Конспект лекций по теме "Комплексные числа"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Брянский строительный колледж имени профессора Н.Е. Жуковского»

УТВЕРЖДАЮ: И.О.заместителя директора по учебной работе _______________________Т.В.Мамченко.                          (подпись) от « ____» _______________20_____ г.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ТЕМЫ«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА».

Учебной дисциплины

МАТЕМАТИКА

по специальности

  08.02.01  Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

23.02.04  Техническая эксплуатация подъемно-транспортных, строительных, дорожных машин и оборудования (по отраслям)

08.02.09 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий

07.02.01 Архитектура

09.02.02  Компьютерные системы и комплексы

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Брянск

2016год

Содержание

Пояснительная записка.                                                                                                      4

Введение.                                                                                                                              4

1.Понятие мнимой единицы.                                                                                              5

2.Степень мнимой единицы.                                                                                              6

3.Основные определения и свойства.                                                                                7

4.Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами.                  11

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа.                                               12

6.  Тригонометрическая форма комплексного числа.                                                    13

Контрольные вопросы                                                                                                      15

Литература                                                                                                                         16

Пояснительная записка.

     Методические рекомендации  для студентов по изучению одного из разделов математики: «Комплексные числа» составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника среднего профессионального образования по дисциплине и отвечают требованиям к реализации основной образовательной программы среднего (полного) общего образования средними специальными учебными заведениями.

     Данное пособие включает теоретические сведения, необходимые для решения задач. Наличие методических указаний и примеров с подробным решением призвано облегчить освоение учебного материала студентами,  и могут быть использованы, как на аудиторных занятиях, так и при самостоятельной работе студентов.

Введение

   Понятие о комплексном числе появилось в середине 16 в. Математиков того времени заинтересовал вопрос, получения формул выражающую корни кубического уравнения через его коэффициенты.

    В 1545г. была издана книга «Великое искусство, или об алгебраических преобразованиях», в которой Дж.Кардано(1501-1576) опубликовал формулу корней кубического уравнения, открытую его современниками С. дель Ферро(1465-1526) и Н. Тартальей(1500-1557). Обнаружилось, что в случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардана появляются квадратные корни из отрицательного числа.  Такие числа называются мнимыми числами.

    Мнимые числа стали широко использовать при решении уравнений. На рубеже 18 и 19вв. К.Ф. Гаусс назвал мнимые числа «Комплексными числами». Он дал им геометрическую интерпретацию и доказал, что каждый многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

   В настоящее время комплексные числа широко применяются в математике, физике и технике; их применение часто упрощает решение задач.

Содержание данного материала направлено на формирование у обучающихся следующих общекультурных компитенций

ОК1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес

ОК2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность

ОК4. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач

ОК 5.Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами

1. Понятие мнимой единицы.

Предположим, что существует такое число, квадрат которого равен  - 1. Обозначим это число буквой i, тогда справедливо равенство (1): 

;

Число i будем называть мнимой единицей, а равенство (1) будем считать определением мнимой единицы.

Например:

2. Степень мнимой единицы.

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i;
i² = – 1;
i³ = i²*i = (– 1)i = – i;
i⁴ = i^3*i = – i*i = – i² = – (– 1) = 1;
i⁵ = i^4*i = 1*i = i;
i⁶ = i^5*i = i*i = i² = – 1;
i⁷ = i^6*i = (– 1)*i = – i;
i⁸ = i^7*i = – i*i = 1;
…………………

Таким образом,

- если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1;

- если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i ;

- если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1;

- если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i.

Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Например:

а)   т.к. 28=4*7 (нет остатка)

б)  т.к. 33=4*8+1

в) т.к. 135=4*33+3

Задания для самостоятельной работы №1.

