Конспект по элементам математической логики на тему "Формулы логики высказываний"

Формулы логики высказываний

Формулами логики высказываний называются составные высказывания, построенные из простых высказываний с помощью логических связок.  Формулы состоят из:

-          переменных: А, В, х₁, х₂, х_3, y,z,…

-          знаков логических операций: Ø, &, Ú, ®, «, Å

-          круглых скобок.

Выражение, составленное из обозначений высказываний, логических связок и скобок, называется логической формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

-          любая переменная, обозначающая высказывание, является формулой;

-          если А и В - формулы, то (А&В), (АÚВ), (ØА), (А®В), (А«В) - формулы;

-          других формул нет.

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

Ø, &, Ú, ®, «, Å.

Лишние скобки опускаются.

Порядок построения формул логики высказываний на основе сложных высказываний:

1.      Разложить сложное высказывание на простые высказывания.

2.      Каждому простому высказыванию назначить соответствующую логическую переменную.

3.      Определить логические операции над простыми высказываниями.

4.      Учитывая порядок следования простых высказываний, из которых состоит сложное высказывание, записать формулу алгебры высказываний.

Рассмотрим примеры представления логическими формулами следующих высказываний.

Пример 1.

       Высказывание: «Идет дождь или снег».

Это высказывание включает два простых высказывания, соединенных логической связкой «или». Это неразделимое «или», «или» с включением союза «и» (осадки могут быть смешанными, например, снег с дождем). Обозначим

А - «Идет дождь»;

В - «Идет снег».

Логической операции, соответствующей логической связке «или», является дизъюнкция (Ú). Логическая формула примет вид:

АÚВ.

Пример 2.

       Высказывание: «Сегодня суббота или воскресенье».

            Составное высказывание «Сегодня суббота или воскресенье» состоит из двух простых высказываний:

       А - «Сегодня суббота»;

       В - «Сегодня воскресенье».

Оба высказывания соединены связкой «или» в разделительном смысле (одновременно не может наступить суббота и воскресенье).  Логической операции, соответствующей этой логической связке «или», является сложение по модулю 2, то есть Å.

Логическая формула примет вид:

АÅВ.

Пример 3.

       Высказывание: «Что с горы, что под гору».

                Высказывание «Что с горы, что под гору», разобьем на два простых высказывания и введем обозначения:

                А- «С горы»;

В - «Под гору»,

Два высказывания соединены операцией эквивалентности (↔). Высказывание «Что с горы, что под гору» представимо логической формулой:

А«В.

Рассмотрим примеры представления логическими формулами более сложных высказываний.

Пример 4.

            Высказывание: «Если идет дождь, то пикник отменяется. Дождя нет, но пикник отменяется».

       Сложное высказывание включает два простых высказывания:

А - «Идет дождь»;

В - «Пикник отменяется».

В первом предложении («Если идет дождь, то пикник отменяется») высказывания А, В соединены связкой «если..., то...», что соответствует логической операции импликация (®):

А®В.

Во втором предложении («Дождя нет, но пикник отменяется») союз «но» имеет смысл связки «и» (конъюнкция &).. Для фразы «нет дождя» к высказыванию А необходимо применить операцию отрицания ():

.

Далее объединим представленные выше два высказывания в одно связкой &:

.

Пример 5.

            Высказывание: «Если в научной работе используются цитаты других авторов и ссылки на научные источники, то необходимо убедиться в точности их передачи или необходимости их применения в проекте»

Составное высказывание состоит из следующих простых высказываний:

А - «В научной работе используются цитаты других авторов».

B - «В научной работе используются ссылки на научные источники».

C - «Необходимо убедиться в точности их передачи».

D - «Необходимо убедиться в необходимости их применения в проекте».

Логическая формула второго составного высказывания:

(A&D)®(CÚD).

Пример 6.

            Высказывание: «Если вы решаете примеры по математике и при этом используете калькулятор, то это приводит к постепенной утрате навыков устного счета или потере возможности прогнозирования результатов своей деятельности».

Первое составное высказывание состоит из следующих простых высказываний:

А - «Вы решаете примеры по математике».

В - «Вы используете калькулятор».

С - «Постепенная утрата навыков устного счета».

D - «Потеря возможности прогнозирования результатов своей деятельности».

С учетом введенных обозначений и определенных логических связок сложное высказывание будет представлено в виде следующей логи­ческой формулы:

(А&В)®(СÚD).

Пример 7.

Высказывание: «Если фирма продолжает выпуск определенного продукта и ориентирована на определенный рынок, то для нее рациональной является стратегия «малого корабля» или экономии издержек. Такая стратегия достойна внимания, если интенсивный маркетинг - стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона организации. Если интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для определенного продукта».

Первое предложение содержит следующие простые высказывания:

А - «Фирма продолжает выпуск определенного продукта».

В - «Фирма ориентирована на определенный рынок».

С - «Для фирмы рациональной является стратегия «малого корабля»«.

            D - «Для фирмы рациональной является стратегия экономии издержек»

С учетом введенных обозначений логическая формула для первого предложения примет вид:

(А&В)®(С↔D).

Второе предложение содержит другие простые высказывания:

К - «Интенсивный маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором организации».

L - «Интенсивный маркетинг является слабой стороной организации».

Логическая формула, представляющая второе предложение:

(K&L)®(С↔D).

В третьем предложении содержатся новые простые высказывания:

М - «Интенсивный маркетинг является сильной стороной организации».

N - «Фирме следует придерживаться стратегии захвата новых рынков для определенного продукта».

Логическая формула для третьего предложения:

(K&M)®N.

Окончательно составное высказывание записывается следующей логической формулой:

((А&В)®(С↔D))&((К&L)®(С↔D))&((К&М)®N).

      Упражнения для самостоятельной работы.

      Представить логическими формулами следующие высказывания:

      1. «Если параметр цикла находится между начальным и конечным значением включительно, то выполняется тело цикла».

         2. «Если темпы роста рынка продукта корпорации высокие и размер контролируемой ею доли рынка также высок, то в соответствии с методами анализа этот продукт относится к категории «звезда»; он дает большой доход, но требует значительных вложений».