Конспект на тему Синус, косинус, Тангенс. Вписанные и центральные углы. Касательная к окружности

Урок по геометрии в 9-м классе по теме "Синус, косинус и тангенс угла. Касательная к окружности. Центральные и вписанные углы" (Урок повторения и  практического применения теоретических фактов)

Предмет геометрия

Класс 9 класс

Учебник: Геометрия 7-9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений, авторы Л.С. Атанасян и другие

Учитель Африкян Марина Арамаисовна

Цель урока:

Создать условия для  формирования умения быстро принимать решения, выбирать рациональный способ решения,  развивать гибкость мышления; способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету, создать ситуацию успеха.

Задачи урока:

- образовательные

научить поиску и выделению необходимой информации, самостоятельному формулированию познавательной цели, выбору наиболее эффективного способа решения задачи, построению логической цепи рассуждений и доказательств

- воспитательные

умение слушать и слышать,  вступать в диалог, участвовать в дискуссии,  строить продуктивное взаимодействие, проявлять познавательный интерес к изучению предмета

- развивающие

умение планировать свою деятельность выдвигать гипотезы, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий, применять знания в нестандартных ситуациях, использование компьютерных технологий для самообразования и контроля.

Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.

Оборудование:

• Интерактивная доска
• Презентация
• Рабочие листы
• Компьютер

Ход урока

Каждая проблема имеет решение. Единственная трудность заключается в том, чтобы его найти.

Эвви Неф

1.      Организационный момент.

Приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку, отмечает отсутствующих.

Раздать рабочие листы для выполнения самостоятельной работы, которая  выполняется по мере разбора и обсуждения различных заданий на протяжении всего урока.

Приложение 2.

2.       Вступительное слово учителя

Проблемный вопрос.

Предлагаю вашему вниманию  две задачи. Попробуйте предложить пути их решения.

(Обучающиеся высказывают свои предложения)

Знание каких теорем и определений нам при этом потребуется?

Какие цели нам следует поставить на сегодняшний урок?

(Постановка целей обучающимися).

Повторение основных теоретических сведений, которые могут нам помочь в разрешении проблемы и способов их применения в конкретных задачах.

Поиск возможных путей решения двух задач и выбор оптимального пути.

2.      Повторение теоретических сведений.

1.      Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса.

2.      Теорема Пифагора.

3.      Теорема о катете, лежащем напротив угла в 30°.

4.      Теоремы об окружности, где говорится про угол в 90°.

3.      Решение задач.

Работа по обсуждению и решению задач ведется в парах. Пары по очереди выходят к доске и предлагают своё решение. Каждое предложенное решение обсуждается всем классом.

№1. Найдите: 1) sinA, 2) cosA, 3) tgA, 4) ctgA

№2. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке

                 

№3. Найдите синус угла, изображенного на рисунке

                 

№3. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, ВС = 6, sin A=0,3. Найдите АВ.

№4. В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 6, cosA=0,3. Найдите АВ.

№5. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ=20, АО=29.

№6. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 20. Найдите АС, если ВС=32.

№7. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен 1,5. найдите её большее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 66.

№8. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.

№9. Дано:  АВСD – трапеция, АВ = 16 см,  ÐВАD = 30°, ÐСDА = 45° . Найти:  ВК и МD.

4.      Разрешение проблем, возникших при решении задач в начале урока.

(Производится совместный разбор и решение двух задач, поставленных в начале урока. Можно использовать видео или выход на сайт http://www.etudes.ru/ru/ ).

Приложение 1.

5.      Проверь себя. Решение и контроль задач с сайта Решу ОГЭ (При наличии времени. Переход по гиперссылке).

6.      Домашнее задание

Вычислить

№1.  глубину заложения станции метро, на которую вы спускаетесь по эскалатору, где при подсчете оказалось бы 54 лампы.

№2. дальность до линии горизонта для своего роста. Радиус Земли считать равным 6400 км.

№3. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰,  , . Найдите АВ.

7.      Рефлексия. Дорисуйте того человечка, который отражает вашу оценку своей работы на уроке.

(Собрать самостоятельную работу)

Приложение 1.

Использовались задачи, предложенные в следующих источниках:

Математические этюды

http://www.etudes.ru/ru/

Глубина заложения станций метрополитена.

Как оценить глубину заложения станции метро, на которую вы спускаетесь по эскалатору? Оказывается и в этом житейском вопросе может помочь знание математики! А именно — тригонометрии.

Эскалатор метро… Как много в этих словах скрыто для любого интересующегося человека! Огромная, постоянно движущаяся махина, «живая лестница»…

А начиналось всё ещё в конце XIX века, когда американский изобретатель Дж. Рено (Jesse W. Reno, 1861—1947) запатентовал первую «живую лестницу». В его конструкции вместо ступенек на «бесконечной» ленте её лестничного полотна были продольные рифли. Первый же публичный действующий эскалатор по соглашению с его изобретателем Ч. Зеебергером (Charles D. Seeberger, 1857—1931) был изготовлен компанией «Отис» и экспонирован на Парижской выставке 1900 года. У него были горизонтальные ступени, которые выходили из-под ограждения на одной входной площадке и уходили под такое же ограждение на другой входной площадке, что доставляло массу проблем. В 1921 году обе идеи — горизонтальные ступеньки и рифление — были объединены в новой конструкции, и с этого момента всегда стала использоваться подобная схема.

