Инфоурок Другое КонспектыКонспект по элементам математической логики на тему "Высказывания в алгебре логики и логические операции над ними"

Конспект по элементам математической логики на тему "Высказывания в алгебре логики и логические операции над ними"

Скачать материал

Высказывания в алгебре логики и логические операции над ними

Элементами логических рассуждений являются высказывания.

Простое высказывание – это повествовательное предложение, которое или истинно, или ложно.

Число 100 делится на 25 без остатка (истинно).

Рим – столица Франции (ложно).

Вопросительные и восклицательные предложения не являются высказываниями. Простые высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита.

Истинностными значениями высказываний являются значения «истина» и «ложь». Обозначается: «И», «Л». Используются также обозначения: 0 и 1.

Составные высказывания  образуются путем соединения простых высказываний с помощью специальных связок «и», «или», «если…, то» и других связок. Эти связки называются логическими операциями над высказываниями. Логические операции строго и однозначно определены.

Действия логических операций задаются таблицами истинности.

Эти таблицы содержит  все комбинации значений истинности простых высказываний, и для каждой такой комбинации указывается значение истинности сложного высказывания.

К основным логическим операциям над высказываниями относятся: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, сложение по модулю 2, эквивалентность, стрелка Пирса, штрих Шеффера.

Отрицание – высказывание, которое образуется с помощью союзов «не», «неверно, что…».           

Например, «неверно, что пять больше  десяти».

Символически обозначается: ØА, .

Истинностная таблица:

А

1

0

0

1

Когда высказывание А истинно, то  ложно; когда А ложно,  истинно.

Двойное отрицание  является следствием высказывания А.

 

Дизъюнкция (логическое сложение) – высказывание, которое образуется путем соединения простых высказываний с помощью союза «или» (неразделимое «или», «или» с включением союза «и»).

Например, «идет дождь или снег»

Символически обозначается: АÚВ.            

Истинностная таблица:

А

В

АÚВ

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Высказывание АÚВ ложно тогда и только тогда, когда и А, и В ложны.

Конъюнкция (логическое умножение) - высказывание, которое образуется путем соединения простых высказываний с помощью союза «и».

Например, «берегите себя и будьте здоровы».

Символически обозначается: А&В, АÙВ.

Истинностная таблица:

А

B

A&B

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

Высказывание А&В истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В.

Импликация (логическое следование) – высказывание, которое образуется путем соединения простых высказываний с помощью союза «если…, то…».

Импликация выражает причинно-следственные зависимости между явлениями. Часть высказывания, которая находится между «если» и «то» обозначает причину высказывания, другая часть высказывания от «то» и далее выражает следствие.

Например, «если курс рубля по отношению к доллару продолжает падать, то это свидетельствует о нестабильности российской денежной системы».

Символически обозначается: А®В, АÞВ.

Истинностная таблица:

А

В

А®В

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Высказывание А®В ложно тогда и только тогда, когда истинно А и ложно В. Если A принимает значение ложь, то импликация А®В истинна при любом значении B.

Выражение импликации через отрицание и дизъюнкцию:

Сложение по модулю 2 (строгая дизъюнкция).

Например, «сегодня вторник или среда».

Символически обозначается: AÅ B, A D B (исключающее «или»).

Истинностная таблица:

А

В

АÅВ

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Высказы­вание АÅВ  истинно, когда истинностные значения A и B не со­впадают, и ложное - в противном случае.

Выражение операции сложение по модулю 2  через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:

 

Эквивалентность (логическая равнозначность) - высказывание, которое образуется путем соединения простых высказываний с помощью союзов «если и только если…», «тогда и только тогда».

Например, «только и только тогда Россия выйдет из кризиса, когда в основу экономической жизни будет положено производство, а не перекупка и перепродажа продуктов, товаров».

Символически обозначается: АÛВ, А«В, А~В.

Истинностная таблица:

А

В

А«В

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Высказы­вание А«В  (если и только если А, то В) истинно тогда и только тогда, когда А и В имеют одинаковые истинностные значения.

Выражение операции эквивалентность  через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:

Стрелка Пирса - конъюнкция отрицаний (ни А, ни В).

Например, «ни рыба, ни мясо».

Символически обозначается: А¯В

Истинностная таблица:

А

В

А¯В

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Высказы­вание А¯В  истинно тогда и только тогда, когда А и В имеют ложное значение.

Выражение А¯В через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:

Штрих Шеффера - дизъюнкция отрицаний (неверно, что А и В).

Например, «неверно, что наступило лето и стоит жара»; «не наступило лето или не стоит жара».

Символически обозначается: .

Истинностная таблица:

А

В

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Высказы­вание  ложно тогда и только тогда, когда А и В имеют истинностное значение.

Выражение  через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию:

Используя таблицы истинности для логических операций можно строить таблицы истинности для произвольных формул.

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

1.     Ø,

2.     &, I, ¯,

3.   ,

4.     ®,

5.     «, Å.

Существует связь между логическими операциями над высказываниями и операциями над множествами, которую можно наглядно представить в виде диаграмм Эйлера-Венна.

Логические операции

Операции над множествами

Отрицание

 

Дополнения множества до универсального

Дизъюнкция АВ

 

 

Объединение двух множеств АÈВ

Конъюнкция А&В

 

 

Пересечение двух множеств АÇВ

Импликация А®В

 

Дополнение к разности двух множеств

 

Сложение по модулю 2 АÅВ

 

Симметрическая разность двух множеств А∆В

Эквивалентность А«В 

 

Дополнение к симметрической разности двух множеств

Стрелка Пирса А¯В

 

Дополнение объединения двух множеств до универсального множества

Штрих Шеффера

 

Дополнение пересечения множеств до универсального множества

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект по элементам математической логики на тему "Высказывания в алгебре логики и логические операции над ними""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

PR-менеджер

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 696 697 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 07.05.2021 3557
    • DOCX 2.4 мбайт
    • 75 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Максимкина Наталья Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Максимкина Наталья Юрьевна
    Максимкина Наталья Юрьевна
    • На сайте: 3 года и 1 месяц
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 6775
    • Всего материалов: 3

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Организация деятельности библиотекаря в профессиональном образовании

Библиотекарь

300/600 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 290 человек из 66 регионов
  • Этот курс уже прошли 861 человек

Курс повышения квалификации

Специалист в области охраны труда

72/180 ч.

от 1750 руб. от 1050 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 30 человек из 20 регионов
  • Этот курс уже прошли 168 человек

Курс профессиональной переподготовки

Руководство электронной службой архивов, библиотек и информационно-библиотечных центров

Начальник отдела (заведующий отделом) архива

600 ч.

9840 руб. 5900 руб.
Подать заявку О курсе
  • Этот курс уже прошли 26 человек

Мини-курс

Введение в медиакоммуникации

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология общения: от многоплановости до эффективности

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 48 человек из 29 регионов
  • Этот курс уже прошли 17 человек

Мини-курс

Двигательная активность детей: основы формирования и развития

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе