Использование кривых второго порядка в оптических приборах

Целью является исследование оптических свойств кривых второго порядка. Изучение оптических свойств  кривых второго порядка  и их практическое применение.

Аннатация

 Исследование возможностей применения оптических свойств кривых второго порядка в различных областях, таких как оптические приборы, как линзы, зеркала, телескопы,  медицинская оптика.

Объектом исследования являются кривые второго порядка.

гипотеза: Свойства кривых второго порядка используются в оптических приборах.

задачи:

 1. Ознакомиться с определениями кривых второго порядка (эллипса, гиперболы и параболы).

 2. Изучить различные методы построения кривых второго порядка.

 3. Исследовать оптические  свойства кривых второго порядка.

 4Познакомиться  с примерами использования свойств кривых второго порядка в оптических приборах.

Содержание

Введение 

 1 Определения кривых второго порядка

2Построение  кривых второго порядка

3  Оптические свойства кривых второго порядка 

4 Практическое применение оптических свойств кривых второго порядка 

5 Заключение 

В В Е Д Е Н И Е

Конические сечения - это плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. Кривыми второго порядка являются эллипс, гипербола или парабола.

В аналитической геометрии на плоскости изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Эти линии часто встречаются в природе, и в технике.  Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы. Мне очень было интересно действие антенн и линз ,поэтому хотелось разобраться какими свойствами они обладают. В ходе работы я увидел связь математики и физики ,познакомился с кривыми второго порядка и их удивительными оптическими свойствами. Моя работа заключается в  изучении теоретического материала по данной теме, выходящей за пределы школьной программы, связанные с пониманием  принципа работы многих конструкций, приборов,  инструментов в окружающем нас мире.

1 Определения кривых второго порядка

 Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эту величину принято обозначать через .

 Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.           Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой, называемой директрисой, равно расстоянию до фиксированной точки, называемой фокусом.

Представляется интересным изучение способов построения кривых второго порядка с помощью нитки, линейки и карандаша.

 В основу построения легли свойства этих кривых. Например, чтобы построить эллипс с помощью нитки, двух гвоздиков и карандаша достаточно использовать определение эллипса: геометрическое место точек сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная

2Оптические  свойства  кривых второго порядка

Оптическое свойство эллипса: если поместить источник света в фокусе эллипса, то после отражения от стенок эллипса все лучи сойдутся в другом фокусе, причём одновременно.

  Оптическое свойство эллипса лежит в основе любопытного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и зданиях - речь человека, стоящего в некоторой точке, отлично слышна в другой, существенно удаленной от нее точки. В таких случаях стены или потолки помещений имеют форму эллипсов. Это свойство используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «мистического» шепота, «потусторонних» звуков .  Если источник звука находится в одном из его фокусов, то максимальная слышимость будет в другом фокусе. Поэтому если крыша здания или его стены имеют эллипсоидальную форму, то вне зависимости от остальной архитектуры здания, два человека, находящиеся в фокусах эллипсоида, могут прекрасно пошептаться, не обращая внимания на окружающих.

   Оптическое свойство гиперболы: если поместить точечный источник света в одном из фокусов гиперболы, то после отражения от ветви гиперболы лучи пойдут в таком направлении, что их продолжения пересекутся в другом фокусе. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.  Практическое применение гиперболы (звукометрический способ нахождения объекта)Описанный ниже способ определения местонахождения объекта (вражеского орудия) применялся во время Второй мировой войны.

Оптическое свойство параболы: если поместить источник света в фокусе параболы, то, отразившись от параболы, лучи будут представлять собой параллельный пучок света.

  Оптическое свойство — принципиальная основа параболических антенн.

Антенны могут вращаться, пример — параболические антенны в аэропортах, по форме являющиеся «ломтиками» огромных параболоидов; они и передают, и принимают сигнал. Антенны могут быть неподвижными. К последнему типу относятся бытовые спутниковые телевизионные антенны («тарелки»): их нацеливают на спутник–ретранслятор, находящийся высоко над Землёй на геостационарной орбите, после чего их положение фиксируется. Поскольку спутник находится далеко от поверхности, приходящие от него лучи в точке приёма антенной можно считать параллельными. В фокусе спутниковой антенны находится приёмник, от которого сигнал по кабелю отправляется к телевизору .

            Эта же идея применяется при создании прожекторов железнодорожных локомотивов, фар автомобилей, её можно использовать даже для приготовления еды в полевых условиях.

Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала.

            Оптическое свойство параболы «знает» и мир живой природы. Например, некоторые северные цветы, живущие в условиях короткого лета и недостатка солнечных лучей, раскрывают лепестки в форме параболоида, чтобы «сердцу» цветка было теплее.

Оптическое свойство параболы: если поместить источник света в фокусе параболы, то, отразившись от параболы, лучи будут представлять собой параллельный пучок света.

  Таким образом, с физической точки зрения это означает:

Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе. 

Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса. 

Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси. 

В ходе исследования изучен ряд свойств кривых второго порядка, называемых оптическими свойствами, т.к. эти свойства используются при проектировании оптических приборов:

 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе

. 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса.

 3) Если источник света находится в одном из фокусов параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси

 4 Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, телескопов-рефлекторов, а также в любительских переносных телескопах, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

   3  Кривые второго порядка в оптических приборах 

Сегодня проблемы со зрением испытывает каждый второй житель России.В оптике крайне рекомендуют асферические линзы.  В чем же отличие асферических линз от других, и почему именно асферические линзы пользуются такой популярностью? Асферические линзы создают в результате вращения иных кривых, нежели сфера, – эллипс, парабола, гипербола. Они обеспечивают более широкое поле зрения по сравнению со сферическими линзами. Изменяющаяся кривизна поверхности линзы обеспечивает большую площадь резкой фокусировки, что приводит к более широкому диапазону четкого зрения. Независимо от того, читаете ли вы книгу или наслаждаетесь панорамным видом, асферические линзы могут обеспечить более широкое поле зрения, гарантируя, что вы не упустите ни одной детали.

