Многоэтажные
дроби
До
сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель
представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению
числовой дроби, данному в самом первом уроке.
Но
что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект?
Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто,
особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:
Здесь
и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в
виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут
встречаться другие определения.
Правило
работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться.
Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта
означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать
следующим образом:
Пользуясь
этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную
дробь к обычной. Взгляните на примеры:
Задача.
Переведите многоэтажные дроби в обычные:
В
каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком
деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со
знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:
В
последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.
Специфика
работы с многоэтажными дробями
В
многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе
можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными.
Взгляните:
Это
выражение можно прочитать по-разному:
1. В
числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
2. В
числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.
Итак,
для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать,
ответы тоже будут разными:
Чтобы
запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая
черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в
несколько раз.
Если
следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:
Да,
возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать
правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные
дроби:
Задача.
Найдите значения выражений:
Итак,
работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем
выполним операции сложения и деления:
Аналогично
поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним
требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные
выкладки. Имеем:
Благодаря
тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи
многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере
мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить
деление.
Также
отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым
делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.
Кто-то
скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно
избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь
в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что
важнее: скорость или надежность.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.