Конспект по алгебре на тему:"Решение задач на вероятность"

Примеры решения задач на вероятность

Задача 1.

В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков.

Решение.

Элементарным исходом в этом опыте является упорядоченная пара чисел. Первое число выпадает на первом кубике, а второе — на втором. В таких задачах множество элементарных исходов удобно представить в виде таблицы. В первой строке этой таблицы записываем возможный результат первого броска, а в первом столбце - возможный результат второго броска. Количество элементарных исходов .

	1	2	3	4	5	6
1	(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6;1)
2	(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
3	(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
4	(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
5	(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
6	(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Напишем в каждой клетке таблицы элементарные исходы и закрасим клетки, где сумма равна (см. рис.). Таких клеток будет пять. Значит, событию = {сумма равна } благоприятствуют элементарных исходов, а, следовательно, . Поэтому вероятность того, что в сумме выпадет очков, можно найти по формуле .

Ответ: .

Задача 2.

Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку , другие — в поле или в болото . Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

Решение.

В болото ведут три маршрута. Обозначим вершины на этих маршрутах и напишем на ребрах вдоль этих маршрутов соответствующие вероятности. Остальные маршруты не будем рассматривать.

Вероятность события {Павел Иванович попадет в болото}, равна =
= .

Ответ:

Задача 3.

В некотором эксперименте вероятность события равна . Если событие наступает, то вероятность события равна , а в противоположном случае вероятность события равна . Найдите вероятность события .

Решение.

В таких задачах удобно изобразить эксперимент графически деревом вероятностей. Отличие от предыдущих задач состоит в том, что вероятности на ребрах получаются не из равновозможности, а иначе.
Весь эксперимент обозначим буквой (большая омега) и поставим точку около этой буквы — корень дерева, из которого ветви-ребра растут вниз. Из точки проведем ребро вниз-влево в точку . Событие имеет вероятность , поэтому подпишем у этого ребра вероятность . Противоположное событие А имеет вероятность . Проведем второе ребро в точку .
Если осуществилось событие , то событие по условию имеет вероятность . Поэтому из точки проведем ребро вниз-влево в точку и подпишем вероятность. Действуя так же и дальше, достроим все дерево (см. рис.).

Чтобы найти вероятность события , нужно выделить только те пути, которые ведут из корневой точки к событию . На рисунке эти пути яркие, а пути, не приводящие к изображены бледно. Выделенные пути и являются элементарными событиями, благоприятствующими событию .
Теперь нужно вычислить вероятности выделенных путей и сложить их. Пользуясь правилами умножения и сложения вероятностей, получаем:
=
= .

Ответ:

Задача 4.

Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает % всех телефонов этой марки, а вторая — остальные телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, % имеют скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой — %. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

Решение.

Введем обозначения для событий:
= {телефон выпущен на первой фабрике},
= {телефон выпущен на второй фабрике},
= {телефон имеет скрытый дефект}.
По условию задачи составим дерево и найдём необходимые вероятности.

.

Ответ:

Задача 5. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает % яиц из этих двух хозяйств. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Решение. Эта задача является обратной к предыдущей. Событие «яйцо имеет высшую категорию» назовем . События «яйцо поступило из первого хозяйства» и «яйцо поступило из второго хозяйства» назовем и соответственно. Обозначим буквой искомую вероятность события и нарисуем дерево. Получаем: . По условию эта величина равна . Тогда , откуда и, значит, . Ответ: .