точнее, чем ближе к нулю

Определение: Дифференциал функциив точке  - это выражение

Например: 1)

2)

3)

Теорема о связи между приращением функции и дифференциалом

 Теорема:Если  имеет производную в т., то , где  при

Теорема: утверждает, что приращение функции равняется дифференциалу с точностью до весьма малой величины и равен произведению , где является бесконечно малыми.

Доказательство:  - функция от ,

. По Th о разности м/у функций и ее приделов , где - б.м. при

Умножим обе части  на  и получим утверждение (теорема)

Дифференциалы высших порядков

Определение:Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка этой функции

                       по  дважды

Найти дифференциалы функций

1) 

2)

2.3. Интеграл и его приложения.

Интеграл- одно из важнейших понятий математического анализа, возникшее в связи с задачами отыскания функции по заданной производной и вычисления площади криволинейной трапеции. Эти задачи привели к двум видам интеграла: неопределённому и определённому. Изучение свойств и методов вычисления этих интегралов составляет задачу интегрального исчисления. Интегральное исчисление неразрывно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним основу математического анализа. Основные понятия и теория интегрального и дифференциального исчислений, прежде всего связь дифференцирования и интегрирования и их применение к решению прикладных задач, были разработаны в основном в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница в конце 17в. Их исследования послужили толчком для последующего интенсивного развития математического анализа. Большую роль в развитии интегрального исчисления сыграли работы Л. Эйлера, Я. Бернулли, Ж.Лагранжа, позднее О. Коши, Г. Римана(1826-1866).

Неопределённый интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Цель урока: Познакомить учащихся с понятиями первообразной и неопределенного интеграла. Ввести основные понятия темы и дать их основные свойства.

Ход урока

 Организационный момент.

 Проверка д/з.

 Повторение.

 Изложение нового материала.

Задача 1

Тело движется со скоростью, изменяющейся по закону . Найти закон пути, по которому движется тело. По физическому смыслу производной:

Задача 2

Угловой коэффициент касательной к

графику функции вычисляется по формуле . По геометрическому смыслу производной:

Обе задачи сводились к следующему:

Известна некоторая функция  (в задаче №1: , в задаче №2: ), которая является производной для функции  (в задаче №1: , в задаче №2: ). Требовалось найти функцию .

                              

           Первообразная       производная

                   для              для

Определение₁ Функция  называется первообразной для , если выполняется равенство:

Tеорема_1.  Если функция  является первообразной для функции, то всякая функция вида, где - произвольная постоянная, также является первообразной для функции.

Доказательство: - первообразная для .

Найдём - первообразная для .

Что и требовалось доказать.

функция	первообразная

Пример:

Определение_2. Пусть функция  является первообразной для функции , тогда множество всех первообразных дл этой функции  называется неопределённым интегралом функции .

ОБОЗНАЧАЮТ , где     - подынтегральная функция;

                                                                              - подынтегральное выражение

                                                                              - дифференциал переменной интегрирования

Пример:   125

                  

                  

Tеорема₂ (о существовании неопределённого интеграла)

Если функция непрерывна на некотором промежутке, то для нёё существует на этом промежутке неопределённый интеграл.

Свойства неопределённого интеграла.

1.   Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

            Доказательство:

2.   Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

           

3.   Интеграл дифференциала некоторой функции равен ей самой сложенной с произвольной постоянной.

        Доказательство:       

                                              

                                              

4.  

5.  

6.   Пусть  первообразная для функции

           

Основные формулы интегрирования

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

           

6.     

7.     

8.     

9.      126

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Непосредственное интегрирование

Цель урока: Показать учащимся принцип вывода формул интегрирования и применения их для нахождения интегралов методом непосредственного интегрирования и методом подстановки.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Проверка д/з индивидуально у всех учащихся

                 III.      Повторение

                IV.      Изложение нового материала

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании свойств неопределённого интеграла и формул интегрирования, а также на использовании с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции.

1.

2. 

3. с 127

Интегрирование постановкой

Интегрирование постановкой или метод интегрирования с помощью замены переменой применяется в тех случаях, когда подынтегральная функция не поддаётся тождественным преобразованиям, приводящим к непосредственному интегрированию. Данный метод заключается в замене некоторого выражения в подынтегральную функцию одной переменой, т.о. что вся оставшаяся часть подынтегрального выражения представляет  собой дифференциал этой переменой.

1.

2.

3.

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) 12)

Домашнее задание:

1)

2)

3)

4)

5)

Определённый интеграл и его свойства

Цель урока: Ввести понятие определённого интеграла и дать его геометрический смысл. Доказать теорему Ньютона-Лейбница и научить ею пользоваться. Рассмотреть свойства определённого интеграла.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Проверка Д/З

                 III.      Изложение нового материала

Задача, приводящая к определению определённого интеграла

Найти площадь фигуры ограниченной:

1.      осью ох

2.      прямыми

3.      графиком функции          - непрерывная функция

Фигура - криволинейная трапеция. Разделим отрезок на равных частей точками . Длина каждого промежутка будет равна . Возьмем произвольную точку  на отрезке . Построим прямоугольники с основанием и высотой .

В результате у нас получится ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников. 

Это приближение будет тем точнее, чем больше будет число . Тогда точное значение получится в пределе при , . Если существует , то он принимается за площадь криволинейной трапеции. Если существует , ни зависящий от способа разбиения, от выбора

точки , то этот придел называется определённым интегралом функции  на отрезке   и обозначается:

Геометрический смысл определённого интеграла состоит в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции под графиком функции на .

Теорема Ньютона-Лейбница

Теорема: Если функция  непрерывна на  и  её первообразная на этом отрезке, то .

Доказательство: Пусть , тогда согласно теореме . Рассмотрим ещё одну первообразную для функции  и обозначим её . По свойству о двух первообразных одной функции, они могут отличаться лишь на постоянное число, т.е.

Пусть , тогда

Пусть , тогда 

Что и требовалось доказать.

Теорема Ньютона-Лейбница даёт алгоритм точного вычисления определённого интеграла:

Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно найти первообразную подынтегральной функции, а заем составить разность её значений на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Свойства определённого интеграла

1.     

2.     

           

Доказательство:  по теореме сумме пределов

3.      Если , то

4.     

5.      Если существует , то

Закрепление:

№3.5

а)

б)

в)

№138

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

7.       

Домашнее задание::

1.     

2.     

3.     

4.     

Замена переменой в определенном интеграле

Цель урока: Научить вычислять определенный интеграл методом подстановки.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Повторение: формула Ньютона-Лейбница доказать у доски

                 III.      Проверка Д/З

                IV.      Изложение нового материала

Пусть дан интеграл , где  непрерывна на интервале . Введём новую переменную по формуле .

Если:         1)

                   2) - непрерывны

                   3)  - определена и не прерывна на

то

Доказательство: Если - первообразная для, то

Из (1)

Из (2)

Т.к. правые части равны, то левые тоже равны.

Что и требовалось доказать.

1)

2)

Д/З:

Закрепление Апанасов стр. 149

1.     

2.     

3.     

4.     

5.     

6.     

Интегрирование по частям.

Цель урока: Освоить на практике метод интегрирования по частям.

Ход урока

                       I.      Организационный момент

                    II.      Повторение

                 III.      Проверка домашнего задания

                IV.      Изложение нового материала

Пусть u и Ѵ – функции аргумента x.

Пример: .

Упражнение 1.

Упражнение 2.

.

Вычисление площадей криволинейных фигур с помощью определённого интеграла.

Цель урока:

Ход урока

                   V.      Организационный момент

                VI.      Повторение

             VII.       Проверка Д/З

          VIII.       Изложение нового материала

I тип

      

      

      

II тип

                  

       и  находится из уравнения

III тип

и  находится из уравнения

IV тип

- находится из уравнения

1.   Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой ,  прямыми  и  и осью .

2.   Вычислить площадь фигуры

3.   Вычислить площадь фигуры

, то

Домашнее задание:§58 Алимов №1022, 1023, №1035, 1036, 1037, 1038, 1039, 1041   

2.4.Комплексные числа.

 Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Цель урока: Расширить понятие числа; ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Основные знания и умения. Знать: определение комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа; формулировки основных соотношений; алгебраическую форму комплексного числа; определение сопряженных и противоположных чисел; действия над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление; геометрическую интерпретацию суммы и разности комплексных чисел

Уметь: выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости; строить сумму и разность.

Ход урока.

1.     Организационный момент.

2.      Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися уже известные им сведения о числовых множествах.

3.     Изложение нового материала.

Первое упоминание о комплексных числах встречается в работах итальянского математика                                     Д. Кардано (1501-1576г.). Термин “комплексные числа” ввёл немецкий математик К. Гаусс (1777-1855г.). На рубеже XVIII – XIX в.-в. комплексным числам была дана геометрическая интерпретация. В начале XIX в. была создана теория функций комплексного переменного, которая играет важную роль в современной прикладной математике. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования, и т. д.

 множество натуральных чисел.

 множество целых неотрицательных чисел.

множество целых чисел.

множество рациональных чисел.

множество иррациональных чисел.

 множество действительных чисел.

Например     

def: Комплексным числом называется число вида   , где  - действительные числа, j – мнимая единица, обладающая свойством.

a- действительная часть комплексного числа.

bj – мнимая часть комплексного числа.

b– коэффициент при мнимой единице.

j – мнимая единица.

(1) Если a=0, то  - мнимое число.

(2) Если b=0, то  - действительное число.

(3) Если a=0 и b=0 , то  - комплексный нуль.

def: Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны действительные части и коэффициент при мнимой единице.

                   и                    

равенство  комплексных чисел.

равенство комплексного числа нулю:

          алгебраическая форма комплексного числа.

*Геометрическое изображение комплексного числа.

Комплексные числа изображаются на координатной плоскости в виде:

1. Точки Z с координатами aиb.

2. В виде вектора OM  с координатами aиb.

Ось OX – действительная ось.

Ось OY – минимальная ось.

I   1)

II   1)

Определение: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются только знаками коэффициента при мнимой единице.

например:            

Определение: Два комплексных числа называются противоположными, если они в сумме дают нуль.

например:      

Определение: Сопряженные комплексные числа изображаются симметрично оси OX.

Определение: Противоположные комплексные числа симметричны относительно начала координат.

Определение: Комплексные числа несравнимы между собой по величине, т.к. точки им соответствующие не лежат на одной оси.

Комплексные числа сравнимы только по модулю.

Определение: Модулем комплексного числа называется арифметическое значение квадратного корня из суммы квадратов коэффициентов действительной и мнимой частей и обозначается r.

 - модуль комплексного числа.

Определение: Аргументом комплексного числа называются угол γ, который образует вектор, изображающий комплексное число с положительным направлением оси OX.

=

r=

Действие над  комплексными числами в алгебраической форме.

(1). Сложение комплексных чисел.

Например:

(2). Вычитание комплексного числа.

Например:

*  Сумма двух сопряженных комплексных чисел есть действительное число равное “2a”

*  Разность двух сопряженных комплексных чисел равна чисто мнимому числу=2bj.

(3). Умножение комплексных чисел.

Умножение комплексных чисел производится по правилу умножения двухчленна на двухчлен.

1)

(4) Деление комплексных чисел

Например:

1)

*  Произведение  сопряженных комплексных чисел есть число действительное

Разложить на множители

         или

Степень мнимой единицы.

Например: 

Сложение и вычитание комплексных чисел геометрически.

I Сложение

II Вычитание

1)

2)

*Найти два действительных числа x и y, удовлетворяющих условию.

Тогда

3) Вычислить:

a)

б)

В)

Г)

Д)

Е)

4)Решить уравнение

А)

Б)

5) Доказать:

                                                                                            0=0                ч.т.д.

6)

7)

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Цель урока: Дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической формы комплексного числа к тригонометрической обратно.

Ход урока.

1. Организационный момент 5’

2. Повторение и опрос

3. проверка домашнего задания

4. Изложение нового материала

Пусть . Из

 тригонометрическая форма комплексного числа, где  - модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа

Определение: Угол γ определяется неоднозначно, т.к. два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга на 2π, т.е. аргументы кратны 2π.

Алгоритм перехода от алгебраической формы к тригонометрической форме комплексного числа:

1. Вычислить модуль комплексного числа

2. Вычислить

3. По знаками a и b определить четверть в которой оканчивается величина искомого угла.

4. Найти угол 𝜑, ипользуя:

 четверть 𝜑=α

II четверть 𝜑=π-α

III четверть 𝜑=π+α

IV четверть 𝜑=2π-α

Определение. Два комплексного числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число кратное 2π.

Действие над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Цель урока: Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания

3. Повторение, опрос

4. Изложение нового материала.

(1) Умножение

Чтобы перемножить два комплексного числа нужно модули переместить, а аргументы сложить.

Например:

1)

2)

(2) Деление

Чтобы разделить одно комплексное число на другое нужно найти частное модулей, а аргумент равен разности аргументов делимого и делителя.

Например:

1)

2)

(3)  Возведение в степень. При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем, его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Например:

1)

Показательная форма комплексного числа.

Цель урока: Изучить показательную форму комплексного числа, форму эйлера. Научить переходить от алгебраической формы комплексного числа к показательной и наоборот.

Ход урока.

I Организационный момент

II Проверка д/з

III Опрос (повторение ранее изученного материала)

IV Изложение нового материала

 показательная форма комплексного числа.

  формула эйлера.

r – модуль комплексного числа

𝜑 – аргумент комплексного числа

Действие над комплексными числами в показательной форме.

(1) Умножение

Например: 

(2) Деление

Например:

(3) Возведение в степень

Например:

(4) Извлечение корня

Представить в показательной форме.

1)

1)

2)

3)

4)

5)

2)

1.

2.

3.

4.

5.

Формула Муавра.

Например:

Д/з.                               Представить в алгебраической форме:

1)

2)

3)

4)

5) Разделить

6) Вознести в степень

7) Представить в виде тригонометрической форме.

1)

2)

3)

4)

5)

(4)Извлечение корня n – степени из комплексного числа.

При k=0 получим значение корня α иногда называется равным.

 – арифметическое значение.

Геометрически все значения n – корней, корня n-й степени из комплексного числа изображается точками лежащими по окружности радиуса с центром в начале координат.

1) k=0,

2)

3) k=2, 

4) k=3 

2.5.Ряды

Понятие числового ряда. Свойство числового ряда.

Пусть дана бесконечная числовая последовательность 1, 4, 9, 16, … , +…

Составим выражение

1+4+9+16+…+…это выражение называется числовым рядом.

Определение. Выражение вида  -члены бесконечной числовой последовательности называются числовым рядом, и обозначается  (n может меняться от 0 или от 2)  называются членами ряда  общий член ряда.

Пример 1. 1+4+9+…+

Расположим ряд

Найдём конечные суммы членов ряда

 частичные суммы ряда

Имеем последовательность частичных сумм

Определение. Суммой числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм при

Имеет часто 2 случая:

1 случай имеет предел при

Тогда этот предел называется суммой числового ряда, а сам ряд сходящимся.

2 случай не имеет предела при , тогда числовой ряд называется расходящимся.

Пример 1. Рассмотрим ряд

Найдём сумму “n” членов.

=

 данный ряд расходится

Пример 2.

члены этого ряда образуют бесконечно-убывающую геометрическую прогрессию

 данный ряд сходится.

Пример 3.  члены этого ряда образуют возрастающую геометрическую прогрессию, где

 ряд расходится.

Пример 4. Дан ряд  (гармонический ряд)

воспользуемся равенством второго замечательного предела

(1+

Прологарифмируем обе части по основанию l.

Пусть n=1, 2, …

 ряд расходится.

Признаки сходимости.

I. Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд  сходится, то его общий член стремится к 0 при .

.

Доказательство: Пусть  - сходится, тогда

-

.

ч.т.д.

Обратное:  - сходится.

неверно.

Например:

 - расходится (см. пр.4)

Следствие: Если  - расходится.

Например:  (см. пр. 4).

