Конспект открытый урок - 8класс

Тема: Неравенства и системы неравенств с одной переменной.

Цели урока: повторить и обобщить свойства неравенств и их применение к решению неравенств;

воспитание самооценки при выборе заданий;

развитие логического мышления.

                       Ход урока.

1.     Организационный момент.

2.     Устная работа.

- повторить определение решения неравенства;

- являются ли решениями неравенства  5х - 11>3  числа  4  и -2?

- повторить определение решения системы неравенств;

- являются ли решениями системы неравенств   {2х +1>3,  числа 8 и 5?

                                                                                   3х<10

- установить соответствие между системами неравенств и  решениями   этих    неравенств, представленными на рисунке:

А)   х < 3,       Б)   х ≤ -2,       В)  х > 3,          Г)   х ≤ 3,         

       х > -2              х > 3                х ≥ -2                х  < -2              

Ответ:

А	Б	В	Г
2	1	3	4

3.     Выполнение упражнений:

Повторить свойства неравенств.

1)    Найти ошибки в решении неравенства:

х  -  3х    ≥ 2,                             

4      5                                          

20х  -  20 · 3х  ≥  2 · 10,             

 4            5                                        

5х – 12х ≥ 20,                            

-7х ≥  40,                                     

х ≥  -40                                          

         7                                               

х ≥ - 55/7.                                                    

Повторить определение сравнения чисел.

3)  Работа в парах.

Докажите неравенство:

1)Распределите,  кто выполняет задания  а)  и  в),  а кто  -  задания  б)  и  г)  и  выполните их;

2) Проверьте друг  у  друга правильность выполнения заданий;

3) Обсудите, какое   определение  использовалось для доказательства неравенств.

Вариант  1.    а)  5(х - 1) – 3(х + 9) < 2х;

                       б)  3(с+ 1) +с < 4( 2 + с);

                       в)  b(b + d) ≥ bd ;

                       г)   b² + c² ≥ 2bc .

Вариант  2.   а)  2( 4х – 1) + х < 3(3х + 2);

                       б)  3(2х – 5) – х < 5(х + 1);

                       в)  (у – 1)(у + 1) > у² – 2;

                       г)  (х +2 )² + 3 > 4(х + 1).

Вариант 3.   а)  4bc ≤ (b + c )² ;

                      б)  2у(х – 2у) ≤ х(х – 2у);

                     в)  х² + 12х + 37 > 0;

                     г)  с² – 6с > - 12

Проверка решений.

Вариант  1.    а)  5(х - 1) – 3(х + 9) < 2х;

5х -5 - 3х -27 -2х = - 32 < 0, значит, при любом значении  х  неравенство верно.

                       б)  3(с + 1) +с < 4( 2 + с);

3с + 3 + с – 4(2 + с) =4с +3 – 8 – 4с = -5 < 0, значит, при любом  значении  с  неравенство верно;

                       в)  b(b + d) ≥ bd ;

b² + bd – bd = b² ≥ 0, значит,  неравенство верно;

                       г)   b² + c² ≥ 2bc

b²  + с² - 2bс = (b –с )² ≥ 0,  значит, неравенство верно.

Вариант  2.   а)  2( 4х – 1) + х < 3(3х + 2);

8х – 2 + х – 9х – 6 = -8 < 0, неравенство  верно;

                       б)  3(2х – 5) – х < 5(х + 1);

6х – 15 – х - 5х – 5 = - 20 < 0,  неравенство верно;

                       в)  (у – 1)(у + 1) > у² – 2;

(у – 1)(у -1) – (у² – 2) = у² – 1 – у² +2 = 1 > 0,  неравенство верно;

                       г)  (х +2 )² + 3 > 4(х + 1).

(х + 2)² +3 – 4(х +1) = х² +4х +4 + 3 – 4х -4 = х²  + 3 > 0, неравенство верно.

Вариант 3.   а)  4bc ≤ (b + c )² ;

4bс –(b + с)² = 4bс – b² - 2bс – с² = - b² + 2bс – с² = - (b² - 2bс + с²) =

= - (b – с)² ≤ 0,  неравенство верно;

                      б)  2у(х – 2у) ≤ х(х – 2у);

2у(х – 2у) – х(х – 2у) = 2ху –4 у² – х² + 2ху = - х² +4ху – 4у² =

- ( х² – 4ху + 4у²) = -(х – 2у )² ≤ 0,  неравенство верно;

                     в)  х² + 12х + 37 > 0;

х² + 12х + 36 +1 =( х + 6)² +1 > 0, неравенство верно при любом  значении  х;

                     г)  с² – 6с > -12.

