Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Информатика / Конспекты / Конспект открытого урока по информатике "Системы счисления"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Конспект открытого урока по информатике "Системы счисления"

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8 г. Юрги».















Тема: Системы счисления.























Оглавление.



Введение………………………………………………………………...1-2стр.


Глава 1.

1.1 История систем счисления…………………………………..........3-4стр.

1.2 Виды систем счисления…………………………………….........5-10стр.


Глава 2.

2.1 Арифметические действия в различных системах счисления..11-12стр.

2.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую.……….13-14стр.

2.3 О признаках делимости………………………………………….15-16стр.


Заключение……………………………………………………………….17стр.


Список литературы………………………………………………………18стр.


Приложение…………………………………………………………...19-30стр.





























Введение


Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный.

Открытия в науке о числах делали Пифагор, Архимед, немецкий ученый Карл Гаусс и др.

Сначала люди умели называть лишь маленькие числа, а потом все больше и больше. Они создали разные системы исчисления, такие как двоичная,

десятичная, шестидесятеричная.

Около 2.5- 3 тысяч лет до нашей эры египтяне придумали свою числовую

систему. Своя система счисления была у римлян. В древности применялась и

алфавитная система записи чисел. Любопытны были различные методы

обозначения чисел. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере

увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки.

Когда- то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства.

Изучение чисел и их свойств необходимо современному человеку для

развития логического мышления, памяти, творческого решения задач.

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, котором сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

В последнее время с десятичной системой серьезно конкурируют двоичная и отчасти троичная система, которыми «предпочитают пользоваться» современные вычислительные машины.

Актуальность: Программой школьного курса математики не предусмотрено изучение других, помимо десятичной, систем счисления, а современные вычислительные машины, как было сказано выше, используют например двоичную систему. Всё это подтверждает актуальность выбранной мною темы.

Объект исследования: удивительный мир чисел

Предмет исследования: система счисления

Цель – Изучение различных систем счисления и применение их в решении задач.


1

Задачи:

1.Изучить необходимый теоретический материал.

2.Научиться переводить числа из одной системы в другую.

3. Уметь применять различные системы счисления при решении задач и в других предметных областях.

4. Расширить математический кругозор.











































2

1.1.История систем счисления


Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принято называть цифрами

Но что же люди понимают тогда под словом "число"?

Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

Эталон называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

Понятие числа - фундаментальное понятие, как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

Известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой.»

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий прием наименования сколь угодно больших чисел. Издавна у греков, как, впрочем, и у других народов, наглядным образом для представления об очень большом и даже неисчислимом количестве служило число песчинок. В народных сказках, например, встречается "неразрешимая" задача: сосчитать звезды на небе, капли в море или песчинки на земле. Архимед показал, что такие задачи можно решить. Свое сочинение он так и назвал "Исчисление песка" ("Псаммит"). В нем он построил систему счета, в которой имелись числа, не только превосходящие количество песчинок в его родной Сицилии, но и такие, которые были больше числа песчинок во Вселенной, если даже считать, что Вселенная сплошь заполнена песком.

Для подсчета количества песчинок Архимед должен был, хотя бы

3

приблизительно, определить размеры диаметров Вселенной и песчинки, а затем найти отношение их объемов. Архимед сделал это, опираясь на данные астрономии своего времени и на собственные исследования в этой области. Число песчинок, которое должно было у него при этом получиться, в нашей нумерации записывается так: 1063. Это очень большое число, и до Архимеда не было средств ни для записи, ни для наименования чисел такого порядка. Способ Архимеда близок к позиционному, но понадобилось еще около тысячи лет, прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления. Вслед за Архимедом Аполлоний занимался усовершенствованием системы счисления. Значительно облегчил умножение больших чисел в греческой нумерации, разбивая десятичные разряды на классы (по четыре)
































4


1.2 Виды систем счисления.


Сегодня, в XXI веке, для записи чисел человечество использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.