 - расходится.

II. Достаточные признаки сходимости.

(1) Признак сравнения:

Дано:

Тогда

1 Если

То  так же сходится

2 Если

То  так же расходится.

Пример 1

Сравним данный ряд с рядом  (гармонический ряд), про который известно, что он расходится.

.

⟹ - расходится.

Пример 2

Сравним данный ряд с рядом , про который известно, что он сходится.

⟹

(2). Признак Даламбера:

Дано:

Тогда, если  существует, то

1. При условии  ряд

 сходится.

2. При условии  ряд

Составим:

=

Найдём

- расходится.

Пример 2.

Составим:

Найдём  - сходтся.

Пример 3.

Выражение:

n! называется n- факториалом и означает: n! 1*2*3*…(n-2)(n-1)*n, т.е. произведение n последующих натуральных чисел.

Например: 5!=1*2*3*4*5

                     2!=1*2

                 1!=1

                  0!=1 (полагают  равным 1)

Составим:  ,

Найдём   сходится.

Знакочередующиеся ряды.

Определение: Ряд вида  где  , называется знакочередующимся рядом.

Пример:

Теорема (признак сходимости знакочередующегося ряда).

Если в знакочередующимся ряда , то данный ряд сходится.

Доказательство: Рассмотрим 2 случая n- четное и n- нечётное.

1 случай. n=2m(четное)

Найдём 

Составим 2 равенства:

(1) 

В равенстве (1)

т.к.

Имеем:   возрастает и остаётся меньше  возрастающая и ограниченная последовательность  ⟹  имеет предел.

при четном n ряд предел.

2 случай.   (нечетное)

Найдём

 при нечетном n ряд сходится.

Следовательно ряд сходится при любом n.

Пример:

сходится.

Упражнения:

№1.

⟹ ряд сходится.

⟹ ряд сходится.

№ 3.

 ряд расходится.

Абсолютная и условная сходимость.

Определение. Если ряд  сходится, и сходится ряд

 , то ряд  называется абсолютно сходящимся, а ряд  расходящимся, то ряд  называется условно сходящимся.

Пример 1.

⟹ сходится.

Рассмотрим.  - сходится (т.к. состоит из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии) ⟹ сходится абсолютно.

Пример 2.

 сходится условно.

Рассмотрим  - расходится  - сходится условно.

Упражнения: абсолютно или условно сходятся ряды:

№1.

Рассмотрим.

 сходится ⟹

№2.

Рассмотрим.

Сравним с

⟹ - расходится ⟹ сходится условно.

Функциональные ряды.

Определение. Выражение вида:

 где  некоторая последовательность функции, называется функциональным рядом.

Пример 1+x+ - функциональный ряд.

Рассмотрим вопрос о сходимости функционального ряда.

Пусть дан  функциональный ряд :

Если аргумент x принимает постоянное значение , то ряд (1) примет вид:

(2)  т.е. (2) числовой ряд, и о нём можно судить: сходится он или расходится.

Определение. Если функциональный ряд  является сходящимся рядом при , то он называется сходящимся в точке  .

Пример:

1 Пусть .

 - сходится.

Следовательно   сходится в точке  .

2 Пусть  .

 - знакочередующийся ряд.

 - сходится.

Следовательно  сходится в точке .

3 Пусть

 ряд расходится.

Следовательно  расходится в точке  .

Определение. Если некоторый функциональный ряд сходится в нескольких  точках, то множество всех точек сходимости этого ряда называется областью сходимости.

Пример М. показать, что областью сходимости для ряда  является промежуток  т.к. при всех   из этого промежутка данный ряд состоит из числовой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая имеет предел.

Степенной ряд.

Определение. Функциональный ряд вида

 - некоторые числа, называется степенным.

Область сходимости степенного ряда находится с помощью известных признаков сходимости.

Пример.

Рассмотрим  - ч.р.

Применим признак Даламбера.

 *

 .

Чтобы ряд  был сходящимся нужно, чтобы  , т.е.

Обычно, концы промежутка области  сходимости исследует на сходимость отдельно.

при   знакочередующийся сходящийся ряд.

при  - расходящийся гармоничный ряд.

Ответ: Область сходимости

Ряд Маклорена.

Обозначим заданный степенной ряд:

тогда:

Степенной ряд обладает свойством: все его члены можно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом сходимость ряда и область сходимости не изменяются.

Обозначим

Продифференцируем ряд несколько раз.

Пусть x=0.

 - это ряд Маклорена

Пример.

Разложить ряд Маклорена в функцию:

Упражнение1. Разложить в ряд Маклорена функцию  .

 повтор

Упражнение2. Разложить функцию  в ряд Маклорена.

Тригонометрические ряды. Коэффициенты Фурье.

В электротехнике часто  рассматриваются сложные периодические (колебательные процессы), изменяющиеся по синусоидальным и косинусоидальным законам.

В общем виде эти законы можно записать с помощью тригонометрического ряда:

Все слагаемые вида  имеют период  2 (т.к. у функции период равен ).

Рассмотрим функцию

Поставим задачу: найти коэффициенты  для того, чтобы разложить функцию  в тригонометрический ряд.

По свойству ряда, данный ряд можно интегрировать любое число раз.

 Для интегрирования данного ряда нам понадобятся следующие интегралы:

1.

 - вычисляется аналогично (найти самостоятельно).

 (3)

4.5. вычислить аналогично:

(4)

(5)

1. Нахождение:

Проинтегрируем

Рассмотрим метод интегрирование по частям, которым часто пользуются при вычислении коэффициентов Фурье.

Пусть u и Ѵ – функции аргумента x.

Пример: .

Упражнение 1.

Упражнение 2.

.

2. нахождение

Умножим обе части на

Проинтегрируем обе части равенства:

3. Нахождение (аналогично с )

Разложение функции в ряд Фурье.

Пример 1. Разложитьd ряд Фурье.

Ряд Фурье имеет вид:

(1). , где

Подставим найденные  В ряд (1):

Пример 2. Разложить  в ряд Фурье. Ряд Фурье имеет вид:

(1) , где

Раздел 3. Элементы аналитической геометрии на плоскости

Векторное исчисление возникло в 19 в. в связи с задачами геометрии, техники и физики. Изложение этого раздела математики принадлежит американскому учёному Дж. Гиббсу(1839-1903). Немалый вклад в разработку теории и приложений векторов внёс русский математик АП. Котельников(1865-1944).

1.Векторы. Действия над векторами.

Цель урока: Повторить и углубить знания учащихся по теме «Векторы на плоскости». Сформировать у учащихся понятия о компланарных векторах, базисе, разложении вектора по заданному базису на плоскости и в пространстве.

Ход урока:

I.      Организационный момент.

II.      Повторение опорных знаний студентов

III.      Изложение нового материала.

  Определение: Вектор – это направленный отрезок, он характеризуется длиной, направлением и точкой приложения.

  Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым.

  Длину вектора называют модулем вектора.

Два ненулевых вектора называются равными, если они имеют равные длины, параллельны и направлены в одну сторону.

Два вектора, расположенные на параллельных прямых, называются коллинеарными (совпадающие прямые также параллельны) обозначаются как и параллельность векторов.

Признак коллинеарности двух векторов.

Для того чтобы векторы а    и   в    были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы число существовало число λ такое, что   в = λ а   или    а     = λ·в

Действия над векторами:

  Суммой двух произвольных векторов        и      называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора, отложенного от конца вектора .

 

Разностью векторов     и    называется вектор , дающий в сумме с вектором   вектор    т.е.   +  =

Умножение вектора на число

Произведением вектора  = 0  на действительное число λ называется вектор, длина которого равна произведению длины          на  │λ│; направление же этого вектора совпадает с направлением , если  λ>0  и противоположно направлен  , если  λ<0                                ⎮λ │=│λ│·││

Прямоугольная система координат плоскости. Длина вектора.

Цель урока: Ввести понятие о системах координат, прямоугольный и полярный радиус вектор точки, о координатах радиуса вектора.

Ход урока:

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:определения

1)     Вектор

2)     Скаляр

3)     Коллинеарные вектора

4)     Признаки коллинеарности

5)     Базис

6)     Действия с векторами

 IV.      Изложение нового материала.

Если на плоскости заданы совокупность точки 0 и базиса (₁; ), то говорят, задана декартова система координат, где точка 0 – начало координат

прямые ох, оу, проходящие через точку 0 в направлении базисных векторов называются осями координат

     ох – ось абсцисс                                      оz – ось аппликат

     оу – ось ординат          

Всякий вектор может быть задан на плоскости своими координатами, или координатами начала и конца.

 = (х; у)=

А (х₁; у₁), В (х₂; у₂)

 =(х₂–х₁); (у₂–у₁)

Формула для нахождения координат вектора.

                                                                                 Вектор ОМ называются радиусом -                   

                                                                                 вектором точка М

                                                                                 Радиус – вектор точки однозначно 

                                                                                 определяет её положение 

                                                                                 относительно данной П.С.К. оху

Рассмотрим на плоскости ось l с началом отсчета в точке 0

Пусть точка А – произвольная точка плоскости.

l – полярная ось, точка 0 – полюс,

ОА – полярный радиус.

<α=( ^l) отсчитываемый в положительном направлении от оси, называется полярным углом.

r – длина вектора

                                                    r =

Числа r и α называют полярными координатами точка А и пишут А(r, α), а полученную систему координат – полярной.

Установим связь между полярными и прямоугольными координатами точки

Пусть точка А (х; у) в хоу

Примем ось ох за полярную ось, а точку 0 за полюс, то в полученной полярной системе координат точка А имеет координаты (r, α). При этом прямоугольные координаты точки А отличной от полюса выражаются через её полярные координаты следующим образом

х = r·cos α

y = r·sin α                                                           (1)

Выразим полярные координаты (r, α) точки А через её прямоугольные координаты (х; у)

х²+у²=r²cos²α+r ² sin²α=r ²(cos²α+sin²α)=r ²

r ² =x ²+y ²

r                                               (2) 

Если r 0 (т. А не совпадает с т. 0), то из (1) следует

        (3)

Например: найти полярные координаты точки А(√3; 1)

r==2

cosα=√3/2, sinα=½ => α=30⁰

значит А(2; 30⁰)

Найдем формулу для вычисления длины вектора

Дано: в плоскости хоу

А(х₁; у₁)

B(х₂; у₂)

Найти:  ││  

Решение:

Из треугольника АNВ

AN= х₂– х₁

BN= у₂– у₁

по теореме Пифагора:

││= =

Закрепление нового материала

1)Определить координаты вектора , записать его разложение по векторам ₁; ₂, и построить его на плоскости

а) А(1; 5)       В(6; 8)

б) А(5; 7)       В(-7; -3)

2) Дан вектор =(4; 9). Найти координаты конца вектора , если его координаты находятся         

а) А(4; -3)

б) А(-7; 2)

3) Дан =(-3; 5). Найти координаты начального вектора , если координаты его конца.

а) В(5; -3)

б) В(-2; 0)

4) Найти расстояние от А (9; 12) до точки 0 (0; 0)

││===15

5) Найти расстояние  │АВ│, если   А(1; 2)   и   В(9; 6)

││==

6) Найти расстояние между  М(-12; -16) и началом координат

│0М│===20

Действия над векторами, заданными координатами.

Цель урока: Научить учащихся производить операции над векторами, заданными своими координатами на плоскости и в пространстве.

Ход урока:

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

 IV.      Изложение нового материала.

Если в прямоугольной системе координат хоу векторы    и    заданы своими координатами, т.е.

=( х₁; у₁),    =( х₂; у₂)   тогда координаты суммы векторов   и    получаются сложением одноименных координат этих векторов:

+=( х₁+х₂; у₁+ у₂)    Z₁+Z₂

Координаты разности векторов    и   получаются вычитанием одноименных координат этих векторов:

 –  =( х₁–х₂; у₁–у₂)

Координаты произведения вектора  на число λ получаются умножением координат этого вектора на λ

                                                   λ =( λ х₁; λ у₁)  

(-4; 6; 3)               (1; -1; 7)

1)+=(-3; 5; 10)

2)–=(-5; 7; -4)

3) m=4     m· =(-16; 24; 12)

 

Скалярное произведение двух векторов на ∑ произведений одноименных координат.

 ·=( х₁*х₂+ у₁  у₂)

 · =(-4+(-6)+21)=11

Даны     а =(2; 0; -4)   и      в =(-2; 3; -1)

Найти длину вектора  ·

Найти скалярное произведение:

а)  (-2; -5)  (3; 4)

б)  (1; 0)    (0; 3)

Нахождение угла между векторами.

Цель урока: Вывести формулу для вычисления угла между двумя векторами. Продолжать формулировать умения и навыки применения векторов к решению задач.

Ход урока:

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение: действия над векторами заданными своими координатами.

 IV.      Изложение нового материала.

Угол между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.

             α

                                          α=(;  )

1. Если α=90⁰,  то     ┴ 

2. Если ↑↓, то α=0⁰

3. Если ↑↓, то α=180⁰

4. Скалярное произведение вектора

·=││·││·cos α

а( х₁; у₁)

в( х₂; у₂)

cosα=

cos

Например

=(3; 4)          =(4; 3)

cos=

2.Метод координат

Деление отрезка в данном отношении.

Цель урока: Вывести формулу координат точки, делящей отрезок в данном отношении и пополам на плоскости и в пространстве и научить учащихся пользоваться ею.

Ход урока:

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

 IV.      Изложение нового материала.

Поделить отрезок в данном отношении значит найти координаты точки деления.

Х=Y=

формулы деления отрезка в данном отношении

Если  λ=1, то   

X=                    формулы деления

Y=        отрезка пополам

Дано: А(-3; 1), В(9; 1)

             λ

Найти: координаты точки М

Решение:

Х===0

Y==

Ответ: М(0; 1)

3.Уравнения прямых

Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение прямой.

Цель урока:  Дать понятие уравнения линии на плоскости и общее уравнение прямой. Рассмотрим частные случаи.

Ход урока:

     I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

 IV.      Изложение нового материала.

Уравнение f(x; y), где х и у – произвольные переменные, принимающие действительные значения, называются уравнением линии на плоскости.

Уравнению с переменными х и у соответствует на плоскости некоторая линия координаты, которой удовлетворяют этому уравнению и обратно.

Положение прямой на плоскости можно характеризовать с помощью вектора.

Способы задания прямой:

1)     Прямая проходит через точку ║ вектору.

2)     Прямая проходит через точку ┴ вектору.

3)     Прямая проходит через две данные точки.

4)     Прямая проходит через точку и составляет <φ с вектором.

Общее уравнение прямой и его частные случаи.

Всякая прямая в прямоугольной системе координат определяется уравнением

I степени относительно х и у

       Ах+Ву+С=0           общее уравнение прямой, где А, В,С некоторые    действительные числа

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

1.      Пусть  А=0; В0; С0;

                       Ву+С=0  

у=в

         Х=

                  уравнение прямой ║ оси ох

Если С = 0, то  у=0     уравнение оси ох

2.      Пусть В=0; А≠0; С≠0;

                 Ах+С=0    

         Х==а

х=а

                         уравнение прямой ║ оси оу

Если С = 0, то   х=0     уравнение оси оу

3.      Пусть С=0; А≠0; В≠0;

                 Ах+Ву=0

Y=

у=к х

                   

                     уравнение прямой проходящей через начало координат

4.      Пусть А≠0; В≠0; С≠0;

           Ах+Ву+С=0

Y===kx+в

     у=2х+в         уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой в.

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси ох.

Построить прямую 5х+2у–4=0

х=0     у=2

у=0     х=4/5

Найти  к и в:  3х+4у–8=0

в=  – с/в = -8/-4=2

к=  – а/в = – 3/4       

Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору (каноническое и параметрические уравнения).

Цель урока: вывести уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Дать понятие нормального вектора и направляющего вектора. Вывести каноническое уравнение и параметрическое уравнение прямой.