 Использование  в фотообъективах  

 В оптических приборах применяют различные виды поверхностей второго порядка, в том числе цилиндрические и конические.   Конические поверхности, используемые в фотообъективах, как правило, имеют большой угол при вершине, близкий к 180 градусам.

Контроль качества  приборов

Также оптические свойства кривых второго порядка используют для контроля качества оптических приборов, например, с помощью метода измерения углов отклонения нормалей. Для этого в ближайший к вершине фокус измеряемой поверхности при помощи оптической системы проецируется точечный источник света, а его изображение, полученное во втором фокусе, рассматривается с помощью зрительной трубы или микроскопа..

Также свойство поверхностей вращения второго порядка, что луч света, направленный на поверхность из одного её фокуса, после отражения от поверхности проходит через второй её фокус, используется для контроля качества оптических приборов с помощью прибора «асферометр»

Изготовление  осветительных приборов

 Свойства конических кривых используют при изготовлении осветительных приборов. В зависимости от вида кривой (парабола или гипербола) можно получить лампы с собирающим и рассеивающим светом. Так свойство параболы используют в лампах освещения для фокусирования света в определённой точке (например, во время проведения операции) Свойство гиперболы используют для изготовления ламп с рассеивающим светом, например, при кварцевании помещения .

Литотрипсия  - один из методов дистанционного разрушения камней с помощью ударных волн. Принцип работы многих аппаратов дистанционного воздействия основан на геометрических свойствах эллипса.

Исследование  и наши эксперименты связанные с оптическими свойствами кривых второго порядка

1 Эксперимент по созданию  разного освещения

На верхней грани коробки мы сделали прорезь по размеру линзы для освещения помещения. На боковой грани коробки сделали прорезь (смотровое окно) для фиксирования результатов эксперимента. Вставили  в верхнюю прорезь коробки сначала линзу, имеющую форму параболы, и включили свет, а потом линзу, имеющую форму гиперболы. Наглядно продемонстрировали оптическое свойство параболы и гиперболы

2 Эксперимент в пещере своды которой  имели эллиптическую форму.

Речь  друга стоящего в другом месте была слышна очень хорошо, как будто рядом.

3 Эксперимент с параболической  линзой  мы с другом  использовали   при фокусировке всех лучей в одной точке, для подогрева и даже воспламенения объекта.

4 Эксперимент с оптическим  свойством  параболы используется в  карманном  фонарике ,фарах машин.

5 Эксперимент  проводили с очками с разными линзами ,убедились что линзы с асферической поверхностью  второго порядка позволяют существенно повысить, улучшить качество изображения.

Применение в жизни оптических  свойств кривых второго  порядка

Оптическое свойство параболы используется различных сферах жизни –карманный фонарик,фары машин ,прожекторы

.Из-за этого свойства параболу можно встретить в конструкции различных космических батарей. Широкое применение нашли параболические   зеркала в конструкции телескопов

Траектория подброшенного вверх  тела также является парабола.Если в солнечных установках и телескопах свет идущий от далекого источника собирается в фокусе то в прожекторе наоборот свет от мощной лампы после отражения от параболического рефлектора уходит параллельным пучком лучей. Если лампу удалить от зеркала то рефлектор действует наподобии эллиптического- получается почти сходящийся пучок лучей. Приближение   лампы к зеркалу дает картину что и  в гиперболическом отражателе : лучи расходятся. Такие рефлекторы используются не  только в прожекторах  и в автомобильных фарах, но и в проекционных аппаратах ,обогревательных приборах, медицинских установках.

 Параболические зеркала также широко используются в транспорте, например, в электропоездах.. При фокусировке на воде после испарения возможно использование турбины для выработки электроэнергии, что уже успешно применяется, например, на солнечной электростанции, разработанной в Иране, которая при помощи параболических коллекторов вырабатывает примерно 250 кВт, что, тем не менее, является весьма небольшой мощностью

 Также, парабола нашла применение в виде контактных линз.

Заключение

В ходе исследования изучен ряд свойств кривых второго порядка, называемых оптическими свойствами, т.к. эти свойства используются при проектировании оптических приборов.

Таким образом мы рассмотрели оптические свойства кривых второго  порядка  и их применение. Получение этих сведений находят применение как в физике с астрономией ,так и в математике. Проводя исследования  я очень много узнал об удивительном свойстве кривых второго порядка. Познакомился со сферами , в которых активно используются кривые второго порядка, их важность и вклад в различные области деятельности. Исследование использования кривых второго порядка в современных научно-технических разработках и инновациях.   Знания, полученные при выполнении работы дали ответ на множество непонятных ранее  вопросов, они могут пригодиться как в жизни, так и при выполнении нестандартных заданий.

Список источников

1. Беренгард Ю.Г. сайт "Вся элементарная математика. Средняя математическая интернет-школа", 2019г.
2. Дорфман А.Г. Оптика конических, 2015г. – 29 с.
3. Акопян, А. В., Заславский, А.А. Геометрические свойства кривых второго порядка [Текст] / Акопян А. В., Заславский А.А.// 2021. – 136 с.
4. Брильёнова М.В. сайт по решению задач математики для студентов, 2021г.
5. Сайт "Научная библиотека избранных естественно-научных изданий".
6. Кикоин И.К. Научно популярный физико – математический журнал «Квант», 2020г. –
7. http://im-possible.info/russian/art/index.html .
8.  http://studopedia.net/6_32997_opticheskoe-svoystvo-el