Непозиционные системы счисления.


Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например, овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа, называются непозиционными.

Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Можно предложить, что для облегчения счёта люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.



Древнеегипетская десятичная непозиционная система.


В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры

5

для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской


системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

hello_html_m6d671a69.jpg

hello_html_m4a4468e5.jpgединицы


hello_html_7497aa8e.jpgдесятки


hello_html_m21b47b9e.jpgсотни


hello_html_m15308679.jpgтысячи


hello_html_mcb8cbc8.jpgдесятки тысяч


hello_html_1473d4fe.jpgсотни тысяч


hello_html_m2f2af167.jpgмиллионы



В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.



Римская система.

Знакомая нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд цифр.

6

сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);

разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра

может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);

сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).


Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").



Славянская система счисления.


Культура Древней Руси была тесно связана с византийской, т.е.греческой, культурой. Поэтому и обозначения чисел были похожи на греческие – числа тоже обозначались буквами, над которыми писали особый знак (титло).

Данная система счисления является алфавитной т.е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв.

аз 1 и 10 рцы 100

веди 2 како 20 слово 200

глаголь3 люди30 твёрдо300

добро4 мыслите40 ук 400

есть 5 наш 50 ферт 500

зело 6 кси 60 хер 600

земля7 он 70 пси 700

иже 8 покой 80 o 800

фита 9 червь 90 цы 900


В славянском языке применялись следующие названия для обозначения высших десятичных разрядов:

10 тысяч – тьма

7

10 тем – легионом

10 легионов – леодром

Наряду с этой системой была другая, в которой легион обозначал тьму тем, леодр-легион легионов и т.д. Леодр леодров назывался вороном, а 10 воронов – колодой.

Чтобы обозначить тьмы, буквы, соответствующие числам от 1 до 9, обводились сплошным кружком, для обозначения легионов эти же буквы


обводились кружком из точек, а для обозначения леодров – кружком из лучей. В этих обозначениях видны зачатки позиционной системы счисления.




Вавилонская шестидесятеричная система.


Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации - вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков.

Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

hello_html_e82e851.jpg

Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком

обозначались и числа 3600=602, 216000=603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

hello_html_51fb764a.jpg

Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

8

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

hello_html_5ad3f0.jpg


а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

hello_html_2bea92a0.jpg


т.к. 444=7*60+24.


Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший разряд (левый) и младший.


Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.


Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

hello_html_2005b10f.jpg

что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:


hello_html_m5d10164a.jpg


Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.


9

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было

практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.



Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Позиционные системы счисления возникли независимо друг от друга в древнем Вавилоне, у индейцев племени майя и, наконец, в Индии. В таких системах счисления сначала возникли специальные обозначения, добавляемые к десяткам и сотням. Если обозначим через Х десятки, а через Y – сотни, то число 323=3Y 2X 3.


Позиционные системы счисления.


Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления


Современная десятичная система счисления возникла примерно в V веке нашей эры в Индии. Возникновение этой системы стало возможным после появления нуля. Теперешнее обозначение 0 впервые появилось в Греции после знакомства греческих ученых с астрономическими наблюдениями вавилонян. Для обозначения нулевого разряда греки стали использовать букву О – первую букву слова «OUDEN» - НИЧТО.

Индийцы соединили свою мультипликативную систему с греческим нулем и алфавитными принципами записи чисел в Греции.

Но эта система и цифры, используемые в ней, называются арабскими, т.к. в Европу такие цифры «привезли» арабские купцы вместе со своими товарами. В Европе такая система счисления получила распространение с начала XII века.



10

2.1 Арифметические действия в различных системах счисления.


Для чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления – «углом». Эти же правила полностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе.

