Конспект "матрицы 1 урок"

Тема урока: «Матрицы»

Сегодня термин «матрица» применяется во множестве разных областей: от программирования до кинематографии.

Матрица в математике – это таблица чисел, состоящая из определенного количества строк (m) и столбцов (n).

Вы встречаетесь с ними каждый день, так как любая числовая информация, занесенная в таблицу, уже в какой-то степени считается матрицей.

Примером могут служить:
● список телефонных номеров;

 
● различные статистические данные;

● табель успеваемости ученика и многое другое.

Обозначения матриц

Сами матрицы всегда обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C…), а элементы матрицы – строчными (a, b, c…). Индексы обозначают местоположение элемента матрицы в системе, причем первое число – это всегда номер строки, а второе – это всегда номер столбца. Например, а23 находится во второй строке и в третьем столбце, а31 в третьей строке и первом столбце и т.д.

Важно произносить элементы матриц правильно, так а23 будет звучать как «а два три», а не «а двадцать три».

Примеры записи матриц

Наряду с круглыми скобками, используют и другие обозначения матриц: квадратные скобки или две параллельные вертикальные линии.

Матрицы, основные определения

---

Матрица называется прямоугольной, если .

---

Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

---

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной), если её определитель равен нулю.

---

Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

---

Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или .

Например,

,

---

Матрицей-строкой (или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой) – m1-матрица.

---

Матрица A', которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

Операция перехода к матрице A', транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A. Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

Транспонированной относительно матрицы  является матрица A, то есть

(A')' = A.

Решить задачу на матрицы самостоятельно

Пример 1. Найти матрицу A', транспонированную относительно матрицы

---

Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

---

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

---

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

---

Операции над матрицами:

Умножение матрицы на число: теория и примеры

Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим:

Пример 1. Найти матрицу 3A для матрицы

Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим

Пример 2. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Пример 3. Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если
, .

Сложение матриц: теория и примеры

Суммой (разностью) двух mn-матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов матриц A и B , т.е.

для суммы матриц и

для разности матриц (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m), где  – элементы матрицы А,  – элементы матрицы В.

Из данного определения понятно, что разность матриц - результат, обратный сумме матриц.

Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера.

Пример 1. Найти сумму и разность матриц

 и

В соответствии с определением находим:

Пример 2. Выполнить сложение матриц

 и

.

В соответствии с определением находим:

.

Пример 3. Выполнить сложение матриц

 и

.

Приводим все пары складываемых дробей к общему знаменателю. Результат сложения первых элементов первой строки  приводить к форме с целой частью не требуется. Получаем

.

Пример 4. Выполнить сложение матриц

 и

.

Производим действия, в основном описанные в предыдущих примерах. Особо заметим, что при сложении разных степеней переменной получается сумма переменной в этих степенях, т. е. многочлен (первый элемент первой строки новой матрицы). Получаем

.

Произведение матриц: определение, формула, способ нахождения

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Примеры нахождения произведения матриц различной размерности

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A - 2, число столбцов в матрице B - 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB - 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Пример 4. Найти произведение матриц  и .

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

Возведение матрицы в степень

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Задание

Оформить в таблице:

№	вид матрицы/определение	пример
1.	Прямоугольная матрица
2.	Квадратная марица
3.	Равные матрицы
4.	Нулевая матрица
5.	Матрица-строка
6.	Матрица-столбец
7.	Транспонированная матрица к
8.	Написать любую матрицу и выделить главную диагональ.
9.	Диагональная матрица
10.	Единичная матрица

Понятие определителя n-го порядка

Определитель матрицы или просто определитель играет важную роль в решении систем линейных уравнений. В общем-то определители и были придуманы для этой цели.

Понять логику записи определителей легко по следующей схеме. Возьмём знакомую вам со школьной скамьи систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В определителе последовательно записываются коэффициенты при неизвестных: в первой строке - из первого уравнения, во второй строке - из второго уравнения:

Например, если дана система уравнений

,

то из коэффициентов при неизвестных формируется следующий определитель:

Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым правилам, которые мы изучим ниже, находят число, которое и называют определителем n-го порядка и обозначают следующим образом:

                    (1)

Числа  называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., n;  j = 1, 2, ..., n). Порядок определителя – это число его строк и столбцов.

Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементы

называется главной диагональю, другая диагональ – побочной.

Вычисление определителей второго и третьего порядков

Покажем, как вычисляются определители первых трёх порядков.

Определитель первого порядка – это сам элемент  т.е.

.

Определитель второго порядка есть число, получаемое следующим образом:

,   (2)

где  и 

- произведение элементов, стоящих соответственно на главной и на побочной диагоналях.

Равенство (2) показывает, что со своим знаком берётся произведение элементов главной диагонали, а с противоположным – произведение элементов побочной диагонали.

Пример 1. Вычислить определители второго порядка:

Решение. По формуле (2) находим:

 

---

Определитель третьего порядка – это число, получаемое так:

 (3)

Запомнить эту формулу трудно. Однако существует простое правило, называемое правилом треугольников, которое позволяет легко воспроизвести выражение (3). Обозначая элементы определителя точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают произведения элементов определителя (рис. 1).

Формула (3) показывает, что со своими знаками берутся произведения элементов главной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, основания которых ей параллельны; с противоположными – произведения элементов побочной диагонали, а также элементов, расположенных в вершинах двух треугольников, которые ей параллельны.

На рис.1 главная диагональ и соответствующие ей основания треугольников и побочная диагональ и соответствующие ей основания треугольников выделены красным цветом.

При вычислении определителей очень важно, как и в средней школе, помнить, что число со знаком минус, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком плюс, а число со знаком плюс, умноженное на число со знаком минус, в результате даёт число со знаком минус.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение. Пользуясь правилом треугольников, получим

Вычисление определителей n-го порядка

Разложение определителя по строке или столбцу

Для вычисления определителя n-го порядка необходимо знать и использовать следующую теорему.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

Для нахождения алгебраического дополнения нам необходимо узнать такое определение как минор: итак, минором  элемента матрицы называют определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Если взять элемент  и вычеркнуть в определителе строку и столбец, на пересечении которых он стоит, то получим минор, называемый минором элемента , который обозначим через :

.

Алгебраическим допонением  элемента  матрицы называют минор, взятый со знаком

Вообще, минор элемента  будем обозначать , а алгебраическое дополнение  .

Домашнее задание.

№1. Найти определитель

А)

Б)

№2. Найти алгебраические дополнения