Когда в 1930-х годах начали проектировать первый в нашей стране московский метрополитен, была предпринята попытка ознакомиться с заграничным опытом. Однако запрашиваемые суммы и время на исполнение со стороны зарубежных компаний были настолько велики, что от этой идеи пришлось отказаться. В конце 1933 года директор лондонского отделения фирмы «Отис» писал председателю Моссовета: «Ваши специалисты — способный народ. Но эскалаторы — чрезвычайно сложное дело, им с этим делом не справиться. Даже мы, с нашим тридцатилетним опытом, не возьмёмся выполнить заказ в такие сроки. Я, как друг Советского Союза, обязан вас предупредить, что сроки пуска метро могут быть сорваны». Но советские инженеры и учёные сумели решить эту уникальную задачу, и в феврале 1935 года эскалаторы стали доставлять пассажиров на станции московского метрополитена.

Одним из важных элементов эскалатора является ступенька. У неё четыре ролика: два больших и два маленьких. Большие ролики едут по своим направляющим рельсам, а маленькие — по своим.

Когда проектировали эскалатор, даже подбор материалов для роликов был очень важной и трудной задачей. Московский метрополитен открыт примерно с шести утра до часу ночи. Т. е. больше 19 часов — больше 68 тысяч секунд в день. Самая медленная скорость эксплуатации эскалатора сейчас 0,75 м/c, и, значит, ступенька пробегает каждый день больше 50 километров. И так, без устали, день за днём, в год более 18 тысяч километров! Представляете, каков должен быть материал, чтобы ролики без регулярных ремонтов и замен могли выдерживать постоянно едущих на ступеньках пассажиров. И это только одна деталь и один вопрос, который пришлось решать советским инженерам, а таких вопросов были тысячи.

Вот так примерно выглядит схема эскалатора. Если посмотреть сбоку, то видно, что именно взаимное расположение направляющих рельс больших и маленьких роликов обеспечивает основное свойство эскалатора: в верхней части «живой лестницы», по которой едут пассажиры, ступени всегда горизонтальны. В нижней же части ступени возвращаются вверх параллельно направляющим, не занимая место в туннеле.

Но вернёмся к нашему вопросу о глубине, на которую спускается эскалатор. Удивительный факт состоит в том, что все российские эскалаторы, с самых первых и до производимых в наше время, наклонены к горизонту под углом в 30 градусов!

Достроим мысленно эскалатор до естественного прямоугольного треугольника. Длина его гипотенузы — это длина эскалатора, а длина одного из катетов и будет примерно равна глубине заложения той станции метро, на которую ведёт этот эскалатор.

Как же посчитать длину эскалатора, спускаясь по нему? Можно было бы засечь время, но тогда для вычисления пути нужно точно знать скорость движения, а она может меняться от 0,75 м/c до 1 м/c, и погрешность — в четверть — довольно большая.

Можно было бы посчитать размеры одной ступеньки, но затем понять на движущемся эскалаторе, сколько на гипотенузе умещается ступенек, сложновато…

Что же мы можем использовать ещё? Спускаясь или поднимаясь по эскалатору, мы постоянно проезжаем фонари! Расстояние между ними не фиксируется, ГОСТами оговаривается необходимая освещённость туннеля. И в итоге получается, что фонари отстоят друг от друга примерно на 5 метров.

Спускаясь по эскалатору, можно посчитать количество фонарей. Что нужно сделать дальше, чтобы посчитать длину гипотенузы?

Не торопитесь умножать на 5. Для подсчёта длины нам же нужно не количество фонарей, а количество расстояний между ними! От подсчитанного количества фонарей следует отнять 1, а теперь уже можно умножить на 5 и на синус 30°.

Красота момента состоит в том, что синус 30° равен 1/2, и с этим числом легко производить счёт в уме! И получившаяся формула подсчёта глубины заложения станции проста для счёта и легка для запоминания.

Читать полностью: http://www.etudes.ru/ru/etudes/subway/
© 2002—2018, Математические этюды

Математическая составляющая

http://book.etudes.ru/

Расстояние до горизонта.

Какова дальность до линии горизонта для наблюдателя, стоящего на земле? Ответ — приближённое расстояние до горизонта — можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Для проведения приближённых расчётов сделаем допущение, что Земля имеет форму шара. Тогда стоящий вертикально человек будет продолжением земного радиуса, а линия взгляда, направленного на горизонт, — касательной к сфере (поверхности Земли). Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то треугольник (центр Земли) —(точка касания) —(глаз наблюдателя) является прямоугольным.

Две стороны в нём известны. Длина одного из катетов (стороны, прилегающей к прямому углу) равна радиусу Земли R, а длина гипотенузы (стороны, лежащей против прямого угла) равна R+h, где h — расстояние от земли до глаз наблюдателя.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит, расстояние до горизонта равно .

Величина  очень мала по сравнению со слагаемым  , поэтому верно приближённое равенство

 . Известно, что R≈6400 км, или R≈64·10⁵ м. Будем считать, что h≈1,6 м. Тогда .

Используя приближённое значение , находим .

Краткое описание документа:

Создать условия для формирования умения быстро принимать решения, выбирать рациональный способ решения, развивать гибкость мышления; способствовать развитию активного познавательного интереса к предмету, создать ситуацию успеха.