Вычислите:

1. i⁶⁶; i¹⁴³; i²¹⁶; i¹³⁷.
2. i⁴³ + i⁴⁸ + i⁴⁴ + i⁴⁵.
3. (i³⁶ + i¹⁷)i²³.
4. (i¹³³ + i¹¹⁵ + i²⁰⁰ + i¹⁴²)(i¹⁷ + i³⁶).
5. i¹⁴⁵ + i¹⁴⁷ + i²⁶⁴ + i³⁴⁵ + i¹¹⁷.
6. (i¹³ + i¹⁴ + i¹⁵)i³².
7. (i⁶⁴ + i¹⁷ + i¹³ + i⁸²)(i⁷² – i³⁴).

3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА.

   Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида a+bi , где a и b –действительные числа, а i-мнимая единица. Множество комплексных чисел обозначается через C.

   Возможны случаи, когда a и b могут быть равные нулю.

- если a = 0, то комплексное число bi называют мнимым;

- если b = 0, то комплексное число a+bi = a и называется действительным;

- если a =0 и b=0,то комплексное число a+bi=0.

   Определение 2. Комплексные числа  и

называются равными, если a =c и b=d.

Например:

a) Найти x и y из равенства 3y+5xi=15-7i

Решение:

Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y=15; 5x=-7.Отсюда

б) Найти x и y из равенства(2х+3у) + (х-у)I =7+6i

Решение: Согласно условию равенства комплексных чисел имеем

 2х+3у=7

 х-у=6

Решая систему уравнений получаем: х=5,у=-1

Задания для самостоятельной работы №2.

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

8. 7x + 5i = 1 – 10iy.               9. (2x + y) – i = 5 + (y – x)i.
10. x + (3x – y)i = 2 – i.         11. (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.
12. (2 – i)x + (1 + i)y = 5 – i. 13. (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.

   Определение 3. Суммой комплексных чисел и  называется комплексное число вида  (a+c)+(b+d)i

Например:

Найти сумму комплексных чисел  и

Решение:

   Определение 4. Произведением комплексных чисел и  называется комплексное число вида  (ac - bd) + (ad + bc)i

Например:

 Найти произведение комплексных чисел и

Решение: 

Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

(a b)² = a²  2ab + b²,
(a  b)³ = a³  3a²b + 3ab  b³

(a + b)(a – b) = a² – b²

Например

а) (2 + 3i)² = 4 + 2*2*3i + 9i² = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;

б) (3 – 5i)² = 9 – 2*3*5i + 25i² = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;

в) (5 + 3i)(5 – 3i) = 5² – (3i)² = 25 – 9i² = 25 + 9 = 34;

г) (1 + i)(1 – i) = 1² – i² = 1 + 1 = 2

 Операции суммы и произведения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

I. Свойства суммы:

- коммутативности: ;

- ассоциативности:;

II. Свойства произведения:

- коммутативности: ;

- ассоциативности:

III. Свойство дистрибутивности:

   Доказательства приведенных свойств выполните самостоятельно.

   Определение 5. Алгебраической формой записи  комплексного числа называется запись вида z = a+bi, где i-мнимая единица.

   Сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, осуществляется по обычным правилам алгебры с учетом равенства i² = – 1.

   Например:

Пусть ;

По определению: (ac - bd) + (ad + bc)i

По свойству:

   Определение 6: Разностью комплексных чисел

 и называется число z = x + yi, которое удовлетворяет равенству или (c+di)+(x+yi)=a+bi

   Разность z чисел  и обозначается

Например

Вычислите: (2+6i)−(7+11i)=(2-7)+(6i-11i)= -5-5i

Задания для самостоятельной работы №3.