Ход урока:

     I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

 IV.      Изложение нового материала.

Уравнение прямой проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором.

Направляющим вектором прямой, называют всякий не нулевой вектор параллельный этой прямой

   Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, которые коллинеарные между собой.

Дано: т.М₀ в хоу

           М₀(х₀; у₀) 

=(а₁; а₂)                                                                                               L

Требуется: составить уравнение прямой.                                      

                                                                                                                          

Решение: через данную точку

параллельную вектору    проходит                                                    М₀

единственная прямая L.

Возьмем на прямой L произвольную точку М(х; у)

Рассмотрим вектор  =(х­х₀; у­y₀)     

   ║ а,     а  т.к. векторы ║, то они коллинеарны.

= t

=

                                             каноническое уравнение прямой.

Параметрические уравнения прямой.

 =  = t

t                                       

х=х0+ a1*t                                    у=у0+ a2*t

x─x₀= a₁ ∙ ty─y₀= a₂ ∙ t

1)составить уравнение прямой, отсекающей на ординат отрезок в=3 и проходящей через точку (─6; ─3)

Решение:  т.к. в=3,  то условно прямая ,проходящая через точку (─6; 3)

Подставляем в уравнение у=kx+3

                        ─3=─6k+3;

                        6k=6;

k=1    => искомое уравнение

                                                 у=х+3

Определить особенности расположения относительно осей координат следующих прямых:

1)9у=0        совпадает с ох, т.к. у=0

2)3у+8=0   ║ох, т.к. х=0

3)3х─4у=0 проходящей через (0; 0), т.к. у=3─4х

Составить параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку М ₀  ║

М ₀(─1; 2),   = (3; 2)

   х=─1+3t;                            

y=2+2t;                             

M ₀(3; ─2);  =(0; ─3)

x=3;                            

y=─2─5t;                     x=3

Найти координаты направляющего вектора прямой

 

   х=─3+t           ответ:   = (1; ─2)

y=─2∙t

Уравнение прямой проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором.

Любой не нулевой вектор перпендикулярный к прямой называется нормальным вектором прямой

Любая прямая имеет бесконечное множество нормальных векторов, которые коллинеарные между собой.

Дано: М₀ хоу

                                                                                              М₀(х₀; у₀)

Требуется: составить уравнение

прямой.                                                                             n

Решение: через точку М₀ проходит

единственная прямая ┴  n

MεLM(x; y)

Рассмотрим =(х─х₀; у─y₀)

  ┴  ,  т.к. L

Необходимым и достаточным условием ┴ векторов является равенство нулю  их скалярного произведения.

n    = 0

A(x─x₀)+B(y─y₀)=0

A(x─x₀)+B(y─y₀)=0              

Составить уравнение прямой проходящей через точку М₀(─1; 3) ┴   (2; 3)

Решение: х₀=─1         у₀=3           А=2               В=3

2(х+1)+3(у─3)=0

2х+2+3у─9=0

2х+3у─7=0  

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Цель урока: Вывести уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Ход урока:

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

1) что нужно знать о прямой, чтобы записать её:

а) каноническое уравнение;

б) параметрическое уравнение.

2) Можно ли по виду канонического уравнения прямой определить координаты её направляющего вектора?

3) Вывести каноническое уравнение прямой.

4) Вывести параметрическое уравнение прямых.

5) Вывести уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

IV.   Изложение нового материала.

                                                                        Дано: М₁, М₂ в хоу

М₁ (х₁; у₁)

                                                                                   М₂(х₂; у₂)

                         М₁                                           Требуется: составить уравнение

                            М                                                            прямой.

                                М₂                                   Решение: Две точки определяют 

                                                                         единственную прямую.

                                                                         Проведем через точку М₁ и М₂                   

                                                                         прямую L. Возьмем на L произвольную

точку М (х; у).

Рассмотрим  =(х─х₁; у─y₁)

 =(x₂─x₁; y₂─y₁)

к М₁М    и  М₁М₂  лежат на одной прямой, то они коллинеарны, а поэтому их координаты пропорциональны.

    уравнение прямой проходящей через две данные точки, если х₁=х₂ или у₁=у₂, то уравнение теряет смысл. 

Если х=х₁ или у=у₁, то прямые параллельны оси ох или оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Цель урока: Научить учащихся определять расположение прямой относительно осей координат по уравнению прямой.

       Ход урока:

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

1)     Как называется функция заданная уравнением у=кx+6?

2)     Вывести уравнение прямой проходящей через две данные точки.

VI.    Изложение нового материала.

Дано:  М₀ ε хоу

М₀(х₀; у₀)

R=tgα                                                                         

Требуется: составить уравнение прямой

Решение: через данную точку с заданным угловым коэффициентом проходит единственная прямая.

М ε lM(x; y)

M М₀N=α  (как углы соответствующим параллельными сторонами).

Рассмотрим: ∆ММ₀N:         М₀N=x─x₀MN=y─ y₀

Задача:

Дано: М₀(2; 5)

<α=45⁰

Требуется: составить уравнение прямой

Решение: у─y₀=R(x─x₀)

y─5=tg45⁰(x─2)

y─5=x─2

y─x─3=0

Уравнение прямой в отрезках.

 Дано: СА=а

            СВ=в

Требуется: составить уравнение

прямой.

Решение:

Подставим значения координат в

точки А и В в уравнение прямой,

проходящей через две данные

точки.

х₁ =а                y₁=0

x₂=0                 y₂=в

уравнение прямой в отрезках

Построить прямую 3х+4у─12=0

Взаимное расположение прямых.

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями.

А₁х+В₁у+С₁=0

А₂х+В₂у+С₂=0

1.      Если прямые пересекаются, то координаты точки х удовлетворяют каждому уравнению.

2.      Если прямые параллельны, то общих точек нет.

3.      Если прямые совпадают, то огромное множество общих точек.

Чтобы найти координаты точки пересечения надо составить систему из уравнений и решить её.

Если система имеет:

1)     Единственное решение, то прямые пересекаются.

2)     Если нет решений, то прямые параллельны.

3)     Имеет огромное множество решений, то прямые совпадают.

Вычисление угла между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Цель урока: Научить вычислять угол между прямыми, использовать при решении не сложных задач, условия параллельности и перпендикулярности прямых/

Ход урока

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение:

Общее уравнение прямой и его частные случаи. Формулы вычисления скалярного произведения двух векторов через их координаты; формула вычисления cos угла между векторами через скалярное произведение.

Определение нормального вектора прямой, как определить точку пересечения прямых?

Всегда ли можно найти точку пересечения прямых?

Какие прямые называются параллельными?

Какие прямые называются взаимно перпендикулярными?

 IV.      Проверочная работа по карточкам.

    V.      Изложение нового материала.

Углом между прямыми называется угол φ, на который надо повернуть прямую L₁, до первого совмещения с прямой L₂.

Пусть прямые заданы уравнениями

  у₁=k₁x+b₁

y₂=k₂x+b₂

α₁α₂α₁─ угол наклона L₁ к  положительному

  направлению оси ох.

 α₂─угол наклона L₂ к положительному

направлению оси ох.

φ─угол между L₁ и L₂

Рассмотрим: ∆АВС

<α₂─внешний угол ∆АВС

<С=180⁰ ─ (φ+α₁)

α₂ =180⁰ ─ <С=180⁰ ─180⁰ +(φ+α₁)= φ+α₁

α₂ = φ+α₁ => φ= α₂ ─ α₁

Если равны углы, то равны и тангенсы этих углов

=

Например:

k₁=

k₁=

=

Вычисление угла между прямыми заданными общими уравнениями.

Пусть прямые заданные уравнениями:                А₁х+В₁у+С₁=0

  А₂х+В₂у+С₂=0

Угол между прямыми удобно вычислять как угол между нормальными векторами

Например:     х+5у+9=0                         k₁= ─    5

2x─3y+1=0                      k₂=   ⅔

tgφ=1             φ=45⁰

===

=

Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Ø  Если прямые параллельны, то φ₁ = φ₂, т.е.

tg φ₁=tg φ₂               прямые параллельные <=> когда k равны.

k₁= k₂

Ø  Если прямые перпендикулярны, то φ=90⁰

           А₁х+В₁у+С₁=0             ₁  ∙ ₂    =  А₁ ∙ А₂+В₁ ∙ В₂=0 / : В₁  В₂

           А₂х+В₂у+С₂=0                                А₁ / В₁ ∙ А₂ / В₂ +1=0

k₁ ∙ k₂ = ─1=>k₁=  

Ø        Прямые перпендикулярны, <=> когда k обратны по величине и противоположны по знаку.

Например:

Найти угол между прямыми

3х+2у─1=0             k₁= ─ 3/2          k= ─

4х+6у+7=0              k₂=2/3           

R₁ ∙ R₂ = ─1

─3/2 ∙ 2/3 = ─1  =>L₁  ┴ L₂

7х─2у+14=0          k₁=7/2

2х─7у─20=0          k₂=2/7                 L₁  ┴ L₂

Раздел 4. Элементы стереометрии.

1.Прямые и плоскости в пространстве

Стереометрия–раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве (от греческого слова «стереос»– объемный, пространственный и «метрео»–изучать)

Основные понятия и аксиомы стереометрии.

Цель урока: Дать основные понятия стереометрии и изучить аксиомы стереометрии и следствия из них.

I.                   Организационный момент.

II.                Изложение нового материала.

Основные фигуры в пространстве

Точка

Прямая

Плоскость

Расстояние

Точки А,В,С

Прямые а,b,с

Плоскости α,β,γ

Аксиомы.

А1. Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из А2=>

Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки.

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку то

говорят, что они пересекаются.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

                                                             Следствия из аксиом.

Через прямую и не лежащую на ней (•) проходит плоскость, и при том только одна.

Дано:  а

            Мaα

                                                                                                     Q ●

                                                                                                          P●         ●M

Доказательство: возьмем на прямой а две точки

P и Q => по А₁ через эти точки проходит α плоскость α.

Т.к. P,Q а   в пл–ти α, то по А₂ плоскость α проходит через прямую а.

Единственность плоскости, проходящей через прямую а и М, следует из того, что любая плоскость, проходящая через а и М, проходит через точки M,P,Q => она совпадает с плоскостью α, т.к. по А₁ через точки M,P,Q проходит только одна плоскость.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано:

а∩b =Mbα      

Доказать: через а∩b проходит α                      M  ●

aN●

Доказательство: возьмем на b  тN≠M;  через N и а проходит плоскость α

Т.к. MиNϵ в плоскость α, то по А ₂ плоскость α проходит через b.

Итак, α проходит через а и b

Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через а и b, проходит через тN => она совпадает с плоскостью α, поскольку через N и а проходит только одна плоскость.

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а║b

Доказать: через а║b проходит плоскость

Доказательство: Если а║b, то они лежат в одной плоскости.

Пусть М а,  

           А,В b

через М ,А, В проходит единственная плоскость α по А₁ т.к. другой быть не может.

Закрепление:  

                           По рисунку определить

       а)  PEABD

MKBDC

DBADB и CDB

AB  ABD и ABC

          EC  ABC

P

б) DK∩ABC=C

             CE∩ADB=E

в) ADB  P,E,M

       DBC  K,M 

    A г) ABC∩BDC=BC

            ABD∩CDA=AD

PDC∩ABC=CE

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Цель урока: Познакомить учащихся с новым понятием – скрещивающиеся прямые. Сформулировать и доказать признак скрещивающихся прямых.

Ход урока

       I.      Организационный момент.

    II.      Проверка домашнего задания.

 III.      Повторение.

 IV.      Изложение нового материала.

Прямые лежат в одной плоскости:

а) имеют общую точку, т.е. пересекаются  а∩b=M

б) прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны.  а║b

в) имеют две общие точки, т.е. совпадают.  А  ϵ  а,  В  ϵ  а

                                                                           А  ϵb,  Bϵb     =>a=b.

Прямые не лежат в одной плоскости; т.е. лежат в разных плоскостях и не имеют общих точек:

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Дано: l₁ ║ l₂

l₂ ║ l₃

Доказать:    l₁║l₃

 Доказательст

во: Допустим

l_{1 ,}l_2, l₃ не лежат

в одной плоскости.

Через l₁ и l₂ проведем α₁

Через l₂ и l₃ проведем α₃

α ₃ ∩ α₂=l.

Докажем, что l совпадает с l ₃

Пусть l не совпадает с l ₃. Тогда l ∩l ₂ =A

=> α ₃ проходит через А ε α₁ и l₁ ε α₁

=> совпадает с α₁. А это противоречит тому, что M ε α ₃ не ε α₁

=> наше предположение неверно, и значит l=l ₃

=>l₁ и l₃ лежат в одной плоскости α₃

Докажем, что l₁ и l₃ не ∩ в т В

Если бы l₁ ∩ l₃ =B, то α₂ проходила бы через прямую l₂ и через точку Bϵl₁ и, следовательно, совпадала бы с α₁, что невозможно.

Признак скрещивающихся прямых

Теорема: Если одна из двух прямых ∩ плоскость, содержащую другую, прямую в точке, не принадлежащей этой второй прямой, то данные прямые скрещиваются.

_●D

AB=α

CD∩α=С          

AB и CD – скрещивающиеся                                                   _{В ●            ● С}

_А●                 α

Пусть AB и CD принадлежат β, тогда

 АВ и т С ϵ β    => β совпадает с α

Но это не возможно т.к. CD не лежит в плоскости α (свойства параллельных прямых в пространстве).

Свойства параллельных прямых в пространстве:

: Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой.

Дано: прямая l

M   не принадлежит прямой l

Доказать: через М проходит l₁ ║ l

Доказательство:   по А₁ через М и l проходит

плоскость α.

Через М проходит l₁ ║ l

Допустим ,что через М проходит ещё одна прямая l₂ ║ l

Тогда в силу следствия 3 существует α’, содержащая l и т.М => по совпадают с плоскостью α, т.о. l₁ и l₂ совпадают.

: Если через каждую из двух параллельных прямых провести плоскость (не содержащую обе прямые) и плоскости пересекутся, то линия пересечения плоскостей параллельна каждой из этих прямых.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Цель урока: Дать определение параллельных прямых в пространстве; сформулировать и доказать признак параллельности прямой и плоскости.

Ход урока:

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение.

III.             Проверка домашнего задания.

IV.             Изложение нового материала

1.      Прямая принадлежит плоскости, т.е. плоскость проходит через прямую.

2.      Прямая и плоскость имеют одну общую точку, т.е. прямая пересекает плоскость.

                    а∩α=М

Прямая и плоскость не имеют общих точек, т.е. прямая ║ плоскости.

Определение: Прямая называется параллельной плоскости, если она лежит в плоскости или не имеет с ней общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Дано: α

a║b

b∈ α, а не принадлежит α

Доказать: а ║ α

Доказательство: Пусть  а ║ α, =>a∩α, но т.к.

если одна из двух параллельных прямых ∩ дан

ную плоскость, то и другая прямая пересекает

эту плоскость.

Значит, bα. Но это невозможно, т.к. b принад

лежит α.

Итак,   а  α =>a║α

Теорема о плоскости, проходящей через прямую параллельную данной плоскости.

Цель урока: Ознакомить учащихся с теоремой и научить решать задачи с её использованием.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка домашнего задания.

III.             Повторение

IV.             Изложение нового материала.

Теорема: Если плоскость проходит через прямую параллельную другой плоскости и

пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна первой прямой. Дано: а  α

          а ϵβ

          β  α=b

Доказать: b║ a

Доказательство: Докажем методом

от противного.

Пусть b∩a=M,

тогда а∩α=М, что невозможно,

значит, b║a.

Задача 1.: Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость α?

ВС ║ MN, MNϵ α=>

по признаку параллельности ВС║α

AD║MN, MN║α=>AD║α.

Задача 2.: Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС=4:3. Отрезок СD, равный 12см, параллелен плоскости , проходящей через точку В.

Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.   

,

   СD ║ α,    CD=12cм,

   ВE–?