Рассмотрим сложения. Как в десятичной, так и в любой другой системе мы складываем сначала единицы, затем переходим к следующему разряду и т.д. до тех пор, пока не дойдём до самого старшего из имеющихся разрядов. При этом необходимо помнить, что всякий раз, когда при сложении в предыдущем разряде получается сумма больше чем основания той системы счисления, в которой ведётся запись, или равная ему, надо сделать перенос в следующий разряд

Например


1) 236518 2) 4236 3) 34445

+ 170438 + 13416 + 10215

hello_html_m441d7c7e.gif427148 5216 3045

hello_html_1cbd7991.gif32256 103245


Перейдём теперь к умножению. Для определённости выберем какую-нибудь конкретную систему, скажем шестеричную. Основой для перемножения любых чисел служит таблица умножения, определяющая произведения чисел, меньших чем основания счисления. Нетрудно убедиться в том, что для шестеричной системы таблица умножения выглядит так:



0

1

2

3

4

5

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

5

6

2

0

2

4

10

12

14

3

0

3

10

13

20

23

4

0

4

12

20

24

32

5

0

5

14

23

32

41









Здесь в каждой клетке стоит произведение чисел, представляющих собой номера строки и столбца, на пересечении которых стоит эта клетка, причём все числа записаны здесь в шестеричной системе. Пользуясь этой таблицей, легко перемножить «столбиком» числа, содержащие любое количество разрядов.

11

Например:

3526

hello_html_1cbd7991.gif2456

31246

23326

hello_html_1cbd7991.gif11446

1452446


Деление «углом» также можно выполнять в любой системе счисления.

Например: разделить (120101)3 на (102)3.

Решение:

1hello_html_2d2985a9.gif201013 1023

1hello_html_1cbd7991.gifhello_html_m2bddf96.gif023 11013

1113

1023

hello_html_37f671d3.gif2013

1023

hello_html_m2bddf96.gif223

























12

2.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую.


Наряду с десятичной системы записи чисел применялись иные системы: двенадцатеричная, шестидесятеричная, пятеричная, двадцатеричная с основаниями 12, 60, 5, 20. Следы этих систем сохранились я языках мерах денежных единицах разных стран и народов.

В связи с развитием ЭВМ широкое применение нашли двоичная, восьмеричная, троичная, двоично-восьмеричная системы. Для современных вычислительных машин эти системы оказались более удобными, чем десятичная.

Представим число записанное в десятичной системе счисления
в позиционных системах счисления:

двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.


Чтобы перевести из десятичной системы счисления в позиционные системы счисления нужно:

1.Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток.

2.Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы счисления.

3.Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой системы счисления.


Пример:

Число 1421 из десятичной системы счисления перевести в восьмеричную. Разделим данное число на 8; получим в частном 177 и в остатке 5. Частное 177 снова разделим на 8, получим новое частное 22 и остаток 1. Это частное ещё раз делим на 8, получаем частное 2 и остаток 6. Деление продолжаем до тех пор, пока в частном не получим число меньше 8. Записать этот процесс деление можно так:

hello_html_m54a53c2a.gif

1421 8

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif5 177 8

1 22 8

6 2

Имеем последовательно: 22=2*8+6, 177=(2*8+6)*8+1 и 1421=((2*8+6)*8+1)*8+5, т.е 1421=2*83 + 6*82 +1*8+5. Следовательно,

142110=26158.

Как видим, чтобы записать данное число 142110 в системе счисления с основанием 8, достаточно выписать друг за другом последнее частное 2 и остатки 6, 1, 5

13

Теперь рассмотрим число из недесятичной системы перевести в десятичную. Возьмём число 234015. Его можно записать в виде суммы и произвести затем необходимые вычисления. 234015 =2*54+3*53+4*52+0*5+1=172610


Примеры.