с² – 6с +12 = с² -6с + 9 + 3 = (с – 3)² + 3 > 0, неравенство верно .

Работа у доски.

4)     ( для сильных в учебе учащихся)

При каких значениях  с система неравенств   5х + 4 > 12 + 2( х +2),  

                                                                              3х + 2 < с + 2( х + 1)

не  имеет  решений?

              Решение.

Буквам  с  и  х  придаётся различный смысл: буквой  х  обозначено неизвестное  число,  а буквой с – некоторое фиксированное  число. В таких случаях говорят, что  с – является параметром.                                      

 3х > 12,          х > 4,

 х < с;                  х < с . 

Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы множества решений этих неравенств  не имели общих элементов.

                                             Это верно, если  с ≤ 4.

Ответ: при с ≤ 4.

Гимнастика для глаз..

5) Задача – исследование.

Вариант 1.

Верно ли, что произведение двух средних из четырех последовательных чисел больше произведения крайних чисел?

1)    Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах;

2)    Обозначьте наименьшее из чисел через х и выразите остальные три числа;

3)    Выразите произведение двух средних чисел и произведение двух крайних чисел;

4)    Сравните их;

5)    Сделайте вывод.

Вариант 2.

Верно ли, что квадрат среднего из трех последовательных нечетных чисел больше произведения двух крайних чисел?

1)    Проверьте правильность утверждения на конкретных числах;

2)    Обозначьте наименьшее из чисел  через х и выразите остальные два числа;

3)    Выразите квадрат среднего числа и произведение крайних чисел;

4)    Сравните эти выражения;

5)    Сделайте вывод.

Вариант 3.

Увеличится или уменьшится правильная дробь   х  ,

                                                                                    у                               

 где х и у – натуральные числа,  если к  её  числителю и знаменателю прибавить по 1?

1)    Рассмотрите на конкретных примерах,  как изменится дробь;

2)    Обсудите ваши наблюдения  и выскажите гипотезу;

3)    Проведите  доказательство;

4)    Сделайте вывод.

Проверка задачи.

6. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1) Решите систему неравенств    2х – 3 > 0,

                                                             7х + 4 ≥ 0;

2)    Укажите допустимые значения переменной в выражении  √ х - √3х -1;

3)    Решите неравенство  5(у – 1,2) – 4,8 < 3у + 1.

Вариант 2.

1) Решите систему неравенств    х + 1,5 ≥ 1,4,

                                                       5 – 2х > 2;

2)  Укажите допустимые значения переменной в выражении√6 – х  - √3х – 9;

3) При каких значениях α  значение дроби  α +4  больше соответствующего

                                                                            2

значения дроби  5 - 2α ?

                               3

Вариант 3.

1)    При каких значениях α  значение выражения α + 6 меньше соответствующего значения дроби  α + 2   ?

                                    4

2)Найдите целые решения системы неравенств      6х(х – 1) – 3х(2х – 1) < х,

                                                                                        0,5х – 3,7 < 0,2х – 0,7.

3) Боковая сторона  равнобедренного  треугольника  равна 16 см,  а периметр треугольника больше 48см.  Каким числом  х  можно  выразить  длину основания  треугольника  (в  см)?

 7) Историческая справка.

Понятия «больше»  и  «меньше»  наряду  с понятием равенства возникли  в связи со счётом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности,  указал границы числа  π:

                       31/7 < π <310/21.

Ряд неравенств  приводит в своём знаменитом трактате  «Начала»  Евклид.  Он,  например, доказывает, что  среднее  геометрическое  двух  положительных  чисел  не  больше их среднего арифметического,  т.  е.  что верно неравенство

           √αb ≤  α + b .

                          2     

Однако все эти рассуждения проводились словесно, опираясь на геометрическую терминологию.  Современные знаки неравенств   появились лишь  в  17 – 18 веках. Знаки  <  и  >  ввёл английский   математик Т. Гарриот,  знаки  ≤  и ≥  -  французский математик П.  Буге.

10) Итоги урока.

Рефлексия.

Вопросы учащимся:

- какой вид работы понравился?

- что узнал нового?

- в чем я затрудняюсь?

Выставление отметок.

 Домашнее  задание:  повторить  п.  32 – 35; № 891(а), №889,  900(а), №884(а)- для сильных в учёбе учащихся.