Решение: Плоскости АВЕ и α пересекаются, ибо по условию

задачи т.В–общая для обеих плоскостей

СD ║BE

∆ABE подобен ∆ACD

<B=<C      (соответственные углы)

<D=<Е

BE=48cм.

Ответ: 48см.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Цель урока: Рассмотреть возможные случаи взаимного расположения

2-х плоскостей в пространстве. Доказать свойства параллельных плоскостей.

Ход урока

Ход урока:

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка домашнего задания.

III.             Повторение.

IV.             Изучение нового материала.

            Две плоскости совпадают, если существуют хотя бы три точки, общие для этих плоскостей и не принадлежащие одной прямой.

            Если плоскости различны, то возможны 2 случая:

  1). Плоскости не имеют общих точек.

  2). Имеют одну общую точку (значит пересекаются).

Существует 3 случая взаимного расположения плоскостей:

1.      Плоскости пересекаются по прямой.

2.      Плоскости совпадают.

3.      Плоскости не имеют общих точек ( не пересекаются).

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Свойства параллельных плоскостей.

Если две параллельных плоскости пересечены третьей, то

 линии их пересечения параллельны.

Например: линии пересечения пола со стеной.

ДАНО: α׀׀β     α∩δ=а; δ∩β=b                                                         

Д-ТЬ: а׀׀b            

Д-ВО: аCδ, bCδ,  а не ∩b

Если бы  а∩b, то α∩β, но это невозможно

По условию α׀׀β.

Итак, а и b∈δ и а не ∩b  =>  а׀׀b

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Задача: Даны параллелограмм АВСД и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости α.

Выяснить: 1). Взаимное расположение  СД и ЕК.

                    2). Периметр трапеции-?, если известно что в нее можно вписать окружность и АВ=22,5 см, ЕК=27,5 см.

                                                                    Решение: АВЕК – трапеция        КЕ ׀׀ АВ

АВСД – параллелограмм        АВ ׀׀ СД

        СД ׀׀ ЕК

У четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны.

КЕ + АВ = ВЕ + АК

РАВЕК = 2∙(КЕ+АВ)=2∙(22,5+27,5)=2∙50

=100

Признак параллельности плоскостей.

Цель урока: Сформулировать и доказать признак параллельности плоскостей.

Ход урока

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

III Повторение.

IV Изложение нового материала.

Теорема:  Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Дано: α, β

            а ∈ α, b ϵ α

            а ∩b = М

            а₁ ϵ β, b₁ϵβ

            а₁׀׀ а

            b₁ ׀׀ b

Доказать: α ׀׀ β

Доказательство: По признаку параллельности прямой и плоскости а ׀׀ β , b ׀׀ β.

Допустим α не ׀׀ β => α ∩ β =с

α проходит через а ׀׀ β и α ∩ β = с => а ׀׀ с (по 1°)

α также проходит через b ׀׀ β следовательно b ׀׀ с,таким образом через М проходят 2^е прямые а и параллельные с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α ׀׀ β.

                                                     Ч.т.д.

Теорема 2: Если две пересекающиеся прямые а и b плоскости α параллельны плоскости β, то α ׀׀ β.

Дано: а ∩ b = А

                         аϵα

                         bϵα

                         а║β, b║β.

Доказать: α║β 

Доказательство: 1). Пусть α∩β=m

2). а║β

    α∩β=m                     è а║m

     аCα

                                                         аналогично b║m

3). В плоскости α через А проходит сразу две прямые, параллельные m, что невозможно по аксиоме из планиметрии следовательно наше предположение не верно, α║β         Ч. Т. Д.

Задача: Точка В не лежит в плоскости ∆ АДС, точки М, N, и Р середины отрезков ВА, ВС и ВД соответственно. а)Докажите, что плоскости MNP и АДС параллельны. б)Найдите площадь треугольника MNP, если S_∆АДС=48 см²

а). В ∆АВС: MN – сред. линия, MN║АС

     В ∆ВСД: NР – сред. линия    , NР║СД. ⟹по Т₁:что плоскости  MNР║АСД

NМР=  САД (как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами)

б). Из а) следует, что ∆MNР~∆ САД

        S_∆NМР= ½ MN∙ NР∙sin ∟NМР

S_∆САД=  СА∙АД∙sinСАД

S_∆NМР=⁴⁸⁄₄ =12 (см² (

№ 65 Параллельные отрезки А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂ заключены

 между параллельными плоскостями α и β.

 а). Определите вид 4^х угольников А₁В₁В₂А₁, В₁С₁С₂В₂  и А₁С₁С₂А₂

 б). Докажите, что ∆А₁В₁С₁=∆А₂В₂С₂

1. А₁А₂ ║  В₁В₂ ║С₁С₂

     α║β

  2.по свойству  А₁А₂= В₁В₂= С₁С₂è

     А₁В₁А₂В₂

èВ₁С₁С₂В₂это параллелограммы

    А₁С₁С₂А₂

è В₁С₁= В₂С₂; А₁В₁= А₂В₂; А₁С₁= А₂С₂

è∆А₁В₁С₁=∆А₂В₂С₂ ( по 3-ем сторонам ).

Изображение фигур в стереометрии.

Цель урока: Сформулировать понятие о параллельной проекции точки, прямой, фигуры. Научить учащихся правильно изображать геометрические фигуры и их элементы.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение.

III.             Проверка домашнего задания.

IV.             Изложение нового материала

V.                 

Пространственные фигуры, в отличие от пло

ских невозможно точно изобразить на листе

бумаги. Поэтому для более наглядного представления о пространственных фигурах исполь

зуются специальные методы их изображения на

плоских чертежах. Одним из наиболее удобных

является метод параллельного проектирования

 ( проецирования ), с которым мы сейчас

познакомимся.

  Изобразим пространственную фигуру

Ф на плоскости α, которую назовем

плоскостью проецирования.

Зафиксируем произвольную прямую

Пространства, пересекающую

плоскость α. Эта прямая называется проектирующей прямой. Выберемпроизвольную точку А фигуры Ф. Проведем через А прямую l¹

l¹ ∩ α = А

Определение: А¹ называется проекцией (или изображением) точки А на плоскости α при параллельном проектировании вдоль прямой L.

            Аналогично поступаем со всеми точками фигуры Ф.

Определение: Параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость α вдоль прямой L называется множество Ф проекций всех точек фигуры Ф при этом параллельном проектировании.

            При параллельном проектировании некоторые свойства фигур сохраняются, а некоторые нет.

Рассмотрим основные свойства параллельного проектирования:

1° Все точки фигуры Ф, лежащие на одной прямой, параллельной проектирующей прямой, проектируются в одну точку. (Это означает, что вся фигура как бы сплющивается в направлении проектирующей прямой)

2° Любая точка плоскости проекции проектируется в себя

Далее будем считать, что прямые и отрезки не ׀׀ проектирующей прямой. (иначе они будут проектироваться в точки).

3° Проекцией прямой (отрезка) является прямая (отрезок).

α-плоскость проекции

аЄα

Возьмем М∈а

М₁ проекция М

ММ₁׀׀L

Через ММ₁ ∩ а проходитδ

                                                                     α∩δ=а₁

                                                                     а₁ – проекция а

4°  Проекцией параллельных прямых (отрезков) являются параллельные прямые (отрезки).

5°  Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их проекций.

перпендикуляры				По возможности располагаются по вертикали Или помечаются знаком прямого угла.
Параллельные прямые Параллельные отрезки				Изображаются ║-ми прямыми Изображаются ║-ми отрезками, причем при изображении сохраняется отношение их длин
треугольники неправильный равнобедренный				Изображаются неправильными
правильный прямоугольный				треугольниками.
параллелограмм прямоугольник ромб квадрат				Изображаются параллелограммами.
трапеции произвольная равнобедренная прямоугольная				Изображаются неправильными и не прямоугольными трапециями.
шестиугольники неправильный правильный			Изображается неправильным шестиугольником Изображается неправильным шестиугольником параллельными и ровными сторонами.
окружность			Изображается Эллипсом.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Цель урока: Дать определение прямой, перпендикулярной плоскости. Сформулировать и доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ход урока

I.                   Организационный момент

II.                Повторение

III.             Изложение нового материала

Определение: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она пересекает плоскость и перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: а

          а ┴р,

         а ┴ q

р∩q=0

рϵα, qαα

Доказать: а ┴ α                        

Доказательство:

1)     I случай: а проходит через точку о. Для того, чтобы доказать, а ┴ α

докажем, что а ┴ m

 1. Проведем прямую ℓ║m; ℓ∩р=0; ℓ∩q=0

 2. А, В Є а        АО=ОВ

 3.  n∩р=Р, n∩q=Q, n∩ℓ=L

n∈α

 4. так как р и q – серединные перпендикуляры к АВ ⟹ РQ – общая; АР =ВР; АQ=ВQ⟹∆АРQ=∆ВРQ⟹∆АРQ=∆ВРQ

 5. Рассмотрим ∆АРL и ∆ВРL: АР=ВР, РL – общая, ∆АРQ=∆ВРQ⟹ ∆АРL=∆ВРL, АL=ВL⟹∆АВL – равнобедренный ⟹LО – медиана, и высота LО ┴ а с⟹ℓ┴а.

 6. Так как ℓ║m и ℓ┴а ⟹ а┴m

     * ( если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой) ⟹ а┴α

                                                                       Ч.т.д.

 2) II случай а не проходит через точку О, проведем через точку О а₁║а

а₁┴р

а₁┴q       ⟹ а₁┴α

Задача1.: Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОK=b

∆КОА=∆КОВ=∆КОС=∆КОД

(по двум катетам: КО┴ОА, КО┴ОВ, КО┴ОС, КО┴ОД – по определениюf

КО – общий катет, ОВ=ОА=ОС=ОД – по свойству диагоналей квадрата) ⟹КА=КВ=КС=КД

КВ²=ОК²+ОВ²⟹КВ²=b²+ОВ²

ВД=а√2, ОВ= ½ ВД=      =   =²=

КВ²= b²+    ; КВ=

 Задача 2: Прямая СД ┴ к плоскости правильного ∆АВС. Через центр этого ∆ проведена прямая ОК, параллельная прямой СД. Известно, что АВ=16√3, ОК=12см,СД=16см. Найдите расстояние от точек Д и К до вершин А и В треугольника. 

Рассмотрим ∆ДАС и ∆ДСВ

ДС┴СА, ДС┴СВ

ДС – общ. по условию    ⟹∆ДАС=∆ДСВ (по 2-м катетам)

ДА=ДВ            

ДА=ДВ=                       ==32см.

Угол между прямой и плоскостью.

Цель урока: Дать определение угла между прямой и плоскостью.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение.

III.             Проверка домашнего задания.

IV.             Изложение нового материала.

V.                 

Пусть дана α

                   А не Єα

Через точку А проведем ℓ┴α

ℓ∩α=Н                              

            Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н – основанием перпендикуляра.

            Длина перпендикуляра АН называется расстоянием от точки А до α.

Возьмем МЄα

                   М≠Н

                   Отрезок МА называется наклонной проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основание наклонной.

                   Отрезок МН, соединяющий основание перпендикуляра АН и наклонной АМ, называется проекцией наклонной МА к α.

                   Свойства перпендикуляра и наклонных к данной плоскости, проведенных из одной и той же точки:

1° Длина перпендикуляра меньше длины всякой наклонной.

2° Длины двух наклонных равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций.

3° Большим по длине наклонным соответствуют и большие по длине проекции.

Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую  и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

1° Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

2° Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой, и притом только одна.

3° Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости  равноудалены от другой плоскости.

№130 Через вершину В квадрата АВСД проведена прямая ВМ. Известно, что МВА=МВС=90°, МВ=m, АВ=n. Найдите расстояние от точки М до: а). вершин квадрата; б). прямых АС и ВД.

 а).1. ∆ МВА=∆МВС, так как они прямоугольные по условию, МВ –

 общий катет

 ВА=ВС – стороны квадрата ⟹МС=МА= √ m²+n²

3.      ∆МВД – прямоугольный

. МД=

   МД=

 б). Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки.

Ρ (М, ВД)=МВ=m

Рассмотрим ∆МВО и прямую АС

ВО┴АС – диагонали квадрата.

МВ┴АС – по условию                          АС┴МВО⟹АС┴МО⟹g(М, АС)=МО

МВ┴АВС

МВ∩ВО

Рассмотрим ∆МВО:

МО=

МО= =

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин до правильного ∆АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до пл. АВС, если АВ=6см

1. МО┴АВС

2. Равные наклонные имеют равные 

    проекции, поэтому АО=ОВ=ОС=R

R – радиус описанной окружности

 По теореме синусов R=   

R==  =2√3 (см)

3. Рассмотрим ∆АОМ

ρ (М, АВС)=МО=;

МО=√16-12=2 см

Теорема о трех перпендикулярах

Цель урока: Сформулировать и доказать теорему о трех перпендикулярах и обратную ей.

I.                   Организационный момент

II.                Повторение.

III.             Проверка домашнего задания

IV.             Изложение нового материала.

Теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

            Дано: α                                                   

                        АН┴α

                        АМ – наклонная

                    А проходит через М

                        аЄα

                        а┴МН

Доказать:    а┴АМ

Доказательство: 1. Рассмотрим плоскость АМН

          2. а┴ плоскости АМН так как а┴АН┴МН

                (а┴МН по условию, так как АН┴α)⟹а┴ любой прямой, лежащей в плоскости АМН

⟹а┴АМ                                              Ч.т.д.

Теорема (обратная) Если  прямая перпендикулярна к наклонной, то она перпендикулярна и к проекции наклонной.

Дано: АВ┴α

          АС┴α

Доказать: а┴ВС

Доказательство:

1.АВ∩АС=АЄβ

2. АВ┴α (по условию) АВ┴а

   АС┴а (по условию)                                 а ┴ плоскости АВС

3. АС┴а (по условию) а┴ любой прямой, лежащей в плоскости АВС

    а┴ВС                                        

Ч.т.д.

№145. Через вершину А прямоугольного ∆АВС с прямым углом С проведена прямая АД перпендикулярная к плоскости ∆АВС. Докажите:

1). ∆СВД – прямоугольный

2). Найдите ВД, если ВС=а, ДС=b

    АД ┴плоскости АВС┴АД┴СВ

   АД┴ВС          по Th о 3х перпендикулярах

   АС┴СВ            ДC┴ВC

ДСВ=90°

ВД²=ДС²+СВ²=а²+b²

ВД=

Двугранный угол и его линейный угол.

Цель урока: Дать определения двугранного угла, линейного угла. Научить учащихся решать задачи на использование этого определения.

Ход урока

1.     Организационный момент.

2.     Проверка домашнего задания.

3.     Изложение нового материала.

Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, имеющими общую граничную прямую.

Полуплоскости, образующие

двугранный угол, называются его гранями.

Общая граничная прямая полуплоскостей называется ребром двугранного угла.

           

             Пусть дан угол αℓβ       

Через произвольную точку О ребра

этого двугранного угла проведем

плоскость δ┴ребру ℓ. Получим

АОВ.

            δ∩αℓβ=АОВ

ВеличинаАОВ не зависит от положения точки О на ребре ℓ.

Определение: Линейным углом двугранного угла называется  угол, образованный двумя перпендикулярами восстановленными к ребру из произвольной точки, лежащей на ребре двугранного угла.

Определение: Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Определение: Двугранный угол называется развернутым, если обе его  грани образуют одну плоскость.

            Равным углам соответствуют равные линейные углы.

            Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

                                               Дано: АОВ и А₁О₁В₁

Доказать: АОВ=А₁О₁В₁

Доказательство: ОА и О₁А₁лежат в одной грани

ОА┴ОО₁ ;           О₁А₁┴ОО₁ они сонаправлены. Аналогично ОВ и О₁В₁ – сонаправлены.==>А₁О₁В₁=АОВ

№170. Из вершины В ∆АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ₁. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ=2см, ∟ВАС=150° и двугранный угол ВАСВ₁ равен 45°.