Найдем двоичную запись числа 46. Расположим деление следующим образом:

4hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif6 2

hello_html_438e1b6b.gif0 23 2

hello_html_438e1b6b.gif1 11 2

hello_html_38274841.gif1 5 2

1 2 2

hello_html_m5ee0d1.gif0 1 2

1 0


Записывая остатки, начиная с последнего, получаем:


46=1011102


Проверим ответ, переведя 1011102 обратно в десятичную систему счисления:

1011102=1*25+0*24+1*23+1*22+1*21+0=32+8+4+2=46

Особенно проста система счисления с основанием 2. В ней используются только 0 и 1. На первом справа месте записывается число единиц- 0 или 1; на втором- число двоек- 0 или 1; на третьем – число четверок- 0 или 1; на четвертом- число восьмерок и т. д.


Как хороша двоичная система

И как проста в ней вычислительная схема!

Забавна записи канва:

Один с нулем не 10 здесь, а 2.

В системе этой, как легко понять,

Сто плюс один не 101, а пять.


Например: дата 13.03.2013г. в двоичной системе будет иметь вид:

1101. 11. 11111011101г.








14

    1. О признаках делимости.


Существуют простые признаки, позволяющие определить, что то или иное число делится, например, на 3, на 5, на 9 и т.п. Напомним эти признаки.

  1. Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число

257802 ( сумма цифр 2+5+7+8+0+2=24 )

делится на три, а число

125831 (сумма цифр 1+2+5+8+3+1=20 )

на три не делится.

  1. Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра есть 5 или 0 (т.е. если на 5 делится число единиц его последнего разряда).

  2. Признак делимости на 2 аналогично предыдущему: число делится на 2, если на 2 делится число единиц его последнего разряда.

  3. Признак делимости на 9 аналогичен признаку делимости на 3: число делится на 9, если сумма составляющих его цифр делится на 9.


Для доказательства этих признаков рассмотрим, например, признак делимости на 3. Он основан на том, что единица каждого из разрядов десятичной системы (т.е. числа 1, 10, 100, 1000 и т.д.) при делении на три даёт остаток один. Поэтому всякое число

nan-1 …а1а0)10,
т.е. число

аn*10nn-1*10n-1+…+ а1*10+а0,


можно записать в виде

n+ аn-1+…+ а10)+B,

Где B делится на 3 без остатка. Отсюда видно, что число


аn*10nn-1*10n-1+…+ а1*10+а0

делится на 3 в том и только в том случае, если на 3 делится число

аn аn-1+…+ а1*10+а0.

Признак делимости на пять вытекает из того, что число 10 основание системы счислении – делится на 5, поэтому все разряды, кроме разряда единиц, при делении на 5 обязательно дают в остатки нуль. На том же самом основан признак делимости на 2: число чётное, если оно кончается чётной цифрой.

Признак делимости на 9, как и признак делимости на 3, вытекает из того, что каждое число вида 10k при делении на 9 дает в остатке 1.

Таким образом, все эти признаки связаны с представлением чисел именно в десятичной системе и что они неприменимы, если пользоваться системой счисления с каким-либо другим основанием, отличным от 10.

15

Например, число 86 в восьмеричной системе счисления записывается в виде 1268 (так как 86=82+ 2*8+6). Сумма цифр равна 9, но 86 не делится ни на 9, ни на 3.

Однако для каждой позиционной системы счисления можно сформулировать свои признаки делимости на то или иное число. Рассмотрим несколько примеров.

Будем писать числа в двенадцатеричной системе и сформулируем для такой записи признак делимости на 6. Так как число 12 – основание системы счисления - делится на 6, то число, записанное в двенадцатеричной системе, делится на 6 в том и только в том случае, если на 6 делится его последняя цифра ( здесь то же самое положение, что и с делимостью на 5 или на 2

в десятичной системе).

Так как числа 2, 3 и 4 тоже являются делителями числа 12, то справедливы следующие признаки делимости: число, записанное в двенадцатеричной системе, делится на 2 ( соответственно на3 и на 4), если его последняя цифра делится на 2 ( соответственно на 3 и на 4).