Вычислите:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).    15. (6 + 2i) + (5 + 3i) 16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).  17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i). 19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).  21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i)                      22. (2 + 3i)(5 – 7i).  23. (6 + 4i)(5 + 2i). 24. (3 – 2i)(7 – i).25. (– 2 + 3i)(3 + 5i).
26. (1 –i)(1 + i)  27. (3 + 2i)(1 + i).28. (6 + 4i)*3i. 29. (2 – 3i)(– 5i).30. (3 + 5i)².                    31. (2 – 7i)²   32. (6 + i)². 33. (1 – 5i)^. 34. (3 + 2i)³.  35. (3 – 2i)³. 36. (4 + 2i)³. 37. (5 – i)³.                                          38. (3 + 2i)(3 – 2i).  39. (5 + i)(5 – i). 40. (1 – 3i)(1 + 3i). 41. (7 – 6i)(7 + 6i).
42. (a + bi)(a – bi).  43. (m – ni)(m + ni).

 Определение 7: Комплексные числа  и называются комплексно сопряжёнными.

 Определение 8: Частным комплексных чисел и называется комплексное число z=x+yi, которое удовлетворяет равенству

или (c+di)(x+yi)=a+bi

   Частное z комплексных чисел  и  обозначается

Примечание. Отметим, что на практике деление комплексных чисел удобнее выполнять не при помощи непосредственного использования приведённой формулы, а используя равенство:

Например

Вычислить:

Задания для самостоятельной работы №4.

Выполните деление.

4. Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами.

    Обсудим теперь вопрос о том, как решаются квадратные уравнения  в комплексных числах. Рассмотрим уравнение  где ,b, c –– произвольные комплексные коэффициенты.

 Сделаем это на конкретном примере:

а) x² – 6x + 13 = 0;

   Решение:

  Найдем дискриминант по формуле

D = b² – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = 36 – 4*1*13 = 36 – 52 = – 16;

б) 9x² + 12x + 29 = 0

   Решение:    Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,   D = b² – 4ac =12² – 4*9*29 = 144 – 1044 = – 900,

Замечание: если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.                                                                 

Задания для самостоятельной работы №5.

Решите уравнение:            56.  x² – 4x + 13 = 0.             57. x² + 3x + 4 = 0.                        58. 2,5x² + x + 1 = 0.            59. 4x² – 20x + 26 = 0.

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

    Каждое комплексное число z = a + bi можно геометрически изобразить на плоскости точкой Z(a;b) или как вектор ОZ с началом в точке О(0;0) и концом в  точке Z (a;b)

 Определение: Плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

   Определение: Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.

Например:   Изобразить на плоскости числа

z₁ = 5;             z₂ = – 3i;

z₃ = 3 + 2i;      z₄ = 5 – 2i;

 z₅ = – 3 + 2i;  z₆ = – 1 – 5i.

Из определений суммы и разности следует, что

комплексные числа складываются и вычитаются, как векторы.

6.  Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом Z(a; b).  

    Определение:  Модулем комплексного числа z = a + bi называется длина вектора, которую можно найти по формуле . Часто модуль комплексного числа обозначают -  r

   Определение: Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс. Величину угла  можно найти с помощью формул:

   Эта система имеет бесчисленное множество решений вида, где k – любое целое число. Таким образом, любое комплексное число z имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное

   Если k = 0, то мы получим главное значение аргумента, которое и будем называть аргументом комплексного числа.

Из соотношений

 и   

Следует:  a = r cos , b = r sin.

Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить эти значения, то получим

z = a + bi = r cos  + ir sin  = r (cos  + i sin).

 Определение: Получили новую форму записи комплексного числа:

  z = r (cos  + i sin), которая называется тригонометрической формой комплексного числа

Контрольные вопросы:

1 Что такое тригонометрическая форма записи комплексного числа?  2 Как перевести число в тригонометрическую форму? 3 Как найти произведение чисел в тригонометрической форме? 4 Как найти частное чисел в тригонометрической форме? Как найти возвести число в тригонометрической форме в целую степень?7Как найти корень n-ной степени из числа в тригонометрической форме? 8Формула Эйлера  9 Как представить комплексное число в показательной форме? 10 Как связаны тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел?  11 Как найти произведение чисел в показательной форме? 4 Как найти частное чисел в показательной форме? Как найти возвести число в показательной форме в целую степень?7Как найти корень n-ной степени из числа в показательной форме?