Проведем В₁Д в плоскости α┴АС и соединим точку Д и точку В.

По Th о 3х  перпендикулярах: ВД ┴АС 

ВАС= 150°

g(В, α)=ВД

ВАД=180°-150°=30°

ВД= ½ АВ=1(см)

ВД=1 см                                 

В плоскости В₁ДВ: В₁ДВ –

Линейный угол двугранного  ВАСВ₁

В₁ДВ=45°

g(В, α)= ВВ₁=ДВ·sin45°=1· √2/2=√2/2 см

Перпендикулярность плоскостей.

Цель урока: Дать определение перпендикулярных плоскостей. Сформулировать и доказать признак перпендикулярности плоскостей.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка домашнего задания.

III.             Повторение.

IV.             Изложение нового материала.

Определение: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную  к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β

АВ ϵα

АВ┴β, АВ┴β=А

Доказать: α┴β

Доказательство: 1 α∩β=АС, причем АВ┴АС, так как по условию АВ┴β, и, значит, АВ┴ к любой прямой в плоскости β.

2 АД ϵ β;  АД┴АС. Тогда ∟ВАД – линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей α и β.

            Но ВАД=90° (так как АВ┴β)

Следовательно, угол между α и β=90°, то есть α┴β

Ч.т.д.

            Следствие: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются  две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Задача:. Общая сторона АВ треугольников ∆АВС и ∆АВД =10 см. плоскости треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите СД, если:

а) равносторонние

б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.

1. Проведем СМ┴АВ и отрезок МД

2. В равностороннем ∆АВС: СМ – высота, значит и медиана АМ=МВ=5 см.

В ∆АВД: ДМ – медиана, и высота ДМ┴АВ

3. ∟СМД – линейный угол двугранного угла САВД

4. СМ=10 sin 60°=5√3

    МД=5√3 (см)

  СД=5√3∙√2=5√6 (см)

б) Проводим: СМ┴АВ

 СМ – медиана в равнобедренном  ∆АВС,

ДМ – медиана в равнобедренном ∆АВДè

ДМ – высота  ДМ┴АВ

 СМ=АМ=5см; ДМ=5 см

  СД=5√2 (см)

Многогранные углы и их свойства.

Цель урока: Внести понятие многогранного угла, трехгранного угла. Рассмотреть свойства трехгранного угла.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение.

III.             Проверка домашнего задания.

IV.             Изложение нового материала.

Многогранным углом называется часть пространства, ограниченная несколькими плоскими углами, у которых общая вершина и стороны попарно общие.

S – вершина

SА, SВ, SС – плоские углы при вершине.

Общая вершина плоских углов, образующих многогранный угол, называется вершиной многогранного угла.

Количество граней отображают название многогранного угла. Они бывают трехгранные, четырехгранные и т.д.

Многогранные углы обозначают по его вершине.

Трехгранный угол и его свойства.

1° Величина любого плоского угла меньше суммы двух

других плоских углов, но больше их разности.

            2° Трехгранный угол, все плоские углы которого равны,

называется правильным.

            3° Если все плоские углы прямые, то он называется прямым.

Многогранный угол может быть выпуклым  и не выпуклым.     

Теорема: В выпуклом многогранном угле сумма всех плоских углов меньше 360°

Дано: S – многогранный угол.

Доказать: ∟АSВ+∟ВSС+∟СSД+…< 360°

Доказательство: 1. Обозначим сумму плоских углов через х, [т.е. сумма плоских углов < 360°, и рассмотрим n – гранный угол.]

2. Пересечем все ребра плоскостью, тогда в сечении получится многоугольник с вершинами А, В, С, Д и т.д.

3. ВАЕ <SАЕ и S

    +АВС <SАВ+SВС

+ВСД <SСВ+SСД

SАЕ+SАВ+SВА+SВС+…<ВАЕ+АВС+ВСД+…

 

Сумма внутренних углов                           Сумма плоских углов при вершинах

многоугольника                                                    многоугольника

4. так как сумма величин внутренних углов треугольника = 180°, то

SАЕ+SАВ+SВА+…>180°

     180°(n-2)< 180°· n – х

     180°n – 360< 180°· n – х

               – 360< – х

                  – х>– 360

                      х>360                           Ч.т.д.

3.              Многогранники и площади их поверхностей

Многогранники.

Цель урока: Рассмотреть виды многогранников.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение.

III.             Изложение нового материала.

IV.              

Под многогранником понимают ограниченное тело (т.е. тело, целиком содержащееся в некотором шаре), граница которого состоит из конечного числа многоугольников.

Многоугольники, составляющие границу (или поверхность) многогранника называются гранями многогранника, а вершины этих многоугольников – вершинами многогранника.

            Открытое ограниченное выпуклое множество точек пространства называется открытым выпуклым многогранником, если его границей является объединение  конечного числа многоугольников, называемых гранями данного многогранника.

            Объединение открытого выпуклого многогранника и его границы называется замкнутым выпуклым многогранником или просто выпуклым многогранником.

            Площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней.

5 типов правильных многогранников:

1. Правильный тетраэдр(по-гречески "тетраэдр" означает четырехугольник) – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны. Все грани – равные правильные

треугольники.

2. Куб. Все грани куба – равные квадраты, а в  каждой вершине его  сходится по три ребра.

3. Правильный октаэдр (по-гречески  означает  восьмигранник) все грани правильные треугольники, в каждой вершине сходится по 4 ребра.

4. Правильный додекаэдр (двенадцатигранник) – все двенадцать граней – правильные пятиугольники, а в каждой вершине сходятся 3 ребра.

5. Все двенадцать граней  икосаэдра (двадцатигранник) – правильные треугольники, а в каждой вершине икосаэдра сходятся 5 ребер.

Сечение многогранников плоскостью.

Цель урока: Рассмотреть сечение плоскостью тетраэдра и параллелепипеда.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Повторение.

III.             Проверка домашнего задания.

IV.             Изложение нового материала.

V.                 

Секущей плоскостью  тетраэдра (параллелепипеда) называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда).

Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам.

Так как тетраэдр имеет 4 грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники.

Параллелепипед имеет 6 граней – его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.

При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает 2 противоположные грани по каким – то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

№1.     На ребрах АВ, ВД и СД тетраэдра АВСД отмечены точки М, N и Р.

Построить сечение тетраэдра плоскостью  МNР.

Решение:

            1. M и N∈b, грани АВД

               Соединим M и N

            2. Соединим N и Р

            3. МР ∩ ВС=Е

            4. пл. АВС ∩ пл. MNР=МЕ

            5. МЕ ∩ АС=Q

            6. Четырехугольник MNРQ – искомое    сечение.

1.       

2.      так как NР║ ВС, то NР ║ грани АВС

3.      пл.MNР ∩ АВС = МЕ`

МЕ`║NР

     3. МЕ`∩ АС=Q

     4. NРQМ – искомое сечение.

Параллелепипед и его свойства.

Цель урока: Внести понятие параллелепипеда. Сформировать и доказать свойства параллелепипеда.

Ход урока

I.       Организационный момент

II.    Повторение.

III. Изложение нового материала.

Рассмотрим два равных параллелограмма АВСД и А₁В₁С₁Д_1, расположенных в параллельных плоскостях так, что

АА₁║ВВ₁║СС₁║Д Д₁

А₁В₁ВА; В₁С₁ВС; Д₁С₁СД; А₁Д₁ДА – параллелограммы *

Определение: Поверхность составленная из параллелограммов АВСД, А₁В₁С₁Д₁ и * называются параллелепипедом.

Параллелограммы называются гранями, их стороны – ребрами параллелепипеда.

            Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер – противоположными.

            Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами

            6 граней, 12 ребер, 8 вершин.

Свойства параллелепипеда:

1° Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Дано: АВВ₁А₁ и ДСС₁Д₁ – параллелограммы.

Доказать: АВВ₁А₁ параллельнои равно ДСС₁Д_1.

Доказательство: 1. Так как АВВ₁А₁  и ДСС₁Д₁  параллелограммы,⟹АВ║СД и АА₁║ ДД₁, таким образом АВ∩АА₁ одной грани параллельны СД∩ДД₁, другой грани ⟹ по признаку параллельности плоскостей, что АВВ₁А₁║ДСС₁Д₁.

2. Так как все грани параллелепипеда – параллелограммы, то АВ=ДС и  АА₁=ДД₁ и стороны углов АА₁В и Д₁ДС соответственно сонаправлены,  и значит, эти углы равны.

Значит,  две смежные стороны и угол между ними  параллелограмма АВВ₁А₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ДСС₁Д₁⟹ параллелограммы равны:

АВВ₁А₁ = ДСС₁Д₁  Ч.т.д.

            2° диагонали параллелепипеда пересекаются  в одной точке  и точкой пересечения  делятся пополам.

Дано: Четырехугольник А₁Д₁ВС

А₁С∩ВД₁=О

Диагонали параллелепипеда АВСДА₁В₁С₁Д₁

Доказать:А₁О=ОС ,           ВО=ОД₁

Доказательство: так как А₁Д₁║ВС и А₁Д₁=ВС (по 1 свойству), то А₁Д₁СВ – параллелограмм ⟹ А₁С∩Д₁В=О и этой точкой  делится пополам.

Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны  к основанию, а основания представляют собой  прямоугольники.

Свойства:

1° В прямоугольном параллелепипеде  все 6 граней – прямоугольники.

2° Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

            Длины трех ребер, имеющих  общую вершину, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме  квадратов  трех его измерений

Доказать:АС₁²=АВ²+АД²+АА₁²

Доказательство: так как СС₁┴ к основанию

 АВСД, то АСС₁ – прямой.

Из прямоугольного треугольника АСпо теореме Пифагора получаем

АС₁²=АС²+СС₁ следовательно

АС₁²=АВ²+АД²+АА₁²                                           Ч.т.д.

Следствие:

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Определение: Прямоугольный параллелепипед у которого  все 3 измерения равны, называются кубом.          

№219. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

∆А₁АС прямоугольный и  равнобедренный

А₁А=АС

АС=√АВ²+ВС²=√12²+5²=√169=13 (см)

А₁А=13 см=АС                                                             

№187. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) √39, 7, 9.

            №188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.

№ 189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани ,в которой не лежит  эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m; б)диагональ куба равна d.

Призма. Площадь поверхности призмы.

Цель урока: Ввести понятие призмы. Сформулировать и доказать теорему о площади боковой поверхности.

I.            Организационный момент.

II.         Повторение.

III.      Проверка домашнего задания.

IV.     Изложение нового материала.

Рассмотрим два многоугольникаА₁А₂ … А_n, В₁В₂ … В_n

α║β

Соединим А₁В₁

А₂В₂… А_nВ_n

А₁А₂В₂В₁ – параллелограммы

Многогранник составленный из двух равных многоугольников А₁А₂ … А_nи

В₁В₂ … В_n, расположенных в в параллельных плоскостях и n параллелограммов называется призмой.

            Многоугольники А₁… А_nи В₁В₂ … В_n

Называются основаниями призмы, а многоугольники

А₁В₂В₁А₂,… - боковые грани.

            Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то  призма называется прямой, в противном случае наклонной.

            Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

S_{полн. поверхн. призмы} =S_бок.+2S_{основ-я}

Теорема:  площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказать: S_б.п.=Р_осн∙h_пр.

Доказательство:

1.      боковые грани- прямоугольники – a, b, c, d,…стороны основания

h – высота

2. S_б.п.= a∙h+b∙h+c∙h+…=h(a+b+c+…)=h∙P

                                              Ч.т.д.

№ 230. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3см  и углом, равным 120°, между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите S_б.п. призмы.

S_АА1С1С =5·H

S _ВВ1С1С=3·H

∆А₁В₁С₁: по теореме косинусов :

А₁В₁²=25+9-2∙5∙3∙ cos 120°=25+9+2·5·3·½ =25+9+15=49

А₁В₁=7 см

S_АА1ВВ1=7·H (см²)

Значит, максимальную  площадь из боковых

граней имеет грань АА₁В₁В

 7·H=35⟹H=5 см

S_б=5H+3H+7H=15·H=75 (см²)

Пирамида. Площадь ее поверхности.

Цель урока: Ввести понятие пирамида (правильная и усеченная). Вывести  формулу для нахождения s_б. поверхности пирамиды.

I.                   Организационный момент

II.                Проверка домашнего задания.

III.             Повторение.

IV.             Изложение нового материала.

Многогранник составленный из n – угольника АВСДЕF и n – треугольников называется пирамидой.

 АВСДЕF – основание

∆АРВ, ∆ВРС, ∆СРД… - боковые грани.

Р – вершина пирамиды

РА, РВ, РС,… - боковые ребра

РАВСДЕF – n – угольная пирамида.

            Перпендикуляр проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называется высотой пирамиды.

S_п.п=S_бок.+S_осн.

Правильная пирамида.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания является высотой.

Доказать: 1). Боковые ребра правильной пирамиды равны.

2). Боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

  1.∆А₁НР – прямоугольный, так как

    РН – высота

   АН – радиус описанной окружности

    А₁Р=√h²+r²

    А₁Р=А₂Р=А₃Р=А₄Р=…

Ч.т.д.

  2. А₁Р=А₂Р=А₃Р=…⟹боковые грани – равнобедренные треугольники.

А₁А₂=А₂А₃=А₃А₄=…т.к. А₁А₂...А_n – правильный многоугольник ⟹∆ А₁РА₂ ∆ А₂РА₃=… по III признаку равенства треугольников.

                                                                  Ч.т.д.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины называется  РN – апофема.

S_б.п.=  Р_осн ·ℓ

Доказательство: Боковые грани – равнобедренные треугольники.

½ ℓ·а₁+½ ℓ·а₂+…≈½ ℓ( а₁+а₂+а₃+…)=½ ℓ·Р_осн

Усеченная пирамида.

АВС – нижнее основание

А₁В₁С₁ – верхнее основание

АА₁В₁В, … - боковые грани

АА₁,ВВ₁,СС₁ – боковые ребра

Определение: Перпендикуляр, проведенный из какой – нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды.

Определение: Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечение правильной пирамиды плоскостью, плоскостью параллельной основанию.

Определение: Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобокие трапеции.

Терема: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему: S_б.п.= (Р₁+Р₂)·ℓ

Задача: Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36см, а площадь =360 см². Высота пирамиды проходит через точку  пересечения  диагоналей основания и равна 12 см. Найдите   S_б.п  пирамиды.

SA=SC и SB=SД

(одинаковые. проекции)

∆ SAВ=∆ SДС и ∆ SBС=∆ SAД

(по трем сторонам)

S_б=2 (S_SAД+S_SДС)

ОЕ┴ДС и ОМ┴АД⟹ по теореме о з-х перпендикулярах

SЕ┴СД и SМ┴АД

∆SОМ: SM=

∆SОЕ: SЕ=     

S_АВСД=АВ·FE; 360=20·FE

FE=18 см

S_АВСД=АД·MN;360=36·MN

MN=10cм

ОМ= ½ MN=5см

ОЕ= ½  FE=9см

SM=√12²+5²=√169=13(см)

SЕ=√12²+9²=√225=15(см)

S_SAД= ½ АД*SM= ½ 36·13=                (см²)

S_SДС= ½ СД·SE=    ·           (см²)

S_б.п=2·½ (36·13+20·15)=468+300=768(см²)

3.Фигуры вращения и площади их поверхностей

Цилиндр. Конус. Их сечения плоскостями.

Цель урока: Ввести понятие цилиндра, конуса, рассмотреть сечения цилиндра и   

конуса.

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка домашнего задания.

III.             Повторение.

IV.             Изложение нового материала.

                                               α ║ β 

                                                Окружность LЄα

                                               Через каждую точку L проведем прямую ┴ α

Отрезки прямых, заключенных между α и β,  образуют  цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности (АА₁, ММ₁…)

При параллельном  переносе  на вектор ОО₁ окружность L

перейдет в равную ей окружность L₁ радиусаr с центром в точке О₁.

            Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L_1, называется цилиндром.

            Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра

 - образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра.

            Прямая ОО₁ называется осью цилиндра.

            Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями α и β.

                                    Длина образующей называется высотой цилиндра.

                                    Радиус основания – это радиус цилиндра.

      Цилиндр м. б. получен вращением прямоугольника в/г одной из его сторон.

    Осевое сечение

Две стороны – образующие

                                 

                                  2 другие – диаметры

                                  круговое сечение

              Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра

                                  Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскостям  оснований называются круговым цилиндром.

.

Конус.

Рассмотрим окружность L с центром О и ОР перпендикулярно плоскости.

Каждую точку окружности соединим с точкой Р.

         Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки -  образующие конической поверхности.

Определение: Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Определение: Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг основанием конуса.

   Точка Р – вершина конуса.

        Образующие конической поверхности – это образующие конуса (они равны между собой).

        Прямая ОР – ось и проходит через центр основания и вершину.

Отрезок ОР – высота конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

            Вращаем ∆АВС вокруг катета АВ

            При этом боковая поверхность конуса образуется вращением АС,  а основание вращением катета ВС.

Сечение конуса плоскостями.

1)осевое сечение – равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса.

секущая плоскость проходит перпендикулярно к оси ОР конуса

Сечение представляет собой круг с центром О₁, расположенным на оси ОР

2)круговое:  так как ∆РОМ подобен ∆РО₁М₁

Доказательство:     ∆РОМ подобен ∆РО₁М₁ т.к. ∠Р-общий

ОМ  = О₁М₁

 ·r₁=r⟹

r₁=·r

Усеченный конус.

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость перпендикулярную к его оси. Эта плоскость разбивает конус на 2 части: одна – конус, другая – усеченный конус.

                                     Основания

                                     конуса

Определение: Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется  его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны перпендикулярной к основаниям.

№ 521. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если r=1,5 м, h=4 см

d=2r=3 см

AC=√9²+16=5 м

Площадь боковой поверхности цилиндра.

Цель урока: Вывести формулы S_{б. п.} цилиндра и S_{п. п.} . Научить  учащихся решать задачи на вычисление площади.

Ход урока

I.                   Организационный момент.

II.                Проверка домашнего задания.

III.             Повторение:

1.     дать определение цилиндра.

2.     боковой поверхности цилиндра

3.     кругового цилиндра

4.     сечения цилиндра плоскостями.

IV. Изложение нового материала.

  Цилиндр разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, чтобы все образующие  оказались в одной плоскости.

АВВ¹А¹ называется разверткой боковой поверхности цилиндра.

Основание АА¹ прямоугольника называется разверткой окружности основания, а высота АВ – образующей цилиндра.

За S_{б. п.} цилиндра принимается S ее развертки.

S¹= АА¹·АВ; где АА¹=2πr, АВ=h

r – радиус цилиндра

S_прям.= 2πr·h             S_{б. п}=   2πrh

S_{б. п} равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

            Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

                     S_{п. п.}= S_{б. п}+2 S_осн.

S_{п. п}=2πrh+2πr²=2πr (r+h)

№ 537. Диаметр основания цилиндра 1м, высота цилиндра равна длине окружности основания. Найдите  S_{б. п} цилиндра.

r=d/2=0,5 м

L=2πr=2π*0,5=π

h=L=π

S_{б. п}=2πr*h=2π*0,5*π=π² м²

№ 546. Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника АВСД вокруг прямой АВ, а другой цилиндр – вращением того же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны.

S_{1 б. п*nFECД}=2πАД*СД             АВ=СД

S_{2 б. п*n АКМД}=2πАД*АВ                  S₁=S₂

б) Найдите отношения их площадей полных поверхностей  этих цилиндров, если АВ=а, ВС=b

S_{1 п.п.}= 2πr (r+h)= 2πb(b+a)

S_{2 п.п}=2πa (a+b)

Площадь поверхности конуса.

Цель урока: Вывести формулы S_б.п. и S_п.п. конуса. Научить решать задачи на применение этих формул.

Ход урока

I.                    Организационный момент.

II.                 Проверка домашнего задания.

III.              Повторение.

IV.              Изложение нового материала.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой  сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора – длине окружности основания сектора.

            За S_б.п.  конуса принимается Sее развертки.πℓ α 360°

         ℓ - образующая

            r – радиус основания

            α – градусная мера дуги АВА¹ 

(1)

Длина дуги АВА¹=2πr

                                                                               (2)

Подставим формулы (2)в (1) и получим  площадь боковой поверхности цилиндра:  

       (3)                                                                                        

S_п.п.=πrℓ+ πr ²= πr(ℓ+r)              

            (4)

Усеченный конус.

S_б.п.=πr·РА- πr₁·РА₁= πr(РА₁+АА₁)- πr₁·РА₁=

  πr·РА₁+ πrℓ- πr_1· РА₁= πrℓ+ π·РА₁(r-r₁)                  (5)

            Выразим  РА₁ через ℓ; r; r₁;

             ∆РО₁А₁∆РОА (т.к. ∠Р острый,общий )

           

             РА₁·r=(РА₁+ℓ)·r₁     РА₁·r-РА₁r=ℓ·r₁

                                                            РА₁(r- r₁)=ℓ·r₁

                                                                  (6)        

(6) è(5)

S_б.п.= πrℓ+ π       *( r-r₁)= πrℓ+πr₁ℓ= πℓ( r+r₁)

                        S_б.п.= π( r+r₁)*ℓ       

№572 

Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15см и 10 см, а образующая равна 30см. Сколько кг краски нужно для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1м² требуется 150г краски?(Толщину стенок ведер в расчет не принимать).

S_б.п.= π( r+r₁)·ℓ= π(10+15)·30=750π

S_{пов. ведра.}= 750π+S_осн.

S_осн.= π r²= π·10²=100π

S_{пов. ведра.}=750π+100π=850π

S_{пов. с двух сторон}=2·850π=1700π (см²)

1700π – 1 ведро            х=17·10⁴π см²=17π м²

                                     х – 100 ведер

                                     1м² – 150_г                у=150·17π =2550π _г

                                     17π м² – у_г                   у=2,55π кг

Шар и сфера. Площадь поверхности сферы.

Цель урока: Дать определениесферы и шара. Используя определенный интеграл вывести формулу S_п. сферы. Научить решать несложные задачи.

Ход урока

I.                   Организационный момент

II.                Проверка домашнего задания

III.             Повторение.  1. определение цилиндра S_б.п. и S_п.п.

2. . определение конуса S_б.п. и S_п.п.

Устные задачи.

Дано:                                         Дано: Н=8 см                Дано: Н=12 см

R, S_б.=2 S_осн.                                                        r=6 см                             α=30°

 

Найти:Н                                    Найти: S_б.п                              Найти: L_{окружн.}

 

S_б.п=2πR²=2 S_осн.                                ℓ=√H²+r²=10                r=ctg30°·12=12√3

S_б.п=2πRh                                    S_б.п=πRℓ=60π               L=2πr=2π12√3=

2πR²=2πRh                                                                          =12√3π

Ответ: h=R                                Ответ: 60π                      Ответ: 12√3π         

IV Изложение нового материала.

Определение:Множества всех точек пространства, расстояние которых от данной точки О не превосходит данного положительного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке О.

Определение:Множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии R>0 от данной точки О, называется сферой радиуса R с центром в точке О.

Определение: Данная точка О называется центром сферы.

Определение:Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Определение:Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Определение: Отрезок соединяющий центр шара с любой точкой его поверхности, называют радиусом шара.

Определение: Отрезок, соединяющий 2 любые точки поверхности шара, называется хордой.

Определение: Хорда, проходящая через центр шара, называется диаметром шара. 

                                                    Д_ш=2R_ш

Хорды и диаметры шара называют хордами и диаметрами ограничивающей его сферы.

ОА, ОВ, ОМ - радиусы

АВ - диаметр
Площадь сферы.

Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле  S=4πR²

Доказательство: Сфера радиуса R может быть  получена вращением вокруг оси  ох  полуокружности , заданный уравнением.

 у=√R²-x²        , x є [-R; R]

Тогда  по формуле  для S поверхности вращения получаем

S==

y^´=(^´=

=

V. Обобщение и систематизация знаний.

1. Как изменится S_п. шара, если его R увеличить в 2р?

S_п.1= 4πR²

S_п.2=4π·(2R)²=4π·R²·4⟹

Ответ: в 4 раза

2. Ребро куба =а. Найти радиусы шаров, вписанных  в куб и описанного около него.

АС=а√2

АС=√а²·2+а²=а√3

АО₁=   √3    АО= √2

ОО₁=                                     

Вывести формулу для нахождения радиуса шара, зная формулу поверхности шара.

S_п.= 4πR²⟹R=

VI. Закрепление:

            Шар пересечен плоскостью на расстоянии 4 дм от центра. R сечения шара 3 м. Найти площадь поверхности сферы.

1.

ОА=√16+9=5

S_п.= 4π*5²=100π дм²

2. Найдите S_сф., если радиус:

            1) 6 см;          2) 2 дм;         3) √2 м;         4) 2√3 см

            S_п= 4·π·36

            1) 144 π;        2) 16 π;          3)8 π;             4)48 π

Уравнение сферы.

Цель урока: Вывести уравнение сферы. Научить решать несложные задачи.

I.             Организационный момент

II.            Проверка домашнего задания.

III.          Повторение:    определение шара

                                      определение сферы

                                      формула S_п сферы

IV.         Изложение  нового материала.

Пусть задана П.С.К. охуz и дана некоторая поверхность F, например сфера

Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Выведем уравнение сферы радиуса R с  центром  С (x_o, y_o, z_o)

Расстояние от точки М (x, y, z) до точки С вычисляется по формуле: СМ=√(х-х_о)²+(y-y_o)²+(z-z_o)²

1) Если точка М лежит на  данной сфере, то МС=RèМС²=R², т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению:

                          (х-х_о)²+(y-y_o)²+(z-z_o)²= R²    (1)

Это уравнение сферы в П.С.К.

2) Если точка М не лежит  на донной сфере, то МС≠ R², т.е.  координаты точки М  не удовлетворяют уравнению (1).

Взаимное расположение сферы и плоскости.

R-радиус сферы, d-расстояние от центра до плоскости α.

плоскость xoy совпадает  с плоскостью α.

Уравнение сферы  (1) х²+у²+(z-d)²= R²

Z=0 (2), т.к. ось z┴ xoy

Подставим (2) ⟹(1)

х²+у²= R²-d²

Рассмотрим 3 случая:

1) d<R,     r=√ R²-d²

2) d=R                                                                         

R²-d²=0 сфера и плоскость

имеет одну общую точку

3) d>R                                     R²-d²<0

 сфера и плоскость не имеют общих точек, если расстояние от центра сферы до плоскости  больше  радиуса сферы.   

№ 577 Написать уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если

            А(-2; 2; 0), N(5; 0; -1)

R=АN=√(х-х_о)²+(y-y_o)²+(z-z_o)²=√(5+2)²+(0-2)²+(-1-0)²=√49+4+1=√54

Уравнение сферы

(х+2)²+(у-2)²+z²=54

5.Объёмы многогранников и тел вращения

Равенство фигур. Понятие объем тела.

Цель урока: Рассмотреть свойства равных фигур. Вспомнить единицы  измерения объема.

Ход урока

I.                   Проверка домашнего задания

II.                Повторение

III.             Изложение нового материала.

За единицу измерения  объемов принят куб, ребро которого равно единице измерения отрезков

Куб с ребром 1 см  называют кубическим сантиметром и обозначают см³.

            Если 2 тела равны, то каждое из них  содержит столько же единиц измерения объемов и ее частей, сколько и другое тело.

Свойства:

1° Равные тела имеют равные объемы.

2° Если тело составлено из нескольких тел, то его объем  равен сумме объемов этих тел.

                        V_фигуры=V_кон.+ V_цил

РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задача №1.  Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен , а высота пирамиды равна 4.

Решение.

.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

3) вычислим объём пирамиды

.

Ответ. 9

Задача №2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен , а боковые ребра пирамиды равны 6.

Решение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту пирамиды: , .

5) вычислим объём пирамиды

.

Ответ. 18.

Задача №3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1.

Решение.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем периметр основания Р = 3·а,

Р = 9.

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

4) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим апофему МР: ,

МР =

5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

,.

Ответ. .

Задача №4.  Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна .

Решение. ,

1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: ,  то есть .

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , МО = .

4)  вычислим объём правильной пирамиды: = .

Ответ. 18.

Задача №5. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна .

Решение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) вычислим объём правильной пирамиды: = .

Ответ. 36.

Задача №6.  Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3.

Решение.

1) найдем сторону основания по формуле , т.е. .

2) найдем периметр основания: Р = 4а,

Р = 24.

3) из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему МР: ,DP =

тогда: МР = .

4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: =  .

Ответ. 48.

Задача №7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 16, а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды.

Решение.

1) найдем сторону основания:  так как в основании пирамиды квадрат с площадью  равной 4, то сторона квадрата равна 2, а его периметр 8.

2) по условию = 16 т.е.

.

3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , учитывая, что ОР =  = 1, получаем: МО = .

Ответ. .

Задача №8. Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.

Решение:

1) сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности т.е. ,

2) площадь правильного шестиугольника найдем по формуле  или   = 24.

3) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО: .

4) вычисляем объём пирамиды: =.

Ответ. 24.

Задача №9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 2. Найдите объём пирамиды.

Решение.

1) найдем площадь правильного шестиугольника по формуле  или   = 12.

2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в правильном шестиугольнике  : .

3) вычисляем объём пирамиды: =.

Ответ: 24.

Задача № 10. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R  удовлетворяет уравнению R² + R– 6 = 0. Найдите объём призмы.

Решение.V = S·H

1) так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, Н = 5.

2) по условию R  удовлетворяет уравнению R² + R– 6 = 0, решая которое находим

R₁ = - 3, R₂ = 2, так как радиус величина положительная то -3 не удовлетворяет условию задачи.

3) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .

4) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника:   =
5) вычислим объём призмы: V = S·H =.

Ответ. 15.

Задача №11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.

Решение.V = S·H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, по условию Н =3R..

2) Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно радиусу вписанной в треугольник АВС окружности, т.е. , и по условию равно .

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

4) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .

5) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника:   =

6) вычислим объём призмы: V = S·H =S·3·R =162.

Ответ. 162.

Задача №12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 p. Найдите объём призмы, если сторона её основания равна 5.

Решение.  V = S·H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.

2) Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника:  =.

3) Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле , тогда .

4) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 16·p т.е., откуда Н = = .

5) Вычислим объём призмы: V = S·H =·= 30.

Ответ. 30.

Задача №13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 20p. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

 Решение.

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.

2) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 20p, т.е. , .

3) так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, со стороной , тогда периметр основания равен .

4) вычислим площадь боковой поверхности призмы = .

Ответ. .

Задача №14. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен 16 , а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен . Найдите диагональ призмы.

            Решение.   1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.

2) Так как радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен =, то сторона квадрата равна

а радиус цилиндра равен, радиусу вписанной в квадрат окружности и равен:

3) По условию объём цилиндра равен 16, т.е. , = 4.

4) Из прямоугольного треугольника АСА₁ находим диагональ А₁С :

А₁С =.

Ответ. 8.

Задача №15.  В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54 , а радиус цилиндра равен 3.
Решение.

1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.

2) по условию радиус цилиндра  равен 3, тогда , .

3) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. .

4) по условию площадь призмы  равна 54 , т.е.

P_осн.·Н + 2 S_осн=54.

5) найдем периметр основания и его площадь: Р = 6·а = 6 ·2=12.

S_осн = .

6) подставим полученные значения в формулу P_осн.·Н + 2 S_осн=54 и получим Н = (54 – 36 ): 12 =1,5.

Ответ. 1,5.

Задача № 16. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16 p, высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.

Решение. V = S·H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, т.е. Н = 4.

2) по условию , т.е.

,R = 2.

3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то а = 2.

 4) Найдем площадь основания призмы по формуле:=6.

5) вычислим объём призмы: .

Ответ. 24.

Задача №17. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10 p. Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.

Решение. V = S·H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра.

2) по условию , т.е.

.

3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то R = а.

4) выразим радиус основания вписанного цилиндра  через радиус описанного цилиндра: .

5) запишем формулу вычисления объёма вписанного в призму цилиндра: V = S·H, т.е.:

V ==p·.

Ответ. 7,5p.

Тема: Элементы комбинаторики.

Учебно - методические задачи

Дидактическая цель. Познакомить учащихся с основными понятиями комбинаторики.

Воспитательная цель. Прививать интерес к математике, используя исторические материалы. Назвать такие имена, как Б. Паскаль, П. Ферма, Я. Бернулли, Г.  Лейбниц, И.  Эйлер. Формировать диалектическое мышление, прививая умения анализировать явления окружающей действительности, изучать структуру явления и взаимосвязи явлений.

Основные знания и умения. Знать определения и формулы числа перестановок, размещений, сочетаний. Уметь вычислять перестановки, размещения, сочетания.

Определение: группы, составленные из каких либо элементов, называются соединениями.

Существует три вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.

         Задачи, в которых производится подсчет возможных величин соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающийся их решением, называется комбинаторикой.

1.     Размещение.

Размещениями из n элементов по m   называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их следования.

Число  размещений из n элементов по m обозначается символом  и вычисляется по формуле:

  (1)

2.     Перестановки

Перестановки из n  элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

Число перестановок представляет собой частный случай размещения n элементов по n  в каждом, т.е.

   (.2)

Таким образом, число всех перестановок из n элементов равно произведению последовательных чисел от 1 до n включительно. Произведение 1*2*…* n первых натуральных чисел обозначается знаком n! (читается «n-факториал»), причем  формально полагают, что 0!=1, 1!=1.Поэтому равенство (2) можно записать в виде :

                                  (3)

С использованием формулы (3) выражению (1) можно придать вид

             (4)

При решении задач удобно использовать  очевидное равенство

           (5)

3.     Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n  элементов по m обозначается символом  и вычисляется по формуле

 , (6)

которую можно записать также в виде     (7)              или

     (8)

По определению полагают . Кроме того, при решении задач используется формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

      (10)

Пример1

Найти число размещений: 1) из 10 элементов по 4; 2) из n+4 элементов по n-2

Решение: Согласно формуле (1)

1)

2)

Пример 2

Решить уравнение

Решение: Используя формулу (1), перепишем уравнение в виде :

Учитывая, что , разделим обе части на  имеем  n(n-1)=30(n-5), отсюда 

Пример 3

Составить все возможные перестановки из элементов 1) 1; 2) 5,6;  3)a,b,c

Решение:

1)(1):=1

2) (5,6),(6,5):=1*2=2

3)(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a); P₃=1*2*3=6

Пример 4

Вычислить значение выражение: 1) 5!+6! ; 2)  ; 3) ;  4) .

Решение:

1)5!+6!=5*4*3*2*1+6*5*4*3*2*1=120+720=840;

2)

По формуле (7) получим :

Тема: Свойства сочетаний. Решение упражнений на комбинаторику.

Учебно - методические задачи

Дидактическая цель. Углубить знания учащихся по изучаемой теме.

Воспитательная цель. Формировать приёмы правильного оформления работы, рациональной записи решения. Обращать внимание на грамотность использования комбинаторных формул, правильный анализ условия задачи. Развивать продуктивное мышление и навыки самоконтроля.

Основные знания и умения. Знать определения перестановок, размещений, сочетаний; свойства числа сочетаний.  Уметь вычислять перестановки, размещения, сочетания.

1.     Задача: В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе - мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье - чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд?

1 способ. Перечислим возможные варианты

Чай(Ч) Компот (К)	Мясо с макаронами(М)	Рыба с картошкой(Р)	Курица с рисом(Кр)
Борщ (Б)	БМЧ/ БМК	БРЧ/БРК	БКрЧ/БКрК
Солянка(С)	СМЧ/ СМК	СРЧ/СРК	СКрЧ/СКрК
Грибной суп(Г)	ГМЧ/ГМК	ГРЧ/ГРК	ГКрЧ/ГКрК

18 вариантов.
2 способ. Дерево возможностей.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 3х3х2=1

2.     Задача: Свете на день рождения подарили 4 плюшевых игрушки, 2 мяча и 5 кукол. Мама положила все игрушки в большую коробку. Сколькими способами Света сможет достать из коробки 1 плюшевую игрушку, 1 мяч и 1 куклу?

1 способ. Обозначим мячи - М1, М2, игрушки- И1,И2,И3, И4, куклы- К1,К2, К3, К4, К5.
Перечислим возможные варианты:

М1-И1-К1, М1-И1-К2, М1-И1-К3, М1-И1-К4, М1-И1-К5,
М1-И2-К1, М1-И2-К2, М1-И2-К3, М1-И2-К4, М1-И2-К5,
М1-И3-К1, М1-И3-К2, М1-И3-К3, М1-И3-К4, М1-И3-К5,
М1-И4-К1, М1-И4-К2, М1-И4-К3, М1-И4-К4, М1-И4-К5
М2-И1-К1, М2-И1-К2, М2-И1-К3, М2-И1-К4, М2-И1-К5,
М2-И2-К1, М2-И2-К2, М2-И2-К3, М2-И2-К4, М2-И2-К5,
М2-И3-К1, М2-И3-К2, М2-И3-К3, М2-И3-К4, М2-И3-К5,
М2-И4-К1, М2-И4-К2, М2-И4-К3, М2-И4-К4, М2-И4-К5

Ответ: 40 вариантов.
2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х4х5= 40

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9? 3 способ.

3 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х3=15 .

3. Задача: Мисс Марпл, расследуя убийство, заметила отъезжающее от дома мистера Дэвидсона такси. Она запомнила первую цифру “2”. В городке номера машин были трехзначные и состояли из цифр 1,2,3,4 и 5. Скольких водителей, в худшем случае, ей придется опросить, чтобы найти настоящего убийцу?

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

4. Задача: Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя- 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

5. Задача: Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,

11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.

Число элементарных событий =  = 10

6. Задача: В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х  = 6

7. Задача: В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределится места по окончании соревнований?
Обозначим участников по первой заглавной букве страны и пронумеруем: Р1, И2, У3, Н4,К5, Ф6
Р1 - имеют возможность занять с1-6 места, т.е. 6 вариантов
И2 - 5 вариантов
У3- 4 варианта
Н4- 3 варианта
К5- 2 варианта
Ф6- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем: 6х5х4х3х2х1= 720

2 способ. Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

8. Задача: В 9 “б” классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?

Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.

Возможны следующие тройки:

Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,

Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-В

С-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,

К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В,

Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В

2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно  = 15

9. Задача:  Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:

=35, число четверок у Вали из 9 дисков = 126

По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

10.Задача:  Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 -. По правилу умножения находим число выбора отряда:

10х70х = 700х

10. Задача: В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 -=126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

11. Задача: На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях 
Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя - из 8, на профорга - из 7
По правилу умножения получаем 9х8х7=504

12. Задача В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной - из 24, завуча среднего звена - из 23, завуча по воспитательной работе - 22. По правилу умножения получаем:
25х24х23х22 = 303600

13. Задача:. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192=29030400 способами.

14. Задача: В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно=120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120=4320

15. Задача: Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение 

Другой способ решения.
1цвет выбирается из 8 тканей 8 способами
2цвет выбирается 7 способами
3 цвет - 6способами
Используя правило умножения, получаем 8х7х6=336 способов.

16. Задача:  В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать 

17. Задача: В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайных розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

1способ. Обозначим белые - Б1, Б2, Б3, алые - А1,А2, чайные - Ч1, Ч2, Ч3,Ч4
Перечислим возможные варианты
Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1,Б1-А2-Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4
Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1,Б2-А2-Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4
Б3- А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1,Б3-А2-Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4

Ответ: 24 варианта.

2 способ. Используя правило умножения, получаем: 2х3х4=24

17.Задача: К 60-летию Победы группа школьников отправилась по местам боевых действий в Смоленской области. Они планировали осуществить поход по маршруту деревни Сосновка-Быковка- Масловка- Видово. Из С в Б можно проплыть по реке или пройти пешком, из Б в М- пешком или на автобусе, из М в В - по реке, пешком или автобусе. Сколько вариантов похода есть у щкольников?

Обозначим СБ - путь из Сосновки в Бытовку, ВГ - путь из Быковки в Масловку, МВ - путь из Масловки в Видово.
По реке -Р, пешком - П, на автобусе - А
Перечислим возможные варианты:
СБР- БМП-МВР, СБР- БМП-МВП, СБР- БМП-МВА
СБР-БМА-МВР, СБР-БМА-МВП, СБР-БМА-МВА
СБА- БМП-МВР, СБА- БМП-МВП, СБА- БМП-МВА
СБА-БМА-МВР, СБА-БМА-МВП, СБА-БМА-МВА
Ответ: 12 вариантов.

Элементы теории вероятностей.

1.     Случайные события, вероятность события.

Учебно - методические задачи

Дидактическая цель. Дать понятие о случайном событии и его вероятности. Научить учащихся вычислять вероятности события.

Воспитательная цель. Прививать интерес к математике, используя исторический материал. Возникновение теории вероятностей относится к середине 17 в. и связано с исследованиями Б. Паскаля, П. Ферма и Х. Гюйгенса(1629-1695).

Основные знания и умения. Иметь понятие о случайном событии и его вероятности. Знать классическое  определение вероятности.  Уметь вычислять  вероятность события, используя классическое определение.

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связанно с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний).

Определение: Событие-всякий результат или исход испытания .

Определение: Случайное событие- событие, которое при заданных условиях может произойти или не произойти.

Определение : Достоверное событие- событие, которое  должно непременно произойти.

Определение: Невозможное событие-событие, которое  заведомо не может произойти.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, к благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n  всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е

     (11)

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е  . Невозможному событию соответствует вероятность Р(А)=0, а достоверному – вероятность Р(А)=1.

Пример1

В лотерее з 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение:

Общее число различных исходов есть n=1000. Число  исходов, благоприятствующий получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле (11), получим Р(А)=

Пример 2

Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных нара, вынимают один шаг. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Решение:

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через А. Общее число случаев n=5+3=8. Число случаев m,благоприятствующих появлению события а, равно 3. По формуле (11) получим  .

Пример 3

Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Решение:

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров, через А. Общее число возможных n равно числу сочетаний из (12+8) элементов по два. Тогда

.

Число случаев m, благоприятствующих событию А, составляет

По формуле (11) находим вероятность появления двух черных шаров

Пример 4

В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

Решение:

Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей  из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число m комбинаций составляет

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:

Вычисление вероятностей событий.

Учебно - воспитательные задачи

Дидактическая цель. Научить вычислять вероятности случайных событий по классическому определению.

Воспитательная цель. Прививать интерес к математике, показав применение классического определения вероятности для непосредственного подсчёта вероятностей явлений.

Основные знания и умения  Уметь вычислять вероятность события, используя классическое определение, принципы и формулы комбинаторики.

Задача 1.    На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

Решение: Вероятность события  определятся формулой:    , где m  –  число  благоприятных событий (исходов),     n    – число всех возможных событий.

Из 40 вопросов (число всевозможных исходов) Коля выучил  вопросов (число благоприятных исходов).

Тогда вероятность того, что Коле попадется выученный вопрос – это .

Ответ: 0,9.

Задача 2.    В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

Решение:      Вероятность того, что к заказчице приедет зеленое такси равна

Ответ: 0,2.

Задача 3.   В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:      В сумме выпадет 7 очков в следующих вариантах:

5+1+1 (3 комбинации)

1+2+4 (6 комбинаций)

1+3+3 (3 комбинации)

2+2+3 (3 комбинации)

Всего  вариантов.

Каждый из трех кубиков может выпасть шестью гранями, поэтому общее число исходов равно .

Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков, равна 0,07     Ответ: 0,07.

Задача 4.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение:

Благоприятный исход: орел-орел-орел-орел.

Всего исходов –

Значит, вероятность того, что решка не выпадет ни разу – есть

Ответ: 0,0625.

Задача 5.   Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 75 докладов — в первый день 27 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:

Всего запланировано 75 докладов, и так как в первый день запланировано 27, то на оставшиеся два дня остается 75-27=48 докладов, при этом во второй и третий дни будет прочитано по 48:2=24 доклада.      Значит вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на третий день есть 0,32

Ответ: 0,32.

Задача 6.

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России?

Решение:

В первом туре Василий Лукин может сыграть с 26 − 1 = 25 шашистом, из которых 3 − 1 = 2 из России.

Значит, вероятность того, что в первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из России, есть

Ответ: 0,08.

Задача 7.

В чемпионате мира учавствуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе?

Решение:

Количество карточек с номером «1» – 4 штуки. Всего карточек  (команд) – 20.

Значит, вероятность того, что команда Китая окажется в первой группе равна

Ответ: 0,2.

Задача 8.

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4?

Решение:

На клавиатуре телефона  цифр меньше  4-х – 4 штуки (0; 1; 2; 3). Всего цифр 10.

Значит,  вероятность того, что случайно нажатая цифра будет меньше 4 равна

 Ответ: 0,4.

Задача 9.

Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2?

Решение:

От 41 до 56 ровно 16 чисел. Среди них четных 8 штук (42; 44; 46; 48; 50; 52; 54; 56).

Значит, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 41 до 56 делится на 2 равна

Ответ: 0,5.

Задача 10.  Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?

Решение:

Сумма очков равна 10 в следующих трех случаях:

4+6; 6+4; 5+5.

Ответ: 3.

Задача 11.  В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Решение:  Пусть один из друзей  находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6 человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг  окажется среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 12.  Вероятность того, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096. В некотором городе из 1000 проданных блендеров в течение года в гарантийную мастерскую поступило 102 штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение:

Частота события «гарантийный ремонт» составляет

Вероятность же, что новый блендер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,096.

Разница между частотой события и вероятностью составляет

Ответ: 0,006.

Задача 13.  Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9 часов.

Решение: На циферблате между 6 часами и 9  располагаются три часовых деления.

Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,25.

Вероятность события определятся по формуле: ,  где  k –  число событий, которые нас «устраивают», на языке теории вероятностей они называются благоприятными исходами.

n – число всех возможных событий, или число всех возможных исходов.

В нашей задаче на семинар приехали  3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании, то есть всего 10 человек.

Значит, число всех возможных исходов равно 10. Из России приехали 3 ученых, значит, число благоприятных исходов, то есть тех событий, которые нас устраивают, равно 3.

Следовательно, вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России равна 3/10=0,3

Ответ: 0,3

2. Задание B6    Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение. «Зафиксируем» Руслана Орлова. Теперь осталось найти вероятность того, что в паре с ним окажется  бадминтонист из России. Если мы исключили Руслана Орлова из списка спортсменов (мы его «зафиксировали»), то нам осталось выбрать ему пару из 25 спортсменов, из которых 9 участников из России.

То есть число всех возможных исходов равно 25, а число благоприятных исходов равно 9.

Следовательно, p=9/25=0,36            Ответ:  0,36

3. Задание B6    Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение. Заметим, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции с той же вероятностью, что и доклад любого другого участника конференции. Поэтому вопрос задачи можно переформулировать так: с какой вероятностью любой участник конференции выступит в последний день.

1. Найдем, какое количество докладчиков должно выступить в последний день конференции.

Так как всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями, на два последних дна запланировано

75-17х3=24 доклада.

Значит, на последний день запланировано 12 докладов, то есть количество благоприятных исходов равно 12.

Число всех возможных исходов равно 75, так как  всего запланировано 75 докладов.

Итак, р=12/75=0,16                    Ответ: 0,16.