Таким образом, верны следующие утверждения:

а) число А =(аnаn-1…а1а0 )12 делится на 8,если на 8 делится число (а1а0)12 образованное его последними цифрами;

в) число А = (аnаn-1…а1а0)12 делится на 9, если на 9 делится число (а1а0)12, образованное его двумя последними цифрами;

с) число А = (аnаn-1…а1а0)12 делится на 11, если на 11 делится сумма его цифр, т. е. число аnn-1+…+ а10.




















16


Заключение


Данная работа содержит знания, необходимые для достижения запланированных в ней целей и задач, а именно:

- изучены различные системы счисления и необходимый теоретический материал;

- представлена история возникновения чисел, различных систем счисления;

- рассмотрены задачи перевода чисел из одной системы в другую;

- показано применение различных систем счисления при решении задач и в других предметных областях.

Работа позволит юным любознательным математикам расширить свой кругозор и узнать исторические факторы по возникновению системы счисления, по переводу чисел разными способами из одной системы счисления в другую. Знакомство с работой не требует дополнительных математических знаний. Данная работа будет полезна учащимся средних и старших классов.


























17



Список литературы.


1. Виленкин Н. Я., Пышкало А.М., Рождественская В.В., Стойлова Л.П.

Математика

Москва «Просвещение» 1977г.


2. Власова Т.Г.

Предметная неделя математики в школе.

Ростов-на-Дону «Феникс» 2006г.


3. Кордемский Б.А.

Увлечь школьников математикой.

Москва «Просвещение» 1981г.


4. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С.

Математическая шкатулка.

Москва «Просвещение» 1984г.


5. Перельман Я.И.

Занимательная Арифметика.

Государственное Издательство Детской Литературы

Министерства Просвещения РСФСР

Москва 1954г.


6. Фомин С.В.

Системы Счисления.

Издательство «Наука»

Главная Редакция

Физико-математической литературы

Москва 2001г.


7. Интернет 2013г.









18



Приложение



«Необыкновенная девочка»


Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила -

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.


А.Н. Стариков.


Решение.

2 уха, 2 руки, 2 глаза, 12 лет, в 5 классе, 4 книги, 2 ноги, у щенка 4 лапы.



















19

Пример 1

Найти восьмеричную запись числа 691.

Решение:

6hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif91 8

hello_html_438e1b6b.gif3 86 8

hello_html_438e1b6b.gif6 10 8

2 1 8

1 0


Записывая остатки, начиная с последнего, получаем:

691=12638


Пример 2

Перевести число 320145 в восьмеричную систему счисления.

Решение:

Сначала переведём 320145 в десятичную систему счисления:

320145=3*54+2*53+0*52+1*5+4=2134.

А теперь 2134 переведём в восьмеричную систему счисления:

2hello_html_576cf212.gif134 8

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif6 266 8

hello_html_576cf212.gif2 33 8

hello_html_m2bddf96.gif1 4 8

40

Значит, 320145=41268.


Пример3

Найти сумму чисел 14218 и 204768.

Решение: 14218

204768

hello_html_1cbd7991.gif221178




Пример 4

Найти разность чисел 11001012 и 1101112.

Решение:

11001012

- 1101112

1011102



20

Пример 5

Найти произведения чисел 1213 и 123.

Решение: * 1213

hello_html_1cbd7991.gif123

1012

121

22223


Пример 6

На доске сохранилась полустёртая запись.

+ 23*5*

1*642

42423

Выяснить, в какой системе счисления написаны слагаемые и сумма?

Ответ: В семеричной.

+ 23451

15642

42423


Пример 7

Запишите текущий год в троичной системе счисления.

Решение:

2hello_html_576cf212.gif013 3

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0 671 3

hello_html_576cf212.gif2 223 3

hello_html_m2bddf96.gif1 74 3

hello_html_576cf212.gifhello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif224 3

hello_html_m2bddf96.gif0 8 3

2 2


Ответ: 2013=22021203


Пример 8

Запишите в пятеричной системе счисления год своего рождения.

