Конспект на тему: "Основная теорема арифметики".

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.

.Любое целое число, которое больше 1, можно разложить на произведение простых множителей, причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей.

Доказательство.

Пусть a – целое число, большее единицы.

Сначала докажем возможность разложения числа a на простые множители.

Пусть p₁ – наименьший положительный и отличный от 1 делитель числа a. В силу теоремы, доказанной в разделе таблица простых чисел, число p₁ – простое. Тогда по определению делимости существует такое целое число a₁, что a=p₁·a₁. Если a₁ больше единицы, то существует его наименьший простой делитель p₂, откуда a₁=p₂·a₂ и a=p₁·p₂·a₂. Если a₂ больше единицы, то существует его наименьший простой делитель p₃, поэтому a₂=p₃·a₃, откуда a=p₁·p₂·p₃·a₃. И так продолжаем этот процесс, пока не получим a_n=1, что неизбежно, так как a, a₁, a₂, … - последовательность убывающих целых положительных чисел. Итак, мы всегда можем получить разложение числа a на простые множители вида a=p₁·p₂·…·p_n (при n=1 имеем a=p₁, это разложение соответствует случаю, когда число a простое).

Осталось доказать единственность полученного разложения.

Предположим, что помимо разложения a=p₁·p₂·…·p_n существует еще одно разложение числа a на простые множители q₁, q₂, …, q_m вида a=q₁·q₂·…·q_m. Тогда должно быть справедливо равенство p₁·p₂·…·p_n=q₁·q₂·…·q_m. Покажем, что при n≠m это равенство невозможно, a при n=m произведения p₁·p₂·…·p_n и q₁·q₂·…·q_m тождественно равны.

Правая часть последнего равенства делится на q₁, тогда в силу предыдущей теоремы хотя бы один из множителей p₁, p₂, …, p_n должен делиться на q₁. Допустим, на q₁ делится p₁, но так как числа p₁ и q₁ простые, то p₁ делится на q₁ только тогда, когда q₁=p₁. Это позволяет нам сократить обе части равенства p₁·p₂·…·p_n=q₁·q₂·…·q_m на q₁=p₁, получаем p₂·…·p_n=q₂·…·q_m. Рассуждая аналогично про p₂ и q₂, придем к равенству p₃·…·p_n=q₃·…·q_m. И так действуем дальше, пока в какой либо части равенства не сократятся все множители. При n≠m мы получим или равенство 1=q_n+1·…·q_m, или равенство p_m+1·…·p_n=1, которые невозможны для простых чисел q_n+1, …, q_m и p_m+1, …, p_n. Если же n=m, то мы получим тождество 1=1, которое указывает на тождественное равенство разложений a=p₁·p₂·…·p_n и a=q₁·q₂·…·q_m. Этим доказана единственность разложения числа на простые множители.