4. Задание B6 (№ 283471) В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение. Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить правило умножения вероятностей. Так как результат каждого бросания монеты не зависит  от результата бросания монеты в другие разы, мы имеем дело с независимыми событиями.

Вероятность того, что произойдут независимые события А и В, равна произведению вероятностей события А и события В.

В нашей задаче орел не выпадет ни разу, если в результате бросания монеты каждый раз  будет выпадать решка. Вероятность выпадения решки в каждом случае равна 1/2. Значит, вероятность того, что решка выпадет в результате всех четырех бросаний равна

ххх=1/16=0,0625                        Ответ: 0,0625

5. Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?

Частота события x — отношение N(x) / N числа N(x) наступлений этого

 события в N испытаниях к числу испытаний N.

Если орел выпал 1000 раз, то решка выпала 1000-532=468

Частота этого события равна

Вероятность выпадения решки равна 0,5

Следовательно, частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на |0,5-0,468|=0,032

Ответ: 0,032

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,35. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:  -События «Достанется вопрос по теме Вписанные углы» и «Достанется вопрос по теме вписанная окружность» – несовместные. Значит,  вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем равна сумме вероятностей этих событий: 0,35+0,2=0,55.

Ответ: 0,55.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:  Ситуация 1:  Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает произведение вероятностей каждого из событий: Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 70% этих стекол, вторая – 30%. Первая фабрика выпускает 1% бракованных стекол, а вторая – 3%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение:   Ситуация 1:   Стекло оказывается с первой фабрики (вероятность события 0,7) и (умножение) оно бракованное (вероятность события 0,01).

То есть должны произойти оба события. На языке теории вероятностей это означает произведение вероятностей каждого из событий:

Ситуация 2:   Стекло оказывается со второй фабрики (вероятность события 0,3) и оно бракованное (вероятность события 0,03):

Посколько при покупке стекла мы оказываемся в ситуации 1 или (сумма) в ситуации 2, то по формуле суммы вероятностей  несовместных событий  получаем:

Ответ: 0,016.

Тема: Теоремы сложения вероятностей.

(Приведем их без доказательств.)

Учебно - методические задачи

Дидактическая цель. Научить применять теоремы сложения и умножения вероятностей для решения задач.

Воспитательная цель. Изучение теории вероятностей способствует формированию диалектического мышления и широко используется в жизни современного общества.

Основные знания и умения. Знать:  определения суммы событий, произведения событий, условной вероятности; формулировки и формулы теорем сложения и умножения вероятностей.  Уметь решать несложные задачи на применение теорем сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

            (12)

Р(А₁+А₂+…+А_к)=Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_к)       (13)

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумма вероятностей  этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)   (14)

Для трех совместных событий имеет место формула

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)    (15)

Событие, противоположное событию А(т.е ненаступление события А), обозначают через . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице

  (16)

Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью события А при В и обозначается через Р_В(А) или Р(А/В). Если А и В – независимые события, то Р(В)-Р(В/А)=Р(В/).   (17)

События А,В,С, …называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой другой их комбинации.

Пример 1

В ящике в случайном порядке разложены 20 детали, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А)

Решение (способ 1)

Очевидно, что, по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: В- одна деталь стандартная, две нестандартные; С- две детали стандартные, одна не стандартная и D- три детали стандартные.

Таким образом, событие А можно представить в виде суммы этих трех событий: А= В+С+D. По теореме сложения имеем Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(D). Находим вероятность каждого из этих событий (см. задачу 4, п1)

Сложив найденные величины, получим

(способ 2)

События А (хотя бы одна из трех взятых деталей оказалось стандартной) и (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому Р(А)+ Р()=1 или Р(А)=1-Р().

Вероятность появления события А составляет

Следовательно, искомая вероятность есть Р(А)=1-Р()=1 

Пример 2

Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятое число окажется кратным  3,а В- в том, что оно кратно 5. Найдем Р(А+В). Так как А и В – совместные события, то воспользуемся  формулой (14)     

  Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10,11…,98,99. Из них 30 являются кратными 3(благоприятствуют наступлению события А ); 18 кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6- кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ). Таким образом, Р(А)=30/90=1/3, Р(В)=18/90=1/5, Р(АВ)=6/90=1/15, т.е Р(А+В)=1/3+1/5-+1/15=7/15=0,467.

2.     Теоремы умножения вероятностей. Приведем примеры без доказательств.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Вероятность совместного появления (или произведения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В)            (18)

Вероятность появления нескольких независимых, в совокупности, вычисляется по формуле:

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)*Р(А₂)*…*Р(А_n)        (19)

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления (или произведения) двух зависимых совместных равна произведению одного из них на условную вероятность  второго при условии первого:

Р(АВ)=Р(А)*Р(А/В)=Р(В)*Р(А/В)            (20)

Пример 1

В одной урне находится 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение:

Пусть А- появление белого шара из первой урны, а в- появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдем , . По формуле (20) получим Р(АВ)= Р(А)* Р(В)= 

Пример 2

В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение:

Введем следующие обозначения: А- первая взятая деталь стандартная; В- вторая взятая деталь стандартная. Вероятность  того, что первая деталь стандартная, составляет . Вероятность того, что вторая взятая деталь  окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е вероятность события в при условии А равна  . Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Р(АВ)=Р(А)*Р=

Тема: Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Учебно - методические задачи

Дидактическая цель. Дать понятие о формуле полной вероятности и научить пользоваться ею при решении задач.

Воспитательная цель. Продолжать формировать у учащихся такие методы научного познания, как анализ, сравнение, обобщение, систематизация. Теория вероятностей даёт к этому богатейший материал. Содержание её задач охватывает разнообразные жизненные ситуации, показывает связь науки с практикой.

Основные знания и умения. Знать формулу полной вероятности.  Уметь пользоваться формулой полной вероятности при решении задач.

Пусть события (гипотезы) В_1,В₂,..В_n  образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них, например, В_i , событие А может наступить с некоторой условной вероятностью Р(). Тогда вероятность наступления события а равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:

                 (21)

Здесь   Р(В₁)+Р(В₂)+…+Р(В_n)=1 Формула (21) называется формулой полной вероятности

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В₁, В₂,…,В_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле вероятности гипотез

                   (22)

которая носит также название формулы Байерса. Здесь - вероятность каждой из гипотез после испытания, в результате которого наступило событие А; -вероятность события А после наступления события В_i, Р (А)находится по формуле полной вероятности. (21)

Пример 1

На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором – 35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение:

Введем следующие обозначения: В₁-деталь изготовленная на первом станке, В₂- на втором станке и В₃- на третьем станке; событие А – деталь оказалась первого сорта. Из условия следует, что Р (В₁)=0,4;Р(В₂)=0,35;Р(В₃)=0,25; Р=0,9; Р=0,8 и Р =0,7 Следовательно,

Пример 2

В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором-10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар – черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.

Решение:

Введем обозначения: В₁- был выбран первый ящик; В₂-  был выбран второй ящик; А- при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был вынут черный шар. Тогда Р(В₁)= , Р(В₂)= . Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет . Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран второй ящик, равна .

По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар оказался черным:

Искомая вероятность того, что черный шар был вынут из первого ящика, вычисляется по формуле Байерса:

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Если производится испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Вероятность того, что  в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p (где ), событие А наступит ровно  k  раз (безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:

        (22)

Где q=1-р.

Пример

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0,8. Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах.

Решение:

Здесь n=6,  k=4, p=0,8, q=0,2. По формуле Бернулли находим:

Треугольник Пакаля

Каждый столбец, начинаясь с «1», формируется предыдущим столбцом, так что каждый элемент столбца определенной строки равен сумме 2-х элементов предыдущей строки: данного столбца и предыдущего столбца. То есть каждый столбец является набором «дельт» между элементами следующего столбца.

То есть в основе лежит рекуррентное отношение: ,

где n – номер строки (от 0),

k – номер столбца (от 0).

Проявлением этого качества является то, что каждый элемент – это сумма всех верхних (предыдущих) элементов предыдущего столбца. Часто треугольник Паскаля изображают следующим выразительным образом. В этом виде треугольника элемент строки образуется суммой двух верхних соседних элементов

(кроме верхнего единичного треугольника).

Таким законом идет нарастание нового: количества разнообразия являются суммой количеств разнообразия своей непосредственно предшествующей иерархической цепочки. Треугольник Паскаля фиксирует генезис элементов в иерархиях.

Вспомним. Бином Ньютона (a+b)ⁿ раскрывается суммой выражений с коэффициентами, которые образуют строку в «треугольнике Паскаля» при соответствующем «n» (начиная с 0). Сами выражения являются произведениями «a» и «b», имеющими каждое общую степень, равную «n». Тогда, например:

(j 1 + j ²₁)⁴ = 1j⁴ ₁ + 4j³₁(j₁²) + 6j₁ ²(j ₁²)2 + 4j ₁(j ₁²)3 + 1 (j ₁²)⁴ = 1

Значения треугольника Паскаля – это также значения количества сочетаний (выборок) из «n» элементов группами по «k», и они имеют формулу:

Статистика

Генеральная и выборочная совокупности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали.

Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяется сравнительно редко. Например, если совокупность  содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всех совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности(выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n= 100.

Замечание

Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений или для облегчения теоритических выводов допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема ) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

Способы отбора.

На практике применяется различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:

I Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части, к нему относятся:

a)     Простой случайный бесповторный отбор;

b)    Простой случайный повторный отбор;

II Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, к нему относятся:

a)     Типический отбор;

b)    Механический отбор;

c)     Серийный отбор.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить  простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточка возвращается в пачку и процесс повторяется т.е карточки перемешиваются, наугад вынимают одну и т.д. Так поступают n раз; в итоге получают простую случайную выборку с возвращением объема n.

Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка будет простой случайной без возвращения.

При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того, чтобы отобрать, например, 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если окажется, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении выборки без возвращения случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.

Типическим отбором называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

Механическим называют отбор, при котором генеральная совокупность «механически» делится на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, и из каждой группы отбирается один объект.

Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то  отбирают каждую двадцатую деталь и т.д.

Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирается каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае надо устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.

Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному а «сериями», подвергающимися сплошному обследованию. Например,  если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно.

Следует подчеркнуть, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, когда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и , наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.

Статистическое распределение выборки.

Основные понятия

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁  наблюдалось n₁  раз, х₂ наблюдалось n₂ раз, x_k наблюдалось  n_k раз и объем выборки. Наблюдаемые значения x_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке,- вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот(в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимается соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике- соответствие между возможными наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Пример:

Составить распределение относительных частот, если задано распределение частот выборки объема n=20:

xi	2	6	12
ni	3	10	7

Решение: Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:

Составим распределение относительных частот

xi	2	6	12
ni	0,15	0,5	0,35

Сумма относительных частот составляет 0,15+0,5+0,35=1.

1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством)
Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, ит.д

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей

Σp_i =1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

Пример

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0,8. Найти вероятность четырех попаданий при шести выстрелах.

Решение:

Здесь n=6,  k=4, p=0,8, q=0,2. По формуле Бернулли находим:

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x:
F(X) = P(ξ < X).
Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числа, которые описывают случайную величину суммарно, называют числовыми характеристиками случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
,
где – возможные значения случайной величины , а – соответствующие вероятности.
Замечание. Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу:
,
причем это математическое ожидание существует при выполнении соответствующего условия сходимости числового ряда в правой части равенства.
Вероятностный смысл математического ожидания: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания.
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:
М(С) = С
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(СХ) = С·М(Х)
3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(Х₁ + Х₂ + …+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) + ... + М(Х_n)
4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:
М(Х₁ · Х₂ · ... · Х_n) = М(Х₁) · М(Х₂) · ... · М(Х_n)

Медиа́на (50-й перцентиль, квантиль 0,5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Медиана является важной характеристикой распределения случайной величины и так же, как математическое ожидание, может быть использовано для центрирования распределения. Однако, медиана более робастна и поэтому может быть более предпочтительной для распределений с т.н. тяжёлыми хвостами.

Медиана определяется для широкого класса распределений (например, для всех непрерывных), а в случае неопределённости, естественным образом доопределяется (см. ниже), в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).

Пример использования

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллиардер. Каждый кладёт на стол деньги — бедняки из кармана, а миллиардер — из чемодана. По $5 кладёт каждый бедняк, а миллиардер — $1 млрд (109). В сумме получается $1 000 000 095. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим $50 000 004,75. Это будет среднее арифметическое значение суммы наличных, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана в этом случае будет равна $5 (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда). Можно интерпретировать это следующим образом. Разделив нашу компанию на две равные группы по 10 человек, мы можем утверждать, что в первой группе каждый положил на стол не больше $5, во второй же не меньше $5. В общем случае можно сказать, что медиана это то, сколько принёс с собой средний человек. Наоборот, среднее арифметическое — неподходящая характеристика, так как оно значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у среднего человека.

Неуникальность значения

Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число между ними (например, в выборке {1, 2, 3, 4} медианой, по определению, может служить любое число из интервала (2,3)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений.

Мо́да — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

 Определяется по формуле: Мо = XMо + (hМо * (fМо - fМо-1) : (fМо - fМо-1) + (fМо - fМо+1))

Полигон и гистограмма.

В целях наглядности строят различные графики статистического распределения и , в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки(x₁;n₁),(x₂;n₂),…,(x_k ;n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i  , а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i.. Точки (x_i,n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки(x₁,W₁),(x₂,W₂),…,(x_k,W_k).Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладываются варианты x_i, а на оси ординат соответствующие им частоты W_i. Точки(x_i;W_i)соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

X	1,5	3,5	5,5	7,5
W	0,1	0,2	0,4	0,3

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n_i - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинной h, а высоты равны отношению    (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки параллельные оси абсцисс на расстоянии  .

Площадь i-го прямоугольника равна – сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е объему выборки.

На рисунке изображена гистограмма частот распределения объема N=100, приведенного в таблице.

Частичный интервал длинной h=5	Сумма частот вариант частичного интервала n1	Плотность частоты
5-10	4	0,8
10-15	6	1,2
15-20	16	3,2
20-25	36	7,2
25-30	24	4,8
30-35	10	2,0
35-40	4	0,8

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длинною h, а высоты равны отношению  (плотность относительно частоты)

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го прямоугольника равна -относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е единице

ЛИТЕРАТУРА:

Основная:

1)     Богомолов, Н. В.  Математика для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко- 5-е изд., стереотип..-М.: Дрофа, 2008. – 395,[5] с.

2)     Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Учеб.Пособие для средних спец. Учеб. заведений/ Н.В. Богомолов.- 5-е изд.стереотип. - М.: Высш.шк., 2002.-495 с.

3)     Дадаян А.А. Математика Профессиональное образование, учебник 2 изд., М: Форум: Инфра-М 2007 – 544 с.

Дополнительная:

1)     Алгебра : сб. заданий для подгот. К гос. Итоговой аттестации в 9 кл. / [Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.]. 6-е изд.- М. : Просвещение, 2011.-239 с.

2)     Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник.Ч.1/Каченовский М.И., Колягин Ю.М., Кутасов А.Д., Луканкин Г.Л., и др.;       Под ред.Г.Н. Яковлева.- 3-е изд. перераб.-М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат.  лит.,1987.-464с.

3)     Баврин, И.И. /Высшая математика: Учебник для студентов естественно-научных специальностей педагогических ВУЗов – 3-е изд.стереотипное.-  М.: Издательский центр « Академия», 2003. – 616с.

4)     Высшая математика для экономистов: Учебное пособие для ВУЗов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Прутко, И. М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф.Н.Ш. Кремера- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ 2007.-439с.

5)     Высшая математика для экономистов: Практикум для студентов ВУЗов,   обучающихся по экономическим специальностям/ [Н.Ш. Кремер и др.]; Под ред. профессора Н.Ш.Кремера.- 2-е изд., переработанное и дополненное.- М.: ЮНИТИ-Дана, 2007.-479с.