Решение:


1hello_html_576cf212.gif999 5

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif4 399 5

hello_html_438e1b6b.gif4 79 5

hello_html_m2bddf96.gif4 15 5

03


Ответ: 1999=304445

21

Пример 9

Расшифруйте высказывание: «Мне 1110 лет, и я учусь в 111классе».

Решение:

1110=1*23+1*22+1*2+2=14

111=1*22+1*2+2=7

Ответ: Мне 14 лет, и я учусь в 7 классе.



Пример 10

Найдите сумму 74 и 63 в двоичной системе.

Решение:

hello_html_576cf212.gif74 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  37 2

hello_html_576cf212.gif1 18 2

hello_html_m2bddf96.gif0 9 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif14 2

hello_html_m2bddf96.gif0 2 2

0 1

74=10010102



hello_html_576cf212.gif63 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif1  31 2

hello_html_576cf212.gif1 15 2

hello_html_m2bddf96.gif1 7 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif13 2

1 1

63=1111112

+ 10010102

1111112

100010012


Проверка:


74+63=137


10001001=1*27+1*23+1=137


137=137 верно.





22


Пример 11

Найти разность 129 и 58 в двоичной системе.

Решение:


hello_html_576cf212.gif129 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif1  64 2

hello_html_576cf212.gif0 32 2

hello_html_m2bddf96.gif0 16 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif08 2

hello_html_m2bddf96.gif0 4 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif 0 2 2

0 1

129=100000012


hello_html_576cf212.gif58 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  29 2

hello_html_576cf212.gif1 14 2

hello_html_m2bddf96.gif0 7 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif13 2

1 1

58=1110102


+ 100000012

1110102

10001112

Проверка:


129-58=71


10001112=1*26+1*22+1*2+1=71


71=71 верно











23

Пример 12

Найти произведения 22 и 7 в двоичной системе.

Решение:


hello_html_576cf212.gif22 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  11 2

hello_html_576cf212.gif1 5 2

hello_html_m2bddf96.gif1 2 2

01

22=101102

hello_html_576cf212.gif7 2

hello_html_m40bcc0d0.gif1  3 2

1 1


7=1112


*101102

1112

1011

1011

hello_html_m9534073.gif1011

100110102


Проверка:


100110102=1*27+1*24+1*23+1*22+1*2=154


22*7=154


154=154 верно.


Пример 13

Найти частное 108 и 12 в двоичной системе.

Решение:


hello_html_576cf212.gif108 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  54 2

hello_html_576cf212.gif0 27 2

hello_html_m2bddf96.gif1 13 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gifhello_html_576cf212.gif16 2

hello_html_m2bddf96.gif0 3 2

1 1

108=11011002

24

hello_html_576cf212.gif12 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_m5dc47f72.gif0  6 2

0 3 2

1 1

12=11002



hello_html_m5ee0d1.gif11011002 11002

hello_html_m2bddf96.gif11002 10012

hello_html_1cbd7991.gif11002

11002

hello_html_37f671d3.gif0


Проверка:


108:12=9


10012=1*23+1=9


9=9 верно.

Пример 14

Решить пример.

Решение:



hello_html_576cf212.gif82 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  41 2

hello_html_576cf212.gif1 20 2

hello_html_m2bddf96.gif0 10 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif05 2

hello_html_m2bddf96.gif1 2 2

0 1


10100102=82

Проверка:

1*26+1*24+1*2=82


­



25

hello_html_576cf212.gif35 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif1  17 2

hello_html_576cf212.gif1 8 2

hello_html_m2bddf96.gif0 4 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif02 2

1 1

35=1000112


1*25+1*2+1=35


10100102

hello_html_m2823cef2.gif1000112

11101012


Проверка:


1*26+1*25+1*24+1*22+1=117


82+35=117


117=117 верно.


Пример 15

Решите пример.

Решение:


­ hello_html_576cf212.gif34 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  17 2

hello_html_576cf212.gif1 8 2

hello_html_m2bddf96.gif0 4 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif02 2

1 1

1000102=34


Проверка:


1*25+1*2+0=34

hello_html_576cf212.gif9 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_m5dc47f72.gif1  4 2

0 2 2

0 1

10012=9

26

Проверка:

1*23+1=9


1000102

hello_html_m2823cef2.gif10012

100012

hello_html_m9534073.gif100012

1001100102


Проверка:


34*9=306


1*28+1*25+1*24+1*2+0=306


306=306 верно.


Пример 16

Решить пример.

Решение:


(14728-5738)*4138=3510658


1) - 14728 2) *6778

hello_html_m2bddf96.gif 57384138

677 24758

6778

hello_html_m441d7c7e.gif33748

3510658

Проверка:


14728=1*83+4*82+7*8+2=82610

5738=5*82+7*8+3=37910

4138=4*82+1*8+3=26710

(826-379)*267=447*267=119349=3510658

1hello_html_576cf212.gifhello_html_m2823cef2.gif19349 8

hello_html_m5ee0d1.gif5  14918 8

hello_html_576cf212.gifhello_html_576cf212.gifhello_html_m311f0002.gif6 1864 8

hello_html_m2bddf96.gif0 233 8

hello_html_m2bddf96.gifhello_html_576cf212.gif4 29 8

5 3


27

Пример 17

Найти десятичную запись чисел, используя формулы

Решение:

А=ак­­ркк-1рк-1+…+а1р+а0, где


А-данное число

р-основание системы счисления

ак-цифра числа А


а) 123

А=12; р=3


1hello_html_m2bddf96.gif2= а1а0

123=1*31+2=3+2=5


бhello_html_m368de0d1.gif) 1010102= а5а4а3а2а1а0 ; р=2

1010102=1*25+0*24+1*23+0*22+1*2+0=42


вhello_html_m2823cef2.gif) 20205= а3а2а1а0 ; р=5

20205=2*53+0*52+2*51+0*5=260


гhello_html_m2823cef2.gif) 17778= а3а2а1а0 ; р=8

17778=1*83+7*82+7*81+7=1023


дhello_html_m368de0d1.gif) 123456= а5а4а3а2а1а0 ; р=6

123456=1*64+2*63+3*62+4*6+5=1865


Пример 18

Решить уравнения.

Решения:


1)

10010=x2

hello_html_m368de0d1.gifx-?


­ hello_html_576cf212.gif100 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif0  50 2

hello_html_576cf212.gif0 25 2

hello_html_m2bddf96.gif1 12 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif06 2

hello_html_576cf212.gifhello_html_m2bddf96.gif0 3 2

1 1

x=1100100

28

2)

20010=x3

hello_html_m368de0d1.gifx-?


hello_html_576cf212.gif200 3

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_576cf212.gif2  66 3

hello_html_576cf212.gif0 22 3

hello_html_m2bddf96.gif1 7 3

12


x=21102


3)

169110=x8

hello_html_m368de0d1.gifx-?



hello_html_576cf212.gif1691 8

hello_html_m449d7700.gifhello_html_m1b3a46.gif3  211 8

3 26 8

2 3


x=3233


4)

18310=x5

hello_html_m368de0d1.gifx-?


hello_html_576cf212.gif183 5

hello_html_m449d7700.gifhello_html_m1b3a46.gif3  36 5

1 7 5

2 1

x=1213


5)

13538=x10

hello_html_m368de0d1.gifx-?


x=1*83+3*82+5*81+3=747


x=747



29


hello_html_m4ac5414c.png


30


В презентацию надо:

Введение полностью;

то, что выделено зелёным цветом;

заключение полностью;

из приложения-зелёное.













Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 24.09.2015
Раздел Информатика
Подраздел Конспекты
Просмотров487
Номер материала ДВ-006470
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх